Lý thuyết tối ưu và một số mô hình trong kinh tế

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG HỒNG THỊ CÀNH LÝ THUYẾT TỐI ƯU VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH TRONG KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Mẫu Trang phụ bìa luận văn (title page) Thái Nguyên - 2012 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG HỒNG THỊ CÀNH LÝ THUYẾT TỐI ƯU VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH TRONG KINH TẾ Chun ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60.48.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Người hướng dẫn khoa học: TS Vũ Vinh Quang Mẫu Trang phụ bìa luận văn (title page) Thái Nguyên - 2012 i LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Vũ Vinh Quang, người tận tình hướng dẫn, bảo cung cấp tài liệu hữu ích để tơi hồn thành luận văn Xin cảm ơn lãnh đạo Trường Đại học Công nghệ Thông tin Truyền thông Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện giúp đỡ mặt suốt trình học tập thực luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy, giáo Viện Công nghệ Thông tin trường Đại học Công nghệ Thông tin Truyền thông - Đại học Thái Nguyên truyền đạt kiến thức, phương pháp nghiên cứu khoa học suốt năm học vừa qua Xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên cao học K9A bạn đồng nghiệp động viên, khích lệ tơi q trình học tập, nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình, người thân, người ln động viên, khuyến khích giúp đỡ mặt để tơi hồn thành cơng việc nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả luận văn Hoàng Thị Cành 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Những nội dung luận văn thực hướng dẫn trực tiếp thầy giáo hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang Mọi tham khảo dùng luận văn trích dẫn rõ ràng tác giả, tên cơng trình, thời gian, địa điểm công bố Tôi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả luận văn Hồng Thị Cành 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii DANH MỤC CÁC BẢNG TRONG LUẬN VĂN Tên bảng luận văn Bảng Trang 2.1 Bảng đơn hình 24 2.2 Bảng ma trận vận chuyển 28 2.3 Bảng suất 36 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iv DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ TRONG LUẬN VĂN Hình Tên hình luận văn Trang 2.1 Sơ đồ khối thuật toán đơn hình 27 2.2 Sơ đồ khối thuật tốn phân phối 32 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn v MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương LÝ THUYẾT TỐI ƯU HÓA 1.1 Mơ hình tốn tối ưu hóa 1.1.1 Mơ hình tổng qt 1.1.2 Phân loại toán tối ưu 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính 1.3 Lý thuyết cực trị hàm nhiều biến 1.3.1 Cực trị khơng có điều kiện ràng buộc 1.3.2 Cực trị có điều kiện 11 Chương MỘT SỐ THUẬT TOÁN GIẢI CÁC BÀI TOÁN TỐI ƯU 18 2.1 Thuật tốn đơn hình 18 2.1.1 Mơ tả thuật tốn gốc 18 2.1.2 Thuật tốn đơn hình mở rộng 25 2.2 Thuật toán phân phối 28 2.2.1 Mơ hình tốn 28 2.2.2 Thuật toán phân phối 31 2.2.3 Sơ đồ mô tả thuật toán phân phối 32 2.3 Bài toán sản xuất đồng 34 2.3.1 Mơ hình tốn sản xuất đồng tổng quát 35 2.3.2 Phương pháp điều chỉnh nhân tử 37 2.3.3 