giáo trình cơ lượng tử

Lûn vàn täút nghiãûp GVHD: Nguùn Xn Tỉ & Chỉång 1: SÅ LỈÅÜC L THUÚT BIÃØU DIÃÙN I BIÃØU DIÃÙN CẠC TRẢNG THẠI LỈÅÜNG TỈÍ: ρ Hm sọng Ψ (r ) m ta thỉåìng viãút tỉì trỉåïc âãún l pháưn phủ thüc toả âäü ca hm sọng Hay ta cọ thãø nọi âo lï hm sọng “biãøu diãùn ta âäü” hay “r - biãøu diãùn” ρ Vê dủ: Ψ (r ) = e− x l hm sọng r - biãøu diãùn, chè phủ thüc toả âäü x Båíi le cỵ ỉï cho x mäüt giạ trë xạc âënh thç ta xạc âënh âỉåüc hm sọng ) Ta biãút ràòng mäùi toạn tỉí L biãøu diãùn biãún säú âäüng lỉûc L thç hãû hm riãng ) ρ ca L láûp thnh mäüt hãû âáưy â âãø hm sọng Ψ ( r ) co thãø viãút dảng mäüt täø håüp tuún ca cạc hm riãng ny l: ρ ρ Ψ( r ) = ∑ C n U n ( r ) n ρ ) Trong âọ Cn l hãû säú hàòng säú, cạc hm U n ( r ) l hm riãng ca toạn tỉí L Cạc hm riãng ny l â biãút Váûy nãúu cạc hãû säú phán têch Cn thç hm sọng ρ Ψ( r ) hon toạn âỉåüc xạc âënh Nhỉ váûy táûp håüp cạc säú Cn hon tan cọ thãø thay ρ thãú choΨ( r ) âã mä t trảng thại ca hảt Ta nọi ràòng táûp håüp cạc Cn l hm sng mä t trảng thại ca hảt L - biãøu diãùn Nhỉ váûy, âãø mä t trảng thại ca hãû lỉåüng tỉí ta cọ thãø mä t bàòng hm sọng cho toả âäü biãøu diãùn hay biãøu diãùn no âọ cng âỉåüc Sau âáy, ta s xẹt hm sọng mäüt säú biãøu diãùn củ thãø v sỉû biãún âäøi hm sọng tỉì biãøu diãùn ny sang biãøu diãùn khạc 1.Hm sọng biãøu diãùn ta âäü (r - biãøu diãùn): Trong biãøu diãùn toả âäü, trảng thại lỉåüng tỉí ca hãû âỉåüc kê hiãûu bàòng chè säú a (trảng thại a) v hm sọng biãøu diãùn toả âäü ta âáù lm quen v thỉåìng âỉåüc ρ viãút l Ψa( r ) Âọ l pháưn phủ thüc toả âäü ca hm sọng ρ ρ Trong âọ ( r ) l mäüt táûp håüp toả âäü (x,y,z) Ta cng â biãút ψ a ( r ) máût âäü ρ xạc sút tçm tháúy hảt cọ toả âäü ( r ) hm sọng â chøn hoạ Thỉûc tãú ta â lm viãûc våïi hm sọng biãøu diãùn toả âäü (r - biãøu diãùn) tỉì âáưu giạo trçnh âãún giåì SVTH: Nguùn Thë Nga ? Trang Lûn vàn täút nghiãûp GVHD: Nguùn Xn Tỉ & Hm sọng biãøu diãùn nàng lỉåüng (E - biãøu diãùn): Âãø dãø hiãøu váún âãư, ta xẹt trảng thại ca mäüt hảt chuøn âäüng âiãûn trỉåìng ngoi, nàng lỉåüng c hảt l ám v âọ nàng lỉåüng ca hảt l giạn âoản Cạc trë riãng ca nàng lỉåüng l En (n=1,2,3,4 ) v hm riãng tỉång ỉïng l ρ Un( r ) Theo cháút â ca hãû hm riãng ta cọ: ρ ρ ψ a (r) = ∑ C n U n (r) n Nhỉ ta â nọi åí pháưn trãn, táûp håüp cạc Cn l hm sọng mä t trảng thại a ca hảt E - biãøu diãùn v vç l hm sọng nãn cng viãút l: ϕa(En) Nhỉ váûy tỉì cháút â ca hãû cạc hm riãng, ta cọ cäng thỉïc chuøn âäøi tỉì hm sọng E - biãøu diãùn sang r -biãøu diãùn sau: ρ ρ Ψa( r )= ∑ ϕa(En).Un( r ) (1.1) n V tỉì cäng thỉïc hãû säú phán têch, ta cọ cäng thỉïc chuøn âäøi tỉì hm sọng r - biãøu diãùn sang E -biãøu diãùn sau: ρ ρ ϕ a (E n ) = ∫ U *n ψ a ( r )d ( r ) (1.2) ρ ρ Trong âọ Un( r ) hm riãng ca toạn tỉí nàng lỉåüng, ϕa(En), Ψa( r ) l hm sọng mä t trảng thại a ca hãû lỉåüng tỉí E -biãøu diãùn v r -biãøu diãùn ρ ρ Biãút trảng thại Ψa( r ) ca hãû v cạc hm riãng Un( r ) ca nàng lỉåüng ta tçm âỉåüc hm sọng E - biãøu diãùn m sau ny ta s biãút, âỉåüc mä t bàòng mäüt ma tráûn k hng v mäüt cäüt Nãúu hm sọng r - biãøu diãùn â âỉåüc chøn hoạ thç hm sọng E biãøu diãùn cng âỉåüc chøn hoạ Tháût váy, hm sọng â âỉåüc chøn hoạ nãn: ρ * Ψ Ψ d ( ∫ a a r) = Hay ∑C ρ ρ ρ U *m ( r )∑ C n U n ( r )d( r ) = * m n Hay ∫( ) ∑ ϕ ρ r n * n ∑ϕ * a n a ρ ρ ρ (E m )∑ ϕ a (E n ) ∫ U *m ( r )U n ( r )d( r ) = n (E n )∑ ϕ*a (E m )δ m,n = n ⇒ ∑ ϕ a (E n )∑ ϕ *a (E n ) = * n ⇒ ∑ϕ n a (E n ) = n SVTH: Nguùn Thë Nga ? Trang Lûn vàn täút nghiãûp GVHD: Nguùn Xn Tỉ & Âàóng thỉïc ny chênh l âiãưu kiãûn chøn hoạ ca hm sọng E - biãøu diãùn Hm sọng biãøu diãùn xung lỉåüng (P - biãøu diãùn): ρ Tọan tỉí xung lỉåüng cọ phäø liãn tủc nãn hm riãng ỉïng våïi trë riãng P ca ρ toạn tỉí xung lỉåüng r - biãøu diãùn âỉåüc viãút l: ΨPρ ( r ) v hm phi âỉåüc chøn hoạ vãư hm âenta Tỉïc l: ∫ Ψρ * P ρ ρ p ≠ p′ ρ ρ ρ ρ ( r ) ΨP ( r ) d( r ) = δ ( pρ− pρ′) = ρ ρ ∞ p = p′ Tỉång tỉû E - biãøu diãùn, hm sọng mä t trảng thại a ca hãû lỉåüng ρ tỉí P - biãøu diãùn cng âỉåüc viãút l ϕa ( p) Do âọ ta cọ cäng thỉïc chuøn âäøi hm sọng tỉì P - biãøu diãùn sang r - biãøu diãùn sau: ρ ρ ρ ρ Ψa (r ) = ∫ ϕa (p)ψPρ (r )d(p) (1.3) ρ ρ (Thay cäng thỉïc Ψa ( r ) = ∑ C n U n ( r ) âäúi våïi toạn tỉí cọ phäø cọ phäø giạn n âoản) Tỉì cäng thỉïc hãû säú phán têch ta cng cọ: ρ ρ ρ ρ ϕ a (p ) = ∫ Ψpρ ( r )Ψa ( r )d ( r ) (1.4) (1.4) l cäng thỉïc chuøn trảng thại tỉì r - biãøu diãùn sang p - biãøu diãùn Våïi ρ2 ρ ϕa (P) cng l máût âäü xạc sút tçm tháúy hảt cọ xung lỉåüng l P Ta lỉu ràòng r - biãøu diãùn thç phỉång trçnh trë riãng ca toạn tỉí xung lỉåüng, ta cọ thãø tçm âỉåüc pháưn phủ toả âäü ca hm riãng l: ρ Ψpρ( r) =     e  2πη  ρρ ( p, r ) η II.DẢNG CA TOẠN TỈÍ TRONG CẠC BIÃØU DIÃÙN: ) ρ Ta hy xẹt toạn tỉí tuún A Toạn tỉí ny tạc dủng lãn hm sọng Ψa( r ) ρ ( trảng thại a) s cho hm Ψb( r ) sau: ) ρ ρ A Ψa ( r ) = Ψb ( r ) (1.5) SVTH: Nguùn Thë Nga ? Trang Lûn vàn täút nghiãûp GVHD: Nguùn Xn Tỉ & Ta hy xẹt phỉång trçnh ny L - biãøu diãùn no âọ Mún váûy cạc ρ ρ hm sọng Ψa( r ), Ψb( r ) phi âỉåüc chuøn sang L - biãøu diãùn (theo cạc hãû säú phán ) ) têch bãn cảnh cạc hm riãng ca toạn tỉí L Gi sỉí L cọ phäø giạn âoản thç cạc ρ ρ hm Ψa( r ), Ψb( r ) âỉåüc viãút sau: ρ ρ Ψa( r ) = ∑ ϕ a (L n ) Un( r ) (1.6) n ρ ρ Ψb( r ) = ∑ ϕ b (L n ) Un( r ) (1.7) n ρ ) Trong âọ Un( r ) l cạc hm riãng ỉïng våïi trë riãng Ln ca toạn tỉí L Cn ϕ a (L n ), ϕ b (L n ) l cạc hm sọng mä t trảng thại a v trảng thại b L- biãøu diãùn Ta hy tçm mäúi liãn hãû giỉỵa ϕ a (L n ) v ϕb (L n ) Viãút lải phỉång trçnh(1.4) dỉåïi dảng cáưn quan tám ta cọ: ) ρ ρ A ∑ ϕ a (L n )U n ( r ) = ∑ ϕ b (L n )U n ( r ) n m (1.8) ρ Nhán hai vãú ca phỉång trçnh (1.8) våïi Um*( r ) l hm riãng tỉång ỉïng våïi ) trë riãng Lm ca toạn tỉí L ta âỉåüc: ρ ) ρ ρ ρ U *m ( r )A∑ ϕ a (L n )U n ( r ) = U *m ( r )∑ ϕ b (L n )U n ( r ) n m ρ Láúy têch phán theo r ta âỉåüc: ∑ [∫ U n * m ] [ ] ρ ) ρ ρ ρ ρ ρ ( r )AU n ( r )d( r ) ϕ a (L n ) = ∑ ∫ U *m ( r ) U n ( r )d( r ) ϕ b (L n ) n Têch phán åí vãú trại giäúng trë trung bçnh ca A ρ ) ρ ρ Âàût A mn = ∫ U *m ( r )AU n ( r )d( r ) Thç phỉång trçnh trãn tråí thnh: ∑A n Våïi Nãn: mn δ mn = ∑A n mn ϕ a (L n ) = ∑ ϕ b (L n )δ mn n m ≠ n m = n ϕ a (L n ) = ∑ ϕ b (L m ) ρ n (1.9) ) Ta chụ U n ( r ) l hm riãng ca toạn tỉí L chỉï khäng phi ca Aˆ Cäng thỉïc (1.9) cho ta mäúi liãn hãû ca cạc hm sọng L - biãøu diãùn m ta cáưn tçm Quay lải k hiãûu: ϕ a (L n ) = a n ϕ b (L m ) = b m Thç cäng thỉïc(1.9) s l: ∑ Amnan = bm n SVTH: Nguùn Thë Nga ? Trang Lûn vàn täút nghiãûp GVHD: Nguùn Xn Tỉ & ) Våïi m, n l chè säú cạc hm riãng ca toạn tỉí L ) Nãúu L cọ k hm riãng thç ta cọ: k ∑A n=1 a = bm (m=1,2,3 k) mn n Ta cọ hãû phỉång trçnh: A11a1 + A12a2 + +A1kak = b1 A21a1 + A22a2 + +A2kak = b2 Ak1a1 + Ak2a2 + +Akkak = bk (m=1) (m=2) (m=k) (1.10) Vãú trại ca mäùi phỉång trçnh tuún ca hãû phỉång trçnh (1.10) cọ k säú hảng v cạc hãû säú Amn thç âàûc trỉng cho toạn tỉí Aˆ Nhỉ váûy L - biãøu diãùn, Aˆ âỉåüc biãøu diãùn bàòng mäüt ma tráûn vng k hng, k cäüt våïi cạc pháưn tỉí A mn sau: A ˆ = (A) = A A k2 A 21 k1 A A 22 A A A A 11 12 1k 2k kk Ta mä t cạc hm sọng an, bn L- biãøu diãùn cng bàòng ma tráûn k hng, k cäüt nhỉng chè cọ cạc pháưn tỉí ca cäüt thỉï nháút l khạc khäng, cn cạc pháưn tỉí khạc âãưu bàòng khäng a11 a11 a1 a a 21 a (a n ) = [ϕ a (L n )] = ϕ a (L ) = 21 = = a k1 a k1 a k b1 b Tỉång tỉû: (b m ) = (ϕ b (L m )) = (ϕ b (L)) = bk Ta tháúy r rng hãû phỉång trçnh (1.10) chênh l dảng khai triãøn ca phỉång trçnh ma tráûn sau: (A )(a n ) = b m (1.11) Hay SVTH: Nguùn Thë Nga (A)(ϕa(L)) = (ϕb(L)] ? Trang Lûn vàn täút nghiãûp GVHD: Nguùn Xn Tỉ & Trong âọ (A), (ϕb(L)), (ϕa(L)) l cạc ma tráûn biãøu diãùn toạn tỉí v cạc hm sọng L- biãøu diãùn, phỉång trçnh ny giäúng phỉång trçnh biãún âäøi hm ) sọng ca toạn tỉí A r- biãøu diãùn m ta quen thüc l: ) ρ ρ AΨ ( r ) = ϕ( r ) Nhỉ váûy L- biãøu diãùn ta cng viãút tỉång tỉû phỉång trçnh biãún âäøi hm ) sọng cho toạn tỉí A l: ) A ϕa(L) = ϕb(L) (1.12) ) Nhỉng phỉång trçnh (1.12) thç A , ϕa(L), ϕb(L) l cạc ma tráûn ) Nãúu ta xẹt toạn tỉí A biãøu diãùn ca chênh thç cạc hm riãng l ca ) ) A Do âọ cạc pháưn tỉí ma tráûn (A) biãøu diãùn toạn tỉí A s l: ρ ) ρ ρ ρ ρ ρ Amn = ∫ Um*( r ) A Un( r )d( r ) = An ∫ Um*( r ) Un( r )d( r ) = Anδmn (rρ) (rρ) ⇒Amn = An m = n Cn m ≠ n thç Amn = Váûy biãøu diãùn ca ) chênh mçnh toạn tỉí A l mäüt ma tráûn chẹo, cạc pháưn tỉí ca ma tráûn l cạc trë riãng ) ca toạn tỉí A Dảng cạc toạn tỉí biãøu diãùn toả âäü ta â biãút, báy giåì ta hy nghiãn cỉïu dảng ca cạc toạn tỉí mäüt vi biãøu diãùn quen thüc 1.Toạn tỉí nàng lỉåüng biãøu diãùn nàng lỉåüng: Nhỉ trãn ta â nọi, toạn tỉí nàng lỉåüng biãøu diãùn nàng lỉåüng s l mäüt ma tráûn chẹo cọ cạc pháưn tỉí l cạc trë riãng ca ca nàng lỉåüng sau: E1 ) E H = (H ) = 0 E k Phỉång trçnh biãún âäøi hm sọng biãøu diãùn nàng lỉåüng l: ) Hϕ a ( E ) = ϕ a ( E ) (1.13) Màût khạc theo mäúi liãn hãû ca cạc hm sọng E- biãøu diãùn ta lải cọ: ϕ b (E m ) = ∑ H mn ϕ a (E n ) n Trong täøng åí vãú phi táút c cạc säú hảng âãưu bàòng khäng trỉì säú hảng cọ n=m Do âọ ta cọ: SVTH: Nguùn Thë Nga ? Trang Lûn vàn täút nghiãûp GVHD: Nguùn Xn Tỉ & ϕb (E m ) = H mn ϕa (E m ) = E m ϕa (E m ) Hay ta cọ thãø viãút: ϕ b ( E ) = Eϕ a ( E ) Nhỉ váûy (1.13) tråí thnh: ) Hϕ a ( E ) = E ϕ a ( E ) Ta tháúy biãøu diãùn nàng lỉåüng thç toạn tỉí nàng lỉåüng chè l phẹp nhán våïi nàng lỉåüng m thäi Giäúng toạn tỉí toả âäü cng chè l phẹp nhán våïi toả âäü Cạc toạn tỉí biãøu diãùn xung lỉåüng : 2.1 Toạn tỉí xunglỉåüng: Phỉång trçnh biãún âäøi hm sọng ca toạn tỉí xung lỉåüng biãøu diãùn xung lỉåüng l: ) ρ ρ Pϕa (p) = ϕ b ( p) (1.14) Màût khạc mäúi liãn hãû cạc hm sọng biãøu diãùn xung lỉåüng cho ta: ρ ρ ρ ϕ b (p' ) = ∫ Pp′p ϕa ( p)dp ρ p (Tỉång tỉû ϕ b (L m ) = ∑ A mn ϕ a (L n ) , p l liãn tủc) n Trong âọ Ppρ′pρ = ) ρ ρ ρ ρ ρρ ρ ρ ρ ρ ρ ∫ Ψ ( r )p Ψ (r )d( r ) = P ∫ Ψ ( r ) Ψ (r )d( r ) = Pδ(p − p′) ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ⇒ ϕ (p ) = ∫ Pϕ (p)δ(p − p′)d(p) = P′ϕ ( p ) a ρ (r) * ρ p b ρ p ρ (r) * ρ p ρ p ' Hay a ρ ( p) ρ ρ ρ ϕ b ( p) = p ϕ a ( p ) ' (1.15) Tỉì (1.14), (1.15) ta suy ra: )ρ ρ ρ ρ Pϕ b ( p) = Pϕ a ( p) Tỉïc l biãøu diãùn xung lỉåüng, toạn tỉí xung lỉåüng cng chè l phẹp nhán våïi xung lỉåüng m thäi Ta lỉu ràòng tọan tỉí xung lỉåüng cọ phäø liãn tủc nãn l mäüt ma tráûn chẹo liãn tủc biãøu diãùn xung lỉåüng 2.2 Toạn tỉí toả âäü: Xẹt hảt chuøn âäüng trãn trủc Ox Trong (px- biãøu diãùn) thç phỉång trçnh ) biãún âäøi hm sọng ca toạn tỉí toả âäü x l: ) x ϕ a (p x ) = ϕ b (p x ) (1.17) SVTH: Nguùn Thë Nga ? Trang Lûn vàn täút nghiãûp GVHD: Nguùn Xn Tỉ & Mäúi liãn hãû hm sọng cho ta: ( ) ϕb p ' x = ∫ X p′x p x ϕa (p x )dp x px ) X p′x p x = ∫ Ψp*′ (x )Ψp ( x )dx Våïi (x ) x x Chụ cạc pháưn tỉí dỉåïi dáúu têch phán theo (x) l biãøu diãùn toả âäü nãn: ) x = x v Ψp (x) = ip xx eη x 2πη ip x x ∂ x η = − iη Do âọ: xˆΨp x ( x ) = e ∂p x 2πη ∂ = −iη Ψp x ( x ) ∂p x ⇒ X p′x p x = ∫Ψ ( ) * p ′x x ⇒ X p′x px = −iη ip x x   η   e   2πη    ∂ ∂ Ψp x ( x ) dx = −iη ( x )  − iη ∂p x ∂p x   ∫Ψ ( ) * p ′x ( x )Ψp x ( x )dx x ∂ δ(p′x − p x ) ∂p x Dỉûa vo biãøu thỉïc ca ϕ b ( p ′x ) ta âỉåüc:  ∂  δ(p′x − p x )dp x ⇒ ϕ b (p′x ) = ∫ ϕ a (p x ) − iη ∂p x   px = − iη ∫ ϕa (p x )d[δ(p′x − p x )] px ( ⇒ ϕb ( p′x ) = − iηϕa ( p x )δ p x − p'x ) px ∂ϕa ( px ) δ(p′x − p x )dp x ∂px px − (− iη) ∫ Chụ ràòng têch phán láúy theo px v miãưn biãún thiãn ca p x cọ chỉïa giạ trë p′x Nhỉ váûy thç säú hản âáưu ca vãú phi bàòng khäng (theo cháút hm âenta) ⇒ ϕ b (p ′x ) = iη (Tênh cháút hm âenta) Hay ϕ b (p x ) = iη ∂ ϕ a (p ′x ) ∂p 'x ∂ ϕ a (p x ) ∂p x So sạnh (1.18), (1.17), ta âỉåüc: (1.18) ∂ ) x = iη ∂p x Tỉång tỉû våïi cạc toạn tỉí toả âäü khạc v ta cọ: SVTH: Nguùn Thë Nga ? Trang Lûn vàn täút nghiãûp GVHD: Nguùn Xn Tỉ & ∂ ) x = iη ∂p x ∂ ) y = iη ∂p y ∂ ) z = iη ∂p z Tỉì âọ ta suy ra: ) ) ρ )ρ ) ρ r = x i + y j + zk  ∂ ρ ∂ ρ ∂ ρ = iη i+ j+ k   ∂p ∂ p ∂ p x y z   ρ )ρ ⇒ r = iη∇ pρ Tỉì dảng cạc toạn tỉí â biãút biãøu diãùn xung lỉåüng , ta cọ thãø suy dảng cạc ton tỉí khạc biãøu diãùn xung lỉåüng bàòng ngun l tỉång ỉïng Vê dủ nàng lỉåüng: H= Px2 + Py2 + Pz2 2m + V(x, y, z) Ta suy toạn tỉí nàng lỉåüng cọ dảng:  ) p2 ∂ ∂ ∂ H= + V iη , iη , iη  ∂p 2m ∂p y ∂p z x      Tỉì âọ ta viãút âỉåüc phỉång trçnh Schrodinger (p- biãøu diãùn) sau:  p2  ∂ ∂ ∂ + V iη , iη , iη   ∂p y ∂p z  2m  ∂p x   ϕ E (pρ) = Eϕ E (pρ)   p2 Ta tháúy nãúu hảt chuøn âäüng tỉû thç nàng lỉåüng l: E = 2m SVTH: Nguùn Thë Nga ? Trang Lûn vàn täút nghiãûp GVHD: Nguùn Xn Tỉ & Chỉång2: NÀNG LỈÅÜNG CA NGUN TỈÍ TRONG ÂIÃÛN TRỈÅÌNG Âäü biãún thiãn nàng lỉåüng ca cạc trảng thại dỉìng ca cạc ngun tỉí dỉåïi nh hỉåíng ca âiãûn trỉåìng ngoi gi l hiãûu ỉïng Stark Khi khäng cọ âiãûn trỉåìng ngoi, cạc trảng thại dỉìng tỉång ỉïng våïi mäüt mỉïc nàng lỉåüng En Khi cọ âiãûn trỉåìng ngoi våïi cỉåìng âäü ε tạc dủng, toạn tỉí Haminton cọ xút hiãûn säú hảng phủ: W=- ε d Trong âọ: d= e.r l toạn tỉí mämen lỉåỵng cỉûc âiãûn ca electron Nãúu hỉåïng z dc theo vectå âiãûn trỉåìng thç toạn tỉí Haminton ca ngun tỉí cọ dảng: ) ) ) ) H = HO + W Trong âọ toạn tỉí W l mäüt toạn tỉí nh gi l toạn tỉí nhiãùu loản Khi cọ âiãûn trỉåìng ngoi tạc dủng, trỉåïc hãút sỉû âäúi xỉïng ca hãû thay âäøi, sỉû âäúi xỉïng xun tám thay thãú bàòng sỉû âäúi xỉïng trủc, âọ cháút ca thãú nàng thay âäøi z → ±∞ Thãú nàng gim z → −∞ (electron