Giao trinh co luong tu nang caoVo Tinh

Ta sẽ tìm hàm sóng ψ trong phép gần đúng cấp không và mức năng lượng trong phép gần đúng cấp một.. Ta sẽ xét bài toán này theo phương pháp khác có độ chính xác cao hơn, đó là phương pháp[r]

MỞ ĐẦU

Học phần học lượng tử nâng cao môn học bắt buộc học viên cao học chuyên ngành Phương pháp Giảng dạy Vật lý chuyên ngành Vật lý Lý thuyết-Vật lý Tốn, nhằm bổ sung nâng cao số kiến thức học lượng tử phương pháp tính gần học lượng tử, lý thuyết tán xạ lượng tử, học lượng tử tương đối tính, Các kiến thức sở để học viên tiếp thu kiến thức Vật lý thống kê, Vật lý chất rắn, Cơ sở lý thuyết trường lượng tử,

Với mục tiêu trên, nội dung môn học xây dựng chương Chương I khái quát lại sở học lượng tử (cơ sở toán học, tiên đề học lượng tử, nguyên lý bất định Heisenberg, phương trình Schrõdinger, biến đổi theo thời gian giá trị trung bình đại lượng vật lý, ) Chương II trình bày phương pháp gần để giải phương trình Schrõdinger thường sử dụng học lượng tử Chương III trình bày lý thuyết tán xạ lượng tử Chương IV trình bày khái quát học lượng tử tương đối tính, bao gồm số phương trình (Phương trình Klein-Gordon, phương trình Dirac, phương trình Pauli, ), số khái niệm (Mật độ xác suất tương đối tính mật độ dịng xác suất tương đối tính, spin mơmen từ hạt vi mơ, ) Ngồi ra, học viên cao học Vật lý Lý thuyết -Vật lý Tốn cịn có 15 tiết để khảo sát sâu cấu trúc trạng thái nguyên tử, lý thuyết lượng tử xạ, hiệu ứng Zeemann dị thường, trạng thái lượng âm, tính bất biến phương trình Dirac

2

Mục lục

1 Cơ sở học lượng tử

1.1 Cơ sở toán học học lượng tử

1.1.1 Toán tử:

1.1.2 Các phép tính toán tử

1.1.3 Hàm riêng, trị riêng phương trình trị riêng tốn tử

1.1.4 Toán tử tự liên hợp tuyến tính (tốn tử hermitic)

1.1.5 Các tính chất tốn tử hermitic

1.2 Các tiên đề học lượng tử

1.2.1 Tiên đề 1: Trạng thái thông tin

1.2.2 Tiên đề 2: Các đại lượng động lực

1.2.3 Tiên đề 3: Phép đo đại lượng động lực

1.2.4 Giá trị trung bình biến số động lực

1.2.5 Tính hệ số phân tíchci 10

1.3 Sự đo đồng thời hai đại lượng vật lý 10

1.3.1 Sự đo xác đồng thời hai đại lượng vật lý 10

1.3.2 Phép đo hai đại lượng động lực không xác định đồng thời Nguyên lý bất định Heisenberg 11

1.4 Phương trình Schrõdinger 13

1.4.1 Phương trình Schrõdinger phụ thuộc thời gian 13

1.4.2 Mật độ dòng xác suất Sự bảo toàn số hạt 13

1.4.3 Phương trình Schrõdinger khơng phụ thuộc thời gian Trạng thái dừng 14 1.5 Sự biến đổi theo thời gian đại lượng động lực 16

1.5.1 Đạo hàm toán tử động lực theo thời gian 16

2 Một số phương pháp gần học lượng tử 18 2.1 Nhiễu loạn dừng trường hợp không suy biến 19

2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng trường hợp có suy biến 22

2.2.1 Lý thuyết nhiễu loạn có hai mức gần 22

2.2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng có suy biến: 25

2.3 Hiệu ứng Stark nguyên tử Hydro 29

2.4 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian 32

2.5 Sự chuyển dời lượng tử hệ vi mô sang trạng thái ảnh hưởng nhiễu loạn 34

2.6 Nguyên tử Hêli 36

2.7 Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok 39

2.7.2 Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok 43

3 Lý thuyết tán xạ lượng tử 47 3.1 Biên độ tán xạ tiết diện tán xạ 47

3.1.1 Tiết diện tán xạ 47

3.1.2 Biên độ tán xạ 49

3.1.3 Tán xạ đàn hồi hạt khơng có spin 49

3.2 Tán xạ đàn hồi phép gần Born 54

3.3 Phương pháp sóng riêng phần 56

4 Cơ học lượng tử tương đối tính 61 4.1 Phương trình Klein-Gordon (K-G) 61

4.2 Phương trình Dirac 63

4.3 Mật độ xác suất mật độ dòng xác suất lý thuyết Dirac 67

4.4 Nghiệm phương trình Dirac hạt chuyển động tự 68

4

Chương 1

Cơ sở học lượng tử

1.1 Cơ sở toán học học lượng tử

1.1.1 Toán tử:

a) Định nghĩa: Toán tử phép tốn tác dụng vào hàm biến đổi thành hàm khác

Ta gọi Aˆlà toán tử ˆ

Aψ(x) = φ(x) (1.1)

Ví dụ: Các toán tử :

+ Phép nhân với x2

ˆ

Aψ(x) =x2ψ(x),

trong trường hợp Aˆ phụ thuộc biến số x + Phép lấy đạo hàm với biến số x:

ˆ

Aψ(x) = dψ(x)

dx

+ Phép nhân với số phức C: ˆ

Aψ(x) = Cψ(x),

ở đây, Aˆkhông phụ thuộc vào biến xvà phép lấy đạo hàm theo x Đặc biệt nếu:

C = : ˆAψ(x) = 0, Aˆ tốn tử khơng,

C = : ˆAψ(x) =ψ(x),Aˆ toán tử đơn vị + Phép lấy liên hiệp phức:

ˆ

Aψ(x) =ψ∗(x)

b) Tốn tử tuyến tính: Tốn tửAˆđược gọi tốn tử tuyến tính thoả mãn tính chất sau:

ˆ

Trong hệ thức trên, ψ1 ψ2 hai hàm bất kỳ, c1 c2 hai số

Ví dụ: Aˆ= (d/dx) tốn tử tuyến tính

d

dx(c1ψ1+c2ψ2) = c1 dψ1

dx +c2 dψ2

dx

Cịn tốn tử lấy liên hiệp phức khơng phải tốn tử tuyến tính ˆ

A(c1ψ1+c2ψ2) = (c1ψ1+c2ψ2)∗ =c∗1ψ∗1+c∗2ψ2∗ =c1∗Aψ1ˆ +c∗2Aψ2ˆ

6=c1Aψˆ 1+c2Aψˆ

1.1.2 Các phép tính tốn tử

Cho ba toán tửA,ˆ B,ˆ C.ˆ ta định nghĩa phép tính tốn tử sau:

a) Tổng hai toán tử: Sˆđược gọi tổng hai toán tử A,ˆ Bˆ, ký hiệu ˆ

S ≡Aˆ+ ˆB ∀ψ(x),Sψˆ (x) = ˆAψ(x) + ˆBψ(x) (1.3) b) Hiệu hai toán tử: Dˆ gọi hiệu hai toán tử A,ˆ Bˆ, ký hiệu

ˆ

D≡Aˆ−Bˆ ∀ψ(x),Dψˆ (x) = ˆAψ(x)−Bψˆ (x) (1.4) c) Tích hai tốn tử: Pˆ ≡AˆBˆ tích hai tốn tử Aˆ Bˆ

ˆ

P ψ(x) = ( ˆABˆ)ψ(x) = ˆABψˆ (x) (1.5) Tích hai tốn tử nói chung khơng giao hốn, nghĩa AˆBˆ 6= ˆBA.ˆ Chẳng hạn, cho

ˆ

A = d

dx,

ˆ

B =x

thì ta có

ˆ

ABψˆ (x) = d

dx(xψ(x)) =ψ(x) +x dψ(x)

dx ,

còn

ˆ

BAψˆ (x) =xdψ(x) dx 6= ˆA

ˆ

Bψ(x) =ψ(x) +xdψ(x) dx ,

rõ ràngBˆAˆ6= ˆABˆ, nên A,ˆ Bˆ khơng giao hốn Nếu Aˆ=x2,Bˆ =x

ˆ

ABψˆ (x) =x3ψ(x) = ˆBAψˆ (x) hai toán tử A,ˆ Bˆ giao hoán

d) Giao hoán tử hai toán tử Aˆ Bˆ định nghĩa [ ˆA,Bˆ] ≡ AˆBˆ −BˆA.ˆ

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở học lượng tử

1.1.3 Hàm riêng, trị riêng phương trình trị riêng toán tử

Xét toán tử Aˆ, cho Aˆtác dụng lên hàmψ(x) đó, ta thu hàm nhân với số:

ˆ

Aψ(x) =aψ(x) (1.6)

(1.6) phương trình, dạng ψ(x)có thể thu từ việc giải phương trình Ta bảo ψ(x) hàm riêng với trị riêng a toán tử Aˆ Và việc giải phương trình (1.6) cho ta biết hàm riêng trị riêng toán tử Aˆ Nếu có s hàm riêng có trị riêng a, ta bảo tốn tử Aˆ có trị riêng suy biến bậc s Các trị riêng biến thiên gián đoạn liên tục

Trong học lượng tử, hàm riêng phải thoả mãn điều kiện chuẩn sau:

- Hàmψ(x)phải tồn tại, xác định toàn miền biến thiên biến độc lập - Trong miền tồn tại, hàm ψ(x) đạo hàm bậc dψ(x)/dx phải hữu hạn, liên tục (trừ số điểm đặc biệt)

- Hàm ψ(x)phải xác định đơn trị

1.1.4 Toán tử tự liên hợp tuyến tính (tốn tử hermitic)

Tốn tử tuyến tínhAˆ+ được gọi tốn tử liên hợp tuyến tính với tốn tử tuyến tính

ˆ

A nếu:

∀ψ1(x), ψ2(x),

Z

V

ψ1∗(x) ˆAψ2(x)dx=

Z

V

ˆ

A+ψ1(x)

∗

ψ2(x)dx (1.7)

Nếu Aˆ+ = ˆA thì ta bảo Aˆ là tốn tử tự liên hợp tuyến tính, hay toán tử hermitic,

nghĩa là:

Z

V

ψ1∗(x) ˆAψ2(x)dx=

Z

V

ˆ

Aψ1(x)

∗

ψ2(x)dx (1.8)

Nếu ta đưa ký hiệu tích vơ hướng hai hàm sóng hψ1(x)|ψ2(x)i=

Z

V

ψ1∗(x)ψ2(x)dx, (1.9)

theo (1.8) viết lại sau:

hψ1(x)|Aψˆ 2(x)i=hAψˆ 1(x)|ψ2(x)i

Ví dụ 1: Aˆ= (d/dx)có phải tốn tử hermitic khơng? Muốn biết, ta tính

Z +∞

−∞

ψ∗Aϕdxˆ =

Z +∞

−∞

ψ∗dϕ dxdx

Đặt u=ψ∗, dv = (dϕ/dx).dx,

Z +∞

−∞

ψ∗Aϕdxˆ =ψ∗ϕ|x=+x=−∞∞−

Z +∞

−∞

ϕdψ

∗

vì hàm ψ(x), ϕ(x)→0khi x→ ±∞ nên ψ∗ϕ|x=+∞

x=−∞= 0,

Z +∞

−∞

ψ∗Aϕdxˆ =−

Z +∞

−∞

ϕdψ

∗

dx dx6=

Z +∞

−∞

ϕ

dψ dx

∗

dx=

Z +∞

−∞

ˆ

Aψ

∗

ϕdx

Vậy Aˆ= (d/dx) khơng phải tốn tử hermitic

Ví dụ 2: Aˆ=i(d/dx)có phải tốn tử hermitic khơng? Ta có:

Z +∞

−∞

ψ∗Aϕdxˆ =−i

Z +∞

−∞

ϕdψ

∗

dx dx=

Z +∞

−∞

ϕ

−idψ

∗

dx

dx =

Z +∞

−∞

ϕ

idψ dx

∗

dx,

Z +∞

−∞

ψ∗Aϕdxˆ =

Z +∞

−∞

ˆ

Aψ

∗

ϕdx

Vậy Aˆ=i(d/dx) toán tử hermitic

1.1.5 Các tính chất tốn tử hermitic

a) Trị riêng toán tử hermitic số thực

Giả thiết tốn tử hermitic Aˆcó trị riêng gián đoạn với phương trình trị riêng ˆ

Aψn=anψn

Ta có: hψn|Aψˆ ni=hAψˆ n|ψni Aˆ hermitic, nghĩa là:

anhψn|ψni=a∗hψn|ψni=⇒(an−a∗n)hψn|ψni=

Vì hψn|ψni 6= nên an =a∗n: an số thực

b) Hàm riêng tương ứng với hai trị riêng phân biệt trực giao với Thực vậy, theo định nghĩa tốn tử hermitic thì:

hψ1|Aψˆ 2i=hAψˆ 1|ψ2i=⇒a2hψ1|ψ2i=a1hψ1|ψ2i,=⇒(a2−a1)hψ1|ψ2i= 0,

vì a2 6=a1 nên (a2−a1)6= Vậy:

hψ1|ψ2i= : ψ1, ψ2 trực giao với

Tóm lại, hàm riêng tốn tử hermitic Aˆđược chuẩn hố ta có:

Phổ trị riêng gián đoạn: hψm|ψni=δmn, (1.10) Phổ trị riêng liên tục: hψa0|ψai=δ(a0−a) (1.11)

Trong đó, δmn, δ(a0−a) hàm Dirac

c) Các hàm riêng toán tử hermitic lập thành hệ hàm sở trực giao đủ khơng gian Hilbert hàm sóng, nghĩa với hàm sóng bất kỳψ(x)trong khơng gian Hilbert, ta có:

Đối với phổ trị riêng gián đoạn :ψ(x) =X

n

cnψn(x) (1.12)

Đối với phổ trị riêng liên tục : ψ(x) =

Z

a

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở học lượng tử 1.2 Các tiên đề học lượng tử

Trong học lượng tử, hạt không hình dung chất điểm chuyển động theo quỹ đạo xác định mà hình dung bó sóng định xứ miền khơng gian thời điểm bó sóng thay đổi theo thời gian Tại thời điểm ta nói xác suất để tìm thấy hạt phần tử thể tích khơng gian, hay nói khác xác xuất để toạ độ hạt có giá trị nằm khoảng Nói chung biến số động lực khác vậy, ta nói xác suất để biến số động lực có giá trị nằm khoảng khơng thể nói giá trị xác định biến số động lực thời điểm học cổ điển

Vì có khác biệt nói nên học lượng tử biến số động lực mô tả số học cổ điển Chúng ta phải tìm cách mơ tả khác thể đặc tính quy luật lượng tử Những nghiên cứu tốn tử cho thấy dùng cơng cụ tốn học để mơ tả biến số động lực học lượng tử Chúng ta thừa nhận số giả thiết nội dung cách mô tả tiên đề Những tiên đề khơng có mâu thuẩn cho kết phù hợp với thực nghiệm

1.2.1 Tiên đề 1: Trạng thái thông tin

" Trạng thái vật lý hệ lượng tử tương ứng với hàm sóng chuẩn hố." Ta ký hiệu ψ(x, t) hàm sóng hệ lượng tử thời điểmt vị trí toạ độ x ( hay ứng với biến động lực x)

Hàm sóng chuẩn hoá hψ(x, t)|ψ(x, t)i=

Z

V

ψ(x, t)∗ψ(x, t)dx= (1.14) Như vậy, ψ(x, t) cψ(x, t) chung trạng thái c∗c=|c|2 = 1.

1.2.2 Tiên đề 2: Các đại lượng động lực

"Tương ứng với đại lượng động lực A học lượng tử toán tử hermitic

ˆ

A."

Vì giá trị số biến động lực thực nên trị riêng tốn tử tương ứng với biến động lực phải thực, tốn tử tương ứng với biến động lực phải hermitic Tốn tử Aˆ hermitic nên có hệ đủ vectơ riêng trực giao chuẩn hoá {ψi(x, t)} tương ứng

với phổ trị riêng thực {ai}, i= 1,2, , n Theo đó, trạng thái hệ lượng tử khai triển theo hàm riêng sau:

ψ(x, t) =

n

X

i=1

ciψi(x, t) (1.15)

1.2.3 Tiên đề 3: Phép đo đại lượng động lực

đo biến động lực A thu giá trịai |ci|2 =pi Rõ ràng n

X

i=1 pi =

n

X

i=1

|ci|2 = (1.16)

được suy từ tính chất trực giao, chuẩn hố hàm riêng

Như phép đo làm nhiễu loạn trạng thái Nếu ψ(x) =ψi(x), ta có

ˆ

Aψ(x) = ˆAψi(x) = aiψi(x) với xác suất |ci|2 =pi =

Chú ý theo tiên đề

(i) Khơng thể tiên đốn xác kết phép đo đại lượng động lực hệ vi mơ có trạng thái ψ(x) hồn tồn xác định

(ii) Nếu tiến hành hai phép đo riêng biệt giống hệ có trạng thái ban đầu trước lần đo ψ(x)hoàn tồn giống kết hai lần đo không thiết phải trùng

Ta chấp nhận “tính khơng tiên đốn được” tính “khơng đồng nhất” q trình đo thuộc tính vốn có tự nhiên

Trong trường hợp phổ trị riêng liên tục

ψ(x) =

Z

a

c(a)ψa(x)da (1.17)

và xác suất dW(a) để đại lượngA có giá trị khoảng từ a đến a+da

dW(a) = |c(a)|2da. (1.18)

1.2.4 Giá trị trung bình biến số động lực

Xét biến số động lực A có tốn tử hermitic tương ứng Aˆ, trị trung bình A trạng thái ψ(x)ứng với trường hợp phổ trị riêng gián đoạn {ai}

A =

n

X

i=1

piai = n

X

i=1

ai|ci|2 =

Z

V

ψ∗(x) ˆAψ(x)dx (1.19)

Z

V

ψ∗(x) ˆAψ(x)dx=

Z

V

X

i

X

j

c∗iψi∗(x) ˆAcjψj(x)dx

=X

i

X

j c∗icj

Z

V

ψi∗(x) ˆAψj(x)dx

=X

i

X

j

c∗icjaj

Z

V

ψ∗i(x)ψj(x)dx

=X

i

X

j

c∗icjajδij

=X

i

|ci|2ai

Trường hợp phổ trị riêng liên tục, ta có

A =

Z

a

adW(a) =

Z

a

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở học lượng tử 10

1.2.5 Tính hệ số phân tích ci

Theo tiên đề 3, muốn tính xác suất để đo A giá trị ta phải xác định cho

được hệ số phân tích ci Muốn vậy, ta nhân lượng liên hiệp phức hàm riêng ψi(x) ψi∗(x) với hàm sóngψ(x) lấy tích phân theo biến sốx, ta

Z

V

ψi∗(x)ψ(x)dx=X

k

Z

V

ψi∗(x)ckψk(x)dx=

X

k

ckδik =ci, (1.20)

giá trị ci hoàn toàn xác định với sai số nhân

1.3 Sự đo đồng thời hai đại lượng vật lý

1.3.1 Sự đo xác đồng thời hai đại lượng vật lý

Xét hai biến số động lựcL M biểu diễn hai toán tửLˆ Mˆ Hệ trạng thái biểu diễn hàm sóng ψ mà đỡ rườm rà ta hiểu ngầm hàm theo biến số x Chúng ta xét điều kiện hai biến động lực đo xác đồng thời Theo tiên đề 3, muốn cho biến động lực Lcó giá trị xác định thìψ =ψL,k hàm

riêng Lˆ ứng với trị riêng Lk Nghĩa

ˆ

Lψ = ˆLψL,k=LkψL,k

Ta đo đồng thời đại lượng M với L, tức lúc hệ trạng thái ψ =ψL,k Muốn cho M có giá trị xác địnhMk ψ phải hàm riêng Mˆ, nghĩa ψ =ψM,k Theo

ˆ

M ψ = ˆM ψM,k =MkψM,k

Như vậy, hai toán tử Lˆ Mˆ phải có chung hàm riêng:

ψ =ψL,k =ψM,k

Đây điều kiện để đồng thời đo xác hai đại lượng động lực L M Và ta rút định lý sau:

“Điều kiện có đủ để hai đại lượng động lực đo đồng thời toán tử tương ứng chúng giao hoán với nhau.”

Chúng ta chứng minh định lý sau

a) Điều kiện có: Nếu L,ˆ Mˆ có chung hàm riêng ψk hai tốn tử L,ˆ Mˆ giao

hốn với Ta có

ˆ

LM ψˆ k = ˆL

ˆ

M ψk

=MkLψˆ k=MkLkψk,

ˆ

MLψˆ k= ˆM

ˆ

Lψk

=LkM ψˆ k=LkMkψk

Suy

ˆ

hay

ˆ

LMˆ −MˆLˆψk = =⇒LˆMˆ −MˆLˆ = =⇒LˆMˆ = ˆML.ˆ

Rõ ràng Lˆ Mˆ giao hoán với

a) Điều kiện đủ: Nếu hai toán tử giao hoán chúng có chung hàm riêng Gọi ϕ hàm riêng củaLˆ, nghĩa

ˆ

Lϕ =Lϕ,

ˆ

MLˆϕ = ˆMLϕˆ = ˆM(Lϕ) =LM ϕˆ

Vì Mˆ Lˆ giao hốn nên

ˆ

MLˆ

ϕ =

ˆ

LMˆ

ϕ=L

ˆ

M ϕ

Rõ ràng ψ ≡M ϕˆ hàm riêng toán tử Lˆ với trị riêng L Như vậy, ψ ϕ

đều hàm riêng Lˆ với trị riêng L Khi khơng có suy biến chúng trùng nhau, hàm riêng toán tử hermitic xác địng sai số nhân nên

ψ =hằng số.ϕ,

hay M ϕˆ =hằng số.ϕ=M.ϕ, nghĩa ϕ hàm riêng toán tử Mˆ

1.3.2 Phép đo hai đại lượng động lực không xác định đồng thời. Nguyên lý bất định Heisenberg.

Trong trường hợp tổng quát hai toán tửL,ˆ Mˆ theo thứ tự biểu diễn hai đại lượng động lựcL, M không giao hốn với khơng thể đo xác đồng thời L

và M Bây ta xét xem đo đồng thời hai biến động lực độ xác đạt đến mức

Do Lˆ Mˆ tốn tử hermitic khơng giao hoán với nên

h

ˆ

L,Mˆi=iP ,ˆ (1.21)

trong Pˆ toán tử hermitic, Pˆ 6=

Gọi Lvà M trị trung bình L M trạng thái ψ(x) Xét độ lệch

∆L=L−L; ∆M =M −M (1.22)

Những đại lượng theo thứ tự biểu diễn toán tử hermitic

d

∆L= ˆL−L; ∆dM = ˆM −M (1.23)

Ta có giao hoán tử

h d

∆L,∆dM i

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở học lượng tử 12 Xét tích phân:

I(α) =

Z

V

|αd∆L−i∆dM

ϕ|2dx≥0 (1.25)

trong α thơng số thực, tích phân lấy tồn miền biến thiên V x

I(α) =

Z

V

h

(αd∆L−i∆dM)ϕ i∗

(αd∆L−i∆dM)ϕdx

=

Z

V

ϕ∗(αd∆L−i∆dM)+(α∆dL−i∆dM)ϕdx

vì tính chất hermitic, ∆dL= d∆L

+

, ∆dM = ∆dM

+

, (α∆dL−i∆dM)+ =αd∆L+i∆dM,

nên

I(α) =

Z

V

ϕ∗αd∆L+i∆dM)(αd∆L−i∆dM

ϕdx I(α) =

Z

V

ϕ∗hα2d∆L

2

−iαd∆L∆dM −∆dMd∆L

+∆dM

2i

ϕdx I(α) =

Z

V

ϕ∗α2d∆L

2

−iαh∆dL,∆dM i

+∆dM

2

ϕdx

theo (1.24),

I(α) =

Z

V

ϕ∗α2d∆L

2

+αPˆ+∆dM

2

ϕdx, suy

I(α) =α2∆L2+αP + ∆M2 ≥0.

Muốn cho I(α)≥0 tam thức bậc hai theoα phải có biệt thức ∆ =P2−4∆L2 ∆M2≤0, nghĩa là

∆L2 ∆M2≥ P

4 hay

∆L2 ∆M2≥

h

ˆ

L,Mˆi

2

4 (1.26)

Đây công thức cho độ bất định đo đồng thời hai biến động lực L M, gọi hệ thức bất định Heisenberg Đặt

∆L=p∆L2,∆M =p∆M2, (1.27)

hệ thức bất định viết dạng khác

∆L.∆M ≥

P

2 hay ,∆L.∆M ≥

h

ˆ

L,Mˆ

i

2 (1.28)

Ví dụ: Nếu chọn Lˆ = ˆx=x:tốn tử toạ độ, ˆ

M = ˆpx =−i~ ∂

thì

[ˆx,pˆx] =i~,

suy hệ thức bất định Heisenberg cho toạ độ xung lượng ∆x.∆px ≥ ~

2 (1.29)

Như ta đồng thời đo xác toạ độ xung lượng hạt vi mô Sai số mắc phải đo tuân theo hệ thức bất định Heisenberg (1.29)

Ý nghĩa vật lý: Việc khơng đo xác đồng thời toạ độ xung lượng hạt vi mơ chứng tỏ lưỡng tính sóng hạt Hạt vi mơ khơng có quỹ đạo xác định Đó thực tế khách quan chất vật khơng phải khả hiểu biết vật ta bị hạn chế máy đo xác Và hệ thức bất định biểu thức tốn học lưỡng tính sóng hạt hạt vi mơ

1.4 Phương trình Schrõdinger

1.4.1 Phương trình Schrõdinger phụ thuộc thời gian

Trong học lượng tử, lưỡng tính sóng hạt đối tượng vi mô nên trạng thái hạt đặc trưng hàm sóng ψ(~r, t).Vì vậy, cần có phương trình mơ tả diễn biến hàm trạng thái theo thời gian Phương trình Schrõdinger đưa năm 1926 gọi phương trình Schrõdinger phụ thuộc thời gian

i~∂ψ(~r, t)

∂t = ˆHψ(~r, t), (1.30)

trong Hˆ Hamiltonian hệ ˆ

H = ˆT + ˆU =−~

2

2m∇

2+U(~r, t) (1.31)

Đây phương trình vi phân hạng hai theo không gian hạng theo thời gian Về nguyên tắc để tìm nghiệm phương trình, ta phải biết hàm sóng thời điểmt0 (điều

kiện đầu) biết hai điều kiện biên liên quan đến toạ độψ(x0, t0) =ψ0, dψ(x,t)dx

x=x

0 =ψ

0

0

1.4.2 Mật độ dòng xác suất Sự bảo toàn số hạt

Để đơn giản, ta viết tắt ψ, ψ∗ theo thứ tự thay cho ψ(~r, t), ψ∗(~r, t) Từ phương trình (1.30), ta suy phương trình liên hiệp phức

−i~∂ψ

∗

∂t = ˆHψ

∗ ˆ

H = ˆH+

(1.32)

Nhân ψ∗ cho hai vế (1.30) phía trái nhânψ cho hai vế (1.32) phía trái trừ cho vế theo vế, ta

i~

ψ∗∂ψ ∂t +ψ

∂ψ∗ ∂t

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở học lượng tử 14 Thay Hˆ =−(~2/2m)∇2+ ˆU và lưu ý (∂/∂t)(ψ∗ψ) =ψ∗(∂ψ/∂t) +ψ(∂ψ∗/∂t), ta có

i~∂ ∂t(ψψ

∗

) = −~

2

2m ψ

∗∇2

ψ−ψ∇2ψ∗, (1.34)

mà

∇(ψ∗∇ψ−ψ∇ψ∗) =∇ψ∗∇ψ+ψ∗∇2ψ− ∇ψ∇ψ∗−ψ∇2ψ∗,

nên ta viết lại (1.34) sau

∂ ∂t(ψψ

∗

) + i~

2m∇(ψ∇ψ

∗−

ψ∗∇ψ) = (1.35) Đặt

ρ≡ψ∗ψ =|ψ|2 (1.36)

là mật độ xác suất tìm thấy hạt toạ độ~r thời điểm t Và

~j(~r, t) = i~

2m(ψ∇ψ

∗−

ψ∗∇ψ) (1.37)

là vectơ mật độ dòng xác suất Độ lớn của~j(~r, t)có ý nghĩa dịng hạt trung bình qua đơn vị diện tích đặt vng góc với phương chuyển động đơn vị thời gian

Theo phương trình (1.35) có dạng phương trình liên tục mơ tả định luật bảo tồn số hạt vi mô:

∇~j+ ∂ρ

∂t = (1.38)

1.4.3 Phương trình Schrõdinger khơng phụ thuộc thời gian Trạng thái dừng.

Ta xét hạt vi mô chuyển động trường thếUˆ(~r) không biến thiên theo thời gian có lượng khơng thay đổi theo thời gian GọiE giá trị lượng hạt ta ký hiệu ψE(~r) hàm sóng ứng với trạng thái có lượng E Ta viết

phương trình trị riêng lượng sau ˆ

HψE(~r) = EψE(~r) (1.39)

với Hˆ = (−~2/2m)∇2+ ˆU(~r) nên ta viết (1.39) dạng khác:

−~

2

2m∇

2+ ˆU(~r)

ψE(~r) = EψE(~r) (1.40)

Trong trường hợp hàm sóng ψE(~r, t) = ψE(~r).f(t) viết dạng phân ly

biến số Theo đó, phương trình Schrõdinger (1.30), với lưu ýHˆ không phụ thuộc tường minh vào thời gian t, viết lại

ψE(~r)i~ ∂f

∂t =f(t) ˆHψE(~r) ⇔

i~∂f∂t f(t) =

ˆ

HψE(~r) ψE(~r)

Như vậy, ta có hai phương trình độc lập

i~∂f

∂t =E.f(t), (1.41)

ˆ

HψE(~r) = E.ψE(~r) (1.42)

Phương trình (1.41) cho ta nghiệm

f(t) =Ce−~iEt (1.43)

Còn (1.42) phương trình cho ta hàm riêng trị riêng toán tử lượng Giả sử lượng hệ có giá trị gián đoạnEn, n= 0,1,2, , lúc ta viết lại (1.42) sau

ˆ

Hψn(~r) =En.ψn(~r) (1.44)

trong ψn(~r) viết tắt củaψEn(~r) Như vậy, nghiệm riêng đầy đủ hạt vi mơ ứng với

trạng thái dừng có lượng hoàn toàn xác địnhEn

ψn(~r, t) =ψn(~r)e−~iEnt (1.45)

Nghiệm tổng quát phương trình Schrõdinger trạng thái dừng trường hợp phổ gián đoạn

ψ(~r, t) = X

n

cne−~iEntψn(~r) =

X

n

Cn(t)ψn(~r), với Cn(t)≡cne−~iEnt (1.46)

Trường hợp phổ trị riêng liên tục, hàm sóng có dạng

ψ(~r, t) =

Z

cEe−~iEtψE(~r)dE =

Z

CE(t)ψE(~r)dE, với CE(t)≡cEe−~iEt (1.47)

Các hệ số cn, cE xác định từ điều kiện đầu

Nói tóm lại, hệ lượng tử trạng thái dừng có tính chất sau:

a) Hàm sóng phụ thuộc thời gian trạng thái dừng xác định đơn trị giá trị lượng trạng thái

b) Ở trạng thái dừng, mật độ xác suất mật độ dịng xác suất khơng phụ thuộc vào thời gian

c) Ở trạng thái dừng, trị trung bình đại lượng động lực có tốn tử tương ứng khơng phụ thuộc rõ rệt vào thời gian khơng đổi theo thời gian

d) Xác suất đo giá trị đại lượng động lực trạng thái dừng không phụ thuộc thời gian

Nghiệm phương trình Schrõdinger khơng phụ thuộc thời gian có tính chất sau:

a) Hàm ψ(~r, t)phải đơn trị

b) Hàmψ(~r, t)phải liên tục Trong trường hợp năngU(~r)gián đoạn hàm sóng

ψ(~r, t) đạo hàm liên tục điểm gián đoạn Tuy nhiên, miền mà U → ∞ hàm sóng đạo hàm gián đoạn

c) Nếu U không tiến đến vô hàm sóng ψ(~r) phải hữu hạn tồn không gian Điều thoả mãn trường hợp U → ∞ điểm không nhanh (U ∼

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.1: Cơ sở học lượng tử 16 1.5 Sự biến đổi theo thời gian đại lượng động

lực

1.5.1 Đạo hàm toán tử động lực theo thời gian

Ta có trị trung bình đại lượng động lực L trạng thái ψ(x)

L=

Z

ψ∗(x) ˆLψ(x)dx, (1.48) x bao gồm tất biến số vàψ(x) chuẩn hố Tốn tửLˆ phụ thuộc thời gian nên L phụ thuộc thời gian Ta tính đạo hàm trị trung bình L theo thời gian

dL dt =

Z

ψ∗(x)∂ ˆ

L

∂tψ(x)dx+

Z

∂ψ∗(x)

∂t

ˆ

Lψ(x)dx+

Z

ψ∗(x) ˆL∂ψ(x)

∂t dx (1.49)

Lưu ý rằng, theo phương trình Schrõdinger (1.30), ta có

∂ψ(x)

∂t =−

i

~

ˆ

Hψ(x) ∂ψ ∗(x)

∂t =

i

~

ˆ

Hψ∗(x), (1.50) phương trình (1.49) viết lại

dL dt =

Z

ψ∗(x)∂Lˆ

∂tψ(x)dx+

Z

i

~

ˆ

Hψ∗(x)

ˆ

Lψ(x)dx+

Z

ψ∗(x) ˆL

−i

~

ˆ

Hψ(x)

dx, dL

dt =

Z

ψ∗(x)∂ ˆ

L

∂tψ(x)dx+ i

~ Z

ˆ

Hψ(x) ∗

ˆ

Lψ(x)dx−

Z

ψ∗(x) ˆLHψˆ (x)dx

, dL

dt =

Z

ψ∗(x)∂ ˆ

L

∂tψ(x)dx+ i

~ Z

ψ∗(x)HˆLˆ−LˆHˆψ(x)dx

, dL

dt =

Z

ψ∗(x)

(

∂Lˆ ∂t +

i

~ h

ˆ

H,Lˆ

i )

ψ(x)dx (1.51)

Ta định nghĩa đạo hàm toán tử Lˆ theo thời gian dL/dtˆ toán tử xác định cho dL dt = dL dt = Z

ψ∗(x) d ˆ

L dt

!

ψ(x)dx (1.52)

Đối chiếu (1.52) với (1.51), ta thu công thức đạo hàm toán tử theo thời gian, gọi phương trình Heisenberg:

dLˆ dt =

∂Lˆ ∂t +

i

~ h

ˆ

H,Lˆi (1.53)

(dL/dtˆ ) = 0, đại lượng L khơng thay đổi theo thời gian tích phân chuyển động Dựa vào phương trình Heisenberg (1.53), L tích phân chuyển động

∂Lˆ ∂t +

i

~ h

ˆ

H,Lˆi= (1.54)

Trường hợp đặc biệt đáng ý: Lˆ không phụ thuộc tường minh vào thời gian, ta có (∂L/∂tˆ ) = 0, phương trình (1.54) trở thành

h

ˆ

H,Lˆi= 0, (1.55)

nghĩa tốn tử Lˆ khơng phụ thuộc rõ rệt vào thời gian giao hoán với toán tử lượng Hˆ đại lượng động lựcL tương ứng tích phân chuyển động

Theo (1.52), L tích phân chuyển động (dL/dt) = hay L = const.: trị trung bình tích phân chuyển động khơng phụ thuộc thời gian

Ta chứng minh xác suất p(Ln, t) để tích phân chuyển động L có giá trị

Ln khơng phụ thuộc vào thời gian Thực vậy, L,ˆ Hˆ giao hoán với nên chúng có hàm

riêng chung ψn(x)

ˆ

Lψn(x) = Lnψn(x) Hψnˆ (x) =Enψn(x), ψ(x, t) =X

n

Cn(t)ψn(x), Cn(t) = cne− i

~Ent =Cn(0)e− i ~Ent

Theo tiên đề học lượng tử

p(Ln, t) =|Cn(t)|2 =|Cn(0)|2 =const

18

Chương 2

Một số phương pháp gần trong cơ học lượng tử

Bài toán học lượng tử giải phương trình Schrõdinger ˆ

Hψ =Eψ ⇔

−~

2

2m∇

+U(~r, t)

ψ =Eψ

để tìm nghiệm E ψ Nghiệm xác phương trình tìm số tương đối nhỏ trường hợp đơn giản Sự phức tạp việc giải phương trình phụ thuộc vào dạng số chiều không gian toán cần giải Phần lớn toán học lượng tử dẫn tới phương trình phức tạp dạng tốn học, khơng thể giải xác Do phải ứng dụng phương pháp gần để giải toán, nghĩa phải tìm cách giải gần hàm riêng trị riêng Gần đây, có xuất máy tính điện tử nên phương pháp giải gần số toán học lượng tử có tầm quan trọng

Trong chương này, khảo sát phương pháp gần thường dùng học lượng tử, lý thuyết nhiễu loạn Thuật ngữ “nhiễu loạn” vay mượn thiên văn học để ảnh hưởng hành tinh lên quỹ đạo hành tinh khác Nội dung phương pháp nhiễu loạn khảo sát sau

Giả sử Hamiltonian hệ vi mơ xét có dạng ˆ

H = ˆH0+ ˆV , (2.1)

trong Vˆ tốn tử hiệu nhỏ (tốn tử nhiễu loạn) cho tốn tử “khơng nhiễu loạn” ˆ

H0 Điều kiện để coi Vˆ “nhỏ” so với Hˆ0 nói sau Để xác định, ta xét trường hợp phổ

gián đoạn Giả thiết tốn tìm hàm riêngψn(0), trị riêngEn(0) tốn tử khơng nhiễu loạn

ˆ

H0 từ phương trình

ˆ

H0ψ(0)n =E (0) n ψ

(0)

n (2.2)

đã giải xác Bây cần phải tìm nghiệm gần phương trình ˆ

Hψ =Hˆ0+ ˆV

ψ =Eψ, (2.3)

nghĩa phải tìm biểu thức gần cho hàm riêng ψn trị riêng En toán

2.1 Nhiễu loạn dừng trường hợp không suy biến Trong tiết này, giả thiết tất trị riêng Hˆ khơng suy biến, tìm nghiệm (2.3) dạng khai triển theo hàm riêng trực giao chuẩn hoá toán tử

ˆ

H0

ψ =X

k Ckψ

(0)

k (2.4)

Thay (2.4) vào (2.3), có xét đến (2.2), ta thu

X

k Ck

Ek(0)+ ˆVψk(0) =X

k

CkEψ (0) k

Nhân hai vế đẳng thức tìm với ψm(0)∗ lấy tích phân theo toàn miền

biến độc lập, đồng thời xét đến tính trực giao chuẩn hố hàm ψ(0)k , ta

Cm E−Em(0)=X

k

VmkCk, m = 1,2,3, (2.5)

trong

Vmk =

Z

V

ψm(0)∗(x) ˆV ψk(0)(x)dx (2.6) phần tử ma trận toán tử nhiễu loạn tính theo hàm sóng tốn khơng nhiễu loạn Hệ phương trình (2.5) hồn tồn tương đương với phương trình (2.3) Nó phương trình Schrõdinger biểu diễn lượng Bây giờ, ta sử dụng giả thiết coi toán tử Vˆ nhỏ theo nghĩa mức lượng hàm sóng tốn nhiễu loạn gần với giá trị tương ứng tốn khơng nhiễu loạn Vì thế, ta tìm chúng dạng chuỗi với tham số bé

En = En(0)+En(1)+2En(2)+ (2.7)

Cm = Cm(0)+Cm(1)+2Cm(2)+ (2.8)

và Vmn =vmn, Vˆ =vˆ (2.9)

Chúng ta tìm hiệu cho mức lượng thứ n hàm sóng tương ứng toán nhiễu loạn Ta xét gần cấp không, tức không nhiễu loạn ( ˆV = 0), ta có Hˆ = ˆH0 = 0, hàm sóng ψn=ψ

(0)

n , nghĩa ψn =ψ(0)n =

X

k

Ck(0)ψk(0) =ψn(0)=⇒Ck(0) =δkn (2.10)

và E =En=En(0), En=En(0)+E (1) n +

2E(2)

n + (2.11)

Thay (2.10) (2.11) vào (2.5) với lưu ýE =En, ta có δmn+Cm(1)+2Cm(2)+

En(0)−Em(0)+En(1)+2En(2)+ =

X

k vmk

δkn+C (1) k +

2C(2) k +

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 20 Hay

δmn En(0)−Em(0)

+δmnEn(1)+Cm(1) En(0)−Em(0)

−vmn

+2

"

δmnEn(2)+C (1) m E

(1) n +C

(2)

m E

(0) n −E

(0) m

−X

k

vmkC (1) k

#

+ =

Suy ra, ta có phương trình

δmnEn(1)+Cm(1) En(0)−Em(0)−vmn= 0, (2.13)

δmnEn(2)+C (1) m E

(1) n +C

(2)

m E

(0) n −E

(0) m

−X

k

vmkC (1)

k = (2.14)

Phương trình (2.13) cho

Khi m=n, ta thu En(1) =vnn, (2.15)

Khi m 6=n, ta thu Cm(1) = vmn

En(0)−Em(0)

(2.16)

Phương trình (2.14) cho ta m =n En(2) =Cn(1) vnn−En(1)

+X

k6=n vnkC

(1)

k =

X

k6=n vnkC

(1) k

vì theo (2.15) vnn =En(1)

Vận dụng (2.15) (2.16), ta suy

En(2) =X

k6=n

vnkvkn En(0)−Ek(0)

=X

k6=n

|vnk|2 En(0)−Ek(0)

(2.17)

Còn m6=n, (2.14) cho

Cm(2) En(0)−Em(0)=−Cm(1)En(1)+X

k

vmkC (1) k

Lưu ý (2.15) (2.16), ta thu

Cm(2) =− vnnvmn

En(0)−Em(0)

2 +

Cn(1)vmn En(0)−Em(0)

+X

k6=n

vmkvkn

En(0)−Em(0) En(0)−Ek(0)

Bây ta tìm giá trị Cn(1) Cn(2) Chúng thu từ điều kiện chuẩn hố có

xét đến (2.4)

Z

V

ψ∗(x)ψ(x)dx= ⇔ X

k

Thay khai triển (2.7) (2.8) vào (2.18), ta thu

X

k

|δkn+C (1) k +

2C(2) k |

2 = 1.

X

k

δkn+C (1)∗

k +

2C(2)∗

k δkn+C

(1) k +

2C(2) k

=

X

k

n

δkn+δkn

Ck(1)∗+Ck(1)+2hδkn

Ck(2)∗+Ck(2)+|Ck(1)|2io= 1.

Cân đại lượng cấp độ bé vế trái vế phải rút

Cn(1)∗+Cn(1) = Cn(2)∗+Cn(2)+X

k

|Ck(1)|2 = 0.

(2.19) Từ hệ thức (2.19), suy phần tử ảo hệ số khai triển Cn(1), Cn(2)

đại lượng tuỳ ý Do đó, khơng hạn chế tính tổng quát, ta chọn chúng thực có giá trị

Cn(1) = Cn(2) =−1

X

k

|Ck(1)|2 =−1

X

k6=n

|vkn|2

En(0)−Ek(0)

2 (2.20)

Theo giá trị Cm(2) trở thành Cm(2) =− vnnvmn

En(0)−Em(0)

2 + X

k6=n

vmkvkn

En(0)−Em(0) En(0)−Ek(0)

(2.21)

Như lượng hệ nhiễu loạn viết đến mức độ xác cấp hai

En=En(0)+vnn+2

X

k6=n

|vnk|2 En(0)−Ek(0)

, (2.22)

dựa vào (2.9), ta có

En =En(0)+Vnn+

X

k6=n

|Vnk|2 En(0)−Ek(0)

(2.23)

Cịn hàm sóng viết đến mức độ xác cấp

ψn=ψ(0)n +

X

k6=n

vkn En(0)−Ek(0)

ψ(0)k =ψn(0)+X

k6=n

Vkn En(0)−Ek(0)

ψk(0) (2.24)

Biểu thức (2.24) cho thấy số hạng hiệu cấp thật bé (|Vkn|/|E (0)

n −

Ek(0)|)1, nghĩa điều kiện “toán tử Vˆ nhỏ” |Vkn| |En(0)−E

(0)

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 22 2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng trường hợp có suy

biến

2.2.1 Lý thuyết nhiễu loạn có hai mức gần nhau

Từ cơng thức (2.23) (2.24), ta thấy số trị riêng En(0)

ˆ

H0 có hai mức lượng gần hiệu cho hàm sóng mức lượng En(0) lớn ta khơng dùng cơng thức Tuy nhiên, số trị riêng

gần lân cận mức n Hˆ0 khơng nhiều thay đổi phương pháp tính cho

cả trường hợp khử xuất số hiệu lớn Chúng ta xét trường hợp đơn giản có hai mức lượng gần

Giả sử Hˆ0 có hai trị riêng E (0) E

(0)

2 gần nhau, tương ứng với hàm riêng ψ (0)

và ψ(0)2 , tất trị riêng khác xa chúng Trong phép tính gần cấp khơng, ta tìm nghiệm dạng

ψ(0) =aψ(0)1 +bψ(0)2 (2.26)

Thay giá trị ψ(0) vào phương trình ˆ

Hψ(0) =Eψ(0), Hˆ = ˆH0+ ˆV ,

chúng ta thu

aHψˆ 1(0)+bHψˆ 2(0) =Eaψ(0)1 +bψ2(0) (2.27) Nhân (2.27) với ψ1(0)∗ lấy tích phân, ta

aH11+bH12=aE; H11 =

Z

V

ψ(0)1 ∗Hψˆ 1(0)dx, H12 =

Z

V

ψ(0)1 ∗Hψˆ 2(0)dx (2.28) Tương tự với ψ(0)2 ∗, ta

aH21+bH22 =bE; H21=

Z

V

ψ2(0)∗Hψˆ (0)1 dx, H22=

Z

V

ψ2(0)∗Hψˆ (0)2 dx (2.29) Ta có:

Hmn =

Z

V

ψm(0)∗Hψˆ n(0)dx=En(0)δmn+Vmn (2.30)

Hai phương trình (2.28) (2.29) biến đổi thành

(

(H11−E)a+H12b = H21a+ (H22−E)b =

(2.31) Để cho hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường (a 6= 0, b 6= 0), định thức phải khơng, nghĩa

Giải phương trình ta thu nghiệm

          

E1 = 12

H11+H22+

q

(H11−H22)2 + 4|H12|2

E2 = 12

H11+H22−

q

(H11−H22)2+ 4|H12|2

,

(2.33)

trong ta lưu ý H12=H21∗ Hˆ tốn tử hermitic

Ta xét hai biểu thức (2.33) hai trường hợp giới hạn Nếu H11−H22 |H12|, theo (2.30) có nghĩa

E1(0)+V11

−E2(0)+V22

≈

E

(0) −E

(0)

|V12|

Như vậy, điều kiện (2.25) thoả mãn lý thuyết nhiễu loạn tiết trước ứng dụng Nếu phép gần ta bỏ qua 4|H12|2 số hạng số

bậc hai (2.33), ta có giá trị gần cấp phép nhiễu loạn thông thường:

E1 =H11 =E (0)

1 +V11; E2 =H22 =E (0)

2 +V22

Trong phép gần xác hơn, nghĩa là√1 +≈1 +/2, ta thu

E1 =

1

H11+H22+H11−H22+

2|H12|2 H11−H22

,

E1 =H11+

|H12|2 H11−H22

=E1(0)+V11+

|V12|2 E1(1)−E2(1)

(2.34)

Tương tự, ta có

E2 =E (0)

2 +V22−

|V21|2 E1(1)−E2(1)

, (2.35)

trong Ei(1) =Ei(0)+Vii, i= 1,2

2 Nếu H11−H22 |H12|, trường hợp này, với độ xác đến số hạng

có độ bé cấp

E1,2 =

H11+H22

2 ±

(

|H12|+

(H11−H22)

8|H12|

)

(2.36)

Chúng ta nghiên cứu xem hiệu giá trị lượng xác định công thức (2.33) hiệu H11−H22 có quan hệ với Muốn vậy, đặt:

H11=H0+γx; H22=H0−γx (2.37)

Trong γ hệ số khơng đổi, x biến độc lập Theo đó:

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 24 Tiến hành phép thay tương ứng (2.33), kết thu sau:

(

E1 =H0+

p

γ2x2+|H 12|2 E2 =H0−

p

γ2x2+|H 12|2

(2.38) Trên hình vẽ 2.1 có biểu diễn đồ thị hàm (2.38) (đường liền nét) hàm (2.37) (đường chấm chấm) ứng với giá trị cố định |H12| Hiệu

các tung độ đường liền nét đường chấm chấm gần cho ta hiệu cấp hai giá trị lượng Để ý rằng, hiệu cấp hai làm tăng khoảng cách mức Vì đơi người ta gọi “sự đẩy mức”, hiểu làm tăng khoảng cách mức gần nhau, xuất có xét đến số hạng bị bỏ qua Hamiltonian toán đơn giản hố Trong hình 2.1, ta nhận thấy hiệu H11−H22=

E1−E2 = 2|H12|= 2|V12|

Bây ta tìm hàm sóng ψ tương ứng với lượng E1 E2 Muốn vậy, cần

xác định hệ số a b cơng thức (2.26) Từ (2.31), ta có

a

b =

H12 E−H11

Thế giá trị E E1 E2 xác định biểu thức (2.33)

a

b

1,2

= 2H12 (H11−H22)

(

−1±

r

1 +h 2H12

H11−H22

i2

), (2.39)

các số theo thứ tự ứng với dấu + − đứng trước dấu Đặt tg2α = 2H12

cơng thức (2.39) có dạng

a

b

1,2

= tg2α

−1±p1 +tg22α

Từ rút

a

b

1

=cotgα, a b

2

=−tgα (2.41)

Hệ thức chuẩn hố cho hàm sóng (2.26) u cầu

a2+b2 = 1, (2.42)

hai phương trình (2.41) (2.42) cho ta rút

a1 = cosα, b1 = sinα; a2 =−sinα, b2 = cosα (2.43)

Thay kết vào công thức (2.26), ta thu hàm sóng chuẩn hố tương ứng với giá trị lượng E1 E2:

(

ψ1 = ψ

(0)

1 cosα+ψ (0) sinα ψ2 =−ψ

(0)

1 sinα+ψ (0) cosα

(2.44) Theo (2.40) bất đẳng thức H11−H22 |H12|, nghiệm tg2α ≈0,

do

ψ1 =ψ (0)

1 , ψ2 =ψ (0) ,

nghĩa hàm trùng với hàm ban đầu Khi bất đẳng thức H11−H22 |H12|,

được thoả mãn tg2α≈ ∞, nghĩa α =π/4, công thức (2.44) trở thành

  

ψ1 = √12

ψ1(0)+ψ2(0) ψ2 =−√12

ψ1(0)−ψ2(0)

Từ điều nói trên, suy số giá trị lượng E1, E2, E (0) , E

(0) ,

khơng có giá trị gần Do dùng giá trị hàm tương ứng chúng ψ1, ψ2, ψ

(0) , ψ

(0)

4 , làm đại lượng gần cấp không cần tính hàm

sóng ψ theo cơng thức (2.24) phép tính gần cấp hiệu cho lượng phép gần cấp hai theo công thức (2.23)

Phương pháp dùng E1 =E2, nghĩa có mức suy biến

bậc hai với hai hàm ψ(0)11 ψ(0)12 Tất công thức đúng, hiểu ψ(0)1

ψ11(0) ψ2(0) làψ(0)12

2.2.2 Lý thuyết nhiễu loạn dừng có suy biến:

Để đơn giản, ta xét trực tiếp trường hợp suy biến bội hai Cụ thể mức lượng En hệ tương ứng với hai hàm sóngψn1 ψn2 độc lập tuyến tính với Ta có

thể chọn cho ψn1, ψn2 trực chuẩn Với n xác định, ta giả thiết

Z

V

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 26 Gọi Hˆ Hamiltonian hệ,

ˆ

H = ˆH0+ ˆV (2.46)

Ta cần tìm trị riêngE hàm riêng ψ Hˆ, nghĩa phải tìm nghiệm phương trình ˆ

Hψ =Eψ (2.47)

Do có suy biến bội hai nên phương trình (2.47) viết

(

ˆ

H0ψ (0) n1 =E

(0) n ψ(0)n1

ˆ

H0ψ (0) n2 =E

(0) n ψ(0)n2

(2.48) Ta tìm E ψ với điều kiện trực chuẩn (2.45) Biểu diễn hàm ψ dạng tổ hợp tuyến tính

(

ψ =C1ψ (0)

n1 +C2ψ (0) n2 E =En(0)+E(1)

(2.49) Thay (2.49) vào (2.47) vận dụng (2.46), (2.48), ta

ˆ

H0+ ˆV C1ψ (0)

n1 +C2ψ (0) n2

= En(0)+E(1)C1ψ (0)

n1 +C2ψ (0) n2

, C1V ψˆ

(0)

n1 +C2V ψˆ (0)

n2 =C1E(1)ψ (0)

n1 +C2E(1)ψ (0) n2

Nhân hai vế đẳng thức với ψ(0)nα∗, vớiα = 1,2, lấy tích phân tồn miền giá trị

của x, ta

C1

Z

V

ψnα(0)∗V ψˆ (0)n1dx+C2

Z

V

ψnα(0)∗V ψˆ n2(0)dx=

C1E(1)

Z

V

ψ(0)nα∗ψn1(0)dx+C2E(1)

Z

V

ψnα(0)∗ψn2(0)dx,

hay

Vα1C1+Vα2C2 =C1E(1)δα1+C2E(1)δα2, α= 1,2

lưu ý Vαβ =

R

V ψ (0)∗

nα V ψˆ nβ(0)dx, ta suy

(

V11−E(1)

C1 +V12C2 = V21C1+ V22−E(1)

C2 =

(2.50) Hệ phương trình (2.50) có nghiệm khác không định thức lập hệ số ẩn

C1, C2 không, nghĩa

V11−E(1) V12 V21 V22−E(1)

=

Khai triển định thức thu phương trình bậc hai theo E(1) Giải phương

trình, ta hai nghiệm

E1,2(1) =

V11+V22±

q

(V11+V22)

−4 (V11V22−V12V21)

E1,2(1) =

V11+V22±

q

(V11−V22)2+ 4|V12|2

(2.51)

Tóm lại, hệ khơng nhiễu loạnHˆ = ˆH0, có mức lượngE (0)

n cho hai hàm

sóng ψn1(0) ψn2(0) Khi hệ có nhiễu loạn Hˆ = ˆH0+ ˆV, mức lượng hệ tách thành hai mức

(

E1n =E (0)

n +E1(1) E2n =E

(0)

n +E2(1)

(2.52) Xét trường hợp đặc biệt khiV11=V22, V12=V21,

E1(1) =V11+|V12|; E (1)

2 =V11− |V12| (2.53)

Ứng với hai giá trị E1(1) E2(1) có hai cặp giá trị cho C1 C2

a)VớiE1(1) =V11+V12, hệ phương trình (2.50) trở thành

(

−V12C1+V12C2 = V12C1−V12C2 =

Kết hợp với điều kiện chuẩn hố hàm sóng, ta suy

C1 =C2 =

1 √

2, hàm sóng ứng với mức lượng E1(1)

ψn1 =

1 √

ψn1(0)+ψn2(0)

b)VớiE2(1) =V11−V12, hệ phương trình (2.50) trở thành

(

V12C1+V12C2 = V12C1+V12C2 =

Trong trường hợp ta tìm

C1 =−C2 =

1 √

2, hàm sóng tương ứng với mức lượng E2(1)

ψn2 = √1

ψn1(0)−ψn2(0)

Mức lượng khơng cịn suy biến Như nhiễu loạn làm suy biến

Bây ta xét lý thuyết nhiễu loạn có suy biến bội n ≥2 Cụ thể đặt vấn đề sau: Cần tìm nghiệm phương trình

ˆ

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 28

ˆ

H = ˆH0+ ˆV; Hˆ0ψp(0) =E (0)ψ(0)

p , p= 1,2, , n (2.55)

Một mức E(0) ứng với n hàm ψp(0) Giới hạn tìm hiệu lượng phép gần

đúng cấp hàm sóng phép gần cấp không, nghĩa

E = E(0)+E(1),

ψ = P

pCpψ (0) p

(2.56) Thay (2.56) vào (2.54) vận dụng (2.55), (2.56), ta viết :

ˆ

H0+ ˆV

X

p

Cpψp(0) = E

(0)+E(1) X

p

Cpψ(0)p , hay

X

p

CpV ψˆ p(0) =E (1)X

p

Cpψp(0), (2.57)

nhân hai vế (2.57) với ψm(0)∗, lấy tích phân tồn miền giá trị biếnx, ta n

X

p=1

Cp Vmp−E(1)δmp

= 0, (2.58)

cho m = 1,2, , n, ta thu hệ n phương trình dạng (2.58) với n ẩn số C1, C2, , Cn

Muốn cho nghiệm khơng tầm thường định thức lập hệ số ẩn phải khơng

V11−E(1) V12 V13 V1n

V21 V22−E(1) V23 V2n

Vn1 Vn2 Vn3 Vnn−E(1)

= (2.59)

Khai triển định thức (2.59), ta có phương trình bậc n E(1) Phương trình gọi phương trình kỷ (thuật ngữ mượn thiên văn học) Nó có n nghiệm thực Nếu tất nghiệm phương trình kỷ khác mức lượng E(0) bội n

của toán suy biến tách thành n mức lượng khác Ep(0), p= 1,2, , n

Ep =E(0)+Ep(1), (2.60)

mỗi mức Ep ứng với hàm sóng

ψp =

X

k Ckψ

(0)

pk (2.61)

Trong trường hợp suy biến bội n bị hoàn toàn

Nếu hay số nghiệm phương trình kỷ (2.59) nghiệm bội s suy biến bội n bị phần Các hàm sóng ψpk với nghiệm bội Epk, k = 1,2, , s,

nghiệm khác phương trình (2.59) trực giao với Trong phần này, ta nhận thấy nhiễu loạn làm suy biến Thơng thường có nhiễu loạn, trị riêng tốn tử H0ˆ khơng suy biến độ bội suy biến giảm Điều có liên quan mật thiết đến tính đối xứng Hamiltonian lớp xác định phép biến đổi toạ độ hệ Thơng thường, nhiễu loạnVˆ khơng có tính đối xứng vớiHˆ0, Hamiltonian

tổng hợp Hˆ = ˆH0 + ˆV khơng có tính đối xứng trước mức lượng khơng suy biến Như vậy, nhiễu loạn làm suy biến

2.3 Hiệu ứng Stark nguyên tử Hydro

Khi nguyên tử đặt điện trường vạch quang phổ bị tách Hiện tượng Stark phát vào năm 1913 Hiệu ứng Stark giải thích học lượng tử Trong phần này, ta giới hạn khảo sát hiệu ứng Stark bậc nhất, đặc trưng cho nguyên tử đồng dạng Hydro Đối với nguyên tử này, mức lượng suy biến theo m mà suy biến theo ` Chính suy biến theo `

đã gây hiệu ứng Stark bậc Còn nguyên tử đồng dạng Hydro, suy biến theo` nói chung khơng có, khơng quan sát hiệu ứng Stark bậc Với mức lượng thứ (n = 1, ` = 0) khơng có suy biến nên khơng có tách mức, ta xét tách mức lượng thứ hai nguyên tử Hydro(n = 2)

Do điện trường ngồi E thí nghiệm vào khoảng 104−106V /cm, nhỏ hơn

rất nhiều so với điện trường gây hạt nhân Enh =e/a2 ≈ 5.109V /cm, a bán

kính quỹ đạo Bohr thứ nhất, nên ta dùng lý thuyết nhiễu loạn để khảo sát hiệu ứng Stark Ở đây, toán tử nhiễu loạn toán tử điện tử điện trường ngoàiVˆ

ˆ

V =eEz (2.62)

Ở trạng thái khơng nhiễu loạn, điện tử có mức lượng

E2(0) =−R~

4 , (2.63)

trong R số Rydberg Mức lượng (n = 2) tương ứng với n2 = 4, hàm riêng Hˆ0

ψ1(0) =ψ200 =R20(r)Y00 =

1 √

4πR20(r), (2.64)

ψ2(0) =ψ210=R21(r)Y10 =

r

3

4πR21(r) cosθ, (2.65) ψ3(0) =ψ211 =R21(r)Y11=

r

3

8πR21(r) sinθe

iϕ, (2.66)

ψ4(0) =ψ21−1 =R21(r)Y1−1 =

r

3

8πR21(r) sinθe

−iϕ. (2.67)

Thay biến toạ độ Descartes, hàm sóng có dạng

ψ(0)1 =f1(r) =

1 √

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 30

ψ2(0) =zf2(r); f2(r) =

r

3 4π

R21(r)

r , (2.69)

Do

rsinθexp(iϕ) =px2+y2exp(iϕ) =x+iy; rsinθexp(−iϕ) = px2+y2exp(−iϕ) =x−iy

nên

ψ3(0) =f2(r)x√+iy

2 , (2.70)

ψ4(0) =f2(r) x−iy

√

2 (2.71)

Hàm sóng tổng quát ứng với mức lượng E2(0)

ψ =

4

X

k=1 Ckψ

(0)

k (2.72)

Trong trường hợp này, độ bội suy biến nên để xác định hệ số Ck hiệu

bậc E2(1) cho mức lượng E2 trạng thái nhiễu loạn, ta áp dụng (2.58) để tìm

được hệ phương trình sau:

V11−E (1)

C1 +V12C2 +V13C3 +V14C4 =

V21C1+

V22−E (1)

C2 +V23C3 +V24C4 =

V31C1 +V32C2+

V33−E (1)

C3 +V34C4 =

V41C4 +V42C2 +V43C3+

V44−E (1)

C4 =

                           (2.73)

Vij =

Z

V

ψi(0)∗V ψˆ j(0)dV =eE

Z

V

ψi(0)∗zψj(0)dV (2.74) Chỉ phần tử ma trận V12 =V21 khác khơng chúng hàm chẵn ba toạ độ x, y, z

V12 =V21=eE

Z

V

f1(r)f2(r)z2dV, (2.75) phần tử ma trận V khác triệt tiêu biểu thức dấu tích phân chúng hàm lẻ ba toạ độ x, y z

Thay vào (2.75) hàm f1(r), f2(r) lấy từ (2.68) (2.69) với lưu ý R20(r) = √2a1 1−

r 2a

exp −2ar

, R21(r) = √6a1

r 2a

exp −2ar

  

Ta tính tích phân (2.75) toạ độ cầu với dV =r2sinθdrdθdϕ, V12=

eE 8πa3

Z ∞ Z π Z 2π exp −r 2a

1− r 2a

exp −r

2a

r r

2az

r2sinθdθdrdϕ,

mà

Z π

0

Z 2π

0

z2sinθdθdϕ=r2

Z π

0

Z 2π

0

cos2θsinθdθdϕ= 4π r

2.

Đưa vào biến ξ=r/a, ta thu

V21 =V12= eEa

12

Z ∞

0

exp(−ξ)

1− ξ

ξ4dξ =−3eEa (2.77) Để cho nghiệmC1, C2, C3, C4 không tầm thường định thức

E2(1) 3aeE 0

3aeE E2(1) 0 0 E2(1) 0 0 E2(1)

= (2.78)

Khai triển định thức, ta thu phương trình bậc bốn E2(1)

E2(1)2E2(1)2 −9a2e2E2= 0. (2.79)

Và tìm nghiệm phương trình (2.79)

E21(1) =−3aeE; E22(1) = 3aeE; E23(1) =E24(1) = (2.80) Mỗi nghiệm tương ứng với hoàn toàn xác định hệ số

E21(1) ↔ C11 = C21, C31 = C41 = 0,

E22(1) ↔ C12 = −C22, C32 = C42 = 0, E23(1) ↔ C13 = C23= 0, C33 6= 0; C43 6= 0, E24(1) ↔ C14 = C24= 0, C34 6= 0; C44 6=

         (2.81)

Như ứng với mức lượng

E21=E (0) +E

(1) 21 =E

(0)

2 −3aeE (2.82)

ta có hàm sóng phép gần cấp không

ψ1 =C11ψ (0)

1 +C21ψ (0)

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 32 Điều kiện chuẩn hố hàm sóng cho

Z

V

ψ1∗ψ1dV = 1,

ta tìm C11= 1/√2,

ψ1 =

1 √

2(ψ200+ψ210) (2.84)

Tương tự mức lượng

E22 =E2(0)+E22(1) =E2(0)+ 3aeE (2.85) tương ứng với hàm sóng phép gần cấp không

ψ2 =

1 √

2(ψ200−ψ210) (2.86)

Các mức lượngE23 =E24 =E (0)

2 tương ứng với trạng tháiψ3 =ψ211 (m= 1),

hayψ4 =ψ21−1 (m=−1), hay tổ hợp tuyến tính chúng vìC13=C23=C14 =C24=

Cịn C33, C34, C43 C44 chưa xác định

Như suy biến bị khử phần, mức lượng ban đầu E2(0) tách thành ba mức khác Sơ đồ minh hoạ trình bày hình 2.2

2.4 Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian

Xét hệ có lượng phụ thuộc thời gian Ta ký hiệu toán tử nhiễu loạn hàm thời gian Vˆ(t) Hamiltonian hệ trường hợp có dạng

ˆ

H = ˆH0+ ˆV(t) (2.87)

Trong trường hợp này, lượng hệ khơng bảo tồn, khơng có trạng thái dừng

Phương trình Schrõdinger hệ có dạng

i~∂ψ(x, t)

Ta giải phương trình phương pháp biến thiên số Dirac đưa năm 1926 Gọi

ψ(0)n (x, t) = ψn(0)(x)e−~iE

(0)

n t (2.89)

là hàm sóng trạng thái dừng biết hệ không nhiễu loạn Các hàm thoả mãn phương trình khơng nhiễu loạn

i~∂ψ (0) n (x, t)

∂t = ˆH0ψ

(0)

n (x, t) =E (0) n ψ

(0)

n (x, t) (2.90)

Giả sử có nhiễu loạn nhỏ Vˆ(t)tác dụng lên hệ Hàm sóng cần tìmψ(x, t)của hệ nhiễu loạn thoả mãn phương trình (2.88) Dạng tổng quát hàm sóng

ψ(x, t) =X

k

Ck(t)ψ (0)

k (x, t) (2.91)

Vì hàm sóng ψk(0)(x, t)tạo thành hệ đủ hàm riêng toán tử hermiticHˆ0, nên

một khai triển thực Các hệ số khai triển Ck(t) phụ

thuộc thời gian không phụ thuộc toạ độ

Thay (2.91) vào (2.88) ý đến (2.90), ta có

i~X k

ψ(0)k (x, t)dCk(t)

dt =

X

k

Ck(t) ˆV(t)ψ (0) k (x, t)

Nhân bên trái hai vế với ψm(0)∗(x, t) lấy tích phân theo toạ độ, ta i~dCm(t)

dt =

X

k

Vmk(t)Ck(t), (2.92)

trong

Vmk(t) =e i ~

“

Em(0)−E

(0)

k

”

tZ V

ψm(0)∗(x) ˆV(t)ψk(0)(x)dx=eiωmktvmk(t), ωmk=

1

~

Em(0)−Ek(0); vmk(t) =

Z

V

ψ(0)m∗(x) ˆV(t)ψ(0)k (x)dx, (2.93) với Vmk(t)là phần tử nhiễu loạn bao gồm thừa số thời gian

Hệ phương trình (2.92) hệ phương trình xác Nó tương đương với phương trình (2.88), tập hợp hệ sốCk(t)xác định hồn tồn hàm sóngψ(x, t) Tuy nhiên, giải

phương trình (2.92) khơng đơn giản giải phương trình xuất phát (2.88) Để đơn giản hố phương trình (2.92), ta cần dùng tính chất nhiễu loạn Vˆ(t) nhỏ Giả thiết ban đầu t≤0, hệ trạng thái riêngψn(0), theo

Ck(0) =δkn (2.94) Bắt đầu từ t = 0, hệ chịu tác dụng nhiễu loạn nhỏ, hàm sóng ψn(0) trạng

thái ban đầu phụ thuộc vào thời gian Vì thế, hệ số Ck(t) thời điểm t >

tìm dạng

Ck(t) =δkn+C (1)

k (t) +C (2)

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 34 Hiệu Ck(1)(t) có cấp độ bé với phần tử nhiễu loạnVmk(t) (hay vmk(t)),C

(2) k (t)

bậc hai phần tử nhiễu loạn, Thay khai triển (2.95) vào (2.92), ta tìm phương trình bậc nhiễu loạn:

- Bậc

i~dC (1) m (t)

dt =

X

k

vmk(t)eiωmktδnk =vmn(t)eiωmnt, (2.96)

khi ta bỏ qua tất số hạng có cấp độ bé cấp hai cao nhiễu loạn Lấy tích phân (2.96), ta

Cm(1)(t) =

i~

Z t

0

vmn(t)eiωmntdt (2.97)

- Bậc hai:

i~dC (2) m (t)

dt =

X

k

vmk(t)eiωmktC (1)

k (2.98)

Giải phương trình cách kết (2.97) vào vế phải phương trình (2.98), ta thu Cm(2)(t) Tiếp tục lặp lại cho phương trình nhiễu loạn bậc 3, bậc 4,

Khi nhiễu loạn Vˆ(t)đủ nhỏ ta giới hạn phép tính gần bậc 2.5 Sự chuyển dời lượng tử hệ vi mô sang trạng

thái ảnh hưởng nhiễu loạn

Một toán quan trọng học lượng tử việc tính xác suất chuyển dời hệ từ trạng thái lượng tử sang trạng thái lượng tử khác Giả sử có hệ trạng thái lượng xác định En(0) mô tả hàm sóng xác định ψn(0)

Nếu t≤0, hệ chịu tác dụng nhiễu loạnVˆ(t), thời điểm t >0, hệ nằm trạng thái mơ tả hàm sóng

ψ(x, t) =X

k

Ck(t)ψ (0) k

Điều có nghĩa thời điểmt > 0hệ trạng thái số trạng thái dừng Theo quy luật tổng quát học lượng tử, xác suất tìm thấy hệ trạng thái lượng tử m xác định |Cm|2 Vì t = hệ

trạng thái dừng n nên |Cm(t)|2 xác định xác suất chuyển dời hệ từ trạng thái n sang

trạng thái m khoảng thời gian t, wmn(t) = |Cm(t)|2 ≡ |Cmn(t)|2 Ở số thứ hai

ký hiệu trạng thái đầu

Sự dời chuyển không thực bước nhảy mà diễn theo thời gian Từ (2.97), ta dễ dàng tính xác suất dời chuyển hệ từ trạng thái dừng ψn(0)(x)sang

trạng thái dừng ψm(0)(x), (m6=n) khoảng thời gian từ 0→t có nhiễu loạn tác động

trong gần bậc

wmn(t) = |Cmn(1)(t)| =

~2 Z t

vmn(t)eiωmntdt

(2.99) Lưu ý (2.99) vmn(t), t đủ nhỏ để hiệu C

(1)

mn nhỏ so với đơn vị

a) Ta xét trường hợp đặc biệt nhiễu loạn không phụ thuộc thời gian, nghĩa ˆ

V(t) = ˆV(0), theo vmn(t) =vmn(0), nên

Cmn(1)(t) =

i~vmn(0)

Z t

0

eiωmntdt=−vmn(0)

e

i ~

“

E(0)m−E(0)n

”

t

−1

Em(0)−En(0)

(2.100)

wmn(t) =|Cmn(1)(t)|

2 = 4|v

mn(0)|2

sin2

h

t 2~

Em(0)−En(0)

i

Em(0)−En(0)

2 (2.101)

Nếu tìm xác suất chuyển từ trạng thái ban đầu n đến tất trạng thái khác ta lấy tổng giá trị m

wn(t) =

X

m

wmn(t) =

X

m

|Cmn(1)(t)|2 = 4X

m

|vmn(0)|2

sin2h2t

~

Em(0)−En(0)

i

Em(0)−En(0)

2 (2.102)

Nếu trạng thái cuối có phổ liên tục dấu tổng thay dấu tích phân theo biến vi phân ρEm(0)

dEm(0)

wn(t) = 4|vmn(0)|2

Z ∞ −∞ sin2 h t 2~

Em(0)−En(0)

i

Em(0)−En(0)

2 ρ E

(0) m

dEm(0), (2.103)

trong ρEm(0)

là hàm mật độ trạng thái khoảng lượng Em(0) → Em(0)+dEm(0)

Khi tính tích phân, ta xem |vmn(0)|2 ρ

Em(0)

không đổi dùng công thức

Z ∞

−∞

sin2(αx)

x2 dx=πα

thì thu xác suất chuyển dời từ trạng thái n đến tất trạng thái khác wn(t) =

2πt

~

|vmn(0)|2ρ Em(0)

(2.104)

b) Một trường hợp quan trọng khác nhiễu loạn tuần hoàn đơn sắc: ˆ

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 36 Xác suất chuyển dời lượng tử có dạng

wmn(t) =|Cmn(1)(t)|

2 = 4|v

mn(0)|2

sin2h2t

~

Em(0)−En(0)−~ω i

Em(0)−En(0)−~ω

2 , (2.106)

khi

~ω =Em(0)−E (0)

n (2.107)

thì xác suất có giá trị cực đại Rõ ràng lượng ~ω lượng kích thích hiệu hai mức lượng Em(0)−En(0) xác suất chuyển dời từ trạng thái n đến trạng thái m hệ lượng tử có giá trị cực đại Đó tính chất cộng hưởng kích thích xạ Việc khảo sát hàm

fm(Em(0), t) =

sin2[2t

~(E

(0)

m −En(0)−~ω)]

1 2~(E

(0)

m −En(0)−~ω)

πt

cho ta điều kiện

∆Em(0) ≈ ~

t

Lưu ý từ yêu cầu độ bất định lượng trạng thái cuối ∆Em(0) phải nhỏ

so với lượng ~ω trường kích thích, ta rút bất đẳng thức

t

ω,

∆Em(0).∆t≥ ~

(2.108) nghĩa là∆Em(0) ~ωnếu thời gian tác động nhiễu loạn lớn so với chu kỳ nhiễu loạn

Khi t → ∞thì dựa vào cơng thức

limt→∞ sin2ξt

πξ2t =δ(ξ) :hàm delta Dirac,

với ξ = (Em(0)−En(0)−~ω)/(2~) lưu ý tính chất δ(ax) = δ(x)/a, ta suy

wmn(t) =

2π

~ |vmn(0)|

2

tδ Em(0)−En(0)−~ω (2.109) Như xét thời gian dài có chuyển dời lượng tử đối số hàm delta Dirac khơng, tức lượng xạ kích thích ~ω hiệu hai mức lượng

2.6 Nguyên tử Hêli

Nguyên tử Hêli gồm hạt nhân dương mang điện tích +2evà hai điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân Chọn hệ quy chiếu có gốc toạ độ hạt nhân Hêli, hạt nhân đứng yên hệ quy chiếu Ta viết Hamiltonian hệ hai điện tử dạng

− ~

2

2m∇ 1−

~2

2m∇ 2−

2e2 r1

− 2e

2 r2

+ e

2 r12

trong đór1, r2 theo thứ tự khoảng cách hạt nhân Hêli với hai điện tử vàr12là khoảng

cách hai điện tử Hai số hạng thứ ba, thứ tư mô tả tương tác

hai điện tử với hạt nhân, số hạng cuối mô tả lượng tương tác Coulomb hai điện tử Trong biểu thức Hamiltonian nêu trên, ta bỏ qua số hiệu ứng gây mômen từ spin mômen từ quỹ đạo điện tử, Do nghiệm phương trình (2.110) cần tìm dạng tích hàm toạ độϕ(~r1, ~r2)và hàm spinơ χ(σ1, σ2)

ψ =ϕ(~r1, ~r2)χ(σ1, σ2) (2.111)

Để thu hàm sóng lượng trạng thái Hêli phép gần tạm gọi thoả đáng, ta dùng phương pháp nhiễu loạn Khi tương tác hai điện tử e2/r12 (2.110) xem nhiễu loạn Theo đó, phép gần cấp

khơng, phương trình (2.110) có dạng

− ~

2

2m∇ 1−

~2

2m∇ 2−

2e2 r1

− 2e

2 r2

ψ(0) =E(0)ψ(0), (2.112) Bằng phương pháp phân ly biến số với bỏ qua tương tác hai điện tử trên, ta viết lại Hamiltonian hệ

ˆ

H = ˆH1+ ˆH2; Hˆ1 =− ~

2m∇ 1−

2e2 r1

; Hˆ2 =− ~

2m∇ 2−

2e2 r2

(2.113)

Gọi ϕ1(~r1), ϕ2(~r2) theo thứ tự hàm sóng điện tử 1, Ta viết

ϕ1(~r1) = ϕ(n, `, m, sz)1; ϕ2(~r2) =ϕ(n, `, m, sz)2 (2.114)

và

ˆ

H1ϕ1(~r1) =E1ϕ1(~r1) ; Hˆ2ϕ2(~r2) = E2ϕ2(~r2) (2.115)

Hàmψ lượng E hệ gồm hai hạt trường hạt nhân

ψ =ϕ1(~r1)ϕ2(~r2) = ϕ(n, `, m, sz)1ϕ(n, `, m, sz)2; E =E1+E2

Thực

ˆ

Hψ = Hˆ1+ ˆH2

ϕ1(~r1)ϕ2(~r2)

= Hˆ1ϕ1(~r1)ϕ2(~r2) + ˆH2ϕ1(~r1)ϕ2(~r2)

= E1ϕ1(~r1)ϕ2(~r2) +E2ϕ1(~r1)ϕ2(~r2)

= (E1 +E2)ϕ1(~r1)ϕ2(~r2), rõ ràng

ˆ

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 38 Ta ký hiệu tập hợp số lượng tử (n, `, m, sz)i ≡ni, đóϕi(~ri) = ϕni(~ri),

Tổng qt, trạng thái hệ có toạ độ khơng gian là~r1, ~r2, chồng chất trạng

thái

ψ(~r1, ~r2) =

X

n1,n2

C(n1, n2)ϕn1(~r1)ϕn2(~r2) (2.116)

là dạng tổng quát hàm sóng hệ toạ độ khơng gian xác định Bây coi tương tác Vˆ =e2/r

12 hai điện tử với nhiễu loạn

ˆ

H = ˆH1+ ˆH2+ e2 r12

= ˆH0+ ˆV (2.117)

Khi Vˆ = 0, lượng hệ làE0 ψ0 hàm sóng tương ứng khơng có nhiễu loạn

Trong phép gần cấp nhiễu loạn, mức lượng trạng thái cho công thức

E =E0+E(1) =En+Em+E(1) (2.118) En, Em mức lượng điện tử điện tử trạng thái ϕn ϕm

được xác định

ψ(0) =ψ1(0) =ϕn(r~1)ϕm(~r2), (2.119) ψ(0) =ψ2(0) =ϕn(r~2)ϕm(~r1) (2.120)

Như theo nguyên lý không phân biệt hạt đồng , ψ1(0) ψ(0)2 thoả mãn phương trình

ˆ

H0ψ (0)

1 =E0ψ (0)

1 ; Hˆ0ψ (0)

2 =E0ψ (0)

Đây trường hợp suy biến cấp hai Khi có tốn tử nhiễu loạn Vˆ 6= 0, ta có: ˆ

Hψ =Eψ, Hˆ = ˆH0+ ˆV (2.121)

Ta tìm hàm sóng ψ phép gần cấp khơng mức lượng phép gần cấp Ta viết

ψ =X

k

Ckψk(0) =C1ψ(0)1 +C2ψ2(0), E =E0+E(1) (2.122) Với lưu ý

Vij =Vji=

Z Z

ψi(0)∗V ψˆ j(0)dVidVj =

Z Z

ψ(0)i ∗ e r12

ψj(0)dVidVj,

theo đó:

V11=V22; V12=V21 =V12∗ =V

∗

21 (2.123)

ta tìm E(1) bằng cách cho định thức sau không

V11−E(1) V12 V21 V22−E(1)

= (2.124)

Vận dụng kết (2.123), ta suy hai nghiệm

E1(1) =V11+V12; E (1)

Cuối cùng, suy lượng hệ

E1 = E0+V11+V12 E2 = E0+V11−V12

  

(2.125) với E0 =En+Em Đặt

V11=V22 ≡K; V12=V21≡A, đại lượng thực (2.126)

1,2 =E1,2−E0 =K ±A, (2.127)

với E =E0+E(1), theo (2.50) ta có hệ phương trình

(E0+V11−E)C1+V12C2 =

V12C1+ (E0+V22−E)C2 =

  

(2.128) Từ suy

(K−)C1+AC2 =

(K−)C2+AC1 =

  

(2.129) Thay =K+A, ta thu C1 =C2 = 1/

√ Thay =K−A, ta thu C1 =−C2 = 1/

√ Suy hàm sóng đối xứng

ψs(~r1, ~r2) =

1 √

ψ1(0)+ψ(0)2 , Es =En+Em+K +A, (2.130)

hàm sóng phản xứng

ψẵr1, ~r2) =

1 √

ψ(0)1 −ψ(0)2 , Ea =En+Em+K−A (2.131)

Phương pháp không cho độ xác cao, so với thực nghiệm vào khoảng 20% Ta xét toán theo phương pháp khác có độ xác cao hơn, phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok

2.7 Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok

2.7.1 Nguyên lý biến phân

Phương trình Schrõdinger dạng tổng qtHψˆ =Eψ thu từ nguyên lý biến phân

δ

Z

ψ∗

ˆ

H−E

ψdq= (2.132)

Thực vậy, trị trung bình lượng trạng thái dừng ψ

E =

Z

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 40 Với điều kiện chuẩn hoá cho hàmψ làR

ψ∗ψdq = 1, ta cần tìm hàmψ cho E

đạt cực trị E đại lượng phụ thuộc vào ψ gọi phiếm hàm Ta tìm cực trị phiếm hàm Đây toán biến phân có điều kiện Muốn vậy, ta dùng phương pháp thừa số bất định Lagrange Nội dung phương pháp sau: Giả sử cần tìm cực trị phiếm hàmf =f(x1, x2, , xn)với điều kiệnϕi(x1, x2, , xn) = 0, i= 1,2, , n.Lagrange

đưa toán tìm cực trịf có điều kiện tốn tìm cực trị khơng có điều kiện hàm

F =f+P

iλiϕi, λi gọi thừa số bất định Lagrange Ta tìm cực trị

các hàm F với biến x Khi điểm mà F đạt cực trị điểm mà f đạt cực trị với điều kiện

Hàm F đạt cực trị biến phân δF = Chuyển tốn (2.132) toán cực trị F

F =

Z

ψ∗Hψdqˆ −E

Z

ψ∗ψdq−1

(2.134)

Trong số hạng thứ thứ hai đóng vai trị f P

iλiϕi, E thừa

số bất định Lagrange Phép tính biến phân cho ta

δF =δ

Z

ψ∗Hψdqˆ −δE

Z

ψ∗ψdq=δ

Z

ψ∗Hˆ −Eψdq= (2.135) Lấy biến phân ψ ψ∗ độc lập với nhau, ta

Z

δψ∗Hˆ −Eψdq = 0, (2.136)

Z

ψ∗Hˆ −Eδψdq = =

Z

δψHˆ −Eψ∗dq, (2.137) (2.137) với δψ lấy tuỳ ý khác không, suy

ˆ

H−Eψ∗ = 0; hay Hψˆ ∗ =Eψ∗, (2.138) (2.136) với δψ∗ lấy tuỳ ý, nên suy

ˆ

H−Eψ = 0; hay Hψˆ =Eψ, (2.139)

Tóm lại, tốn biến phân (2.135) khơng có điều kiện tương ứng với tốn biến phân có điều kiện

δ

Z

ψ∗Hψdqˆ = 0, (2.140)

Z

ψ∗ψdq = (2.141)

Giá trị cực tiểu (2.140) với điều kiện (2.141) giá trị lượng, tức mức lượng E0 Ta chứng minh phiếm hàm

I(ψ0) =

Z

là trị riêng cực tiểu củaHˆ Thực vậy, khai triển ψ theo hệ hàm riêng đủ trực chuẩn {ψn}

của Hˆ:

ψ =

∞

X

n=0 anψn

và dùng điều kiện (2.141), ta thu

Z

ψ∗Hψdqˆ = ∞

X

n=0

|an|2En≥E0

∞

X

n=0

|an|2 =E0 =min{En} (2.142)

Như vậy, việc tính lượng E0 trạng thái quy việc tính cực tiểu

của phiếm hàm Hàm sóng ψ thực việc tính cực tiểu hàm sóng ψ0 trạng thái

cơ Từ điều kiện cực tiểu (2.140), ta xét tiếp đại lượng ψ1, E1, ψ2, E2, Các hàm

sóng trạng thái dừng kích thích ψn tiếp sau thoả mãn điều kiện

chuẩn hố mà cịn phải thoả mãn điều kiện trực giao

Z

ψ∗ψndq = (2.143)

Các hàm ψn thực cực trị, cực tiểu Ta cụ thể hoá điều kiện

(2.143):

Hàm ψ1 buộc phải trực giao với ψ0,

Hàm ψ2 buộc phải trực giao với ψ0, ψ1 ,

Hàm ψ3 buộc phải trực giao với ψ0, ψ1, ψ2 ,

, Hàm ψn buộc phải trực giao với ψ0, ψ1, , ψn−1

Như biết hàm ψ0, ψ1, , ψn−1 ta tìm tiếp trạng tháiψ sau

và buộc chúng phải thoả mãn

Z

|ψ|2dq= 1,

Z

ψψmdq = 0, m= 0,1,2, , n−1

Thực tế việc tínhE0 quy việc tìm hàmψ, gọi hàm thử Các phương án cụ

thể phương pháp biến phân khác cách chọn hàm thử Thông thường người ta chọn hàm thử phụ thuộc vào thông số α, β, Tìm cực tiểu phiếm hàm

J(α, β, )

J(α, β, ) =

Z

ψ∗(q, α, β, ) ˆHψ(q, α, β, )dq

Để tìm α, β, ta tính

∂J

∂α =

∂J

∂β = =

và thu đượcα0, β0, Ta tìm hàm thửE =J(α0, β0, )rất gầnE0và hàm sóngψ0(q, α0, β0, )

rất gần với ψ0 Ta tiếp tục tìm E1, ψ1, E2, ψ2 biết E0, ψ0 E1 =min

Z

ψ1∗Hψˆ 1dq,

với điều kiện R |ψ1|2dq = 1,

R

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 42

E2 =min

Z

ψ2∗Hψˆ 2dq,

với điều kiện R |ψ2|2dq = 1, R

ψ2∗ψ1dq =R ψ2∗ψ0dq = Để cụ thể, ta xét thí dụ sau:

Dùng phương pháp biến phân để tìm trị riêng hàm riêng tốn tử Hˆ dao động điều hoà chiều

ˆ

H =− ~

2

2m d2 dx2 +

mω2

2 x

2,

ta tìm hàm thử Trước hết có nhận xét hàm thử phải thoả mãn điều kiện chuẩn, có điều kiệnψ →0 x→ ±∞

Hàm sóng trạng thái khơng có mút (xem phần dao động điều hồ) có dạng

ψ(x, α) =Aexp

−1 2αx

2

Điều kiện R

|ψ|2dq = 1 cho ta A= (α/π)1/4, vậy J(α) =

Z

ψ∗Hψdxˆ =

~2α

m +

mω2 α

∂J(α)

∂α = =⇒α0 = mω

~

Trong trạng thái E0 =J(α0) = (~ω)/2 hàm sóng ψ0 =ψ(x, α0) =

mω

π~

1/4

exp

−mωx

2

~

Tìm tiếp E1, ψ1 Hàm ψ1 phải trực giao với ψ0 Chọn

ψ1(x, β) =Bxexp

−1 2βx

2

,

trong B2 = (2/√π)β3/2, điều kiện chuẩn hoáR |ψ1|2dx= Còn J(β) =

Z

ψ∗1Hψˆ 1dx,

với điều kiện cực tiểu

∂J(β)

∂β = =⇒β0 = mω

~

Cuối ta thu

E1 =J(β0) =

3 2~ω,

ψ1 =

2 √

π

1/2 mω

~ 3/4

xexp

mωx2

2~

2.7.2 Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok

a) Phương pháp trường tự hợp Hartree:

Để nghiên cứu hệ nhiều điện tử, người ta dùng rộng rãi phương pháp trường tự hợp Nội dung phương pháp sau: Trong phép gần cấp không, tất điện tử coi chuyển động độc lập với trường hạt nhân Dựa vào hàm sóng phép gần cấp khơng, ta tìm mật độ điện tích trường tĩnh điện trung bình gây tất điện tử

Trong phép gần tiếp theo, điện tử coi chuyển động trường hạt nhân trường gây điện tử cịn lại Nghiệm phương trình Schrõdinger trường cho ta hàm sóng phép gần cấp

Để thu phương trình Schrõdinger trường tự hợp, người ta dùng phương pháp biến phân Để cụ thể, ta xét nguyên tử Hêli giả thiết điện tử trạng tháis Ta khơng u cầu phải đối xứng hố hệ hàm sóng hệ điện tử.Trong phép gần cấp không, hai điện tử mô tả hàm sóng thực ψ1(~r1) ψ2(~r2),

cịn hàm sóng nguyên tử có dạng

ψ =ψ1(~r1)ψ2(~r2) (2.144)

Trong phép gần (2.144), ta lấy biến phân hàm ψ1 ψ2 độc lập với Phép tính cho R δψ1 h R ψ2 ˆ

H−Eψ1ψ2dV2

i

dV1 = 0,

R δψ2 h R ψ1 ˆ

H−Eψ1ψ2dV1

i

dV2 =

       (2.145)

Do tính tuỳ ý biến phân, ta suy

R

ψ2

ˆ

H−E

ψ1ψ2dV2 = 0,

R

ψ1

ˆ

H−E

ψ1ψ2dV1 =

       (2.146)

ThayHˆ từ (2.110), ta tới phương trình sau, gọi làphương trình tự hợp Hartree

h

−~2

2m∇ 1−

2e2

r1 +

R

ψ2

e2

r12dV2

i

ψ1 =E1ψ1,

h

−~2

2m∇ 2−

2e2

r2 +

R

ψ2

e2

r12dV1

i

ψ2 =E2ψ2,

       (2.147)

ở ta ký hiệu E1 =E−H22, E2 =E−H11 Hii=

Z

ψi

−~

2

2m∇ i −

2e2 ri

ψidVi, i= 1,2,

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 44 Các phương trình (2.147) chứng tỏ điện tử có xuất số hạng bổ sung

g1(~r1) =

Z

ψ22 e

r12dV2 =e

Z ρ

2(~r2)

r12 dV2, (2.148)

g2(~r2) =

Z

ψ21 e

r12dV1 =e

Z ρ

1(~r1)

r12 dV1, (2.149)

trong ρi =e|ψi|2, i= 1,2 mật độ điện tích gây điện tử điểm có toạ độ ~ri

Năng lượng toàn phần hệ

E =

Z

ψHψdV,ˆ

E =

Z

ψ1ψ2

− ~

2

2m∇ 1−

~2

2m∇ 2 −

2e2 r1

− 2e

2 r2

+ e

2 r12

ψ1ψ2dV1dV2

E =E1+E2−G (2.150)

Trong

G=e2

Z ψ2 1ψ22 r12

dV1dV2 =

Z ρ

1ρ2 r12

dV1dV2 (2.151)

là lượng tương tác tĩnh điện điện tử Từ (2.147), ta nhận thấy biểu thức E1, E2 có mặt lượng tương tác điện tử, tổng E1+E2, lượng tính đến hai lần Như lượng E hệ phải E1+E2−G

Nếu hệ gồm N điện tử, lập luận tương tự, ta thu phương trình tự hợp Hartree cho điện tử thứ i trạng thái lượng tử ni:

"

− ~

2

2m∇

i +U(~ri) +

X

k ei

Z

ek

|ψnk|2

|~ri−~rk| dVk

#

ψni =Eniψni (2.152)

a) Phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok

Phương pháp trường tự hợp có xét đến đối xứng hay phản xứng hàm sóng gọi phương pháp trường tự hợp Hartree-Fok Trong trường hợp đơn giản hệ hai điện tử, tất phép tính chuyển dễ dàng cho hàm sóng đối xứng hố

ψs(1,2) =

1 √

2[ψ1(1)ψ2(2) +ψ2(1)ψ1(2)], (2.153)

ψa(1,2) =

1 √

2[ψ1(1)ψ2(2)−ψ2(1)ψ1(2)] (2.154) Trong phép gần cấp không, trạng thái nguyên tử Hêli, hai điện tử trạng thái đồng dạng Hydro 1s Trạng thái ký hiệu ngắn gọn dạng (1s)2.

Trong ( ) có nêu trạng thái điện tử, cịn số mũ nêu số điện tử trạng thái Một biểu diễn gọi cấu hình điện tử Trạng thái kích thích thứ nguyên tử Hêli tương ứng với cấu hình(1s)1(2s)1 Các hàm sóngψ

về sơ đồ Young [2] [1,1] Hàm sóng tồn phần (tích hàm toạ độ hàm spinơ) phải phản xứng, hàm toạ độ đối xứng ψs phải ứng với trạng thái có spin đối song

(spin tồn phần khơng), cácpara trạng thái; cịn hàm sóng toạ độ phản xứng ψa

ứng với trạng thái spin có spin song song (spin tồn phần 1), ortho trạng thái

Trong phép gần cấp không, para ortho trạng thái với cấu hình(1s)1(2s)1 có lượng Tuy nhiên, xét đến tương tác điện tử, lượng trạng thái khác nhau: lượng para trạng thái ψpara lớn

lượng ortho trạng thái ψorth Có thể thấy điều từ nhận định định tính đơn giản: Từ dạngψpara(1,2)vàψorth(1,2), suy hai điện tử có toạ độ trùng

thì hàm ψorth(1,2) = hàm ψpara(1,2) cực đại Như trạng thái ψorth(1,2),

các điện tử thường xa so với chúng trạng thái ψpara(1,2) Do lượng đẩy Coulomb trung bình điện tử trạng tháiψorth(1,2)bé

lượng trạng tháiψpara(1,2) Thế khác lượng trạng thái

para ortho cấu hình (1s)1(2s)1 hệ tương giao chuyển động điện tử, xuất từ điều kiện tính đối xứng hàm sóng hốn vị toạ độ khơng gian Nếu khơng xét đến tính đối xứng hàm sóng, khơng có khác biệt lượng

Chọn hàm ψa (có spin tồn phần S=1) làm hàm thử cho hàm gần

tốt với hàm thực Dùng nguyên lý biến phân, ta xét

min

Z

ψ∗HψdVˆ với

Z

ψ∗ψdV =

Bài toán rút

δ

Z Z

ψ∗

ˆ

H−E

ψdV1dV2 = 0,

Z Z

δψ∗Hˆ −EψdV1dV2 = 0,

Thay ψ =ψa Hˆ biểu thức (2.110) lấy biến phân độc lập δψ1, δψ2, ta thu

được hai phương trình

−~

2

2m∇

2−E− 2e2

r +H22+G22

ψ1(~r)−[H21+G12]ψ2(~r) = 0, (2.155)

−~

2

2m∇

2−E− 2e2

r +H11+G11

ψ2(~r)−[H12+G12]ψ1(~r) = 0, (2.156)

với

Gik(~r1) =

Z

ψi(~r2)ψk(~r2) e2 r12

dV2, Hik =

Z

ψi

−~

2

2m∇

2 −2e2 r

ψkdV

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.2: Một số phương pháp gần học lượng tử 46 trình Hartree-Fok có thêm tích phân trao đổi, tích phân dạng Gik Phương pháp

Chương 3

Lý thuyết tán xạ lượng tử

Sự tán xạ va chạm hạt Đây trình vật

lý vi mô Ở va chạm hiểu tương tác trình dịch chuyển Ở trạng thái ban đầu hai hạt từ khoảng cách xa tiến lại gần nhau, trình tương tác làm thay đổi trạng thái chuyển động chúng Sau trình, hai hạt lại chuyển động rời xa lúc tương tác chúng trở thành không đáng kể Ta gọi trạng thái trạng thái cuối trình tán xạ Nếu hạt trạng thái cuối khác với trạng thái đầu xung lượng mà khơng có thay đổi loại hạt trạng thái bên tán xạ gọi tán xạ đàn hồi Nếu có thay đổi loại hạt trạng thái bên tán xạ gọi tán xạ không đàn hồi

Thông thường, để thuận tiện, thay cho diễn biến trình tán xạ theo thời gian, người ta xét toán dừng tương đương với giả thiết cho có dịng liên tục hạt bay từ vô cực đến tương tác với tâm tán xạ, sau biến thành dịng hạt tán xạ từ tâm bay phía Mật độ dịng phải đủ nhỏ để bỏ qua tương tác hạt tới Trong toán tán xạ dừng, biết trường lực tán xạ, ta tính dịng hạt tán xạ (tại khoảng cách vô so với tâm tán xạ) hàm dòng hạt tới

3.1 Biên độ tán xạ tiết diện tán xạ

3.1.1 Tiết diện tán xạ

Sự tán xạ đặc trưng tiết diện tán xạ vi phân dσ(θ, ϕ)

dσ(θ, ϕ) = dNtx(θ, ϕ)

jt

, (3.1)

trong dNtx(θ, ϕ) số hạt tán xạ đơn vị thời gian góc khối dΩ(θ, ϕ)

lấy theo phương (θ, ϕ); jt mật độ dòng hạt tới Ta chọn trục z theo phương chuyển

động hạt tới (hình 3.1)

Gọi jtx(r, θ, ϕ) mật độ dòng hạt tán xạ khoảng cách r lớn so với tâm

tán xạ, ta có:

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 48 dS diện tích vi cấp vng góc với bán kính vectơ vạch từ tâm tán xạ góc (θ, ϕ) Độ lớn dS phần tử góc khối tương ứng dΩcó mối liên hệ

dS =r2dΩ (3.2)

Do đó, tiết diện tán xạ vi phân xác định công thức

dσ = jtx

jt dS = jtx

jt r

2dΩ. (3.3)

Trong học lượng tử, jtx vàjttheo thứ tự gọi mật độ dòng xác suất tán xạ

và mật độ dòng xác suất tới

Từ (3.3), ta thu đại lượng

σ=

jt

I

Sr

jtx(r, θ, ϕ)dSr=

Φtx jt

(3.4)

được gọi tiết diện tán xạ hiệu dụng tồn phần Trong đó, dsr =r2dΩlà độ lớn phần

tử diện tích vi cấp khoảng cách r so với tâm tán xạ ứng với góc khối dΩ; Φtx=

H

jtxdSr

là dịng hạt tán xạ qua mặt kín bao quanh tâm tán xạ, mặt lấy tích phân giả thiết cách tâm tán xạ, coi điểm mặt này, hạt tán xạ bay theo phương xuyên tâm

Theo (3.4), tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần tỷ số xác suất tán xạ toàn phần hạt (trong đơn vị thời gian) mật độ dòng xác suất chùm hạt tới

Khi tương tác hạt phụ thuộc vào khoảng cách chúng, tốn chuyển động hai hạt quy hai toán chuyển động hạt: Một toán xét chuyển động hạt với khối lượng rút gọn m∗ = m1m2/(m1 +m2) tâm

qn tính Cịn tốn thứ hai xét chuyển động tự tâm quán tính Nghiệm tốn thứ cho ta góc tán xạθ hệ tâm quán tính Việc chuyển từ hệ tâm quán tính sang hệ phịng thí nghiệm thực công thức

tgθ1 =

m2sinθ m1+m2cosθ

, θ2 = π−θ

trong θ1 góc tán xạ hạt thứ nhất, θ2 góc giật lùi hạt thứ hai xác định

trong hệ phịng thí nghiệm, cịn θ góc lệch hạt thứ hệ tâm quán tính Trong chương này, ta khảo sát tán xạ hệ tâm quán tính hạt va chạm

3.1.2 Biên độ tán xạ

Chúng ta xét toán tán xạ dừng hạt tán xạ tâm trường lực Chọn tâm tán xạ cố định gốc toạ độ Trụcz hướng theo phương dòng hạt tới

Ở xa tâm lực, hạt tới chuyển động tự do, lượng hạt dương, có phổ liên tục khơng bị lượng tử hố, hàm sóng hạt có dạng sóng phẳng

ψt =eikz (3.6)

Tương tác hạt với tâm lực mơ tả hàm Uˆ(r), giả thiết hàm khác khơng miền khơng gian hữu hạn có r ≤a , mà ta gọi miền tác dụng lực Trong miền này, hạt bị tán xạ, hàm sóng hạt thay đổi

Tuy nhiên, sau hạt tán xạ lại bay xa khỏi tâm lực, lại chuyển động tự Vì dịng hạt tán xạ có phương qua tâm tán xạ, nên chuyển động hạt tán xạ phải mơ tả sóng cầu phân kỳ

ψtx=A(θ, ϕ) ei~k~r

r , (3.7)

trong r, θ, ϕ toạ độ cầu; A(θ, ϕ) gọi biên độ tán xạ, nói chung phụ thuộc vào góc θ, ϕ Trong tán xạ đàn hồi,k có giá trị biểu thức (3.6) (3.7)

3.1.3 Tán xạ đàn hồi hạt khơng có spin

Ở miền tác dụng lực chuyển động (r ≤ a), hạt tán xạ tuân theo phương trình

− ~

2

2m0

∇2ψ(~r) + ˆU(~r)ψ(~r) =Eψ(~r),

(3.8) m0 khối lượng hạt tán xạ Chia hai vế (3.8) cho ~2/(2m0) chuyển vế số

hạng thứ bên phải phương trình, đặt

k2 = 2m0E

~2 =

~ p2

~2, (3.9)

ta suy dạng (3.8)

∇2+k2

ψ(~r) = 2m0

~2

ˆ

U(~r)ψ(~r) (3.10) Nghiệm phương trình (3.10) khoảng cách xa so với tâm tán xạ(ra⇒Uˆ(~r) = 0), tổng hàmψt ψtx

ψ =eikz+A(θ, ϕ)e

i~k~r

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 50 Trong biểu thức (3.11), số hạng thứ bên phải viết toạ độ Descartes, mô tả chuyển động hạt tới; số hạng thứ hai viết hệ toạ độ cầu mô tả chuyển động hạt tán xạ

Mật độ dòng hạt tới

jt = ~

2m0i

(ψt∗∇ψt−ψt∇ψt∗) (3.12)

Do phụ thuộc vào z nên gọi~ez vectơ đơn vị theo phương z, ~jt = ~

~ez

2m0i

ψ∗t∂ψt ∂z −ψt

∂ψt∗ ∂z

= ~~k

m0

=~v0, (3.13)

trong đó~v0 vận tốc hạt tới Rõ ràng hàm sóng ψt chuẩn hố cho mật độ dòng

các hạt tới trị số vận tốc hạt tới vô cực

Gradient hệ toạ độ cầu xác định công thức ∇ψ = ∂ψ

∂r~er+

1

r ∂ψ

∂θ~eθ+

1

rsinθ ∂ψ

∂ϕ~eϕ (3.14)

Ta xét thành phần xuyên tâm~jr dòng hạt tán xạ, nên

~jr = ~ 2m0i

(ψ∗tx∇ψtx−ψtx∇ψtx∗ ) = ~~er 2m0i

ψ∗tx∂ψtx ∂r −ψtx

∂ψtx∗ ∂r

(3.15)

Thay ψtx =A(θ, ϕ)ei~k~r/r, ta thu ~jr = ~

~k m0r2

|A(θ, ϕ)|2 (3.16)

Thế kết tính (3.13) (3.16) vào (3.3), ta thu biểu thức cho tiết diện tán xạ vi phân

dσ(θ, ϕ) =|A(θ, ϕ)|2 dS

r2 =|A(θ, ϕ)|

dΩ (3.17)

Như việc xác định tiết diện tán xạ vi phân quy việc tìm biên độ tán xạ Việc tính biên độ tán xạ thường tiến hành sau: Tìm nghiệm phương trình Schrõdinger cho chuyển động hạt trường tâm tán xạ Tại khoảng cách xa tâm, nghiệm có dạng (3.11) Khi hệ số nhân tử exp

i~k~r

/r cho ta biên độ tán xạ cần tìm Dựa vào phương pháp hàm Green, viết nghiệm phương trình (3.10) dạng

ψ =ψ0+

Z

G(~r, ~r0)2m0

~2 U(~r

0

)ψ(~r0)d3r0, (3.18) G(~r, ~r0) hàm Green mà ta xác định sau, ψ0 nghiệm phương trình

khơng có vế sau

nghiệm phương trình có dạng sóng phẳng exp(i~k~r) = exp(ikz) Đặt F(~r) = (2m0U/~2)ψ(~r), phương trình (3.10) trở thành

∇2+~k2ψ(~r) = F(~r), (3.19)

Đặt

ψ(~r) =

Z

V~q

A~qϕ~qd3q, (3.20)

trong

ϕ~q(~r) = ei~q~r

(2π)3/2 (3.21)

Coi ~q vectơ với thành phần qx, qy, qz d3q =dqxdqydqz

Hệ hàm ϕ~q(~r)là hệ hàm trực chuẩn, nghĩa

Z

ϕ∗~q0(~r)ϕ~q(~r)d3r=δ(~q0−~q) (3.22)

Để tìm A~q, ta thay (3.21) vào vế trái (3.19)

∇2+~k2

Z

A~qϕ~qd3q=

Z

∇2(A ~

qϕ~q(~r)) +k2A~qϕ~q(~r)

d3q (3.23) Dùng (3.19) ý dòng tán xạ xuyên tâm nên

∇2 ei~q~r

= ∂

2 ∂~r2e

i~q~r =−q2ei~q~r,

toán tử∇2 = (∂2)/(∂~r2) không tác dụng lên A ~

q(θ, ϕ), ta viết lại (3.23)

∇2+~k2

Z

A~qϕ~qd3q= (2π)3/2

Z

∇2+~k2

A~qei~q~rd3q (3.24) Theo phương trình (3.19) trở thành

1 (2π)3/2

Z

A~q k2−q2

ei~q~rd3q=F(~r) (3.25) Nhân hai vế (3.25) với ψ~q∗0(~r) = (2π)13/2 exp(−i~q

0~r)

rồi lấy tích phân theo d3r trên toàn vùng

giá trị của~r, ta (2π)3

Z

A~q k2−q2

ei(~q−~q0)~rd3qd3r= (2π)3/2

Z

F(~r)e−i~q0~rd3r,

1 (2π)3

Z

A~q k2−q2

ei(~q−~q0)~rd3qd3r=

Z

A~q k2−q2

1 (2π)3

Z

ei(~q−~q0)~rd3r

d3q,

=

Z

A~q k2−q2

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 52 =A~q0 k2 −q02,

Theo (3.25) trở thành

A~q0 k2−q02 =

1 (2π)3/2

Z

F(~r)e−i~q0~rd3r,

hay

A~q0 =

1 (2π)3/2

1

k2−q02

Z

F(~r)e−i~q0~rd3r,

chuyển~q0 thành ~q ta có biểu thức cho biên độ tán xạ

A~q =

1 (2π)3/2

1

k2−q2

Z

F(~r)e−i~q~rd3r (3.26) Thay kết tính vào (3.20) lưu ý (3.21), ta có

ψ(~r) =

Z Z

1 (2π)3/2

1

k2−q2F(~r

0

)e−i~q~r0 e i~q~r

(2π)3/2d 3qd3r0

, (3.27)

Lưu ý ~r0 R d3r0

là biến tích phân, ~r ψ(~r) toạ độ hàm ψ Từ (3.27), ta viết

ψ(~r) =

Z

F(~r0)

1 (2π)3

Z

ei~q(~r−~r0) k2−q2d

3q

d3r0 (3.28)

Đặt

G(~r, ~r0) = (2π)3

Z

ei~q(~r−~r0) k2 −q2d

3q, (3.29)

thì (3.28) viết lại thành

ψ(~r) =

Z

F(~r0)G(~r, ~r0)d3r0 (3.30) Bây ta xét ý nghĩa hàm Green

Dạng ψ(~r)tuỳ thuộc vào dạng số hạng F(r~0), cịn hàm GreenG(~r, ~r0)là hàm tính Cụ thể cho

F(~r0) =δ(~r0−~r0),

thì

ψ(~r) =

Z

δ(~r0−~r0)G(~r, ~r0)d3r0 =G(~r, ~r0)

Như vậy, hàm GreenG(~r, ~r0) nghiệm phương trình

∇2+k2

ψ(~r) = δ(~r−~r0)

Biểu thức hàm Green theo (3.29) có dạng

G(~r, ~r0) = (2π)3

Z ei~q(~r−~r0) k2 −q2d

vectơ ~q thể biến tích phân, ~r, ~r0 hai bán kính vectơ tuỳ ý Ta chọn thành phần ~qz

trùng phương với~r−~r0, cịn d3q=q2dqsinθdθdϕ ~

q(~r−~r0) =q|~r−~r0|cosθ =qχcosθ,

trong ta đặt χ=|~r−~r0| Do

G(~r, ~r0) = (2π)3

Z Z Z eiqχcosθ k2−q2q

2sinθdqdθdϕ=−eikχ

4πχ, G(~r, ~r0) =− e

ik|~r−~r0|

4π|~r−~r0| (3.31) Vậy (3.30) viết

ψr(~r) =− 4π

Z

F(~r0)e

ik|~r−~r0|

|~r−~r0|d

3

r0 (3.32)

Đây nghiệm riêng phương trình Schrõdinger có vế sau Nghiệm tổng qt phương trình tổng hai nghiệm

ψ(~r) = eikz+ψr(~r) = eikz−

1 4π

Z

F(~r0)e

ik|~r−~r0| |~r−~r0|d

3r0

(3.33)

Xét trường hợp miền tác dụng lực hệ có kích thước nhỏ |~r0| |~r|, miền U(~r0)6= 0, ngồi miền U(~r0) = Từ hình vẽ 3.2, ta có|~r−~r0|=r−r0cosα

r0cosα= ~r.~r

r nên |~r−~r

0| ≈

r−~r.~r

r

Do

ψ(~r) = eikz+ψr(~r) = eikz−

1 4π

Z

F(~r0)e

ik“r−~r.~r0 r

”

r− ~r.~r0

r

d

3r0

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 54 Nếu ta xem |~r−~r0| ≈ r gọi n~ =~r/r, ~k.(~r/r) =k~n =~kr vectơ sóng hướng theo phương bán kính vectơ, đặc trưng cho phương truyền sóng sóng cầu phân kỳ Vì tán xạ đàn hồi nên |~kn|=k ThayF(~r0) = (2m0U/~2)ψ(~r0) khai triển vào (3.33), ta

ψ(~r) =eikz − e

i~k~r

4πr

Z

2m0U(~r0)

~2 ψ(~r

0

)e−i~k~r0d3r0, (3.35) hay

ψ(~r) = eikz+A(θ, ϕ)e

i~k~r

r , (3.36)

trong

A(θ, ϕ) =− m0 2π~2

Z

U(~r0)ψ(~r0)e−i~k~r0d3r0 (3.37) Về mặt lý thuyết, biết biên độ tán xạ A(θ, ϕ), ta tính tiết diện tán xạ hiệu dụng Mặt khác, A(θ, ϕ) tương tác U(~r), biết U(~r) ta tính A(θ, ϕ) tính tiết diện vi phân dσ Về mặt thực nghiệm, ta đo dσ, nên tính biên độ tán xạ A(θ, ϕ), từ tính U(~r) Đó phương pháp thực nghiệm để khảo sát tương tácU(~r) chưa biết

3.2 Tán xạ đàn hồi phép gần Born

Trong phép gần cấp không, ta bỏ qua số hạng hàm sóng có chứa năng:

ψ0(~r) =eikz =ei~k0~r, (3.38)

trong đó~k0 = k~n0 =k~ez Trong phép gần cấp một, thay cho hàm sóng vế phải

(3.35), ta đưa vào hàm sóng cấp không ψ0(~r) Nghĩa là: ψ(~r) =eikz −m0e

i~k~r

2π~2r

Z

U(~r0)ei(~k0−~k)~r0d3r0, (3.39)

Trong phép gần cấp này, biên độ tán xạ

A(θ, ϕ) =− m0 2π~2

Z

U(~r0)ei~ρ~r0d3r0, (3.40) ta ký hiệu

~

ρ=~k0−~k (3.41)

Từ hình vẽ 3.3, mơđun vectơ va chạm ~ρđược xác định hệ thức

ρ=k|~n−~n0|= 2ksin θ

2 = 2m0v

~ sin

θ

2 (3.42)

Một cách tương ứng, vectơP~ =~~ρđược gọi vectơ truyền xung lượng Nếu không phụ thuộc vào góc, nghĩa U = U(r) (3.40) thực phép lấy tích phân theo góc

A(θ, ϕ) =− m0 2π~2

Z ∞

0

U(r0)r02dr0

Z π

0

eiρr0cosθsinθdθ

Z 2π

0 dϕ,

A(θ, ϕ) = −2m0

~2 Z ∞

0

U(r0)sin(ρr 0)

ρr0 r 02dr0

(3.43)

Trong phép gần cấp một, biên độ tán xạ xác định luỹ thừa Trường hợp xét đối xứng cầu, biên độ tán xạ khơng phụ thuộc vào góc ϕ Thay biểu thức (3.40) vào (3.17), ta có biểu thức tiết diện tán xạ vi phân gọi công thức Born:

dσ =|A(θ, ϕ)|2dΩ = m

4π2

~4

Z ∞

0

U(r0)ei~ρ~r0d3r0

2 dΩ

dσ = 4m

2

~4

Z ∞

0

U(r0)sin(ρr 0)

ρr0 r 02dr0

2

dΩ (3.44)

Công thức ứng dụng nhiều vật lý hạt nhân Trường hợp giá trị nhỏ góc tán xạ

dσ= 4m

2

~4

Z ∞

0

U(r0)r02dr0

2

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 56 không phụ thuộc vào vận tốc hạt

Tiếp tục phép tính gần kế tiếp, nghĩa thay (3.39) vào vế phải (3.35), ta tìm hàm sóng biên độ tán xạ phép gần cấp hai, xác định tích phân bình phương tương tác Một cách tương tự, ta tìm hiệu với cấp

Bây giờ, ta xét điều kiện để ứng dụng cơng thức Born Thế tương tác hạt tán xạ với trường tán xạ phép gần Born giả thiết nhỏ xem nhiễu loạn Từ (3.10), ta chứng minh Uˆ(~r) xem nhiễu loạn hai điều kiện sau thực hiện:

|U| ~

2 m0a2

(với ka≤1) (3.46)

hay

|U| ~v

a =

~2

m0a2

ka (với ka1), (3.47)

trong a bán kính tương tác trường U, cịnU có cấp độ lớn trường miền tồn

Biểu thức~2/(m

0a2)về cấp độ lớn độ sâu cực tiểu giếng bán kínha,

đó có xuất mức lượng Từ rút ý nghĩa đơn giản điều kiện để ứng dụng phép gần Born cho hạt tán xạ chậm Cụ thể từ điều kiện (3.46), suy lượng tương tác trung bình phải nhỏ so với cực tiểu hạt giếng thế, có hình thành trạng thái liên kết Khi điều kiện (3.46) thực hiện, phép gần Born ứng dụng cho tất vận tốc

3.3 Phương pháp sóng riêng phần

Ngồi lý thuyết gần khảo sát, người ta phát triển lý thuyết tán xạ xác gọi lý thuyết tán xạ pha hay lý thuyết tán xạ sóng riêng phần Trong lý thuyết này, người ta khơng có giả thiết cho tương tácU Vì vậy, ứng dụng với giá trị lượng hạt tán xạ Sơ đồ chung lý thuyết tán xạ sóng riêng phần không khác với sơ đồ mô tả tiết trước Hàm sóng hạt tán xạ xa tâm có dạng

ψ(~r) =eikz+A(θ)e

i~k~r

r , (3.48)

do trường tán xạ đối xứng xuyên tâm theo phương z nên biên độ tán xạ khơng thể phụ thuộc vào góc ϕ Cả hàm sóng ψ không phụ thuộc vào ϕ Tuy U(~r) = U(r), nghiệmψ phương trình Schrõdinger hệ khác với nghiệm hàm sóng trường xuyên tâm chổ xét chuyển động vô hạn nghiệm phải thoả mãn điều kiện biên cho dáng điệu nghiệm (với r → ∞) phải xác định công thức (3.48)

Ta biết trường đối xứng xuyên tâm, nghiệm tổng qt phương trình Schrõdinger có dạng

ψ(r, θ, ϕ) = X

`,m

trong đób`m hệ số khơng đổi xác định điều kiện biên điều kiện chuẩn hố

Do khơng phụ thuộc vào góc ϕ nên hàm sóng cịn lại số hạng tổng cóm = 0, nghĩa có hàm cầu

Y`0(θ) =

r

2`+

4π P`(cosθ), (3.50)

trong P`(x) đa thức Legendre xác định công thức

P`(x) =

1

`!2` d` dx`

(x2−1)`

(3.51)

Do cơng thức (3.49) trở thành

ψ(r, θ) =X

`

b`R`(r)P`(cosθ) (3.52)

Mỗi số hạng tổng (3.52) gọi sóng riêng phần thứ ` Như vậy, nghiệm phương trình (3.10) trường hợp biểu diễn dạng chồng chất hàm sóng phổ liên tục (chuyển động vô hạn), tương ứng với chuyển động trường cho hạt có lượng (~2k2)/(2m

0) với giá trị ` khác mơmen quỹ

đạo có hình chiếu m=

Dạng tiệm cận ψ(r, θ) khir → ∞

ψ(r → ∞, θ)≈ ∞

X

`=0

b`P`(cosθ)

a`sin (kr+δ`−π`/2)

r

Đưa ký hiệu b`a` =C`/k, công thức trở thành ψ(r→ ∞, θ)≈

∞

X

`=0

C`P`(cosθ)

sin (kr+δ`−π`/2)

kr (3.53)

Khai triển hàm exp(ikz) (3.48) theo đa thức Legendre, ta có

eikz =eikrcosθ = ∞

X

`=0

f`(r)P`(cosθ) (3.54)

Để tính f`(r), ta đổi biến số x= cosθ, (3.54) trở thành

eikz =eikrx = ∞

X

`=0

f`(r)P`(x) (3.55)

Nhân P`0(x) với (3.55) lấy tích phân theo x, ta có

Z

−1

eikrxP`0(x)dx=

∞

X

`=0 f`(r)

Z

−1

P`0(x)P`(x)dx=

∞

X

`=0 f`(r)

2

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 58 Suy ra:

f`(r) = 2`+

Z

−1

P`(x)eikrxdx (3.56)

Phép tính vế phải (3.56) với r lớn cho ta kết

f`(r) = 2`+ e

i`π/2ei(kr

−`π/2)−e−i(kr−`π/2)

ikr ,

f`(r) =i`(2`+ 1)

sin(kr−`π/2)

kr (3.57)

Như

eikz = ∞

X

`=0

i`(2`+ 1)sin(kr−`π/2)

kr P`(cosθ) (3.58)

Trong số hạng thứ hai vế phải biểu thức hàm sóng (3.48), ta khai triển biên độ tán xạ A(θ)theo đa thức Legendre Khai triển có dạng:

A(θ) = ∞

X

`=0

g`P`(cosθ), (3.59)

trong g` số Thay biểu thức (3.58) (3.59) vào (3.48), ta thu công

thức tiệm cận sau cho hàm ψ hạt tán xạ

ψ(r, θ) = ∞

X

`=0

i`(2`+ 1)sin(kr−`π/2)

kr P`(cosθ) +

∞

X

`=0

g`P`(cosθ)e

i~k~r

r (3.60)

Biểu diễn hàm sin trở lại hàm e mũ vài` = exp(i`π/2) cân hai biểu thức (3.60) (3.53), ta tính

g` =

2`+ 2ik e

2iδ`−1

, (3.61)

trong δ` góc pha ứng với sóng riêng phần thứ ` Cuối cùng, thay biểu thức (3.61) vào

(3.59), ta công thức cho biên độ tán xạ

A(θ) = 2ik

∞

X

`=0

(2`+ 1) e2iδ`−1

P`(cosθ), (3.62)

và suy tiết diện tán xạ vi phân

dσ(θ) = 2k2

∞

X

`=0

(2`+ 1) e2iδ`−1P`(cosθ)

2

dΩ (3.63)

Tiết diện tán xạ hiệu dụng toàn phần σ thu cách lấy tích phân (3.62) theo tồn góc khối 4π Với

ta có

σ=

Z 4π

dσ=

4k2

Z ( ∞ X

`=0

(2`+ 1) e2iδ`−1P`(cosθ)

)

×

×

( ∞ X

`0=0

(2`0+ 1) e−2iδ`0 −1P`0(cosθ)

)

2π[−d(cosθ)]

σ = π(2i)

2 k2

∞

X

`,`0=0

(2`+ 1)(2`0+ 1) e2iδ`−1×

× e−2iδ`0 −1(−2π)

Z −1

1

P`(x)P`0(x)dx

Đối với đa thức Legendre, ta có tính chất

Z

−1

P`(x)P`0(x)dx=

2 2`+ 1δ``0 Nên kết viết lại

σ = π

k2

∞

X

`=0

(2`+ 1) e2iδ`−1 e−2iδ`0 −1,

σ = π(2i)

2 k2

∞

X

`=0

(2`+ 1)e

iδ`(eiδ`−e−iδ`)e−iδ`(e−iδ`−eiδ`)

(2i)2

Chuyển sang hàm sin, ta công thức

σ = 4π

k2

∞

X

`=0

(2`+ 1) sin2δ` (3.64) Ta gọi tiết diện tán xạ riêng phần

σ` =

4π

k2(2`+ 1) sin

δ`, (3.65)

thì tiết diện tán xạ tồn phần tổng tiết diện tán xạ riêng phần

σ= ∞

X

`=0

σ` (3.66)

Giá trị cực đại tiết diện tán xạ riêng phần hạt có mơmen `

(σ`)max =

4π

k2(2`+ 1) (3.67)

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.3: Lý thuyết tán xạ lượng tử 60 nhanh Khi lượng hạt tăng lên mơmen hạt tán xạ tăng Như vậy, số số hạng chuỗi giữ vai trò chủ yếu lượng hạt tán xạ bé (tăng chậm) Do đó, lý thuyết tán xạ sóng riêng phần đặc biệt quan trọng cho việc nghiên cứu hạt tán xạ chậm

Còn hàm sóng, thay (3.61) vào (3.60), ta thu biểu thức tiệm cận (r → ∞) cho hàm sóng ψ

ψ(r, θ) = ∞

X

`=0

(2`+ 1)ei(δ`+`π/2)P`(cosθ)

sin(kr+δ`−`π/2

kr ,

ψ(r, θ) = 2k

∞

X

`=0

(2`+ 1)P`(cosθ)

(−1)`e −ikr

r −e

2iδ`e ikr r

(3.68)

Số hạng thứ dấu ngoặc vuông công thức (3.68) biểu diễn sóng cầu hội tụ với biên độ (−1)`, cịn số hạng thứ hai biểu diễn sóng cầu phân kỳ với biên độ S

` = e2iδ`

Môđun hai biên độ đơn vị Do đó, hàm ψ mơ tả tán xạ đàn hồi có dạng sóng đứng tạo chồng chất sóng cầu hội tụ sóng cầu phân kỳ

Theo cơng thức hàm sóng trên, ta thu mật độ dòng xác suất tương ứng với sóng hội tụ

~jsđ= ~

2mi|(−1) `|2

eikr

r ∇

e−ikr r

− e −ikr

r ∇

eikr r

= −~k 2m0r2

~er, (3.69)

trong đó~er vec tơ đơn vị bán kính vec tơ~r

Tương tự, ta thu biểu thức cho mật độ dòng xác suất tương ứng với sóng phân kỳ

~jpk = ~ k m0r2

~er (3.70)

Rõ ràng hai vec tơ mật độ dòng~jsđ,~jpk khác hướng Do đó, dịng xác suất tương

Chương 4

Cơ học lượng tử tương đối tính

Các chương trước nghiên cứu tính chất hạt vi mơ có khối lượng nghỉ khác không chuyển động với vận tốc nhỏ so với vận tốc ánh sáng c chân khơng Các vi hạt tn theo phương trình Schrõdinger Đó phương trình học lượng tử cổ điển Nhờ máy gia tốc đại, vận tốc vi hạt có khối lượng nghỉ tăng tốc đến vận tốc gần vận tốc ánh sáng Trong trường hợp này, học lượng tử cổ điển với phương trình Schrõdinger khơng cịn sử dụng Hơn nữa, thiếu sót phương trình Schrõdinger không xét đến spin vi hạt Trong học lượng tử cổ điển, phương trình Schrõdinger cho hạt chuyển động tự có khối lượng m0 suy

từ mối tương quan cổ điển:

H = p

2

2m0

(4.1)

Nếu thay

H →Hˆ =i~∂

∂t; ~p→

ˆ

~

p=−i~ ∂

∂~r =−i~

~i ∂ ∂x +~j

∂ ∂y +~k

∂ ∂z

(4.2)

Ta tìm phương trình Schrõdinger

i~∂ψ ∂t =−

~2

2m0∇

2ψ. (4.3)

Từ phương trình này, ta suy phương trình liên tục cho vectơ mật độ dòng xác suất

∂w

∂t +∇~j = 0, (4.4)

trong

w=|ψ|2 ≥0 và ~j = i~

2m0

(ψ∇ψ∗−ψ∗∇ψ) (4.5)

4.1 Phương trình Klein-Gordon (K-G)

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.4: Cơ học lượng tử tương đối tính 62 Minkowski (hay với phép biến đổi Lorentz) Các phương trình bất biến chúng mơ tả dạng phương trình bốn chiều Các phương trình (4.3) phương trình (4.4), (4.5) khơng thoả mãn yêu cầu tham gia phép lấy đạo hàm theo bốn toạ độ

x1 =x;x2 =y;x3 =z;x4 =icttrong phương trình khơng cấp

Để thu phương trình lượng tử tương đối tính cho hạt vi mơ chuyển động tự có vận tốc lớn, ta phải tìm biểu thức cổ điển Hamiltonian (4.1) biểu thức tương đối tính

H2 =c2p2 +m20c4 (4.6)

Theo đó, phương trình lượng tử tương đối tính viết −~2∂2ψ

∂t2 = −c

~2∇2+m20c

ψ (4.7)

hay

∇2

ψ−

c2 ∂2ψ

∂t2 − m2

0c2

~2 ψ = (4.8)

Ta đưa vào toán tử d’Alembert ∇2

α = ∂2 ∂x2

α

≡ ∇2− c2

∂2 ∂t2 =

∂2 ∂x2

1

+ ∂

2 ∂x2

2

+ ∂

2 ∂x2

3

+ ∂

2 ∂x2

4

, với α= 1,2,3,4 (4.9) Theo đó, (4.8) viết lại

∇2 α−

m2 0c2

~2

ψ = (4.10)

Toán tử ∇2

α−m20c2/~2 gọi tốn tử Klein-Gordon, phương trình (4.10) gọi

là phương trình Klein-Gordon Đây phương trình bất biến tương đối tính tốn tử Klein-Gordon tốn tử vơ hướng bốn chiều

Ta tìm ý nghĩa vật lý phương trình Klein-Gordon (4.10) Muốn vậy, ta nhân hai vế phương trình (4.8) với ψ∗ nhân hai vế phương trình liên hiệp phức (4.8) với ψ trừ kết cho nhau, ta thu được:

1

c2 ∂ ∂t

ψ∗∂ψ ∂t −ψ

∂ψ∗ ∂t

=−∇(ψ∇ψ∗ −ψ∗∇ψ) (4.11) Nhân hai vế phương trình với ie~/(2m0) đưa vào mật độ điện tích

we = ie~ 2m0c2

ψ∗∂ψ ∂t −ψ

∂ψ∗ ∂t

(4.12)

và mật độ dòng điện

~je= i~

2m0

(ψ∇ψ∗ −ψ∗∇ψ), (4.13)

ta thu

∂we

∂t +∇~je = (4.14)

Trong trường hợp cổ điển, v c⇒E =m0c2(1 +v2/(2c2) + )giúp cho ta rút từ

(4.12) biểu thức we →w = e|ψ|2 hồn tồn phù hợp với phương trình lượng tử cổ điển

Tuy nhiên, từ mật độ điện tích we suy mật độ xác suất wm =we/e wm =

i~

2m0c2

ψ∗∂ψ ∂t −ψ

∂ψ∗ ∂t

, (4.15)

đại lượng có chứa ψ và(∂ψ)/(∂t) đại lượng độc lập nên dương âm, khơng thể coi mật độ hạt

4.2 Phương trình Dirac

Phương trình K-G gặp khó khăn mật độ xác suất âm, cần phải tránh đạo hàm theo thời gian biểu thức wm Như vậy, thân hàm sóng chứa

đạo hàm bậc theo thời gian Do yêu cầu thuyết tương đối đạo hàm theo không gian phải bậc Mặt khác, nguyên lý chồng chất trạng thái địi hỏi phương trình phải tuyến tính Do đó, phương trình sóng cần phải tìm phải phương trình vi phân tuyến tính theo thời gian theo toạ độ không gian

Trên sở nhận định vậy, Dirac đưa phương trình sau để mơ tả chuyển động hạt tự

i~∂ψ ∂t =

βx0 ∂ ∂x +β

0

y ∂ ∂y +β

0

z ∂ ∂z +β

0

0

ψ (4.16)

Để thuận tiện, ta viết

i~∂ψ ∂t =

ˆ

βxpˆx+ ˆβypˆy + ˆβzpˆz+ ˆβ0

ψ, (4.17)

trong pˆx,pˆy,pˆz tốn tử hình chiếu xung lượng ~pˆtrên trục toạ độ, cịn tốn

tử βˆx,βˆy,βˆz khơng chứa toạ độ Tính chất tốn tử βˆi(i = x, y, z) xác định sau

Đưa vào ký hiệu

ˆ

H = ˆβxpˆx+ ˆβypˆy + ˆβzpˆz+ ˆβ0 (4.18)

Phương trình (4.17) có dạng

i~∂ψ

∂t = ˆHψ (4.19)

Nếu Hˆ thực Hamiltonian, theo lý thuyết tương đối, ta có ˆ

H2 =c2 pˆ2x+ ˆp2y + ˆp2z+m20c4 (4.20) Bình phương (4.18) đối chiếu với (4.20), ta có

ˆ

βx2 = ˆβy2 = ˆβz2 =c2; βˆ02 =m20c4; ˆ

βiβjˆ + ˆβjβiˆ = 0, i6=j βiˆβ0ˆ + ˆβ0βiˆ = 0; i, j =x, y, z

Đặt

βi =cαˆi βˆ0 =m0c2β,ˆ (4.21)

ta có

ˆ

αiβˆ+ ˆβαˆi = 0; αˆ2i = ˆβ2 = 1,

ˆ

αiαjˆ + ˆαjαiˆ = với i 6= j

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.4: Cơ học lượng tử tương đối tính 64 Dựa vào (4.21) (4.22), phương trình (4.17) viết lại

i~∂ψ ∂t =

h

c( ˆαxpˆx+ ˆαypˆy+ ˆαzpˆz) +m0c2βˆ

i

ψ, (4.23)

Đây phương trình Dirac Nếu đặt ˆ

~

α = ˆαx~i+ ˆαy~j+ ˆαz~k,

thì (4.23) trở thành

i~∂ψ

∂t = ˆHψ với Hˆ =c

ˆ

~

α~pˆ+m0c2β.ˆ (4.24)

Bây tìm dạng cụ thể tốn tử αˆx,αˆy,αˆz βˆ Chúng ta thử

tìm tốn tử dạng tập hợp số, nói chung phức, nghĩa dạng ma trận vng có dạng

ˆ

αx =

   

a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann

   

Trước hết cần xác định số n Các ma trận αˆ βˆđều có số chiều n Muốn xác định n, ta cần đối ứng ma trận αˆ βˆ với định thức tương ứng chúng

Ta nhớ lại tính chất định thức

det( ˆαxβˆ) =det( ˆαx).det( ˆβ) (4.25)

Từ quy tắc giao hốn (4.22), ta viết ˆ

αxβˆ=−βˆαˆx =−Iˆβˆαˆx

trong Iˆlà ma trận đơn vị cấp n Dùng hệ thức (4.25), ta có

det( ˆαxβˆ) = det( ˆαx)det( ˆβ) = det( ˆβ)det( ˆαx) = det(−Iˆ)det( ˆβ)det( ˆαx)

vì định thức số phức nên giao hốn được,

det(−Iˆ) = ⇔(−1)n = : n chẵn (4.26) a) Trường hợp n= 2: Các ma trận cần tìm hạng Chúng ta gặp ma trận hạng 2, ma trận Pauli

ˆ

σx =

0 1

; σˆy =

0 −i

i

; σˆz =

1 0 −1

; Iˆ2 =

1 0

(4.27) Tuy nhiên, ma trận không thoả mãn điều kiện phản giao hoán (4.22), khơng phải tốn tử σiˆ βˆcần tìm

b) Trường hợp n = 4: Ta xây dựng ma trận với tính chất yêu cầu (4.22) Đó ma trận Dirac đưa sau

ˆ

αx =

   

0 0 0 0 0 0

   

; αˆy =

   

0 0 −i

0 i 0 −i 0

i 0

   

ˆ

αz =

   

0 0 0 −1 0 0 −1 0

    ; βˆ=    

1 0 0 0 0 −1 0 0 −1

   

(4.28)

Dùng ma trận Pauli, ta viết gọn ˆ

αx =

0 σˆx

ˆ

σx

; ˆαy =

0 ˆσy

ˆ

σy

; ˆαz =

0 σˆz

ˆ

σz

; ˆβ =

ˆ

I2

0 −Iˆ2

(4.29)

Dễ dàng nghiệm lại rằng, ma trậnαi,ˆ βˆlà ma trận hermitic, nghĩa chuyển vị ma trận lấy liên hiệp phức, ma trận trở lại với ma trận ban đầu

ˆ

αx+ = ˆαx; αˆ+y = ˆαy; αˆ+z = ˆαz; βˆ+= ˆβ (4.30) Với việc đưa vào ma trận hạng này, phương trình Dirac mơ tả tính chất hạt có spin 1/2 Ứng với n >4sơ đồ lý thuyết không bị phá huỷ

Bây giờ, với n = 4, ma trận Dirac hạng chọn trên, hàm sóng hệ vi mơ mô tả lưỡng spinơ Dirac

ψ =     ψ1 ψ2 ψ3 ψ4     (4.31)

Theo đó, phương trình (4.23) viết lại

i~∂ ∂t     ψ1 ψ2 ψ3 ψ4     = h

c( ˆαxpxˆ + ˆαypyˆ + ˆαzpzˆ) +m0c2βˆ

i     ψ1 ψ2 ψ3 ψ4    

i~∂ ∂t     ψ1 ψ2 ψ3 ψ4     =        c        

0 0 pˆx

0 pˆx

0 pˆx 0

ˆ

px 0

    +    

0 0 −ipˆy

0 ipˆy

0 −ipˆy 0

ipˆy 0

    +    

0 pˆz

0 0 −pzˆ ˆ

pz 0

0 −pˆz 0

       

+m0c2

   

1 0 0 0 0 −1 0 0 −1

               ψ1 ψ2 ψ3 ψ4     Suy    

i~∂ψ1

∂t i~∂ψ2

∂t i~∂ψ3

∂t i~∂ψ4

∂t     =    

m0c2 cpˆz c(ˆpx−ipˆy)

0 m0c2 c(ˆpx+ipˆy) −cpˆz cpˆz c(ˆpx−ipˆy) −m0c2 c(ˆpx+ipˆy) −cpˆz −m0c2

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.4: Cơ học lượng tử tương đối tính 66 Do đó, ta rút

i~∂ψ1

∂t = c(ˆpx−ipˆy)ψ4 + cpˆzψ3 + m0c 2ψ

1 i~∂ψ2

∂t = c(ˆpx+ipˆy)ψ3 − cpˆzψ4 + m0c 2ψ

2 i~∂ψ3

∂t = c(ˆpx−ipˆy)ψ2 + cpˆzψ1 − m0c 2ψ

3 i~∂ψ4

∂t = c(ˆpx+ipˆy)ψ1 − cpˆzψ2 − m0c 2ψ

4

      

(4.32)

Dễ dàng mở rộng phương trình Dirac sang trường hợp hạt mang điện chuyển động trường điện từ Muốn vậy, thay toán tử ~pˆbằng ~pˆ−(e/c)A~ˆ thêm toán tửeϕ vào tốn tử

ˆ

H, A, ϕ~ˆ theo thứ tự vectơ vô hướng trường điện từ Ta thu phương trình Dirac cho hạt điện vi mô chuyển động trường điện từ

i~∂ψ ∂t =

h

c~αˆ~pˆ− e

c

ˆ

~

A+eϕ+m0c2βˆ

i

ψ (4.33)

Muốn đưa phương trình Dirac dạng đối xứng hơn, ta nhân bên trái (4.33) với toán tử βˆ i~βˆ∂ψ

∂t =

h

cβˆ~αˆ~pˆ−e

c

ˆ

~

A+eϕβˆ+m0c2βˆ2

i

ψ, (4.34)

và đưa vào ma trận sau ˆ

γ1 =−iβˆαˆx; γˆ2 =−iβˆαˆy; ˆγ3 =−iβˆαˆz; γˆ4 = ˆβ

Các ma trậnγiˆ (i= 1,2,3,4)thoả mãn hệ thức giao hoán ˆ

γiˆγk+ ˆγkγˆi = 2δik (4.35)

Dựa vào ma trận γˆi, ta viết lại phương trình Dirac (4.23)

X

i=1

ˆ

γi∂ψ ∂xi

+m0c

~ ψ+

ˆ

γ4 ic

∂ψ

∂t = 0, (4.36)

với lưu ý x4 = ict, ta viết phương trình Dirac dạng bốn chiều hạt chuyển

động tự

ˆ

γµ∂ψ ∂xµ

+ m0c

~ ψ = 0, (4.37)

trong số hạng đầu phép lấy tổng theoµ= 1,2,3,4

Cịn trường hợp hạt chuyển động trường điện từ, ta đưa vào toán tử ˆ

pµ= (~/i)(∂/∂xµ)và bốn chiềuAˆµ ( ˆAx,Aˆy,Aˆz, iϕ/c), ta viết lại (4.33) dạng

h

ˆ

γµ

ˆ

pµ− e c

ˆ

Aµ

−im0c

i

4.3 Mật độ xác suất mật độ dòng xác suất lý thuyết Dirac

Lấy liên hợp hermitic phương trình Dirac (4.24)

i~∂ψ ∂t =

−i~c~αˆ∇+m0c2βˆ

ψ, (4.39)

ta phương trình

−i~∂ψ +

∂t =i~c∇ψ

+α~ˆ++m

0c2ψ+βˆ+, (4.40)

Vì tốn tử ~αˆ βˆlà hermitic, nên ta có −i~∂ψ

+

∂t =i~c∇ψ +ˆ

~

α+m0c2ψ+β,ˆ (4.41)

Nhân bên trái phương trình (4.39) với ψ+ và nhân bên phải phương trình (4.41) với ψ, sau

đó lấy phương trình thứ trừ với phương trình thứ hai, vế theo vế, ta được:

i~

ψ+∂ψ ∂t +

∂ψ+ ∂t ψ

=−i~c

h

ψ+α~ˆ∇ψ+

∇ψ+~αˆ

ψ

i

(4.42)

Từ phép biến đổi

∇( ˆ~αψ) = (∇α~ˆ)ψ+ ˆ~α∇ψ = ( ˆ~α∇)ψ ∇~αˆ=

nên

ψ+( ˆ~α∇)ψ+∇ψ+~αˆψ =ψ+∇( ˆ~αψ) + ∇ψ+~αψˆ =∇ψ+αψ~ˆ ,

và vế trái

ψ+∂ψ ∂t +

∂ψ+ ∂t ψ =

∂ ∂t ψ

+ ψ

Suy phương trình (4.42) trở thành

∂ ∂t ψ

+ψ

=−c∇ψ+αψ~ˆ (4.43)

Đặt

w=ψ+ψ ~j=cψ+αψ.~ˆ (4.44)

Phương trình (4.43) viết lại dạng

∂w

∂t +div~j= (4.45)

Trong đại lượng

w=ψ+ψ = (ψ∗1 ψ∗2 ψ3∗ ψ4∗)

   

ψ1 ψ2 ψ3 ψ4

   

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.4: Cơ học lượng tử tương đối tính 68 đại lượng không âm nên gọi mật độ xác suất tương đối tính Cịn~j gọi mật độ dịng xác suất tương đối tính cho hạt có hàm sóng ψ

Như lý thuyết Schrõdinger, hàm sóng có ý nghĩa xác suất thơng thường Từ tính chất tuyến tính phương trình Dirac ý nghĩa xác suất hàm sóng

ψ, ta rút luận điểm học lượng tử giá trị lý thuyết Dirac, cụ thể là:

1 Đại lượng |Cm(t)|2, Cm(t) hệ số khai triển hàm sóng theo hệ hàm

riêng {ψm(~r, t)}của tốn tử hermitic ψ(~r, t) = X

m

Cm(t)ψm(~r, t),

vẫn hiểu xác suất đo trị riêng Giá trị trung bình xác định

L=

Z

ψ+LψdVˆ

4.4 Nghiệm phương trình Dirac hạt chuyển động tự do

Xét phương trình Dirac hạt vi mơ chuyển động tự

i~∂ψ ∂t =

cα~ˆ~pˆ+m0c2βˆ

ψ (4.47)

Thayψ = exp(−iEt/~)ψ0 vào (4.47), ta thu phương trình cho hàm sóng ψ0 không phụ

thuộc thời gian

cα~ˆ~pˆ+m0c2βˆ

ψ0 =Eψ0 (4.48)

Ta xét trạng thái có xung lượng ~p xác định tìm nghiệm phương trình (4.48) dạng sóng phẳng

ψ0 =uexp

i~p~r

~

, (4.49)

trong u spinơ bốn thành phần

u=

   

u1 u2 u3 u4

   

(4.50)

với u1, u2, u3, u4 số, thành phần ~p số

Thế ψ0 (4.49) vào (4.48), ta thu phương trình Eu=c~αˆp~ˆ+m0c2βˆ

Từ rút hệ phương trình

Eu1 = m0c2u1 + c(px−ipy)u4 + cpzu3 Eu2 = m0c2u2 + c(px+ipy)u3 − cpzu4 Eu3 = −m0c2u3 + c(px−ipy)u2 + cpzu1 Eu4 = −m0c2u4 + c(px+ipy)u1 − cpzu2

       (4.52)

thuần bốn ẩn không đổiui (i= 1,2,3,4) Để nghiệm hệ khơng tầm thường

thì định thức

m0c2−E cpz c(px−ipy)

0 m0c2 −E c(px+ipy) −cpz cpz c(px−ipy) −m0c2−E

c(px+ipy) −cpz −m0c2−E

= (4.53)

quy dạng

E2−c2p2−m20c4 = hay

E2 =c2p2+m20c4 (4.54) Từ suy trị riêng suy biến hai lần E

E+ =

q

c2p2+m2

0c4, (4.55)

E− =−

q

c2p2+m2

0c4 (4.56)

Vậy ứng với giá trị xung lượng xác định ~p, có giá trị lượng suy biến hai lần E+ giá trị lượng suy biến hai lầnE−

Sự suy biến giá trị riêng lượngE+, E− đoán nhận không phụ thuộc lượng điện tử vào định hướng spin Hình chiếu spin lên trục nhận hai giá trị ±~/2 Còn dấu lượng, ý nghĩa sâu xa nhiều: lượng điện tử phản hạt điện tử positron mà hàm sóng chúng tương ứng với spinơ trực chuẩn u(i) (i= 1,2,3,4)sau:

Với lượng E+, hạt có hai hàm riêng tương ứng với hai spinơ

u(1) =

s

m0c2+E+

2E+      cpz m0c2+E+

c(px+ipy) m0c2+E+

    

; u(2) =

s

m0c2+E+

2E+     

c(px−ipy) m0c2+E+

−cpz m0c2+E+

    

Với lượng E−, hạt có hai hàm riêng tương ứng với hai spinơ

u(3) =

s

m0c2 +E− 2E−

     −cpz m0c2+E−

−c(px+ipy) m0c2+E−

1     

; u(4) =

s

m0c2+E− 2E−

    

−c(px−ipy) m0c2+E−

cpz m0c2+E−

0     

Lưu ý giới hạn cổ điển (|~p| mc), thành phần thứ ba, thứ tư

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.4: Cơ học lượng tử tương đối tính 70 4.5 Spin hạt mơ tả phương trình Dirac Từ trước tới nay, sử dụng rộng rãi khái niệm spin Toán tử spin dã đưa vào cách tuý hình thức, nhằm mô tả kiện thực nghiệm Bây giờ, chứng tỏ tồn spin suy trực tiếp từ phương trình Dirac Muốn vậy, ta xét định luật bảo toàn rút từ phương trình Dirac

Đối với hạt chuyển động chân khơng, mơmen hạt bảo tồn Do đó, tốn tử mơmen tồn phần hạt giao hoán vớiHˆ

Xét giao hoán Lˆ Hˆ Để đơn giản, ta xét hạt chuyển động tự Chọn trục z

có hướng tuỳ ý, ta có ˆ

HLˆz−LˆzHˆ =

cα~ˆp~ˆ+m0c2βˆ

ˆ

Lz−Lˆz

c~αˆ~pˆ+m0c2βˆ

Vì Lˆz = (~/i)[y(∂/∂x)]giao hốn với βˆvà αˆzpˆz, nên

ˆ

HLˆz−LˆzHˆ =cαˆx

ˆ

pxLˆz−Lˆzpˆx

+cαˆy

ˆ

pyLˆz−Lˆzpˆy

(4.57)

Dùng tính chất giao hốn

h

ˆ

Lz,pˆx

i

=i~pˆy

h

ˆ

Lz,pˆy

i

=−i~pˆx

để vào (4.57), ta suy ˆ

HLˆz−LˆzHˆ =i~c( ˆαypˆx−αˆxpˆy) (4.58)

Kết tương tự thu cho hình chiếu khác mômen xung lượng

Như mômen xung lượng hạt tự trường hợp khơng phải tích phân chuyển động khơng bảo tồn, ta đưa vào khái niệm mơmen tồn phần

ˆ

~

J =~Lˆ+S~ˆ

trong S~ˆ toán tử chưa biết, với điều kiện cho hJ,~ˆHˆi= 0, (i=x, y, z) Ta xét Jˆz

h

ˆ

Jz,Hˆ

i

= ⇔hLˆz+ ˆSz,Hˆ

i

= hay

h

ˆ

Lz,Hˆ

i

+hSˆz,Hˆ

i

=

Từ (4.58) ta rút kết ˆ

HSˆz−SˆzHˆ =i~c( ˆαxpˆy −αˆypˆx) (4.59)

Để thoả mãn (4.59), ta đặt

ˆ

Sz =Aαˆxαˆy, (4.60)

Dùng hệ thức giao hoán (4.22) cho toán tử αˆi,βˆ, ta thu

ˆ

HSˆz−SˆzHˆ =A

ˆ

Hαˆxαˆy−αˆxαˆyHˆ

=Ac[( ˆαxpˆx+ ˆαypˆy) ˆαxαˆy−αˆxαˆy( ˆαxpˆx+ ˆαypˆy)]

ˆ

HSzˆ −Szˆ Hˆ = 2Ac( ˆαypxˆ −αxˆ pyˆ ) =−2Ac( ˆαxpyˆ −αyˆ pxˆ )

So sánh biểu thức với (4.59), ta suy A=−i~/2 Vậy toán tử Sˆz

ˆ

Sz =− i~

2αˆxαˆy =−

i~

2

0 σˆx

ˆ

σx

0 σˆy

ˆ

σy

=−i~

ˆ

σxσyˆ 0 σˆxσˆy

=−i~

iˆσz 0 iσˆz

ˆ

Sz = ~

2

ˆ

σz

0 σˆz

= ~    

1 0 0 −1 0 0 0 0 −1

   

(4.61)

Bằng cách tương tự, ta thu

ˆ

Sx =− i~

2αˆyαˆz =

~

2

ˆ

σx

0 σˆx

= ~    

0 0 0 0 0 0

    , (4.62) ˆ

Sy =−i~

2αzˆ αxˆ =

~

2

ˆ

σy

0 σˆy

= ~    

0 −i 0

i 0

0 0 −i

0 i

   

(4.63)

Cịn tốn tử

ˆ

S2 = ˆSx2 + ˆSy2+ ˆSz2

Dùng tính chất tốn tử αˆx,αˆy,αˆz, thu

ˆ

S2 = 4~

2Iˆ=

~21

2

1 +

ˆ

I (4.64)

Phân tích kết thu trên, ta gọi J~ˆlàmơmen tồn phần hạt (bảo tồn theo thời gian) Mơmen tồn phần tổng mơmen quỹ đạo mơmen spin hạt Các tốn tử Sˆz Sˆ2 (4.61) (4.64) đưa dạng chéo Khi hình chiếu spin

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.4: Cơ học lượng tử tương đối tính 72 4.6 Chuyển từ phương trình Dirac sang phương trình

Pauli Mơmen từ hạt.

Bây ta khảo sát dạng phương trình Dirac giới hạn gần cổ điển (v c) Ta xét trường hợp tổng quát hạt vi mơ mang điện tích e chuyển động trường điện từ vectơ A~ˆ vơ hướng ϕ

Từ (4.33), phương trình Dirac cho hạt mang điện chuyển động trường điện từ

i~∂ψ ∂t =

h

c~αˆ~pˆ− e

c

ˆ

~

A+eϕ+m0c2βˆ

i

ψ (4.65)

Đặt

ψ =

φ χ

, φ, χ spinơ hai thành phần, (4.66) lưu ý

i~∂ψ

∂t =Eψ, (4.67)

khi trạng thái dừng Thế (4.66) (4.67) vào (4.65), ta có

E−eϕ−m0c2

φ =c~σˆ~pˆ− e

c

ˆ

~

Aχ, (4.68)

E−eϕ+m0c2

χ=c~σˆ~pˆ− e

c

ˆ

~

Aφ, (4.69)

Gọi ε động hạt, theo thuyết tương đối, ta có

E =ε+m0c2

Trong gần cổ điển E −eϕ−m0c2 m0c2, nghĩa vận tốc điện tử v c

trường gây ϕ đủ nhỏ Khi hệ phương trình (4.68), (4.69) chuyển thành

εφ=c~σˆp~ˆ− e

c

ˆ

~

Aχ+eϕφ, (4.70)

χ=

c~σˆ

ˆ

~ p− e

c

ˆ

~ A

ε+ 2m0c2−eϕφ≈

1 2m0c

ˆ

~

σ~pˆ−e

c

ˆ

~

Aφ (4.71)

Thay giá trị χ từ phương trình (4.71) vào phương trình (4.70), ta tìm phương trình chứa hàm spinơφ

εφ=

     h

ˆ

~

σ~pˆ−e c

ˆ

~

Ai

2

2m0

+eϕ

    

φ (4.72)

Đối với ma trận Pauli, dùng hệ thức

để áp dụng vào (4.72) thu

h

ˆ

~σ~pˆ− e

c

ˆ

~

Ai

2

=p~ˆ− e

c

ˆ

~

A

2

− e~

c

ˆ

~

σ rotA.~ˆ (4.73)

Thực vậy, h ˆ ~σ ˆ ~ p− e

c ˆ ~ A i h ˆ ~ σ ˆ ~ p− e

c ˆ ~ A i = ˆ ~ p−e

c

ˆ

~ A

2

+i~σˆ

ˆ

~ p− e

c

ˆ

~ A

×~pˆ− e

c ˆ ~ A ˆ ~ p−e

c

ˆ

~

A×~pˆ− e

c

ˆ

~

A=~pˆ×~pˆ−e

c

ˆ

~

A×~pˆ−e

c

ˆ

~

p×A~ˆ+ e

2 c2

ˆ

~ A×A~ˆ

= ie~

c

∇ ×A~ˆ= ie~

c rot

ˆ

~

A= ie~

c ~ B,

trong B~ vectơ cảm ứng từ trường ta sử dụng

ˆ

~

A×~pˆ+ ˆ~p×A~ˆφ =−i~hA~ˆ× ∇φ+∇ ×Aφ~ˆ i

ˆ

~

A×~pˆ+ ˆ~p×A~ˆ

φ=−i~

hˆ

~

A×(∇φ) +

∇ ×A~ˆ

φ−A~ˆ×(∇φ)

i ˆ

~

A×~pˆ+ ˆp~×A~ˆ

φ=−i~rotAφ.~ˆ

hay

−e

c

ˆ

~

A×~pˆ+ ˆ~p×A~ˆ=

i~e c rot ˆ ~ A

Thế kết (4.73) vào (4.72), ta rút phương trình cổ điển cho chuyển động hạt có spin 1/2 trường điện từ

εφ=      ˆ ~ p− e

c

ˆ

~

A

2

2m0

+eϕ− e~ 2m0c

ˆ

~ σ ~B

     φ, hay

i~∂φ ∂t =      ˆ ~ p−e

c

ˆ

~

A

2

2m0

+eϕ− e~ 2m0c

ˆ

~ σ ~B

     φ (4.74)

Đây phương trình Pauli lượng tử phi tương đối tính

Cơ học lượng tử nâng cao Ch.4: Cơ học lượng tử tương đối tính 74

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đavưđốp A X., Cơ học lượng tử, NXB ĐH & THCN, Hà Nội, 1972

2 Phạm Quý Tư, Đỗ Đình Thanh, Cơ học lượng tử,NXB ĐHSP Hà Nội, 1995 Yung-Kuo Lim,Problems and Solutions on Quantum Mechanics,, NXB Giao Duc, 2008

4 Đặng Quang Khang, Cơ học lượng tử, NXB KH & KT, Hà Nội, 1996

5 Nguyễn Hoàng Phương, Nhập môn Cơ học lượng tử, NXB GD, Hà Nội, 1998 Nguyễn Xuân Hãn, Cơ học lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội, 1998

7 Siegfried Flugge, Practical Quantum Mechanics, Springer-Verlag NewYork Heidel-berg Berlin, 1974

8 Nguyễn Hữu Mình, Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường, Bài tập Vật lý

lý thuyết, tập 2, NXB ĐHQG Hà Nội, 1996