Một số trường hợp mở rộng 41 2.4 Bài toán lập lịch 45 2.4.1 Mơ tả tốn 45 2.4.2 Thuật toán Jonhson 45 Chương CÁC MƠ HÌNH BÀI TOÁN TỐI ƯU TRONG KINH TẾ 52 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn vi 3.1 Mơ hình tối đa hóa lợi nhuận 53 3.1.1 Phương án sử dụng tối ưu yếu tố sản xuất 53 3.1.2 Tối đa hóa lợi nhuận doanh nghiệp độc quyền 55 3.2 Mơ hình tối thiểu chi phí sản xuất 57 3.2.1 Bài toán 57 3.2.2 Mơ hình tốn học 57 3.3 Các mơ hình tốn tối ưu sở hàm cầu 58 3.3.1 Bài tốn tối đa hóa lợi ích tiêu dùng hàm cầu Marshall 58 3.3.2 Bài tốn tổi thiểu hóa chi phí tiêu dùng hàm cầu Hick 64 PHẦN KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO 70 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý thuyết tối ưu hóa ngành tốn học phát triển mạnh, ngày có nhiều ứng dụng quan trọng lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, công nghệ quản lý đại Cuộc cách mạng công nghệ thông tin tạo điều kiện thuận lợi để ứng dụng tối ưu hóa cách rộng rãi thiết thực Trong tốn học, thuật ngữ tối ưu hóa tới việc nghiên cứu tốn có dạng: Cho trước: hàm f ( x) : A  R Tìm: phần tử x0 thuộc A cho f ( x0 )  f ( x); x  A ("cực tiểu hóa") cho f ( x0 )  f ( x); x  A ("cực đại hóa") Nhiều tốn thực tế mơ hình theo cách tổng quát Lời giải khả thi cực tiểu hóa (hoặc cực đại hóa) hàm mục tiêu gọi lời giải tối ưu Trong hoạt động thực tiễn, mong muốn đạt kết tốt theo tiêu chuẩn Tất mong muốn lời giải tốn tối ưu hóa Mỗi vấn đề khác thực tế dẫn đến toán tối ưu khác Dựa tảng tốn học hình thành nên lớp phương pháp toán học giúp ta tìm lời giải tốt cho tốn thực tế, gọi phương pháp tối ưu hóa Với nguyện vọng muốn tìm hiểu lý thuyết tối ưu hóa lĩnh vực ứng dụng thực tế chúng, em chọn đề tài “Lý thuyết tối ƣu số mơ hình kinh tế” làm luận văn tốt nghiệp Mục đích đề tài tìm hiểu sở tốn học lý thuyết tối ưu số mơ hình kinh tế thường gặp, cách giải toán kinh tế bước đầu ứng dụng qua ví dụ cụ thể 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn gồm chương không kể phần mở đầu phần kết luận với nội dung sau: Chương 1: Luận văn trình bày sở lý thuyết tối ưu hóa bao gồm giới thiệu tổng quan mơ hình toán tối ưu tổng quát phân loại toán tối ưu bản, giới thiệu chi tiết mơ hình tốn quy hoạch tuyến tính sở toán học lý thuyết cực trị hàm nhiều biến số Chương 2: Luận văn nghiên cứu số thuật toán giải toán tối ưu mơ hình tổng qt tốn Quy hoạch tuyến tính, thuật tốn đơn hình, thuật tốn phân phối, tốn sản xuất đồng Ngồi luận văn đề cập đến thuật toán Jonhson giải toán lập lịch, mơ hình lý thuyết thuật toán Chương 3: Luận văn đưa số mơ hình tốn tối ưu kinh tế mơ hình tối đa hóa lợi nhuận, tối thiểu chi phí sản xuất, mơ hình tốn tối ưu dựa hàm cầu… Trong luận văn đưa thực nghiệm tính tốn kiểm tra độ xác thuật toán dựa phần mềm chạy máy tính PC 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 p1  p2  D11 (Q1 )  D21 (Q2 )  Ta nhận toán cực trị khơng có điều kiện với hai biến Q1 , Q2 3.2 Mơ hình tối thiểu chi phí sản xuất 3.2.1 Bài toán Xét toán doanh nghiêp sản suất độc quyền loại sản phẩm Để sản xuất sản phẩm đó, xí nghiệp phải sử dụng số đơn vị lao động L số đơn vị tư K Giả thiết theo kế hoạch lượng sản phẩm giá trị xác định duyệt theo kế hoạch Hãy xác định số đơn vị tư cần thuê số lao động cần sử dụng để chi phí sản suất đạt giá trị nhỏ Đây dạng mơ hình tối ưu khác thực tế thường đặt doanh nghiệp 3.2.2 Mơ hình tốn học Ký hiệu w K giá tư cần thuê, w L giá lao động cần thuê, C0 chi phí cố định Giả sử lượng sản phẩm cần sản suất Q quan hệ với K L thông qua hàm sản suất Q  f ( K , L) theo kế hoạch lượng sản phẩm cố định cần sản xuất b Khi tốn đưa mơ hình tối ưu sau: Xác định K L để hàm mục tiêu: C ( K , L)  w K K  w L L  C0  Min Với điều kiện ràng buộc: f ( K , L)  b Đây tốn cực trị có điều kiện hàm biến số Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, xây dựng hàm mục tiêu mới: G( K , L,  )  C( K , L)   ( f ( K , L)  b) Khi tốn đưa xác định cực tiểu hàm G( K , L,  ) 63Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Điều kiện cần: K , L  nghiệm hệ phương trình: G G G  0;  0;  K L  Điều kiện đủ: Xác định ma trận H theo công thức 0  H   g1 g  g1 G11 G21 g2   G12  G22  Trong đó: f f ; g2  K L 2 G G G  2G G11  , G12    G21 , G22  x xy yx y g1  Khi K , L  cần đảm bào cho H  Hoàn toàn tương tự, xét mơ hình tối ưu trường hợp phức tạp (Nhiều doanh nghiệp, nhiều mặt hàng) mà lời giải nhận từ lý thuyết cực trị hàm số nhiều biến số đưa chương luận văn 3.3 Các mơ hình tốn tối ƣu sở hàm cầu 3.3.1 Bài tốn tối đa hóa lợi ích tiêu dùng hàm cầu Marshall a) Sự lựa chọn người tiêu dùng Lượng cầu loại hàng hóa thị trường tổng lượng cầu cá nhân, dó việc nghiên cứu cầu phải xuất phát từ lựa chọn cá nhân người tiêu dùng Để phân tích nhu cầu người tiêu dùng phải tính đến yếu tố chi phối lựa chọn cá nhân Trong kinh tế học người ta quan tâm đến hai yếu tố quan trọng sau: 64Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Sở thích Các ràng buộc, hay hội lựa chọn Sở thích người tiêu dùng nhà kinh tế mơ tả thơng qua hàm lợi ích Trên thực tế, cấu tiêu dùng gồm nhiều mặt hàng nghiên cứu nhu cầu loại hàng hóa ta gộp tất hàng hóa cịn lại thành mặt hàng thứ hai Ký hiệu hàm lợi ích U  U  x, y  x lượng hàng hóa thứ nhất, y lượng hàng hóa thứ hai, U lợi ích (độ ưa chuộng) người tiêu dùng túi hàng  x, y  Quyết định mua sắm người tiêu dùng khơng thể dựa theo sở thích, hàng hóa bán theo giá thị trường thu nhập người có hạn Do việc định mua sắm phải vào ràng buộc giá mặt hàng thu nhập người tiêu dùng Sử dụng ký hiệu p1 giá hàng hóa thứ nhất; p2 giá hàng hóa thứ hai; m thu nhập người tiêu dùng Ràng buộc tài người tiêu dùng biểu diễn phương trình: p1 x  p2 y  m b) Bài tốn tối đa hóa lợi ích tiêu dùng Bài tốn tối đa hóa lợi ích phát biểu: Xác định  x, y  để hàm lợi ích: U  U  x, y   max (3.6) Với điều kiện ràng buộc: 65Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 p1 x  p2 y  m (3.7) Ta xem xét toán với giả thiết hàm lợi ích có đạo hàm riêng cấp cấp hai liên tục miền  x, y  : x  0, y  0 Ký hiệu: U1  U x' ,U  U y' U11  U xx'' ,U12  U xy'' ,U 21  U yx'' ,U 22  U yy'' Để giải tốn tối đa hóa lợi ích, ta lập hàm số Lagrange: L  U ( x, y)   (m  p1x  p2 y) Điều kiện cần để túi hàng  x, y  cho lợi ích tối đa là:  L'  m  p1 x  p2 y  U1 U    '   p1 p2   Lx  U1   p1   '   p1 x  p2 y  m  Ly  U   p2  (3.8) Từ điều kiện (3.8) ta thấy để xác định  x, y  ta cần giải hệ phương trình hai ẩn số: U1 U    p1 p2 p x p y  m  (3.9) Gọi  x , y  nghiệm hệ phương trình (3.9), giá trị tương ứng nhân tử Lagrange xác định theo công thức:  U1 ( x , y ) U (x, y)   p1 p2 (3.10) Để xét điều kiện đủ ta tính đạo hàm riêng biểu thức g  p1 x  p2 y đạo hàm riêng cấp hai hàm số L : 66Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 g1  g x'  p1 , g  g 'y  p2 ; L11  L''xx  U11 , L12  L''xy  U12 , L21  L''yx  U 21  U12 , L22  L''yy  U 22 Ta có: 0  H   g1 g  g2   p1 p2     L12    p1 U11 U12  L22   p2 U 21 U 22  g1 L11 L21 Điều kiện đủ toán cực đại hóa lợi ích là: | H | p1 p2U12  p12U 22  p22U11  (3.11) Do ta có:  U U1 U U   p1  p2  p1 p2   Điều kiện đủ (3.11) viết dạng tương đương:  U1U 2U12   U12U 22   U 22U11  Nhân hai vế với  ta được: 2U1U 2U12  U12U 22  U 22U11  (3.12) Như vậy, điều kiện đủ toán cực đại hóa lợi ích liên quan đến hàm lợi ích U  x, y  Trong kinh tế học, người ta ln giả thiết hàm lợi ích U  x, y  thỏa mãn điều kiện (3.12) với x  0, y  (khi điểm cực đại địa phương điểm cực đại tồn thể) Một dạng hàm lợi ích hay sử dụng hàm Cobb-Douglas: U  Ax y  ( A  0,0    1,0    1) 67Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.13) http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 Hàm số thỏa mãn điều kiện (3.12) với x  0, y  vì: U1  A x 1 y   0,U  A x y  1  0; U12  A x 1 y  1  0; U11  A (  1) x  y   0; U 22  A (   1) x y    Lượng hàng hóa mà người tiêu dùng định mua lượng cầu Phương pháp nhân tử Lagrange cho phép xác định lượng cầu loại hàng hóa mức giá thu nhập: x  x ( p1 , p2 , m) (3.14) y  y ( p1 , p2 , m) (3.15) Trong kinh tế học, hàm số (3.14), (3.15) gọi hàm cầu Mashall Hàm cầu Mashall hàm cầu người tiêu dùng theo quan điểm tối đa hóa lợi ích c) Các hàm cầu Marshall Căn để lập hàm cầu Marshall hàm lợi ích biểu diễn sở thích mua sắm người tiêu dùng Với giả thiết hàm lợi ích U  U  x, y  thỏa mãn điều kiện (3.12), hàm cầu (3.14), (3.15) dẫn xuất từ hệ phương trình (3.9) Điều suy từ việc giải tốn tối đa hóa lợi ích phương pháp nhân tử Lagrange Chú ý toán tối đa hóa lợi ích điều kiện (3.7) viết dạng tương đương: p1 x  p2 y  m  kp1 x  kp2 y  km; k  Điều có nghĩa ràng buộc ngân sách không thay đổi giá tất mặt hàng tiêu dùng thu nhập tăng giảm theo tỷ lệ Từ suy hàm cầu Marshall hàm bậc 0: 68Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 x  kp1 , kp2 , km   x  p1 , p2 , m  y  kp1 , kp2 , km   y  p1 , p2 , m  Mặt khác, V  V U  hàm dương đồng biến điểm cực đại hàm số V  V U  x, y  trùng với điểm cực đại hàm số U  U  x, y  Do hàm cầu Marshall không thay đổi ta thay hàm lợi ích hàm lợi ích khác biểu diễn sở thích Điều có nghĩa hàm cầu Marshall phụ thuộc vào sở thích mua sắm thơng qua hàm lợi ích d) Hàm lợi ích gián tiếp Thay hàm cầu (3.14), (3.15) vào hàm lợi ích U  U  x, y  ta hàm số biểu diễn phụ thuộc lợi ích U vào biến p1 , p2 , m : U  U  x  p1 , p2 , m  , y  p1 , p2 , m   U  p1 , p2 , m  (3.16) Hàm số (3.16) biểu diễn lợi ích tiêu dùng theo giá thu nhập gọi hàm lợi ích gián tiếp Nếu hàm lợi ích trực tiếp U  U  x, y  biểu diễn lợi ích người tiêu dùng trực túi hàng  x, y  hàm lợi ích gián tiếp (3.16) biểu diễn lợi ích đạt tùy theo điều kiện tiêu dùng Thơng qua phân tích so sánh ta biết lợi ích thay đổi điều kiện tiêu dùng thay đổi Theo ý nghĩa kinh tế, lợi ích cận biên thu nhập ký hiệu  : U   có m nghĩa thu nhập tăng thêm 1$ lợi ích tăng lượng  thu nhập giảm 1$ lợi ích người tiêu dùng giảm lượng  Để phân tích ảnh hưởng thay đổi giá lợi ích, ta tính đạo hàm riêng U theo giá Từ (3.16) ta có: 69Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 64 U x y  U1 U2 p1 p1 p1 (3.17) Mặt khác, lấy đạo hàm vế p1 x  p2 y  m ta được: x  p1 x y  p2 0 p1 p1 (3.18) Ta lại có: U1 U U U     p1  , p2  p1 p2   (3.19) Thay (3.19) vào (3.18) ta được: x U1 x U y  0  p1  p1 (3.20) x y  U1 U2   x p1 p1 Thay (3.20) vào (3.17) ta được: U   x p1 (3.21) Hệ thức (3.21) hiểu sau: Khi giá hàng hóa thứ tăng thêm 1$ yếu tố khác khơng thay đổi thu nhập thực tế giảm lượng x $, lợi ích người tiêu dùng giảm lượng  x Tương tự ta có: U   y p2 (3.22) 3.3.2 Bài tốn tổi thiểu hóa chi phí tiêu dùng hàm cầu Hick a) Bài toán tối thiểu hóa chi phí tiêu dùng 70Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 65 Khi định mua sắm hàng hóa dịch vụ, khơng phải người tiêu dùng sử dụng tồn thu nhập để hưởng lợi ích tối đa Một xu hướng lựa chọn khác người ta đặt mức lợi ích U định thực lợi ích với chi phí nhỏ Mơ hình tốn đặt sau: Xác định  x, y  để chi phí tiêu dùng: C  p1 x  p2 y  Min (3.23) U  x, y   U (3.24) Với điều kiện: Để giải toán ta lập hàm số Lagrange: L  p1 x  p2 y   U  U  x, y  Trong nhân tử Lagrange ký hiệu  để phân biệt với nhân tử Lagrange  toán cực đại hóa lợi ích Điều kiện cần:  L'  U  U  x, y    U1 U  '   p  p   Lx  p1  U1   ' U  x, y   U   Ly  p2  U  Để tìm  x, y  ta việc giải hệ phương trình hai ẩn số: U1 U p  p  U  x, y   U  (3.25) Công thức để tính nhân tử Lagrange tương ứng túi hàng  x , y  thỏa mãn điều kiện (3.25) là: 71Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 66  p1 p2  U1 U (3.26) Điều kiện đủ: H  g1 g2 g1 L11 L21 g2 L12  U1 L22 U U1  U11  U 21 U2  U12   U 22 (3.27)    U1U 2U12  U1U 2U 21  U12U 22  U 22U11   b) Hàm cầu Hick Hàm cầu Hick hàm cầu người tiêu dùng theo quan điểm tối thiểu hóa chi phí cho mức lợi ích U khơng đổi Các hàm cầu Hick dẫn xuất từ hàm lợi ích U  U  x, y  Khi biết hàm lợi ích U  x, y  từ hệ phương trình (3.25) ta tìm được: x  x  p1 , p2 ,U  (3.28) y  y  p1 , p2 ,U  (3.29) Mỗi hàm số (3.28), (3.29) hàm cầu loại hàng hóa, gọi hàm cầu Hick, hay hàm cầu lợi ích khơng đổi c) Hàm chi tiêu Thay hàm cầu (3.28), (3.29) vào biểu thức C  p1 x  p2 y ta hàm số biểu diễn chi phí tiêu dùng: C  p1 x  p1 , p2 ,U   p2 y  p1 , p2 ,U   C  p1 , p2 ,U  (3.30) Hàm số (3.30) gọi hàm chi phí tiêu dùng, hay hàm chi tiêu + Theo ý nghĩa nhân tử Lagrange  chi phí cận biên lợi ích: 72Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 67 C  U Điều có nghĩa để tăng lợi ích thêm đơn vị tiêu thêm  $ + Để xét ảnh hưởng thay đổi giá chi phí tiêu dùng ta tính đạo hàm riêng C theo p1 p2 Từ (3.30) ta có: C x y  x  p1  p2 p1 p1 p1 Từ (3.26) ta có p1  U1 , p2  U đó:  x C y   x    U1  U2  p1 p1   p1 (3.31) Mặt khác, lấy đạo hàm hai vế U  x , y   U theo p1 ta được: U1 x y U2 0 p1 p1 (3.32) Từ (3.31), (3.32) suy ra: Tương tự ta có: C x p1 (3.33) C y p2 (3.34) Các hệ thức (3.33), (3.34) có ý nghĩa sau: Khi giá mặt hàng tăng thêm 1$ yếu tố khác khơng thay đổi chi phí tiêu dùng tăng thêm lượng lượng cầu hàng hóa Kết luận: Nội dung chương đề cập đến số mô hình tốn tối ưu kinh tế, tốn ln ln đưa đến mơ hình chung tốn cực 73Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 68 trị điều kiện cực trị có điều kiện hàm số nhiều biến số Trên sở này, mở rộng nghiên cứu số mơ hình tổng qt 74Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 69 PHẦN KẾT LUẬN Nội dung luận văn đề cập đến số mơ hình tối ưu hóa tốn kinh tế, kết luận văn bao gồm: Trình bày mơ hình tổng qt tốn tối ưu hóa sở tốn học toán cực trị hàm nhiều biến Đây phần kiến thức quan trọng cho phép nghiên cứu mơ hình tối ưu kinh tế Nghiên cứu số thuật tốn quan trọng giải mơ hình tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng qt như: Thuật tốn đơn hình, thuật tốn phân phối tốn sản xuất đồng Đưa mơ hình toán lập lịch thuật toán Jonhson Các thuật toán kiểm nghiệm độ xác thơng qua phần mềm lập trình máy tính PC Nghiên cứu số mơ hình tối ưu hóa kinh tế như: tốn tối đa hóa lợi nhuận, tốn tối thiếu chi phí sản xuất toán tối ưu dựa hàm cầu… Đây mơ hình phổ biến kinh tế Hướng phát triển luận văn là: Nghiên cứu mơ hình tối ưu hóa phức tạp kinh tế Cập nhật số quy trình cơng nghệ kết hợp với mơ hình tối ưu nhằm xây dựng hệ hỗ trợ định, đáp ứng nhu cầu thực tế tương lai 75Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Quang Dong, Ngô Văn Thứ, Hồng Đình Tuấn, Giáo trình Mơ hình Tốn Kinh tế, NXB Thống kê, Hà Nội 2006 [2] Nguyễn Đức Nghĩa, Tối ưu hóa (Quy hoạch tuyến tính rời rạc), NXB Giáo dục, Hà Nội 1999 [3] Trần Đình Tuấn, Lý thuyết mơ hình tốn kinh tế, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2004 [4] Lê Đình Thúy, Toán cao cấp cho nhà kinh tế, NXB Thống kê, Hà Nội 2004 [5] Bùi Minh Trí, Quy hoạch toán học, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội 2001 Tiếng Anh: [6] Allen, R G D, Mathematical Analysis for Economists, MacMillan & Co.,Ltd., London, 1983 [7] Alpha C Chiang, Fundamental Methods of Mathematics for Economics, Third Edditon McGraw-Hill, Inc [8] Eugene Silberberg, The Structure of Economics, Part A: Mathematical Analysis McGraw-Hill,Inc., 1978 [9] Edward T Dowling, Introduction to Mathematical for Economics, 2/ed Schaum’s Outline Series McGraw-Hill, Inc [10] Mike Rosser, Basic Mathematics for Economists, Taylor & Francis eLibrary, 2003 76Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 71 [11] Michael Hoy, John, Chris McKenna, Ray Rees, Thanasic Stengos, Mathematics for Economics, Addison Wesley Publishers Limitted, 1996 [12] N Gregory Malkin and William Scarth, Macroeconomics, Canadian Edition, Worth Publishers, 1995 [13] James M Henderson and Richard E Quandt, Microeconomic Theory, A Mathematical Approach, McGraw-Hill Company 3/ed, 1986 [14] Robert H Frank, Microeconomics and Behavior, McGraw-Hill, Inc., 1991 77Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn