ĐỊNH LÝ PITAGO - TRƯỜNG HỢP BẰNG NAHU CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG.. Mục tiêu: - Nắm được định lý Pitago về quan hệ giữa 3 cạnh của tam giác vuông, định lý Pitago đảo.. - Biết vận dụng định l
Trang 1ĐỊNH LÝ PITAGO - TRƯỜNG HỢP BẰNG NAHU CỦA
HAI TAM GIÁC VUÔNG
A Mục tiêu:
- Nắm được định lý Pitago về quan hệ giữa 3 cạnh của tam giác vuông, định
lý Pitago đảo
- Biết vận dụng định lý Pitago để tính độ dài của một cạnh tam giác vuông khi biết độ dài của hai cạnh kia
- Biết vận dụng định lý đảo của định lý Pitago để nhận biết một tam giác vuông
- Nắm được các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông, vận dụng định lý Pitago để chứng minh trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông của hai tam giác vuông
- Vận dụng để chứng minh các độan thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau
- Rèn luyện khả năng phân tích, tìm cách giải và trình bày bài toán chứng minh hình học
B Chuẩn bị: Bảng phụ ghi đề bài
C Bài tập
Tiết 16: A D
Bài 1: Trên hình vẽ bên cho biết A B
AD DC; DC BC; AB = 13cm
AC = 15cm; DC = 12cm
13 15
12
Tính độ dài đoạn thẳng BC
Giải:
Vì AH BC (H BC) B H
C
AH BC; DC BC (gt) AH // DC
Trang 2mà HAC và DCA so le trong Do đó: HAC = DCA
Chứng minh tương tự cũng có: ACH = DAC
Xét tam giác AHC và tam giác CDA có
HAC = DCA; AC cạnh chung; ACH = DAC
Do đó: AHC CDA (g.c.g) AH = DC
Mà DC = 12cm (gt)
Do đó: AH = 12cm (1)
Tam giác vuông HAB vuông ở H theo định lý Pitago ta có:
AH2 +BH2 = AB2 BH2 = AB2 - AH2 = 132 - 122 = 55 = 25
BH = 5 (cm) (2)
Tam giác vuông HAC vuông ở H theo định lý Pitago ta có:
AH2 + HC2 = AC2 HC2 = AC2 - AH2 = 152 - 122 = 91 = 92
HC = 9 (cm)
Do đó: BC = BH + HC = 5 + 9 = 14 (cm)
Bài 2: Cho tam giác vuông cân tại đỉnh A MA = 2 cm; MB = 3 cm; góc
AMC = 1350 Tính độ dài đoạn thẳng MC A
Giải:
Trên nửa mặt phẳng bời Am không chứa điểm D
Dựng tam giác ADM vuông cân taih đỉnh A M
Ta có: AD = MA = 2 cm
AMD = 450; DMC = AMC - AMD = 900 B
C
DAC = MAB (hai góc cùng phụ nhau với A
góc CAM); AC = AB (gt)
Do đó: ADC AMB (c.g.c) DC = MB
nên MD2 = MA2 + MC2 (pitago)
Do đó: MD2 = 22 + 22 = 8 B
C
Tam giác MDC vuông ở M nên
Trang 3DC2 = MD2 + MC2 (Pitago)
Do đó: 32 = 8 + MC2 MC2 = 9 - 8 = 1
MC = 1
Bài 3: Tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không nếu các cạnh
AB; AC; BC tỉ lệ với
a 9; 12 và 15 b 3; 2,4 và 1,8
c 4; 6 và 7 d 4 ; 4 2 và 4
Giải:
a
2 2
2 2
2 2
225 15
144 12
81 9
15 12 9
k BC
k BC
k AC
k AC
k AB
k AB k
BC AC AB
AB2 + AC2 = 81k2 + 144k2 = 225k2 = BC2
Vậy tam giác ABC vuông ở A
b
2 2
2 2
2 2
49 7
36 6
16 4
7 6 4
k BC
k BC
k AC
k AC
k AB
k AB k
BC AC
AB
AB2 + AC2 = 16k2 + 36k2 = 52k2 49k2 = BC2
Vậy tam giác ABC không là tam giác vuông
c Tương tự tam giác ABC vuông ở C (C = 900)
d Làm tương tự tam giác ABC vuông cân (B = 900)
Tiết 17:
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC (A = 900), kẻ AH BC
Chứng minh: AB2 + CH2 = AC2 + BH2
Áp dụng định lý Pitago vào các tam giác vuông
Tam giác ABH có H = 900
AB2 = AH2 + HB2 AB2 - HB2 = AH2
AHC
có H = 900 AC2 = AH2 + HC2
AC2 - HC2 = AH2
Trang 4 AB2 - HB2 = AC2 - HC2 B H
C
AB2 + CH2 = AC2 + BH2
Bài 5: Cho tam giác ABC có A là góc tù Trong các cạnh của tam giác ABC
thì cạnh nào là cạnh lớn nhất? A
Giải:
* Kẻ AD AB tia AD nằm giữa 2 tia AB và AC
BD < BC (1)
Xét tam giác ABD vuông ở A
BD2 = AB2 + AD2 AB2 < BD2
AB < BD (2) B E D
C
Từ (1) và (2) suy ra: AB < BC
* Kẻ AE AC tia AE nằm giữa hai tia AB và AC
EC < BC (3)
Xét tam giác AEC vuông ở A
EC2 = AE2 + AC2 AC2 < EC2 hay AC < EC (4)
Từ (3) và (4) suy ra: AC < BC
Vậy cạnh lớn nhất là BC
Bài 6: Cho tam giác ABC, cạnh đáy BC Từ B kẻ đường vuông góc với AB
và từ C kẻ đường vuông góc với AC Hai đường này cắt nhau tại M Chứng
minh rằng
a AMB AMC
b AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC
a Hai tam giác vuông ABM và ACM bằng nhau
vì cạnh huyền AM chung
AB = AC (gt)
Trang 5b Do AMB AMC A1 = A2
C
Gọi I là giao điểm của AM và BC
Xét hai tam giác AIB và AIC M
A1 = A2 (c/m trên); AB = AC
(Vì tam giác ABc cân ở A); AI chung nên AIB AIC (c.c.c)
Suy ra IB - IC; AIB = AIC
mà AIB + AIC = 1800 (2 góc kề bù nhau)
Suy ra AIB = AIC = 900
VậyAM BC tại trung điểm I của đoạn thẳng BC
nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC
Bài 7:
a Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AD vuông góc với BC Chứng minh rằng
AD là tia phân giác của góc A
b Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB Gọi K là giao điểm của BD và CE Chứng minh rằng AK là tia phân giác của góc A
a Xét hai tam giác vuông CDB và ADC
có canh AD là cạnh chung; AB = AC
ADB ADC (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
BAD = CAD (cặp góc tương ứng)
Do đó: AD là tia phân giác của góc A B D
C
Chứng minh ADB AEC (cạnh huyền - góc nhọn)
AD = AE (cặp cạnh tương ứng)
AEK
ADK
(cạnh huyền - cạnh góc vuông) E
D
A1 = A2
Trang 6Do đó Ak là tia phan giác của góc K B
C
Tiết 18:
Bài 8: Cho tam giác ABC có AB < AC Tia phân giác của góc A cắt đường
trung trực của BC tại I Kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC Chứng minh rằng BH = CK A
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC ta có: K
AMI CMI (c.g.c) B M
Vì BM = CM; IM chung; M1 = M2
C
IB = IC (cặp góc tương ứng) H
AKI
AHI
(cạnh huyền - góc nhọn) I
IH - IK
IHB IKC (cạnh huyền - cạnh góc vuông) BH = CK
Bài 9: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có
4
3
AC
AB
và BC = 15cm
Giải:
Theo đề ra ta có:
16 9
4
3
2 2
AC AB
AC
AB
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau A C
và định lý Pitago ta có:
9 25
15 25 16
9 16
9
2 2 2
2 2
2
AC AB AC BC
AB
Suy ra: AB2 = 9.9 = 92 AB = 9 cm
AC2 = 16.9 = (4.3)2 = 122 AC = 12 cm
Vậy hai cạnh cần tìm AB = 9cm; AC = 12cm
Trang 7Bài 10: Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giấy ô vuông ở hình bên là
tam giác vuông cân
Gọi độ dài cạnh của mỗi ô vuông là 1
Theo định lý Pitago ta có:
AB2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5
C
BC2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5 A
AC2 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10
Do AB2 = BC2 nên AC = AB
Do AB2 + BC2 = AC2 nên ABC = 900
Vậy tam giác ABC vuông cân tại B
Bài 11: Cho tam giác vuông ABC (A = 900) Chứng minh rằng
a Nếu AB =
2
1
b Nếu C = 300 thì AB =
2
1
Giải:
Trên tia đối của tia AB đặt AD = AB
Nối CD thì ta có:
DAC
BAC
(c.g.c) CB = CD (1) B A
D
a Nếu AB =
2
1
BC và AB = AD =
2
1
BD Thì BC = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra CB = BD
Vậy tam giác BCD đều BCA = ACD =
2
1
30 60 2
1
b CB = CD Tam giác CBD cân
Nếu BCA = 300; BCD = 60=0
suy ra tam giácBCD đều BD = BC
Trang 82AB = BC AB =
2
1
BC
Bài 12: Cho tam giác ABC, kẻ BE AC và CF AB Biết BE = CF = 8cm độ dài các đoạn thẳng BF và BC tỉ lệ với 3 và 5
a Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân
b Tính độ dài cạnh đáy BC
c BE và CF cắt nhao tại O Nối OA và EF Chứng minh đường thẳng AO là
Giải:
a BFC CEB vì E = F = 900
BE = CF, Bc cạnh chung E
F
FBC = ECB tam giác ABC cân O
b Theo đề bài các đoạn thẳng BF và BC B
C
tỉ lệ với 3 và 5
16
8 16 9
25 25
9 5
3
2 2 2
2 2
2
BF
25
2 2
BC
cm
c Tam giác ABC cân AB = AC mà BF = EC (BFC CEB)
AF = AE
AEO
AFO
(cạnh huyền - cạnh góc vuông)
FAO = EAO FAI EAI (Vì AF = AE ; FAI = EAI)
IF = IE (1)
và FIA = EIA mà FIA + EIA = 1800
nên FIA = EIA = 900 AI EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AO là trung trực của đoạn thẳng EF