Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008Về một bài toán phân phối điện được giải bằng phương pháp Monte - Carlo Trần Xuân Sinha, Thái Doãn Ânb Tóm tắt.. Để giải quyết
Trang 1Trường Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 2A-2008
Về một bài toán phân phối điện
được giải bằng phương pháp Monte - Carlo
Trần Xuân Sinh(a), Thái Doãn Ân(b) Tóm tắt Để giải quyết bài toán phân phối điện, chúng tôi đưa ra mô hình toán học là bài toán quy hoạch lồi ngẫu nhiên, với hàm mục tiêu phụ thuộc đại lượng ngẫu nhiên tương ứng Từ đó, chúng tôi xây dựng thuật toán Monte - Carlo, kết hợp với thuật toán giải bài toán quy hoạch lồi nhằm tìm ra phương án tối ưu.
I Bài toán
1.1 Bài toán mà chúng tôi đề cập tới ở đây, xuất phát từ thực tế như sau: Giả sử tại thời điểm xác định nào đó, Công ty điện lực cần phân bố lượng điệnA(KW) từmnhà máy điện khác nhau, dùng để phục vụnđịa phương (nơi tiêu thụ) Nhà máy điện thứ
icó sản lượng là ai (KW) Nếu nhà máy điện thứitruyền tải điện trên tuyến về nơi tiêu thụ thứj thì tỷ lệ hữu ích chỉ có thể đạtdij (trên 1KW) trong một thời gian xác
định Chi phí truyền tải 1 (KW) điện từ nhà máy điện thứitrên tuyến vận tải về nơi tiêu thụ thứj là cij Tuy nhiên, nhu cầu điện wj ở nơi sử dụng điện thứj không thể biết trước được và phải coi nó như một đại lượng ngẫu nhiên, phân bố liên tục với mật
độ xác suất làpj(wj), j = 1, 2, , n Hãy tìm cách phân phối điện sao cho tổng chi phí
và mức thiệt hại thấp nhất, mà bảo đảm khả năng cung cấp, phục vụ nhu cầu sử dụng
điện ở mỗi nơi
1.2 Thiết lập bài toán Ký hiệuxij là số lượng KW điện chuyển từ nhà máy điện thứ
i, (i = 1, 2, , m),tới nơi tiêu thụ thứj, (j = 1, 2, , n),trong một thời gian xác định Khi đó tổng chi phí vận tải điện của Công ty điện tới nơi tiêu thụ thứj là
m
X
i=1
cijxij
Đồng thời số lượng điện được tải vềj sẽ là
zj =
m
X
i=1
dijxij, j = 1, 2, , n
Lúc này, có thể xảy ra:
+ Nếuzj 6 wj, có nghĩa là nhu cầu không bé hơn khả năng Trong trường hợp này
cówj − zj nhu cầu không được thực hiện Ký hiệuvj là giá trị thiệt hại do không đủ
điện bán mỗi KW điện tại nơi tiêu thụ thứj Lúc này giá trị thiệt hại của Công ty tại
1 - Nhận bài ngày 03/5/2008 Sửa chữa xong ngày 22/7/2008.
