Tiểu luận cơ học lượng tử

Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của Vật lý học, nó mở rộng và bổ sung cho cơ học cổ điển của Newton. Cơ học lượng tử nghiên cứu về chuyển động và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như năng lượng và xung lượng của các vật có kích thước rất nhỏ bé. Cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được. Chính vì thế, việc học tập về nghiên cứu Cơ học lượng tử rất cần thiết, đặc biệt là đối với sinh viên khoa Vật lý. Phương trình Schrodinger là phương trình động lực học cơ bản quan trọng trong cơ học lượng tử. Phương trình này có vai trò tương tự như phương trình định luật II Newton trong cơ học cổ điển. Đây là phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc một theo thời gian và bậc hai theo tọa độ, giúp chúng ta khảo sát sự biến đổi trạng thái của hệ theo thời gian. Trong trường hợp hệ không tương tác với trường ngoài biến thiên theo thời gian, ta có phương trình Schrodinger dừng có nghiệm là hàm sóng mô tả trạng thái của hệ đang xét và trị riêng của phương trình là năng lượng của hệ đang xét. Từ hàm sóng và năng lượng sau khi giải phương trình Schrodinger, cho phép tính toán các đặc tính mong muốn từ đó có thể tìm ra các tính chất mới và hình dung một cách tổng quan hơn về phổ năng lượng của bài toán. Chính vì vậy, việc giải phương trình Schrodinger là vấn đề cơ bản trong cơ học lượng tử.

Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo Trương Minh Đức – GV học phần Cơ học lượng tử Em xin chân thành cảm ơn thầy tạo điều kiện để em thực đề tài Thầy người hướng dẫn em làm đề tài này, thầy tạo điều kiện thuận lợi nguồn động lực quan trọng để em hoàn thành đề tài Em xin chân thành cảm ơn thầy Em xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô khoa Vật Lý, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế tận tình truyền đạt kiến thức cho em ba năm học tập Với vốn kiến thức tiếp thu q trình học khơng tảng cho trình nghiên cứu tiểu luận mà hành trang quý báu để em tiếp tục học tập bước vào đời cách tự tin vững Em hết lòng biết ơn quan tâm ủng hộ gia đình bạn bè Đó nguồn động viên tinh thần lớn để em hoàn thành tốt đề tài Sinh viên thực Huỳnh Thị Phương Đơng MỤC LỤC PHẦN A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tƣợng nghiên cứu IV Nhiệm vụ nghiên cứu V Phƣơng pháp nghiên cứu VI Phạm vi nghiên cứu PHẦN B NỘI DUNG I TỔNG QUAN VỀ PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER Phƣơng trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian Mật độ dòng xác suất – bảo tồn số hạt Phƣơng trình Schrodinger khơng phụ thuộc thời gian 3.1 Phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng 3.2 Các tính chất nghiệm phƣơng trình Schrodinger dừng II HỆ THỐNG CÁC BÀI TỐN CHUYỂN ĐỘNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG MỘT CHIỀU Các tính chất chuyển động chiều Chuyển động hạt tự Giếng vng góc vô hạn 10 Ghi trƣờng hợp giếng đối xứng 12 Giếng hình chữ nhật có chiều sâu hữu hạn 13 Chuyển động qua bậc thang 16 Chuyển động qua hàng rào 20 Dao động tử điều hòa lƣợng tử 24 III BÀI TẬP MINH HỌA VỀ PHƢƠNG TRÌNH SCHRONDINGER TRONG CHUYỂN ĐỘNG MỘT CHIỀU 28 PHẦN C KẾT LUẬN 51 I Kết thu đƣợc 51 II Các vấn đề tồn hƣớng nghiên cứu 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 GVHD:Trương Minh Đức PHẦN A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Với phát triển nhiều ngành khoa học dần khám phá bí ẩn tồn giới tự nhiên Một ngành khoa học ngày phát triển Vật lý Trong ngành Vật lý học có nhiều kiến thức chuyên sâu giúp ta lý giải vấn đề giới mà ngành khoa học khác giải thích rõ ràng đƣợc Một cơng cụ chủ yếu Vật lý học thuyết lƣợng tử mà học lƣợng tử Cơ học lƣợng tử lý thuyết Vật lý học, mở rộng bổ sung cho học cổ điển Newton Cơ học lƣợng tử nghiên cứu chuyển động đại lƣợng vật lý liên quan đến chuyển động nhƣ lƣợng xung lƣợng vật có kích thƣớc nhỏ bé Cơ học Newton cho phép mơ tả xác đắn nhiều tƣợng vật lý mà học Newton khơng thể giải thích đƣợc Chính thế, việc học tập nghiên cứu Cơ học lƣợng tử cần thiết, đặc biệt sinh viên khoa Vật lý Phƣơng trình Schrodinger phƣơng trình động lực học quan trọng học lƣợng tử Phƣơng trình có vai trò tƣơng tự nhƣ phƣơng trình định luật II Newton học cổ điển Đây phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng bậc theo thời gian bậc hai theo tọa độ, giúp khảo sát biến đổi trạng thái hệ theo thời gian Trong trƣờng hợp hệ không tƣơng tác với trƣờng biến thiên theo thời gian, ta có phƣơng trình Schrodinger dừng có nghiệm hàm sóng mơ tả trạng thái hệ xét trị riêng phƣơng trình lƣợng hệ xét Từ hàm sóng lƣợng sau giải phƣơng trình Schrodinger, cho phép tính tốn đặc tính mong muốn từ tìm tính chất hình dung cách tổng quan phổ lƣợng tốn Chính vậy, việc giải phƣơng trình Schrodinger vấn đề học lƣợng tử Vì mong muốn tìm hiểu khoa học, có niềm u thích với mơn học lƣợng tử đặc biệt thấy đƣợc tầm quan trọng phƣơng trình Schrodinger nên em định chọn đề tài “Hệ thống toán chuyển động phương trình Schrodinger chiều” làm đề tài cho tiểu luận Em mong tiểu luận tài liệu tham khảo hữu ích SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông GVHD:Trương Minh Đức cho bạn sinh viên chuyên ngành Vật Lý để phục vụ cho học tập tài liệu tham khảo giảng dạy II Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu phƣơng pháp giải tốn liên quan đến phƣơng trình Schrodinger chuyển động chiều III Đối tƣợng nghiên cứu - Lý thuyết phƣơng trình Schrodinger chuyển động chiều - Các tốn phƣơng trình Schrodinger chuyển động chiều IV Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu sở lý thuyết phƣơng trình Schrodinger chuyển động chiều - Hệ thống tốn chuyển động phƣơng trình Schrodinger chuyển động chiều V Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp phân tích tổng hợp Phƣơng pháp phân loại hệ thống lý thuyết Phƣơng pháp Vật lý lý thuyết Phƣơng pháp Vật lý – toán VI Phạm vi nghiên cứu - Đề tài tập trung nghiên cứu tốn chuyển động phƣơng trình Schrodinger chuyển động chiều SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông GVHD:Trương Minh Đức PHẦN B NỘI DUNG I TỔNG QUAN VỀ PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER Phƣơng trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian Trong học Newton, trạng thái hạt đƣợc đặc trƣng tọa độ xung lƣợng Việc tìm tọa độ xung lƣợng thời điểm biết giá trị chúng thời điểm ban đầu đƣợc cho phƣơng trình chuyển động cổ điển, ví dụ nhƣ phƣơng trình định luật II Newton  dP   F (1.1) dt Đối với học lƣợng tử, lƣỡng tính sóng hạt đối tƣợng vi mơ nên trạng thái hạt đƣợc đặc trƣng hàm sóng hay hàm trạng thái Vì vậy, cần có phƣơng trình diễn tả diễn biến hàm trạng thái theo thời gian Phƣơng trình đƣợc Schrodinger đƣa năm 1926 đƣợc gọi phƣơng trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian hay phƣơng trình Schordinger tổng quát i    r , t  t        2m 2     U  r , t    r , t    (1.2)  Trong phƣơng trình ta sử dụng biến khơng gian r thay cho tọa độ tổng quát q Phƣơng trình không chứng minh đƣợc chấp nhận nhƣ tiên đề học lƣợng tử đƣợc gọi Tiên đề IV Nội dung tiên đề nhƣ sau: Sự thay đổi theo thời gian hàm trạng thái hạt (hệ hạt) lượng tử cho phương trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian có dạng: i đó:  Hˆ  Tˆ  Uˆ    2m  t     r , t   Hˆ   r , t  ,   U r , t  (1.3) Hamiltonian hệ Phƣơng trình (1.3) phƣơng trình vi phân bậc theo thời gian bậc hai theo không gian Về nguyên tắc, để tìm nghiệm phƣơng trình ta phải biết đƣợc hàm sóng thời điểm ban đầu t (điều kiện đầu) biết đƣợc hàm sóng hai vị trí tọa độ (điều kiện biên) Ta lần lƣợt xét hai điều kiện này:  Điều kiện đầu: Trong học cổ điển giải phƣơng trình chuyển động theo định luật II Newton điều kiện đầu tọa độ xung lƣợng thời điểm đầu  x t  , p t  t  t Trong học lƣợng tử, điều kiện đầu cho 0 SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông GVHD:Trương Minh Đức phƣơng trình Schrodinger phụ thuộc thời gian hàm trạng thái t  t0   r , t   Điều kiện biên điều kiện liên tục hàm sóng đạo hàm theo tọa độ khơng gian điểm biên Mật độ dòng xác suất – bảo toàn số hạt Chúng ta chứng minh từ phƣơng trình (1.3) ta rút định luật bảo toàn số hạt biểu thị phƣơng trình liên tục có dạng:   (r , t)    div j  r , t   t , (1.4)      ( r , t ) mật độ xác suất tìm hạt điểm r , thời điểm t; j  r , t  mật độ dòng xác suất Để chứng minh phƣơng trình (1.4) ta dùng phƣơng trình (1.3) phƣơng trình liên hiệp phức với  i  t    *  r , t   Hˆ *  *  r , t   (1.5)  Nhân (1.3) cho  *  r , t  (1.5) cho   r , t  bên trái trừ phƣơng trình thứ cho phƣơng trình thứ hai lƣu ý đến tính chất Hermite  toán tử Hˆ ta thu đƣợc (để đơn giản ta tạm thời bỏ biến r , t hàm sóng)   *   i   *     * Hˆ    Hˆ  * t t   , hay    (r , t)  *    i Thay dạng Hamiltonian Hˆ i i Vì     r , t  t t     *   m    * U  r , t    U  r , t  * i hay vào ta đƣợc:      U  r , t        m   2    U  r , t   *  , nên phƣơng trình đƣợc viết lại nhƣ sau:    r , t  t    r , t  t   * Hˆ    Hˆ  * t       2m i  2m  2  *     *    div  *       *  , (1.6) Nếu kí hiệu SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông GVHD:Trương Minh Đức       i   r , t   *  r , t    *  r , t    r , t  j r , t   2m (1.7) (1.6) viết lại nhƣ sau:    r , t  t   j r , t     div j  r , t   (1.8)  đƣợc gọi vecto mật độ dòng xác suất, độ lớn j có ý nghĩa nhƣ dòng hạt trung bình qua đơn vị điện tích đặt vng góc với phƣơng chuyển động đơn vị thời gian Chẳng hạn, hạt chuyển động theo trục x  i j x, t   2m d d    x, t   * x, t    * x, t   x, t    dx dx   (1.9) Từ phƣơng trình (1.8) ta suy định luật bảo toàn số hạt, biểu thị hệ thức d dt    dV  (1.10) Thật vậy, lấy tích phân (1.8) theo thể tích hữu hạn V áp dụng định lý Gauss, ta đƣợc: d dt  V   dV    div j dV    j n dS V S (1.11) Nếu lấy tích phân tồn không gian V    ý hàm  sóng   xa vơ cùng, nghĩa j  , ta nhận đƣợc phƣơng trình (1.10) Phƣơng trình có ý nghĩa xác suất tìm hạt tồn khơng gian khơng phụ thuộc thời gian, điều có nghĩa số hạt đƣợc bảo tồn (hạt khơng tự sinh khơng tự biến mất) Phƣơng trình Schrodinger khơng phụ thuộc thời gian 3.1 Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng Ta khảo sát trƣờng hợp khơng có trƣờng ngồi biến thiên tốn tử Hamilton khơng phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian trùng với toán tử lƣợng Khi phƣơng trình (1.3) có nghiệm quan trọng, nhận đƣợc phƣơng pháp phân ly biến số   (1.12)   r , t     r  f t  Thay (1.12) vào (1.3) ta đƣợc: i  f t  t f t   Hˆ   r      const   r  (1.13) Từ (1.13) ta đƣợc hai phƣơng trình SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông GVHD:Trương Minh Đức i  f t  t   f t  , (1.14)   Hˆ   r    ( r ) (1.15) Phƣơng trình (1.15) phƣơng trình cho hàm riêng trị riêng toán tử lƣợng Vì   E , với E trị riêng toán tử lƣợng i  Et Phƣơng trình (1.14) có nghiệm: f  t   e Giả sử lƣợng hệ có giá trị gián đoạn, lúc ta viết lại phƣơng trình (1.15) nhƣ sau:   (1.16) Hˆ   r   E   r  Hˆ  n n Nhƣ vậy, nghiệm phƣơng trình (1.3) đƣợc viết dƣới dạng     r , t    n  r e n  iE n t  (1.17) Hàm sóng (1.17) tƣơng ứng với trạng thái có giá trị lƣợng xác định gọi trạng thái dừng Phƣơng trình (1.16) đƣợc gọi phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng (phƣơng trình Schrodinger khơng phụ thuộc vào thời gian) Do tính chất tuyến tính phƣơng trình (1.3) nên nghiệm tổng quát có dạng khác tùy theo phổ trị riêng gián đoạn hay liên tục Khi Hˆ có phổ trị gián đoạn   r , t    c n   r e n  iE n t   n Khi Hˆ  c n  t   n r  (1.18) n có phổ trị riêng liên tục   r , t   c n t  cE iEt    c  t   r  dE (1.19)  c  t  (1.18) (1.19) đƣợc xác định từ điều kiện E E Các hệ số    r e E  E E E ban đầu Chẳng hạn từ (1.18), ta thấy t=0    r , t    r ,0    c n  n r  , n từ ta tính đƣợc cn   Tƣơng tự, hệ số cE  n  r   r ,0  (1.20) tính theo cơng thức   c   r   r ,0  E E Ta chứng minh tính chất sau hệ lƣợng tử trạng thái dừng: (1) Sự phụ thuộc hàm sóng trạng thái dừng hệ vào thời gian đƣợc xác định đơn trị giá trị lƣợng trạng thái SVTH: Huỳnh Thị Phương Đơng GVHD:Trương Minh Đức (2) Ở trạng thái dừng mật độ xác suất mật độ xác suất không phụ thuộc vào thời gian (3) Ở trạng thái dừng, trị trung bình đại lƣợng động lực có tốn tử tƣơng ứng khơng phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian không đổi (4) Xác suất đo giá trị đại lƣợng động lực trạng thái dừng không phụ thuộc thời gian 3.2 Các tính chất nghiệm phương trình Schrodinger dừng Phƣơng trình Hˆ   E  cho nghiệm với E, nhƣng giá trị E ứng với trạng thái vật lý, mà có trạng thái thỏa mãn với điều kiện tiêu chuẩn hàm sóng ứng với trạng thái vật lý Các điều kiện (1) Hàm  phải đơn trị (2) Hàm  phải liên tục Trong trƣờng hợp gián đoạn  đạo hàm theo tọa độ  ' liên tục điểm gián đoạn Tuy nhiên, miền mà U      ' gián đoạn (3) Nếu khơng tiến đến  hàm sóng phải hữu hạn tồn khơng gian Điều kiện thỏa mãn trƣờng hợp U   điểm nhƣng khơng q nhanh (thƣờng U có dạng U  r với s ) II HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER TRONG MỘT CHIỀU Các tính chất chuyển động chiều Phƣơng trình Schrodinger trƣờng hợp chuyển động chiều theo trục x có dạng: Hˆ   x   E   x  , với  d Hˆ   m dx 2  U x  (2.1) Viết dƣới dạng phƣơng trình vi phân, ta đƣợc: d  (x) dx  2m  E  U  x   ( x )  , (2.2) U  x  không phụ thuộc thời gian Trạng thái lƣợng hạt tìm đƣợc cách giải phƣơng trình (2.2) có dạng phụ thuộc dạng U  x  Ta khảo sát trƣờng hợp có dạng tổng qt nhƣ Hình SVTH: Huỳnh Thị Phương Đơng GVHD:Trương Minh Đức Hình 1: Dạng U  x  trường hợp tổng quát (1) Trạng thái liên kết: Khi hạt bị giam giữ miền chuyển động hạt giới hạn hai phía, ví dụ Hình chuyển động hạt có lƣợng E  U bị giới hạn miền x  x  x Sử dụng điều kiện liên tục hàm sóng đạo hàm theo tọa độ điểm biên lúc giải phƣơng trình Schrodinger, ta nhận đƣợc phổ trị riêng lƣợng gián đoạn (2) Trạng thái không liên kết: Khi chuyển động hạt khơng bị giới hạn, ta nói trạng thái hạt không liên kết (chuyển động tự do) Trên sơ đồ Hình có miền ứng với chuyển động tự hạt a) Trƣờng hợp hạt có lƣợng khoảng U  E  U : Chuyển động hạt vô hạn phía x   Điều có nghĩa hạt chuyển động x  x x   Phổ lƣợng chuyển động liên 1 2 tục khơng suy biến ứng với hàm sóng mơ tả chuyển động tự theo chiều âm trục x b) Trƣờng hợp E  U : Hạt chuyển động xa vơ hạn hai phía  x    Phổ lƣợng hạt liên tục suy biến bậc Điều ứng với giá trị lƣợng phƣơng trình (2.2) có hai hàm riêng, ứng với chuyển động tự hạt theo chiều dƣơng, theo chiều âm (3) Trƣờng hợp đối xứng: Trong trƣờng hợp hàm chẵn tọa độ Hamilonian hàm chẵn, lúc hạt trạng thái liên kết nghiệm phƣơng trình Schrodinger (2.2) đƣợc phân thành hai lớp: lớp nghiệm chẵn   x      x   lớp nghiệm lẻ   x      x   2 Chuyển động hạt tự Ta xét hạt chuyển động tự chiều theo trục x Vì U  x   nên phƣơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng hạt có dạng SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông GVHD:Trương Minh Đức   x   A2e x   A3e ik x  B2e  ik x ik x  B 3e  ik x , Trong vùng III khơng có sóng phản xạ nên đặt Sóng tới  q x   A3 e định đƣợc ik x  t x   e ik x , sóng phản xạ  Từ điều kiện liên tục B1 , A2 , B2 A3 px x   B3  B1 e  ik x sóng truyền qua điểm  x  x 0 x  d ta xác B1  k A3  2  k1   k1 e e ik d  e k  k  2 2 k  k  k e k  k1  e  k1  e  k  k  e  ik d , ik d  ik d k1k e k , ik x ik d  k  k  e  ik d , ik d  ik d  k  k  e  ik d e   ik d  k  k  e  ik d k  k  k e A2  B2  k ik d Hệ số phản xạ R hệ số truyền qua D đƣợc xác định công thức sau: R  j px  B1 jt D  k  ik  2  k1  2  2  A3   k d  sin , k1 k  2 k d  sin k1 k  k1  k 2 k1 k  k1  k  k d  sin 1 E U : Trong trƣờng hợp ta đặt Thay k jq jt Dễ thấy R  D - Xét trƣờng hợp vào biểu thức B1  A3  k  ik   k k B1  ik   k1 e kd e k R  B1  ik   e kd k k1  kd  e   k  ik ik e  k1  kd  SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông  2 e  e kd   ik e  kd U  E  ,  e kd e  kd e , kd    k  ik e 16 k k k   kd D  A3  ik d   k  ik  ik  ta đƣợc: A3 2m k   kd ,   k  ik e  kd 39 GVHD:Trương Minh Đức Chú ý sh hay e kd  e  kd  kd    sh e    kd  kd  e    k k e  kd   kd 2  k  k  sh  kd   sh D  kd   e kd  ,  kd  ta tìm đƣợc: R  Khi e  k sh  kd ,  k  e  k1 k sh 2  kd  , 2 2 k1 k  kd   k1 k kd ta có: D   2  k1 k  kd   e      k k1  Vì e kd D  D 0e   kd kd  ,  k1 k  kd   e  1   16  k k1  nên gần ta có: k  2m  D0  U  E  16  k1 k       k k    16 k k k 2  k2  Bài 11 Xác định hệ số phản xạ hệ số truyền qua hạt m chuyển động qua hàng rào chiều: ( ) { Bài giải: Nhƣ bên trái bên phải gốc tọa độ hạt chuyển động tự do: Khi qua gốc tọa độ từ phải sang trái động hạt tăng thêm U ngƣợc lại muốn cho hạt qua gốc tọa độ từ trái sang phải phải tốn cơng U Ta xét chuyển động hạt có toàn phần E (bằng động T cộng với U) từ trái sang phải Theo học cổ điển E  U hạt qua O Tại điểm động hạt giảm: trƣớc qua O động có giá trị E  U nhƣ hạt hồn tồn qua O (khơng có phản xạ) SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 40 GVHD:Trương Minh Đức Cũng theo học cổ điển miền x  E U hạt khơng thể qua O động T hạt có giá trị âm E U  Điều xảy đƣợc Hạt bị phản xạ hoàn toàn O Bây ta xét chuyển động hạt học lƣợng tử Phƣơng trình Schrodinger chuyển động hạt có dạng:   d   m dx Trong miền x  U  x     d m dx x  2 dx Trong miền x  d     x   E   x   2 phƣơng trình có dạng:  x   E  x  mE   x  d  Hay dx   d E U (2)  U 0  x   E   x  m E  U  Ta xét riêng hai trƣờng hợp x  m dx Trong miền  x   U  x   U phƣơng trình có dạng:  Trƣờng hợp (1) E U   x   E U (3) : hàm sóng thỏa mãn phƣơng trình: k0 k1 2   d  x    k0  x     2 m E  U  dx  (5 )      mE  (4)  ik x Và nghiệm có dạng:  ( x )  e  Ae (6) Ở vế phải (6) ta chọn hệ số bên cạnh e số hạng thứ đơn giản phép tính, điều cho thấy làm đƣợc hàm riêng   x  đƣợc xác định sai khác số nhân Số hạng e biểu diễn hàm sóng tới (đi từ trái sang phải) Số hạng Ae biểu diễn hàm sóng truyền theo chiều từ phải sang trái, sóng phản xạ Trong miền x  , hàm sóng phải thỏa mãn phƣơng trình: ik x  ik x  ik x d  dx Và có nghiệm có dạng:  SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông  x  2  k1  x   Be x   ik x (7) 41 GVHD:Trương Minh Đức Tại điểm nghiệm đạo hàm phải liên tục, tức là: x   0     0    '  0     ' (8) (9) 0  Đó điều kiện, áp dụng điều kiện ta có: (10) (11) 1 A  B ik 1  A   ik B Giải hệ phƣơng trình A B ta thu đƣợc: k  k1 A  2k0 B  Thay k0 (12) k  k1 (13) k  k1 từ (4) (5) vào (12) (13) ta đƣợc kết cuối k1 A B nhƣ sau: k  k1 A   k  k1 U 2k0 B  E E  U 2E   k  k1  U U0 E E  U E  0  Các điều kiện biên không dẫn đến đòi hỏi k0 k1 lƣợng hạt có giá trị Các số A B cho ta biên độ sóng phản xạ sóng truyền qua Hệ số phản xạ R R     px  e T 2E   ik x Ae ik x 8E  A E E  U U   EU 0 2 U0  8E E E  U U U0  4U E E  U  Hệ số truyền qua Q Q 1 A 1 8E  EU E E  U  8E U  EU  8E E E  U   8E U  4U 0 U0  4U E E  U  E E  U  Ta thấy theo học lƣợng tử có phản xạ điểm học cổ điển) SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông x  (khác với 42 GVHD:Trương Minh Đức Trƣờng hợp Đặt : k 0 2 mE  E U k  : m U  E  (14) Trong miền x  hàm sóng có dạng (6), miền sóng thỏa mãn phƣơng trình: d  dx Khi x   x   k  x   nghiệm có dạng:   x   Ce  hàm sóng phải hữu hạn, điều đòi hỏi   x   Ce  kx  kx x   De D  0, kx hàm tức là: (15) Áp dụng điều kiên biên (8) (9) ta có: 1 A  C, ik 1  A    kC (16) (17) Giải hệ phƣơng trình (16), (17) ta có: A  C  k  ik k  ik 2k0 k  ik , (18) (19) Cũng nhƣ trƣờng hợp ta thấy khơng có đòi hỏi k k0 lƣợng có giá trị liên tục Với hệ số phản xạ: R  A  k  ik  k  ik Nhƣ hạt bị phản xạ toàn phần (giống nhƣ học cổ điển) Nhƣng hạt không bị phản xạ tất điểm x  Xác suất hạt miền x  khác không, nhƣng xác suất đáng kể gần điểm x  Khi x tăng mật độ tìm thấy hạt giảm nhanh theo định luật hàm số mũ F (x)  C e  kx Dạng 6: Dao động tử điều hòa lƣợng tử chiều Bài 12 Chứng minh tồn lƣợng khơng dao động tử điều hòa lƣợng tử suy từ hệ thức bất định Heisenberg Bài giải: Trị trung bình lƣợng  pˆ x 2  E    x  Hˆ   x     x    m  x   x   2m   2m   x  pˆ x  x   m  x  x  x  2 SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 43 GVHD:Trương Minh Đức  px  2m m x 2 Mà ta có: x  x  x   2   p  p  p Sử dụng hệ thức bất định Heisenberg:  x  p 2   , ta đƣợc:  E  m  x   m 2  x  2 Ta tìm cực tiểu biểu thức trên:  E ' x    8m x  E ' x  x  2m Vậy E    2   m  8m   2 m  8m x    2   4m  2 m 2  2 m   2m     E0 Bài 13 Tìm mức lƣợng hàm sóng hạt có khối lƣợng m, điện tích q dao động chiều dƣới tác dụng điện trƣờng cƣờng độ   không đổi đặt dọc theo phƣơng dao động Ox Bài giải: Khi hạt điện tích chuyển động điện trƣờng khơng đổi ngồi m x 2   F  q  F   gradu Ta có:  U    Fdx   q  x Phƣơng trình Schrodinger dao động tử chiều dƣới tác dụng điện trƣờng không đổi  :   d H  x   x      m dx   d  x  2m    dx 2m Đặt  d  x  dx X  x  2  m x 2   xq    r   E   x     q x 2q  m x     m 2 m     q  m x    m   q m 2 ; E ' E  q   2m SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông   q     x    E    2m    2     x   E   x        x    (1) (1) trở thành: 44 GVHD:Trương Minh Đức  d  x   2m dx d  x  dx Đặt   X m  X   x   E '  x  2 2    2m  m  E '    m  ; 1  2E'   x   x       "             Thì phƣơng trình (2) có nghiệm là:     n   2 An e (2) H n   Sau chuẩn hóa hàm    đơn vị ta có: An  n!  n   E 'n     n   2  với n = 1, 2, 3,…  X  exp   H n   n!   m 4  n x         m 4   n x         q  x   m  exp  n 2 n!            H    n x  2 n  q x   m      với n = 0, 1, 2,… Bài 14 Trạng thái kích thích thứ dao động tử điều hòa chiều đƣợc mơ tả hàm sóng   m  x  1x   2C e  /2 , đó:  m 4 C       , a Tính giá trị trung bình x , nghiệm lại hệ thức bất định px tọa độ xung lƣợng b Tính động trung bình T trung bình V , từ suy lƣợng trung bình E trạng thái kích thích Bài giải: a Ta có: x SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông  ,  x  x 2 (1) 45 GVHD:Trương Minh Đức p Tính  *  x x   x dx    *  x x  x   x  dx  x Thay (3), (4) vào (1): x (3) mx   e dx  3 2m (5) , p :  x *   mx          (4)   2 i  m   p     x  * pˆ   x dx          p  x  x  e x  dx    3  m 2    2       m  2m     p mx   Tính   m 2       2   (2)   x   m 2        2  x  , x  : x    p  p pˆ   x dx    m 2       2  Thay (6), (7) vào (1): Từ (5) (8) ta có: p 2  x  p  3 2m   xe     mx           p  p 2 3 m    mx dx      xe    mx    3 m  (6) (7) (8) 9 dx  2 3 m  p    (nghiệm hệ thức bất định) b Từ kết câu a ta có: Động trung bình Thế trung bình T   2m V  Năng lƣợng trung bình p m 3 m  2m x  E T V  m 2 3   3 2m  3  3   3   3   Một số tập tự giải: Bài Tại thời điểm t = hạt tự có hàm sóng: a) (x,0) (, x0 ) b)   s in (k x )   e ,k i k x SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 46 GVHD:Trương Minh Đức x   ik x 2 a c) (x,0) e a Tìm hàm sóng hạt thời điểm t trƣờng hợp Đáp số: k a)  i t m  (,) xt  s i n ( k x ) e2  ( x ,t) b)  ik x  k  i t m ee (,) xt  c)  x k   i k x i t 2 a m e e a x   ikx Bài Trạng thái hạt đƣợc mơ tả hàm sóng   x   Ae , a, k số a Xác định hệ số chuẩn hóa A tọa độ x mật độ xác suất tìm thấy hạt  ( x ) có giá trị lớn 2a b Tính giá trị trung bình x , px 2 nghiệm lại hệ thức bất định  tọa độ xung lƣợng Cho biết  e  x dx    a  ;x e  x dx     Đáp số: a A  b x  ; x 0  a a ; px   2a Bài Hàm sóng thời điểm ban đầu t  hạt chuyển động tự giếng chiều, vng góc sâu vơ hạn có dạng: ( ) { ( a Xác định hệ số chuẩn hóa A b Xác định hệ số khai triển sóng trạng thái dừng   x ,0    ) cn n x  hàm sóng  ( x ,0 ) theo hàm hạt giếng sâu vô hạn c n n  x  n c Xác định hàm sóng   x , t  hạt thời điểm Đáp số: SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông t  47 GVHD:Trương Minh Đức a 12 A  L { b  x, t    c √   L  sin k k 1 2 kx i 2k   mL e t L Bài Hàm sóng thời điểm đầu hạt có khối lƣợng m chuyển động tự miền  a  x  a hố chiều vng góc, sâu vơ hạn có dạng:   x ,0   cos x  2a 5a sin x a 5a a Xác định hàm sóng   x , t  thời điểm t   b Tính mật độ xác suất   x , t  mật độ dòng xác suất j  x , t  Đáp số:  x, t   a cos với  x, t   x cos 5a   E  E1 a 3  e ma 2  sin sin 5a x  a  t i e ma a 5a  x x cos 5a sin 2a x cos  t a   jx, t     t i 2a 5a b x ma 2  ma cos x sin  t 2a Bài Dòng hạt chuyển động từ trái sang phải qua hàng rào bậc thang: { Giả sử lƣợng hạt  S  e ikx k  mE  E U , biết hàm sóng hạt tới cho bởi: a Viết biểu thức hàm sóng phản xạ hàm sóng truyền qua b Tính bƣớc sóng de Broglie hạt miền I x  miền II  x Tính tỷ số n  I  II  0 (chiết suất sóng de Broglie) c Tìm mối liên hệ hệ số phản xạ R chiết suất n Đáp số: a Biểu thức hàm sóng phản xạ:  SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông R  k  k1 k  k1 e  ikx 48 GVHD:Trương Minh Đức Biểu thức hàm sóng truyền qua:  b Chiết suất sóng de Broglie là: c Mối liên hệ R n:  D n  k  k1 k  k1 1 U E 1 n  R    1 n  ikx e Bài Hạt chuyển động từ trái qua phải gặp rào có dạng: ( ) { a Tìm hàm sóng mơ tả trạng thái hạt tới E  V , V1 miền x  , x  b Xác định biểu thức mật độ dòng xác suất hạt tới xạ sóng truyền qua jR c Tính hệ số phản xạ jT R  Khi b c j0   : ( x )  Ae x  :  ( x )  Ce  k1 R  A m jR  j0 k1 k1  k2   k2  ik x jR hệ số truyền qua D   Be  ik x B j0 jT D  k2 jT  , m , jT  k1 jR   , ik x , hạt phản j0 Đáp số: a Khi x j0  j0 C m k1k k1  k2  Bài Chứng tỏ trƣờng hợp tổng quát hàng rào có dạng ln ln thỏa mãn hệ thức R  D  (R hệ số phản xạ D hệ số truyền qua Bài Tính giá trị trung bình đại lƣợng x ( n  1, , , ) , p n x px dao động tử điều hòa chiều trạng thái:  Đáp số: x   m   m 2 exp   x  2    p x   i    x  '  x dx 0   px  m x n  m 2        x  n  m  exp   x  dx    SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 49 GVHD:Trương Minh Đức SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 50 GVHD:Trương Minh Đức PHẦN C KẾT LUẬN I Kết thu đƣợc Đề tài nghiên cứu thu đƣợc kết nhƣ sau: I Tổng quan phƣơng trình Schrodinger Phƣơng trình Schrodinger phụ thuộc vào thời gian Mật độ dòng xác xuất – bảo tồn số hạt Phƣơng trình Schrodinger khơng phụ thuộc vào thời gian II Hệ thống toán chuyển động phƣơng trình Schrodinger chiều Các tính chất chuyển động chiều Chuyển động hạt tự Giếng vng góc vơ hạn Ghi trƣờng hợp giếng đối xứng Giếng hình chữ nhật có chiều sâu hữu hạn Chuyển động qua bậc thang Chuyển động qua hàng rào Dao động tử điêu hoà lƣợng tử III Bài tập minh họa phƣơng trình Schrodinger chuyển động chiều Sau hệ thống tập đề tài phân loại đƣa phƣơng pháp giải dạng toán minh họa phƣơng trình Schrodinger chiều giáo trình Cơ học lƣợng tử mà chúng em đƣợc học trƣờng Qua giúp em rèn luyện kĩ giải tập hiểu sâu sắc tính chất hạt chuyển động chiều đƣợc trình bày giáo trình Cơ học lƣợng tử cách kĩ II Các vấn đề tồn hƣớng nghiên cứu Do thời gian nghiên cứu, tài liệu tham khảo lực thân hạn chế Bởi vậy, đề tài em đề cập đến tốn chuyển động phƣơng trình Schrodinger chiều Nếu có điều kiện nghiên cứu tiếp, em phát triển đề tài theo hƣớng giải mẫu thêm tập đƣa thêm số lƣợng tập vào để xây dựng đề tài thành tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên khoa vật lý Mặc dù, em có nhiều cố gắng thực đề tài cho nội dung mang tính khoa học thực tiễn cao Tuy nhiên đề tài tránh khỏi SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 51 GVHD:Trương Minh Đức thiếu sót Em mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến q thầy bạn để đề tài đƣợc đầy đủ hoàn thiện SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 52 GVHD:Trương Minh Đức TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Đình, Trần Cơng Phong, Giáo trình Cơ học lƣợng tử, NXB Đại học Huế, 2012 Phan Đình Kiến, Giáo trình Cơ học lƣợng tử, NXB Đại học Sƣ phạm, 2005 Vũ Văn Hùng, Bài tập Cơ học lƣợng tử, NXB Đại học Sƣ phạm, 2010 Phạm Qúy Tƣ, Đỗ Đình Thanh, Cơ học lƣợng tử, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1995 Trƣơng Minh Đức, Bài tập Cơ học lƣợng tử https://vi.scribd.com/document/239810415/Ap-d%E1%BB%A5ngph%C6%B0%C6%A1ng-trinh-Schrodinger-%C4%91%E1%BB%83gi%E1%BA%A3i-m%E1%BB%99t-s%E1%BB%91-bai-toan http://luanvan.net.vn/luan-van/bai-tap-lon-cach-giai-bai-tap-chuong34567-64155/ https://ductt111.files.wordpress.com/2011/08/week-10-11-12.pdf https://dethi.violet.vn/present/showprint/entry_id/11054849 10.http://timtailieu.vn/tai-lieu/chuong-3-co-hoc-luong-tu-34018/ 11.https://www.iop.vast.ac.vn/~nvthanh/cours/phys/Physics_II_ch8.pdf 12.https://123doc.org/document/2278585-phuong-phap-giai-mot-sodang-bai-toan-mot-chieu-trong-co-hoc-luong-tu-khoa-luan-totnghiep-dai-hoc.htm SVTH: Huỳnh Thị Phương Đông 53 ... thích rõ ràng đƣợc Một cơng cụ chủ yếu Vật lý học thuyết lƣợng tử mà học lƣợng tử Cơ học lƣợng tử lý thuyết Vật lý học, mở rộng bổ sung cho học cổ điển Newton Cơ học lƣợng tử nghiên cứu chuyển... vật có kích thƣớc nhỏ bé Cơ học Newton cho phép mơ tả xác đắn nhiều tƣợng vật lý mà học Newton khơng thể giải thích đƣợc Chính thế, việc học tập nghiên cứu Cơ học lƣợng tử cần thiết, đặc biệt sinh... tốn Chính vậy, việc giải phƣơng trình Schrodinger vấn đề học lƣợng tử Vì mong muốn tìm hiểu khoa học, có niềm u thích với mơn học lƣợng tử đặc biệt thấy đƣợc tầm quan trọng phƣơng trình Schrodinger