Báo cáo nghiên cứu khoa học: " VỀ MỘT TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA MÔĐUN MORPHIC" potx

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 148 VỀ MỘT TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA MÔĐUN MORPHIC ON A GENERALIZATION OF MORPHIC MODULES Trương Công Quỳnh Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT Theo ([4]), một R-môđun phải M được gọi là morphic nếu cho mỗi s ∈End(M), thì chúng ta có M/s(M)  Ker(s). Một vành R được gọi là morphic phải nếu R là morphic như R- môđun phải. Các tính chất và đặc trưng của lớp vành và môđun morphic đã được nghiên cứu. Một trường hợp tổng quát của vành morphic đã được đưa ra trong ([2]), theo đó một vành R được gọi là π -morphic phải nếu cho mỗi a ∈ R, nếu tồn tại n ∈  * sao cho R/a n R  r(a n ). Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu một trường hợp tổng quát của lớp môđun morphic và vành π -morphic, đó là lớp môđun π -morphic. Một R-môđun phải M được gọi là π - morphic nếu cho mỗi s ∈End(M), thì tồn tại n ∈  * sao cho M/s n (M)  Ker(s n ). Một số tính chất và đặc trưng của môđun này được nghiên cứu và mở rộng một số kết quả được biết. ABSTRACT Following ([4]), a right R-module M is called morphic, if for each s ∈End(M), then M/s(M)  Ker(s). A ring R is called right morphic, if R is a morphic as right R-module. Some properties and characterizations of rings and modules are studied. A generalization of morphic ring is studied in [2], follwing which, a ring R is called right π -morphic, if for each a ∈R, there exists n ∈  * such that R/a n R  r(a n ). In this paper, we consider a generalization of morphic modules and π -morphic rings; this is π -morphic module. A right R-module M is called π -morphic, if for each s∈End(M), there exists n ∈  * such that M/s n (M) ; Ker(s n ). Some properties of this class are studied. Some known results are obtained as corollaries. 1. Giới thiệu Trong bài báo này, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị 01 ≠ và mọi R-môđun được xét là môđun unita. Trong mục này, chúng tôi giới thiệu những khái niệm cơ bản được sử dụng trong bài báo. Một số khái niệm khác liên quan đến bài báo chúng ta có thể tham khảo trong Nicholson và Yousif ([6]), Wisbauer ([7]). Với vành R đã cho, ta viết R M (tương ứng, M R ) để chỉ M là một R-môđun phải (t.ư, trái). Trong một ngữ cảnh cụ thể của bài báo, khi không sợ nhầm lẫn về phía của môđun, để đơn giản ta viết môđun M thay vì R M . Chúng ta dùng các ký hiệu )( MAMA <≤ để chỉ A là môđun con (t.ư., thực sự) của M. Cho M và N là các R- môđun phải. Đồng cấu từ M đến N ; ký hiệu M N→ được hiểu là R-đồng cấu từ M đến N. Ký hiệu End(M) là tập tất cả các đồng cấu từ M đến M (hay còn được gọi là tập tất cả các đồng cấu của M). Cho M là một R-môđun phải và tập X là tập khác rỗng của M. Linh hóa tử phải của X trong R được ký hiệu là )(Xr R và được xác định như sau: TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 149 },0|{)( XxxrRrXr R ∈ ∀ = ∈ = . Khi không sợ nhầm lẫn ta có thể viết gọn là r(X) thay vì )(Xr R . Khi }, ,{ 2,1 n xxxX = thì ta viết ), ,( 2,1 n xxxr thay vì }), ,({ 2,1 n xxxr . Ta có )(Xr R là một iđêan phải của vành R. Trong suốt bài báo này chúng ta ký hiệu U(R) là tập tất cả các phần tử khả nghịch của R. Như chúng ta được biết cho một môđun M và mỗi tự đồng cấu f của M ta luôn luôn có fKerfM Im/ ≅ . Đặc biệt với mỗi Ra ∈ , ta có aRarR ≅)(/ . Tiếp theo chúng ta sẽ xét các môđun M có tính chất cho mỗi tự đồng cấu f của M thì KerffM ≅Im/ . Các đồng cấu có tính chất này được gọi là morphic. Một mô đun M được gọi là morphic nếu mỗi tự đồng cấu f của M là morphic. Lớp các môđun morphic được nghiên cứu bởi Nicholson và Campos E.Sánchez. Đồng thời các tác giả đã đưa ra nhiều đặc trưng của lớp môđun này (xem [4], [5]). Mục đích của nghiên cứu các môđun morphic là nghiên cứu tính chính qui của nó và vành tự đồng cấ u của nó. Một vài năm gần đây lớp các môđun morphic (vành morphic, nếu R R là morphic) được các tác giả Camillo, Zhou, Chen, quan tâm nghiên cứu. Một trường hợp tổng quát của vành morphic đã được Huang, Chen (xem [2]) đưa ra là vành π - morphic, theo đó một vành R được gọi là π -morphic nếu cho mỗi phần tử a∈R , tồn tại n ∈  * (phụ thuộc vào a) sao cho RaR n ≅ r( n a ). Các tính chất và một số đặc trưng của lớp vành này đã được nghiên cứu và họ cũng đưa ra nhiều đặc trưng và mở rộng một số kết quả được biết của lớp môđun này. Từ định nghĩa của lớp vành π - morphic chúng tôi đưa ra khái niệm π -morphic cho môđun. Tiếp tục chúng tôi nghiên cứu lớp môđun π -morphic này, chúng tôi thu được một số kết quả và mở rộng một số kết quả được biết cho lớp môđun morphic và cũng như lớp vành π - morphic. 2. Môđun π -morphic Định nghĩa 2.1. Cho M là một R-môđun phải và s ∈ End(M). Phần tử s được gọi là π - morphic nếu tồn tại n ∈  * (phụ thuộc vào s) sao cho M/s n (M)  Ker(s n ). Môđun M được gọi là π - morphic nếu mỗi s ∈ End(M) là π - morphic. Ví dụ: Cho vành 22 2 0 R ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠   . Khi đó R R là π - morphic nhưng không là morphic. Thật vậy mỗi phần tử của R hoặc là lũy linh hoặc là lũy đẳng hoặc là khả nghịch. Do đó suy ra R R là π - morphic. Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh R R không là morphic. Thật vậy xét 01 00 x R ⎛⎞ =∈ ⎜⎟ ⎝⎠ . Khi đó 2 () | , 00 ab rx ab ⎧ ⎫ ⎛⎞ ⎪ =∈ ⎨ ⎬ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎪ ⎭ ⎩  và TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 150 2 01 0 | 00 00 a xR R a ⎧ ⎫ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎪ == ∈ ⎨ ⎬ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎪ ⎭ ⎩  . Nếu x là morphic phải thì tồn tại 00 0 0 ab yR c ⎛⎞ = ∈ ⎜⎟ ⎝⎠ sao cho r(x)=yR và r(y)=xR (theo [5]). Từ đây suy ra c 0 =0 . Vì r(y)=xR nên 0 0 () | 0 00 a ry aa ⎧ ⎫ ⎛⎞ ⎪ = = ⎨ ⎬ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎪ ⎭ ⎩ , và do đó a 0 =0. Khi đó chúng ta phải có y=x. Suy ra r(x)=xR, điều này lại mâu thuẫn bởi vì 10 () 00 rx ⎛⎞ ∈ ⎜⎟ ⎝⎠ mà 10 . 00 x R ⎛⎞ ∉ ⎜⎟ ⎝⎠ Vậy x không phải là morphic phải. Theo [2], một phần tử a của R được gọi là π - morphic phải (tương ứng, G- morphic phải) nếu tồn tại n ∈  * (tương ứng, 0 n a ≠ ) sao cho / ( ) nn R aR ra . Một vành R được gọi là π - morphic phải nếu mỗi phần tử của R là π - morphic phải. Rõ ràng chúng ta cũng có R là π - morphic phải nếu và chỉ nếu R R là π - morphic. Trong bài báo này chúng ta chấp nhận khái niệm π - morphic của môđun để nghiên cứu. Trước hết chúng ta có một dấu hiệu để nhận biết một môđun là π - morphic: Bổ đề 2.2. Cho M là một môđun và một phần tử s ∈ End(M). Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (1) s là π - morphic. (2) Với mỗi s∈End(M), tồn tại n ∈  * và g ∈ End(M) sao cho Ker(s n ) = g(M) và Ker(g) = s n (M). Chứng minh: “(1) ⇒ (2)”. Theo định nghĩa ta có: ∃ n ∈  * , và một đẳng cấu α : M/s n (M) → Ker(s n ). Đặt gip α = : M →M, với p: M → M/s n (M) là toàn cấu chính tắc và i: Ker(s n ) → M là đơn cấu chính tắc. Tiếp theo chúng ta sẽ kiểm tra g thỏa điều kiện (2). Thật vậy ta có m nn () () ( /()) (ers) ers n gM i pM i M s M iK K αα == == và n erg ={m | p(m)=0}={m | (m+s ( ))=0}KMi MiM αα ∈∈ n ={m | (m+s ( ))=0}MM α ∈ n ={m | m+s ( )=0}MM∈ nn ={m | m s ( )}=s ( ) M MM∈∈ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 151 “(2) ⇒(1)”. Giả sử tồn tại n ∈  * và g ∈ End(M) sao cho Ker(s n ) = g(M) và Ker(g) = s n (M). Khi đó nn /s() /erg () ers.MMMK gMK= Vậy M là π - morphic.  Tiếp theo chúng ta có tính chất sau: Mệnh đề 2.3. Cho M là một môđun, và s ∈ End(M) là π - morphic. Khi đó những phát biểu sau là tương đương: (1) Ker(s) = 0. (2) s(M) = M. (3) s ∈U(S), với S= End(M) và U(S) là tập tất cả các tự đẳng cấu của M. Chứng minh: Theo Bổ đề 2.2, tồn tại t ∈ End(M) sao cho ( ) er(t) n sM K= và Ker(s n ) = t(M). (1) ⇒ (2): Giả sử Ker(s) = 0 (nghĩa là s là đơn cấu). Theo đẳng thức trên thì ta t(M) = 0 hay t = 0. Khi đó Ker(t) = M và vì vậy hay ( ) er(t) = n sM K M= . Từ đó suy ra ( )sM M = hay s là toàn cấu. (2) ⇒ (1): Ta có ( ) er(t) n sM K= hay ( ) 0 n ts M = . Nếu s(M) = M thì 11 () (()) ()0 nn n ts M ts s M ts M −− ===. Lặp lại quá trình này chúng ta sẽ có t(M)= 0. Suy ra Ker(s) = 0. 2) ⇒ (3): Rõ ràng (3) ⇒ (1). Giả sử s ∈ U(S). Khi đó s là một đẳng cấu và do đó Ker(s) = 0.  Hệ quả 2.4 ([2, Proposition 2.3]). Cho R là một vành, và a ∈ R là π - morphic phải. Khi đó những phát biểu sau là tương đương: (1) r(a) = 0. (2) aR = R. (3) a ∈U(R), với U(R) là tập tất cả các phần tử khả nghịch của R. Một vành R được gọi là hữu hạn Dedekin nếu cho mỗi a, b ∈ R và ab=1 thì suy ra ba=1. Từ Mệnh đề 2.3 chúng ta có định lý sau: Định lý 2.5. Cho M là π - morphic. Khi đó vành End(M) là hữu hạn Dedekin. Chứng minh: Cho mỗi s, t ∈ End(M) với st=1. Khi đó suy ra t là một đơn cấu, nghĩa là Kert=0. Vì M là π - morphic nên t là π - morphic. Do đó theo Mệnh đề 2.3 thì t là một đẳng cấu. Suy ta tồn tại t’ ∈ End(M) sao cho tt’=t’t=1. Từ đây suy ra t’=s và ts=1.  Hệ quả 2.6 ([2, Corollary 2.4]). Nếu R là vành π - morphic thì R là hữu hạn Dedekin. Người ta gọi một môđun M được gọi là ảnh xạ ảnh nếu với mọi s, t ∈ S=End(M) với () ()sM tM ≤ thì s ∈ tS (theo [4]). Một môđun M được gọi là P-tự sinh nếu với mỗi m ∈M, tồn tại một toàn cấu M mR→ . TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 152 Phần tiếp theo chúng tôi nêu lên mối liên hệ giữa π - morphic môđun và tự đồng cấu của nó. Định lý 2.7. Cho môđun M là ảnh xạ ảnh và P-tự sinh. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (1) M là π - morphic. (2) S=End(M) là vành π - morphic phải. Chứng minh: (1)⇒(2): Cho mỗi s ∈ End(M). Vì M là π - morphic nên tồn tại tồn tại n ∈  * và t ∈ End(M) sao cho ( ) er(t) n sM K= và Ker(s n ) = t(M). Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh ( ) ; ( ) nn SS rs tSrt sS==. Thật vậy vì s n t(M)=0 nên ( ) n S tS r s≤ . Ngược lại với mỗi () n S hrs∈ , ta có s n h=0. Suy ra n () ers ()hM K tM≤=. Mặt khác M là ảnh xạ ảnh nên htS∈ . Vì vậy chúng ta có ( ) n S rs tS = . Tương tự ta cũng dễ dàng chúng minh được ( ) n S sS r t= . Vậy S=End(M) là vành π -morphic phải. (2) ⇒(1): Cho mỗi s∈End(M). Vì End(M) là π - morphic phải nên tồn tại tồn tại n∈  * và t∈End(M) sao () ; () nn SS rs tSrt sS== . Tiếp theo chúng ta chỉ ra ( ) er(t) n sM K= và Ker(s n ) = t(M). Vì ( ) n S rs tS = nên n () erstM K≤ . Ngược lại với mỗi n ersmK∈ , s n (m)=0. Hơn nữa vì M là P-tự sinh nên tồn tại một đồng cấu h ∈End(M) sao cho mR=h(M). Suy ra s n (h(M))=0 hay s n h=0. Từ đó ta có () n S hrs tS∈= và do đó () ()mR h M t M=≤ . Vì vậy m ∈ t(M). Tóm lại ta có Ker(s n ) = t(M). Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng suy ra ( ) er(t) n sM K= . Vậy M là π -morphic.  Chúng ta nhắc lại một phần tử a của vành R được gọi là chính qui (theo nghĩa von Neumann) (tương ứng, chính qui đơn vị) nếu tồn tại bR ∈ (tương ứng ( )bUR∈ ) sao cho a aba= . Vành R được gọi là chính qui (tương ứng, chính qui đơn vị) nếu mọi phần tử của R là chính qui (tương ứng, chính qui đơn vị). Một phần tử a của R được gọi là π -chính qui đơn vị nếu tồn tại n là số nguyên dương để n a là chính qui đơn vị. Một vành được gọi là π -chính qui đơn vị nếu mọi phần tử của nó là π -chính qui đơn vị. Bổ đề 2.7 ([1]). Cho s∈End(M). Khi đó s là chính qui đơn vị nếu và chỉ nếu s là chính qui và morphic. Từ bổ đề trên chúng ta có tính chất sau: Mệnh đề 2.8. Cho S = End(M) là vành chính quy. Khi đó các điều kiện sau là tương đương (1) M là π - morphic. (2) S là π - chính quy đơn vị. Chứng minh: “(1)⇒(2)”: Giả sử M là π - morphic. Lấy s ∈ S bất kỳ. Vì M là TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 153 π - morphic nên tồn tại số số nguyên dương n sao cho s n là morphic. Suy ra s n là chính quy đơn vị theo Bổ đề 2.7. Vậy S là π - chính quy đơn vị. “(2) ⇒(1)”: Giả sử S là π - chính quy đơn vị. Khi đó cho mỗi s∈S, tồn tại n∈  * để s n là chính quy đơn vị. Suy ra s n là morphic. Như vậy M là π - morphic.  Người ta gọi một môđun M là GQP-nội xạ nếu với mỗi ( )sS EndM ∈ = , tồn tại số nguyên dương n sao cho 0 n s ≠ và ( er ) nn S rKs sS= . Một vành R được gọi là GP-nội xạ phải nếu R R là GQP-môđun. Mệnh đề tiếp theo cho ta mối liên hệ giữa vành tự đồng cấu là G-morphic và tính GQP-nội xạ của M. Mệnh đề 2.9. Cho S =End(M) là G-morphic phải thì M là GQP-nội xạ. Chứng minh: Giả sử S là G-morphic phải. Khi đó theo định nghĩa của G- morphic dễ dàng chúng ta suy ra S là vành GP-nội xạ trái. Khi đó cho mỗi sS∈ , tồn tại số nguyên dương n sao cho 0 n s ≠ và ( ) nn SS rl s s S= . Chúng ta sẽ chứng minh (er ) nn S rKs sS= . Thật vậy chúng ta luôn có ( er ) nn S sS r K s≤ . Ngược lại với mọi (er) n S trKs∈ và mọi ( ) n S hls∈ . Ta có 0 n hs = và do đó Im er n hKs≤ . Từ đây suy ra (Im ) 0ht= hay 0ht = . Điều này chứng tỏ () nn SS trls sS∈= . Vậy (er ) nn S rKs sS= . Suy ra M là GQP-nội xạ.  TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Erlich G., Units and one-sided units in regular rings, Trans A. M .S. 216-8190, 1976 [2] Huang Q., Chen J., π - Morphic, Kyungpook Math. J., 47, p. 363-372, 2007. [3] Lê Văn Thuyết. Bài giảng Lý thuyết vành và Môđun, Đại học Huế 2004. [4] Nicholson W. K., Campos E.Sánchez. Morphic Module, Comm. Algebra, 33(8), p. 2629-2647, 2005. [5] Nicholson W. K., Campos E. Sánchez. Principal rings with the dual of the iso-morphism theorem, Glasgow Math. J., 46, p. 181-191, 2004. [6] Nicholson W. K., Yousif M. F., Quasi-Frobenius Rings, Cambridge Univ. Press., 2003. [7] Wisbauer R., Foundations of Module and Ring Theory; Gordon and Breach: Reading, 1991. . R/a n R  r(a n ). Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu một trường hợp tổng quát của lớp môđun morphic và vành π -morphic, đó là lớp môđun π -morphic. Một R -môđun phải M được gọi là π - morphic. phải. Các tính chất và đặc trưng của lớp vành và môđun morphic đã được nghiên cứu. Một trường hợp tổng quát của vành morphic đã được đưa ra trong ([2]), theo đó một vành R được gọi là π -morphic. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010 148 VỀ MỘT TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT CỦA MÔĐUN MORPHIC ON A GENERALIZATION OF MORPHIC MODULES Trương Công Quỳnh Trường Đại