Trang 2j sẽ làvj(wj − zj) Sự thiệt hại trung bình do yêu cầu không được đáp ứng ở nơi tiêu thụj được xác định bởi kỳ vọng toánEj của đại lượng ngẫu nhiênvj(wj− zj) Khi đó
ta có
Ej =
Z ∞
z j
vj(wj − zj)pj(wj)dwj, zj 6 wj 6 ∞
+ Nếuzj ≥ wj, có nghĩa là nhu cầu không cao hơn khả năng Trong trường hợp này
zj− wj là độ lệch số KW điện còn thừa không bán được tại nơi tiêu thụ thứj Ký hiệu
uj là giá trị thiệt hại do mỗi KW điện thừa, không bán được tạij Lúc này thiệt hại ở tuyến tải điện thứj sẽ làuj(zj − wj) Sự thiệt hại trung bình do thừa điện ở tuyếnj
được xác định bởi kỳ vọng toánEj0 của đại lượng ngẫu nhiênuj(zj− wj)
Ej0 =
Z z j
0
uj(zj− wj)pj(wj)dwj, 0 6 wj 6 zj
Vậy tổng chi phí vận tải cộng thiệt hại trung bình cho hoạt động của Công ty điện
do thiếu điện cũng như thừa điện được mô tả bởi hàm mục tiêu
f =
n
X
j=1
h m
X
i=1
cijxij +
Z ∞
z j
vj(wj− zj)pj(wj)dwj +
Z z j
0
uj(zj− wj)pj(wj)dwji→ min
với điều kiện:
a) Hạn chế về lượng điện của nhà máy thứi
n
X
j=1
xij 6 ai, i = 1, 2, , m;
b) Về số lượng điện được tải về nơi tiêu thụ thứj
m
X
i=1
dijxij = zj, j = 1, 2, , n;
c) Ràng buộc dấu của ẩn
xij ≥ 0, i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n,
zj ≥ 0, j = 1, 2, , n
Từ đây ta có bài toán quy hoạch ngẫu nhiên
minnf =
n
X
j=1
h m
X
i=1
cijxij +
Z ∞
z j
vj(wj − zj)pj(wj)dwj +
Z z j
0
uj(zj − wj)pj(wj)dwjio
(1.1)
với điều kiện
n
X
j=1
xij 6 ai, i = 1, 2, , m; (1.2)
Trang 3X
i=1
dijxij − zj = 0, j = 1, 2, , n; (1.3)
xij ≥ 0, i = 1, 2, , m; j = 1, 2, , n; zj ≥ 0, j = 1, 2, , n (1.4)
Bài toán (1.1)-(1.4) là bài toán quy hoạch ngẫu nhiên, có hàm mục tiêu phụ thuộc
đại lượng ngẫu nhiênwj
II Kết quả
2.1 Định lý Bài toán(1.1) − (1.4)là bài toán quy hoạch lồi ngẫu nhiên với miền ràng buộc là tập lồi, compact
Chứng minh Xét hàm mục tiêu
f =
n
X
j=1
h m
X
i=1
cijxij +
Z ∞
z j
vj(wj − zj)pj(wj)dwj +
Z z j
0
uj(zj − wj)pj(wj)dwji
=
n
X
j=1
m
X
i=1
cijxij +
n
X
j=1
Z ∞
z j
vj(wj − zj)pj(wj)dwj +
n
X
j=1
Z z j
0
uj(zj− wj)pj(wj)dwj
= f1+ f2+ f3,
trong đó
f1 =
n
X
j=1
m
X
i=1
cijxij,
f2 =
n
X
j=1
Z ∞
z j
vj(wj− zj)pj(wj)dwj,
f3 =
n
X
j=1
Z z j
0
uj(zj − wj)pj(wj)dwj
Ta thấy hàmf1là hàm tuyến tính,f2 vàf3 là hàm tổng của các kỳ vọng toán, do đó
nó cũng các hàm lồi Vậyf là hàm lồi
Mặt khác, ta thấy miền chấp nhậnM là giao của các nửa không gian đóng, nên nó
là tập lồi đa diện đóng Đồng thời có thể chỉ ra rằngM khác rỗng và bị chặn, do đó nó
là đa diện lồi, đóng
Ký hiệux = (xij) ∈ Rmìn, z = (zj) ∈ Rn
Định lý 2.1 là cơ sở cho việc xây dựng thuật toán giải bài toán (1.1)-(1.4)
2.2 Thuật toán
Bước chuẩn bị Chọn ngẫu nhiên các giá trịw(0)j , j = 1, 2, , n.Tạiw(0) = (w(0)j )
đã chọn, giải bài toán phụ (1.1)-(1.4), được nghiệm(x(0), z(0), w(0))
Trang 4Ký hiệuf (x(0), z(0), w(0)) = β0 là giá trị kỷ lục hiện tại.
Bướck, (k = 0, 1, ) Đã biết giá trị kỷ lụcβk tại w(k) Chọn ngẫu nhiên các giá trị w(k+1)j 6= w(k)j , j = 1, 2, , n Tại w(k+1) = (wj(k+1)) đã chọn, giải bài toán phụ (1.1)-(1.4), được nghiệm(x(k+1), z(k+1), w(k+1))
Ký hiệuf (x(k+1), z(k+1), w(k+1)) = βk+1
+ Nếuβk+1 < βkthì giá trị kỷ lục hiện tại làβk+1.Gánk := k + 1, trở lại bướck
+ Nếu ngược lại, ta loại bỏw(k+1), trở lại bướck
Bước kết thúc Vớik đủ lớn, tính trung bình mẫu
Fk = 1 k
k
X
i=1
f (x(k), z(k), w(k))
Chú ý.Từ điều kiện (1.2), (1.3) và (1.4) cho thấy tập phương án của bài toán là khác rỗng (điểm có toạ độxij = 0,vàzj = 0, với mọii, j, là một phương án) Mặt khác, cũng
từ điều kiện đã nêu cho thấy tập phương án bị chặn Do vậy việc giải các bài toán phụ
ở mỗi bước luôn có nghiệm
Để chứng minh sự hội tụ của thuật toán, ta nhắc lại một kết quả quan trọng trong [4]
Cho bài toán
F (x) =
Z
f (x, w)p(w)dw →min (2.1),
trong đóx ∈ M ⊂ Rn; p(w)là hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiênw
Giả sử ứng với các giá trị mẫu w(k), bằng phương pháp Monte Carlo, cho ta dãy phương ánx(k)tốt dần Vớikđủ lớn, ta có
F(k)= 1
k
k
X
i=1
f (x(k), w(k))
Ký hiệu(x∗, w∗)là phương án tối ưu, tương ứng với giá trị hàm mục tiêuF∗ của bài toán (2.1)
2.3 Định lý [4] Cho không gian xác suất (Ω, Σ, P ) Giả sử f (∗, w) là hàm lồi;
M là tập lồi, compact; {x(k)} là dãy tốt dần tương ứng các mẫu độc lậpw(k) Khi đó
F(k)→ F∗ hầu chắc chắn(h.c.c)
2.4 Định lý Ta có
P { lim
k→∞(F(k)− F∗) = 0} = 1
Chứng minh Như chúng ta đã thấy trong định lý 2.1, bài toán (1.1)-(1.4) là bài toán quy hoạch lồi (hàm mục tiêuf lồi) với tập phương án lồi đa diện, khác rỗng và bị chặn (tập phương án lồi và compact) Đồng thời với cách xây dựng dãy{x(k)}và chọn mẫu
độc lậpw(k)đã nêu trong thuật toán cho ta dãy{x(k)}là tốt dần
Trang 5Như vậy các điều kiện của định lý 2.3 được thoả mãn Từ đó suy ra điều phải chứng
III Thảo luận
Bài toán phân phối điện là một trong những bài toán cần sớm có được những công trình nghiên cứu hiệu quả Song song với bài toán phân phối điện là bài toán dự trữ nước cho các hồ thuỷ điện Chúng tôi hy vọng rằng, với thuật toán đã nêu, trên mỗi mô hình cụ thể, sẽ góp phần tích cực vào việc ổn định điện hiện nay của Việt Nam
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Quý Hỷ, Phương pháp mô phỏng số Monte Carlo, NXB Đại học Quốc gia
Hà Nội, Hà Nội, 2004
[2] Trần Xuân Sinh, Các phương pháp ngẫu nhiên giải bài toán quy hoạch, Bài giảng dùng cho Sau Đại học, chuyên ngành Xác suất thống kê toán học, Đại học Vinh, 2006 [3] Nguyễn Duy Tiến và Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2001 [4] Yuri M Ermoliev and Vladimir I Norkin, Monte Carlo optimization and path dependent nonstationary laws of Large numbers, IIASA, International Institute for applied systems analysis, 1998, Web: www.iiasa.ac.at
Summary
On the problem of mange a electric solved by method of Monte-Carlo
In order to study the problem about supplying electricity, we set up a mathematical model, which is a stochastic convex programming with objective function depending
on a stochastic variable Then, we construct a Monte-Carlo algorithm combining with
a algorithm for solving convex programming problems to find an optimization plan (a) Khoa Toán, Trường Đại học Vinh
(b) Cao học 14, Xác suất thống kê, Trường Đại học Vinh.