Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http //www lrc tnu edu vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐOÀN VĂN SOẠN ĐỊNH LÍ ĐIỂM CÂN BẰNG BLUM OETTLI VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐỒN VĂN SOẠN ĐỊNH LÍ ĐIỂM CÂN BẰNG BLUM-OETTLI VÀ MỘT SỐ MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên-2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Đại Học Thái Nguyên Trường Đại học Sư phạm Đoàn văn soạn định lí điểm cân blum-oettli số mở rộng Chuyên ngành: Giải tích Mà số: 60.46.01 luận văn thạc sĩ toán học Người hướng dẫn khoa học:T.S Lê Văn Chóng Thái Nguyên-2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Trang Mở đầu Chương Bài toán cân đơn điệu giả thiết đơn điệu 1.1 Bài toán cân 1.2 Bài toán cân đơn điệu 1.3 Bài toán cân giả thiết đơn điệu Chương 17 định lí điểm cân Blum-Oettli mở rộng vô hướng 22 2.1 Định lí Brezis-Nirenberg-Stampacchia 2.2 Định lí điểm cân Blum-Oettli 23 29 2.3 Më réng v« híng Định lí Blum-Oettli Chương 36 më réng vectơ định lí điểm cân Blum-Oettli 41 3.1 Nãn quan hệ thứ tự theo nón không gian vectơ tôpô 3.2 Định lí điểm cân Blum-Oettli cho hàm véc tơ đơn trị 3.3 Định lí điểm cân Blum-Oettli cho hàm véc tơ đa trị 42 45 58 KÕt luËn 63 Tµi liƯu tham kh¶o 64 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở Đầu Bất đẳng thức biến phân đơn điệu bất đẳng thức Ky Fan có nhiều điểm gần Bất đẳng thức biến phân đơn điệu với nhiều ứng dụng đà nghiên cứu từ năm sáu mươi kỉ trước Bất đẳng thức Ky Fan sau công bố (1972) ®· thu hót sù chó ý cđa nhiỊu nghiªn cøu lĩnh vực giải tích phi tuyến gần gũi với bất đẳng thức biến phân đơn điệu khả ứng dụng sâu rộng Vì người ta tìm cách kết nối hai kết với kết chung Kết kết nối Brezis-Nirenberg-Stampacchia(1972) Năm 1993, Blum-Oettli công bố kết kết nối Đây kết hợp hai hướng nghiên cứu toán cân bằng, toán cân có giả thiết đơn điệu toán cân giả thiết đơn điệu Bài toán cân xét Blum-Oettli(1993) có dạng sau: Tìm hàm C xC cho g(x, y) + h(x, y) ≥ víi y C, tập lồi đóng không gian vectơ tôpô g : C ì C R giả thiết đơn điệu hàm X đó, h : C ì C R không thiết hàm đơn điệu (R tập số thực ) Nếu h = ta nhận kết toán cân đơn điệu (mở rộng bất đẳng thức biến phân đơn điệu ) Nếu g = ta có kết mở rộng Bất đẳng thức Ky Fan Sau kết Blum-Oettli, nhiều kết khác có liên quan mở rộng công bố Đó kết nghiên cứu mở rộng vô hướng mở rộng vectơ, đơn trị đa trị, kết cđa Blum-Oettli [3] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Mơc ®Ých cđa luận văn tập hợp trình bày số kết nghiên cứu xung quanh kết Blum-Oettli [3] Đó số kết tồn nghiệm toán cân có giả thiết đơn điệu khởi nguồn cho kết Blum-Oettli, kết Blum-Oettli số kết mở rộng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương trình bày số kết tồn nghiệm toán cân hai hướng nghiên cứu có giả thiết đơn điệu giả thiết đơn điệu, với điều kiện cổ điển nơi giảm Chúng trình bày kết với mục đích để thấy rõ kết nối hai hướng nghiên cứu kÕt qu¶ cđa Blum-Oettli[3], kÕt nèi ë kÕt qu¶ kết nối ý tưởng chứng minh kết Các kết nghiên cứu trình bày chủ yếu tập hợp từ báo Mosco[11], Allen[1], Chong[6] Chương trình bày kết trung tâm luận văn Đó kết tồn nghiệm toán cân thiết lập Blum-Oettli [3] Kết ý tưởng chứng minh hợp kết ý tưởng chứng minh chúng trình bày chương Trong chương trình bày kết có liên quan công bố trước kết Blum-Oettli [3], công trình Brezis-Nirenberg-Stampacchia [4], đồng thời trình bày kết mở rộng vô hướng kết Blum-Oettli [3], công trình Chadli-Chbani-Riahi [7] Chương đề cập đến mở rộng kết Blum-Oettli[3] toán cân cho hàm vectơ, đơn trị đa trị Các kết tập hợp từ tài liệu Bianchi-Hadjisavvass-schaible[2],Tấn-Tĩnh[13],Tấn-Minh[14] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn hoàn thành Trường Đại học sư phạm-Đại Học Thái Nguyên Trước hết xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Văn Chóng, người thầy đà tận tình hướng dẫn, giúp đỡ nghiêm khắc khoa học để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy cô giáo Trường ĐHSP-Thái Nguyên, Viện toán học Việt Nam, Trường ĐHSP Hà Nội đà giảng dạy giúp hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơn Sở giáo dục đào tạo Bắc Giang, Trường THPT Lý Thường Kiệt Trường THPT Việt Yên số Bắc Giang, gia đình bạn bè đà tạo điều kiện, động viên, giúp suốt trình học tập nghiên cứu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán cân đơn điệu giả thiết đơn điệu Hai hướng nghiên cứu quan trọng nghiên cứu tồn nghiệm toán cân nghiên cứu dùng giả thiết đơn điệu không dùng giả thiết đơn điệu Các kết ý tưởng chứng minh hai hướng nghiên cứu sở cho việc thiết lập chứng minh Định lí điểm cân Blum-Oettli [3] trình bày chương sau Vì chương trình bày số kết hai hướng nghiên cứu nêu Những kết tập hợp từ báo Mosco [11], Allen[1], Chong[6] Trước tiên đưa dạng chung toán cân số trường hợp riêng quen biết có tính đơn điệu không đơn điệu 1.1 Bài toán cân Bài toán cân Blum-Oettli[3] hiểu toán sau: Tìm C xC cho f (x, y) ≤ víi mäi y ∈ C , lµ mét tËp cho tríc vµ (EP) f : C ì C R hàm cho trước Đối với toán cân không gian véctơ tôpô X , tập C thường xét tËp låi Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Hàm f gọi đơn điệu f (x, y) + f (y, x) ≥ víi mäi x, y ∈ C Khái niệm mở rộng khái niệm toán tử đơn điệu Toán tử A : C X X không gian đối ngẫu Hàm số gọi đơn điệu hAx Ay, x yi 0, x, y C, X f gọi hemi-liên tục với x, y ∈ C cho tríc tïy ý hµm f (x + t(y x), y) nửa liên tục theo t [0; 1] Khái niệm mở rộng khái niệm toán tử hemi-liên tục Toán tử A : C X gọi hemi-liên tục hàm cố định nửa liên tục theo hA(x + ty), zi víi x, y, z ∈ C t [0; 1] Bài toán cân bao hàm nhiều trường hợp riêng toán quen biết Bất đẳng thức Ky Fan trường hợp riêng quan trọng Dưới số trường hợp riêng quan trọng khác Bài toán tối ưu Cho ϕ : C −→ R T×m x ∈ C cịng viết: Tìm Đặt cho cho (x) (y) víi mäi y ∈ C Ta min{ϕ(x) | x C} f (x, y) = (x)(y) Khi toán tối ưu trở thành: Tìm x C f (x, y) cân f với y C Bài toán tương đương với toán hàm số đơn điệu Bài toán điểm yên ngựa Cho : C1 ì C2 → R Khi Êy (x1 , x2 ) gäi lµ ®iĨm yªn ngùa cđa ϕ nÕu (x1 , x2 ) ∈ C1 × C2 , ϕ(x1 , y2 ) ≤ ϕ(y1 , x2 ), ∀(y1 , y2 ) ∈ C1 ì C2 (1.1) Đặt C = C1 ì C2 cho hàm f : C ì C R xác định f ((x1 , x2 ); (y1 , y2 )) = ϕ(x1 , y2 ) − ϕ(y1 , x2 ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi Êy, nÕu x = (x1 , x2 ) nghiệm toán cân (EP) x thỏa mÃn (1.1) Dễ thấy f hàm đơn điệu trường hợp Bài toán điểm bất động X = X Cho không gian Hilbert, T : C C ánh xạ cho trước Bài toán bất động toán Tìm Đặt xC cho T (x) = x (1.2) f (x, y) = hx − T x, x − yi Ta cã x lµ nghiệm toán cân (EP) nÕu nã lµ nghiƯm cđa (1.2) ThËt vËy (1.2) ⇒ (EP): HiĨn nhiªn (EP) ⇒ (1.2): Chän y = T x ta cã ≥ f (x, y) =k x − y k2 ≥ Suy x = T x Do f (x, y) + f (y, x) = hx − T x, x − yi + hy − T y, y − xi = hT y − T x, x − yi + hx − y, x − yi = hT y − T x, x − yi+ k x − y k2 = −hT x−T y, x−yi+ k xy k2 nên trường hợp f đơn điệu hT x T y, x − yi ≤k x − y k2 Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho T : C −→ X ? T×m x ∈ C cho hT x, x − yi ≤ 0, ∀y ∈ C (1.3) Số hóa Trung tâm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Đặt f (x, y) = hT x, x − yi Râ rµng toán (1.3) tương đương với toán cân (EP) f đơn điệu T đơn điệu Bài toán bù Cho C nón låi ®ãng víi nãn cùc cđa nã C ? = {x? ∈ X ? | hx? , yi ≥ 0, ∀y ∈ C} vµ T : C → X? lµ ánh xạ cho trước Bài toán bù toán t×m x∈X cho x ∈ C, T x ∈ C ? , hT x, xi = DÔ thÊy (1.4) (1.4) tương đương với (1.3) Thật (1.4) (1.3) hiển nhiên Nếu (1.3) đúng, lấy y = 2x y = từ (1.3) ta thu hT x, xi = Do ®ã (1.3) ⇒ (1.4) Cân Nash trò chơi Cho trước tập I tập số hữu hạn (tập người chơi) Với Ki (tập chiến lược người chơi thứ i) Đặt K = Q iI i I, Ki cho Với i I, cho hàm fi : K R (hàm tổn thất người chơi thứ i, phụ thuộc vào chiến lược tất ngêi ch¬i) Víi xi = (xj )j∈I,j6=i nÕu víi mäi i∈I §iĨm x = (xi )i∈I ∈ K x = (xi )iI K ta định nghĩa gọi điểm cân Nash ta có fi (x) fi (xi , yi ), ∀yi ∈ Ki (1.5) (nghÜa người chơi giảm tổn thất cách đơn lẻ thay S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn G(xt , y) + (1 − t)H(x, y) 6∈ −intC, ∀t ∈ (0, 1] F (t) = G(xt , y) + (1 t)H(x, y) Đặt Do giả thiết 3) nªn tơc trªn theo nãn C hay nưa liªn tục theo nón C F nửa liên t=0 Do ®ã F (t) 6∈ −intC, ∀t ∈ (0, 1] , nªn ta cã F (0) 6∈ −intC hay G(x, y) + H(x, y) 6∈ −intC VËy ta có 1) suy 2) Bây ta giả sö x ∈ K, G(x, y) + H(x, y) 6∈ −intC G(y, x) − H(x, y) 6∈ intC Ta sÏ chøng minh tån t¹i y∈K cho G(y, x) − H(y, x) ∈ intC víi mäi , víi mäi y∈K y∈K Gi¶ sư r»ng VËy ta cã thĨ viÕt G(y, x) = H(x, x) + ω MỈt kh¸c G(x, y) + G(y, x víi ω ∈ intC nªn G(y, x) = −G(x, y) − ν víi ν∈C Nh vËy ta cã H(x, y) + G(x, y) = −ω + ν ∈ −intC Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy bổ đề chứng minh Bổ đề 3.3 Giả sử D, K thoả mÃn giả thiết Định lí 3.1 vµ ϕ hµm låi, : D → Y lµ mét x0 ∈ coreD K cho ϕ(x0 ) 0, ϕ(y) 6∈ −intC víi mäi y ∈ K Khi Êy ϕ(y) 6∈ −intC víi mäi y ∈ D 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Giả sử trái lại tồn t¹i y ∈ D\K αx0 + (1 − α)y, α ∈ [0, 1) víi ϕ(y) ∈ −intC LÊy z ∈ (x0 , y], z = ta cã ϕ(z) = ϕ(αx0 + (1 − α)y) αϕ(x0 ) + (1 − α)ϕ(y) Nh vËy −ϕ(z) ∈ −αϕ(x0 )−(1−α)ϕ(y)+C ⊆ C +intC = intC Hay nói cách khác Vì x0 coreD K trái với giả thíêt (z) ∈ −intC, ∀z ∈ (x0 , y] nªn tån t¹i z0 ∈ (x0 , y] ∩ K ϕ(y) 6∈ −intC, ∀y ∈ K VËy ϕ(x0 ) ∈ −intC , điều Bổ đề chứng minh Chứng minh Định lí 3.1 xK Theo Bổ đề 3.1 tồn vectơ cho G(y, x) H(x, y) 6∈ intC, ∀y ∈ K Sư dơng Bỉ ®Ị 3.2 ta cã G(x, y) + H(x, y) 6∈ −intC, y K Ta định nghĩa hàm :DY xác ®Þnh bëi ϕ(y) = G(x, y) + H(x, y) Do giả thiết 4) 7) yK ®©y a NÕu G, H x ∈ coreD K ta có ta chọn lồi, theo x0 = x (y) intC , trường hợp khác ta đặt thoả mÃn giả thiết 8) Như ta cã , víi x0 = a ϕ(x0 ) , sử dụng Bổ đề 3.3 ta có ϕ(y) 6∈ −intC, ∀y ∈ D 52 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên , http://www.lrc-tnu.edu.vn hay G(x, y) + H(x, y) 6∈ −intC, ∀y D Giả Y sử cho C thoả mÃn e C \ {0} intC điều kiện (*) e C e G, H D, K, C, nón lồi đóng, nhọn thoả mÃn tất điều kiện Định lí 3.1 ®ã ta cã e ∀y ∈ D G(x, y) + H(x, y) 6∈ −intC, Tõ e −(C \ {0}) ⊂ −intC ta cã G(x, y) + H(x, y) 6∈ (C \ {0}), y D Định lí chứng minh Dễ thấy từ Định lí 3.1 ta nhận Định lí 2.2 (Kết Blum- Oettli [3]) trường hợp không gian Y R nón C = [0; +) Một kết khác hợp hai hướng nghiên cứu (có giả thiết đơn điệu) thiết lập Bianchi-Hadjisavass-schaible [2] (1997), tác giả xét Bài toán cân Bằng (3.1) với hàm F có dạng (3.2) dùng khái niệm đơn điệu suy rộng Cho X khác rỗng, đóng, Y KX tập lồi đóng không gian lồi địa phương với nón thứ tự intC 6= Hàm không gian vectơ Hausdorff, hàm G, H : K ì K Y C Y nhọn, lồi, G gọi giả đơn điệu theo H (hay H -giả ®¬n ®iƯu ) nÕu víi x, y ∈ K , G(x, y) + H(x, y) 6≺ kÐo theo G(y, x) − H(x, y) 6 DƠ thÊy, nÕu th«ng thường H =0 định nghĩa trở thành định nghĩa giả đơn điệu G 53 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Sự tồn nghiệm Bài toán (3.1) F với có dạng (3.2) thiết lập định lí sau Định lí 3.2 ([2],1997) Cho không gian X, Y , tập K , nón C hàm G, H Giả sử điều kiện sau thoả m·n: 1) G(x, x) ∀x ∈ K ; 2) Với 3) G H giả đơn điệu; 4) Với 5) y K , hàm G(., y) hemi-liên tục; x K , hàm G(x, ) nửa liên tục lồi; H(x, x) = x K ; 6) Với y K , hàm H(., y) nửa liên tục trên; 7) Với x K , hàm H(x, ) lồi; 8) Điều kiện bức: Tồn tập compắc B K y0 B cho G(x, y0 ) + H(x, y0 ) ≺ ∀x ∈ K \ B Khi Êy tËp nghiƯm cđa Bài toán cân x K : G(x, y) + H(x, y) 6≺ ∀y ∈ K (3.7) kh«ng rỗng compắc Với yK ta đặt: P (y) = {x ∈ K : G(x, y) + H(x, y) 6≺ 0} ; Q(y) = P (y) ; R(y) = {x ∈ K : G(y, x) − H(x, y) 6 0} 54 Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lí chøng minh bëi Bỉ ®Ị sau Bỉ ®Ị 3.4 NÕu điều kiện 1)-7) Định lí 3.2 thoả mÃn, Êy \ P (y) = y∈K \ Q(y) = yK \ R(y) yK giao tËp ®ãng K Chøng minh Tríc hÕt ta chØ \ y∈K LÊy x∈ T y∈K \ R(y) ⊆ P (y) y∈K R(y) , ta cã G(y, x) − H(x, y) 6 0, ∀y ∈ K Víi y∈K bÊt kỳ (cố định) đặt yt = ty + (1 − t)x, t ∈ (0, 1) Khi Êy G(yt , x)−H(x, yt ) 6 0, ∀t ∈ (0, 1) , ®ã (1 − t)G(yt , x) + tG(yt , y) 6 (1 − t)H(x, yt ) + tG(yt , y) (3.8) Do điều kiện 1) 4) ta cã: G(yt , yt ) tG(yt , y) + (1 − t)G(yt , x) (3.9) Lu ý lµ víi a, b ∈ Y, a 6 b, a b Do đó, tõ (3.8) vµ (3.9) suy tG(yt , y) + (1 − t)H(x, yt ) 6≺ Tõ ®iỊu kiƯn 5) vµ 7) ta cã (3.10) H(x, yt ) tH(x, y) 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.10) Do ®ã, tõ suy G(yt , y) + (1 − t)H(x, y) 6≺ VËy tõ ®iỊu kiƯn 2) ta cã G(x, y)+H(x, y) 6≺ nghÜa lµ x∈ T y∈K P (y) \ hay G lµ \ R(y) P (y) (3.11) yK yK Mặt khác, , H giả đơn điệu (Điều kiện 3)) nên P (y) R(y), y K Do điều kiện 4) 6), R(y) đóng K , suy Q(y) = P (y) ⊆ R(y), ∀y ∈ K P (y) ⊆ Q(y) ⊆ R(y), ∀y ∈ K , ®ã Nh vËy \ P (y) ⊆ y∈K Tõ (3.11) vµ (3.12) \ R(y) (3.12) y∈K cã: \ P (y) = y∈K Q(y) Q(y) ⊆ y∈K \ Do \ ®ãng víi mäi Q(y) = y∈K y∈K \ R(y) yK , nên giao tập đóng K Bổ đề chứng minh Chứng minh Định lí 3.2 Dùng Bổ đề Ky Fan ta \ Q(y) 6= ∅ y∈K 56 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trước tiên ta chứng minh ánh xạ Thật vậy, P : K 2K trái lại có tập hữu hạn ánh xạ KKM {yi : i I} K phần tử y co{yi : i ∈ I} \ [ P (yi ), i∈I nghÜa lµ cã λi ≥ 0, X λi = 1, y = i∈I X λi yi i∈I cho G(y, yi ) + H(y, yi ) ≺ 0, i ∈ I Do ®ã, tõ tÝnh låi cđa G(y, X G(y, ) vµ H(y, ) λi yi ) + H(y, i∈I X (§iỊu kiƯn 4), 7)) suy λi yi ) ≺ i∈I hay G(y, y) + H(y, y) ≺ Do H(x, x) = kiÖn 1) Vậy Do G(y, y) , mâu thuẫn với Điều ánh xạ KKM P (y) Q(y) yK ta có P (Điều kiện 5)) nên , ta cã Q(y0 ) ⊂ B nªn dƠ thÊy Q(y) Q : K 2K ánh xạ KKM Với tập đóng Hơn điều kiện (Điều kiện 8)) compắc Do theo Bổ đề Ky Fan th× \ Q(y) 6= ∅ y∈K Nh vËy, theo Bổ đề 3.4 điều kiện ta có tập nghiệm Bài toán cân (3.7) không rỗng compắc Định lí chứng minh 57 S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.3 Định lí điểm cân Blum-Oettli cho hàm vectơ đa trị Để hoàn chỉnh chương 3, phần đề cập đến kết mở rộng kết Blum-Oettli [3] toán cân vectơ cho hàm đa trị Kết tập hợp từ tài liệu Tấn-Minh [14] X, Y Cho C⊂Y ®ãng mäi víi x, y ∈ D Tìm hai không intC 6= gian vectơ tôpô, hàm đa trị tập lồi đóng D ⊂ X , nãn F : D × D → 2Y , F (x, y) 6= ∅ låi víi Bài toán cân vectơ đa trị xét toán sau: xD cho F (x, y) 6⊆ −intC F (x, y) = G(x, y) + H(x, y) H :DìD Y với với hàm y∈D , (3.13) G : D × D → 2Y Để đưa kết tồn nghiệm Bài toán (3.13) ta cần số khái niệm Hàm G : D ì D 2Y gọi ®¬n ®iƯu nÕu G(x, y) + G(y, x) ⊆ −C Hµm ∀x, y ∈ D T : D → 2Y gọi C - lồi ( C -lồi ) nÕu λT (x) + (1 − λ)T (y) ⊂ T (λx + (1 − λ)y) + C (T (λx + (1 − λ)y) ⊂ λT (x) + (1 − )T (y) C,tương ứng) Hàm T gọi C -liên tục (C -liên tục dưới) x0 x0 D với lân cận V Y tồn lân cận U cđa x0 X cho víi mäi x ∈ U ∩ domT ta cã T (x) ⊂ T (x0 ) + V + C (T (x0 ) ⊂ T (x) + V − C , t¬ng øng) 58 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn T gọi C liên tục x0 T vừa C liên tục vừa C liên tục x0 T gọi C liên tục (Cliên tục dưới, Cliên tục) D T C liên tục (Cliên tục dưới, Cliên tục, tương ứng) ®iĨm thc D NhËn xÐt 3.1 a) NÕu G ®iƯu ( theo nãn b) NÕu Êy T c) Nếu đơn trị khái niệm đơn điệu khái niệm đơn C T ) hàm vectơ đơn trị (ở mục 3.2) đơn trị khái niệm gọi T C gọi C H C C liên tục tính C liên tục (hay liên tục theo (3.13) låi díi lµ trïng ) C− VỊ sù tồn nghiệm Bài toán hàm vectơ đa trị lồi lồi ( hay lồi theo đơn trị tính T C với C liên tục ) F = G+H , G hàm vectơ đơn trị ta có kết sau phát biểu chứng minh Tan-Minh [14](2006) Định lí 3.3 Cho X, Y hai không gian lồi địa phương Hausdorff, D X tập lồi, đóng, khác rỗng, C Y nón nhọn, lồi, đóng với intC 6= G : D × D → 2Y , H : D × D Y hàm thoả mÃn điều kiƯn sau: 1) ∈ G(x, x) víi mäi x D; 2) G đơn điệu G(x, y) compắc với x, y D; 3) Với x, y D cố định, hàm g : [0, 1] 2Y xác định g(t) = G(ty + (1 t)x, y) (C)liên tục t = 0; 4) Với x D cố định, hàm G(x, ) : D 2Y C−liªn tơc díi 59 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn vµ C−låi díi; 5) H(x, x) = víi mäi x ∈ D; 6) Với y D cố định, hàm H(., y) : D Y (C)-liên tục 7) Với x D cố định, hàm H(x, ) : D Y Clồi; trên; 8) Tồn tập lồi, compắc, khác rỗng K D cho với x K \ coreD K có a ∈ coreD K tho¶ m·n G(x, a) + H(x, a) ⊂ −C Khi Êy tån t¹i x ∈ K cho G(x, y) + H(x, y) 6⊆ −intC, y D Nếu ra, C thoả mÃn điều kiện (*) tồn x K cho G(x, y) + H(x, y) 6⊆ −(C \ {0}) ∀y D Định lí 3.3 mở rộng đa trị Định lí 3.1 chứng minh dựa vào ý tương kĩ thuật chứng minh Định lí 3.1 đủ Định lí 3.3 trình bày [14] Chứng minh đầy Do khuôn khổ luận văn, trình bày ý chứng minh định lí Tương tự chứng minh Định lí 3.1, Định lí 3.3 chứng minh qua ba bổ đề Trong bổ đề ta giả thiết điều kiện từ 1) đến 8) Định lí 3.3 thoả mÃn Bổ đề 3.5 Tồn x K cho (G(y, x) − H(x, y)) ∩ intC = ∅ víi mäi y ∈ K §Ĩ chøng minh bổ đề này, với yK ta đặt 60 S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn S(y) = {x ∈ K : (G(y, x) − H(x, y)) ∩ intC 6= ∅} Ta cã S(y) 6= đóng X Bằng lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 3.1 ( lưu ý yếu tố đa trị ) ta có ¸nh x¹ KKM Do K S : K → 2K ánh xạ compắc nên theo Bổ đề Ky Fan suy kÕt ln cđa Bỉ ®Ị 3.5 Bỉ ®Ị 3.6 NÕu x ∈ K tho¶ m·n (G(y, x) − H(x, y)) ∩ intC = ∅ ∀y ∈ K, th× G(x, y) + H(x, y)) 6⊆ −intC, §Ĩ chøng minh bỉ ®Ị, ta lÊy x∈K ∀y ∈ K cho (G(y, x) − H(x, y)) ∩ intC = ∅ ∀y K Với yK bất kì, đặt xt = ty + (1 − t)x, t ∈ [0, 1] B»ng lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 3.2 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có (1 − t)H(x, y) + G(xt , y) 6⊆ −intC Do tÝnh liªn tơc cđa G(xt , y) theo t víi t 6= suy khẳng định Bổ ®Ị 3.6 Bỉ ®Ị 3.7 NÕu φ : D → 2Y Clồi có tính chất: 1)Tồn t¹i 2)φ(y) x0 ∈ coreD K víi φ(x0 ) ⊆ −C ; 6⊆ −intC ∀y ∈ D, th× φ(y) 6⊆ −intC víi mäi x ∈ D 61 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bổ đề chứng minh lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 3.3 Chứng minh Định lí 3.3 Theo Bổ đề 3.5 tồn xK cho (G(y, x) − H(x, y)) ∩ intC = ∅ y K Theo Bổ đề 3.6 G(x, y) + H(x, y)) intC, y K Đặt φ(y) = G(x, y) + H(x, y), y ∈ D φ : D → 2Y VËn dơng Bỉ ®Ị 3.7 hàm sử dụng lập luận tương tự chứng minh Định lí 3.1 (lưu ý yếu tố đa trị) ta có kết luận Định lí 3.3 Dễ thấy trường hợp G ánh xạ đơn trị, từ Định lí 3.3 ta nhận kết tương tự Định lí 3.1 62 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn KÕt ln Trong sù liªn quan víi kết quan trọng Blum-Oettli[3](1993) luận văn trình bày: ã Một số kết nghiên cứu chủ yếu tập hợp từ [1,6,11] tồn nghiệm toán cân có giả thiết đơn điệu giả thiết đơn điệu; ã Kết Blum-Oettli hợp nhiều kết tồn nghiệm toán cân có giả thiết đơn điệu; ã Một kết có liên quan số kết mở rộng vô hướng mở rộng vectơ (đơn trị đa trị ) kết Blum-Oettli Các kết tập hợp chủ yếu từ tài liệu [2,4,7,13,14] Các kết tập hợp trình bày luận văn lựa chọn tiêu biểu cho liên quan với kết Blum-Oettli[3] Theo tập hợp tài liệu tham khảo cần thiết cho hướng đề tài luận văn Mặc dù đà cố gắng, thời gian khả hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong thầy cô bạn đọc giáo 63 S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] G Allen, Variational ineaqualities, complementary problems and duality theorems, [2] M J.Math.Anal.Appl.58(1977), 1-10 Bianchi, N Hadjisavvas and S Schaible, Vector Equilibrium Problems with Generalized Monotone Bifunctions, J Optim Theory Appl,Vol.92(1997), 527-542 [3] E.Blum and W.Oettli, From Optimization and Variational ineaqualities to Equilibrium Problems, Mathematics Student, Vol.63(1993),1-23 [4] H.Brezis, L.Nirenberg and G.Stampacchia, Principle [5] H.Brezis, A Remark on KyFan's Minimax Boll.Un.Mat.Ital Vol.6(1972).293-300 Equations et inÐquatiens nonlinÐar dans les espaces vectoriels en dualitÐ, Ann.Inst.Jourier(Grenoble).18(1968),115-175 [6] L.V.Chong, Variational On the Existence of Solutions for a Gerenal From of and Quasi - Variational Inequalities, Z Analysis Anwendungen 3(1984), 541-548 [7] O.Chadli,Z.Chbani and Equilibrium Problems with Generalized H.Riahi, Monotone Bifunctions and Applications to Variational ineaqualities, J.Optim Theory Appl Vol.105(2000), 299-323 64 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [8] K Fan, A Generalization of Tychonoff's Fixed Point Theorem, Math Ann.142(1961), 305-310 [9] K Fan, A Minimax Inequality and Applications In: Inequalities III, ed by O.Shisha, [10] P.Hartman equations, A cademic, Press, New York-London (1972),103-113 and G.Stampacchia, On some nonlinear elliptic differential Acta Math.115(1966), 217-310 Implicit Variational Problems and Quasi-Variational inequal- [11] U.Mosco, ities, Lecture Notes in Mathematics, Spriger-Verlag, Vol.543(1976),83- 156 [12] G Stampacchia, Formes bilineaires coercitives sur les ensembles, con- vecxes, C.R.A.T,258(1964) [13] N.X.TÊn and P.N.TÜnh, Functions, On the Exitstence of Equilibrium points of Vector Numer.Funct.Anal.OPtim.Vol.19(1998),141-156 [14] Nguyễn Xuân Tấn Nguyễn Bá Minh, ưu véctơ đa trị, NXB Giáo dục, Một sè vÊn ®Ị lý thut tèi 2006 65 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn