��I HÅC TH�I NGUY�N TR×ÍNG ��I HÅC KHOA HÅC NGUY�N THÀ D×ÌNG KI�U �ÀNH LÞ ROLLE V� MËT SÈ �P DÖNG LU�N V�N TH�C S� TO�N HÅC TH�I NGUY�N 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu Đại học Thái Nguyên http //ww[.]
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC NGUYN TH DìèNG KIU NH Lị ROLLE V MậT Sẩ P DÖNG LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HC NGUYN TH DìèNG KIU NH Lị ROLLE V MậT Sẩ P DệNG Chuyản ngnh: PHìèNG PHP TON Sè CP M SÈ: 60.46.40 LUN VN THC S TON HÅC Ngữới hữợng dăn khoa hồc: GS.TSKH NGUYN VN MU THI NGUYN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Möc löc Mð Ưu nh lỵ Rolle v mởt số m rởng 1.1 nh lỵ Rolle 1.2 ành lỵ Lagrange v nh lỵ Cauchy 1.3 nh lỵ Rolle trản khoÊng vổ hÔn Kh£o sĂt tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa hm số 2.1 Hm ỗng bián, nghch bián 2.2 Hm lỗi, lóm khÊ vi bªc hai 2.2.1 Tẵnh chĐt cừa hm lỗi, hm lóm 2.2.2 ë g¦n ·u v sp thù tü c¡c tam gi¡c Mởt số ựng dửng nh lỵ Rolle Ôi số 3.1 Chựng minh sỹ tỗn tÔi v biằn luên số nghiằm cừa phữỡng trẳnh 3.2 GiÊi phữỡng trẳnh v bĐt phữỡng tr¼nh 3.3 Sü ph¥n bè nghi»m cõa a thùc v Ôo hm 3.4 Mởt bi toĂn liản quan án khai trin Taylor-Gontcharov 3.5 Chùng minh b§t ¯ng thùc Bi têp bờ sung Kát luên Danh mửc cĂc cổng trẳnh liản quan án luên vôn Ti liằu tham kh£o Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 10 11 11 13 13 18 23 23 35 42 48 50 61 65 67 68 M Ưu nh lỵ Rolle v mởt số m rởng cừa nh lỵ Rolle ( nh lỵ Lagrange, nh lỵ Cauchy, nh lỵ Rolle trản mởt khoÊng khổng b chn) l cĂc nh lỵ quan trồng và giĂ tr trung bẳnh chữỡng trẳnh giÊi tẵch cờ in ng dửng cừa cĂc nh lỵ ny chữỡng trẳnh toĂn Trung hồc phờ thổng rĐt a dÔng v phong phú, c biằt l cĂc dÔng toĂn và giÊi phữỡng trẳnh, biằn luên số nghiằm cừa phữỡng trẳnh trản mởt khoÊng, chựng minh bĐt ng thực, xt cüc trà cõa h m sè Tuy nhi¶n, c¡c t i li»u s¡ch gi¡o khoa d nh cho håc sinh phê thổng thẳ cĂc ựng dửng ny cừa nh lỵ Rolle chữa ữủc trẳnh by mởt cĂch hằ thống v Ưy ừ Vợi suy nghắ v theo ỵ tững õ, mửc tiảu chẵnh cừa bÊn luên vôn ny l nhơm cung cĐp thảm cho cĂc em hồc sinh, c biằt l cĂc em hồc sinh khĂ, giọi, cõ nông khiáu v yảu thẵch mổn toĂn mởt ti liằu, ngoi nhỳng kián thùc cì b£n cán câ th¶m mët h» thèng c¡c bi têp nƠng cao, qua õ s thĐy ró hỡn cĂc dÔng toĂn ựng dửng rĐt phong phú cừa nh lỵ Rolle, nh lỵ Lagrange v mởt số nh lỵ m rởng khĂc c biằt, luên vôn cụng nh hữợng cĂch giÊi v cĂch vên dửng cĂc nh lỵ  biát tẳm tỏi nhỳng lới giÊi hay, ởc Ăo c thũ cho tứng dÔng toĂn cử th, tứ õ hẳnh thnh ỵ thực sĂng tÔo nhỳng bi toĂn mợi Ngoi ra, Ơy cụng l nhỳng kát quÊ m bÊn thƠn tĂc giÊ s tiáp tửc hon thiằn quĂ trẳnh nghiản cựu v giÊng dÔy toĂn tiáp theo trữớng phờ thổng Luên vôn ngoi mửc lửc, lới nõi Ưu, kát luên v ti liằu tham khÊo gỗm bốn chữỡng Chữỡng nh lỵ Rolle v mởt số m rëng Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Nởi dung chữỡng ny nhơm trẳnh by mởt cĂch cỡ bÊn nhĐt cĂc nh lỵ v· gi¡ trà trung b¼nh cịng mët sè h» qu£ quan trồng Ơy l phƯn lỵ thuyát cỡ s vªn dưng cho c¡c b i to¡n ùng dưng ð nhúng chữỡng sau Chữỡng KhÊo sĂt tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa hm số Chữỡng ny trẳnh by mởt số ựng dửng trỹc tiáp cừa nh lỵ Rolle v nh lỵ Lagrange viằc khÊo sĂt hai tẵnh chĐt rĐt cỡ bÊn v quan trồng cừa hm số chữỡng trẳnh toĂn THPT, õ l tẵnh ỗng bián, nghch bián v tẵnh chĐt lỗi, lóm cừa hm số khÊ vi bêc hai Chữỡng Mởt số ựng dửng nh lỵ Rolle Ôi số Ơy l nởi dung trồng tƠm cừa luên vôn Chúng tổi nảu ựng dửng cừa nh lỵ Rolle v cĂc nh lỵ m rởng cĂc bi toĂn giÊi phữỡng trẳnh, biằn luên số nghiằm cừa phữỡng trẳnh, chựng minh bĐt ng thực, sỹ phƠn bố nghiằm cừa a thực v Ôo hm CĂc bi têp minh hồa ữủc lỹa chồn tứ à thi cừa cĂc kẳ thi håc sinh giäi Quèc gia, c¡c k¼ thi Olympic khu vỹc v Quốc tá, mởt số bi têp tĂc giÊ tỹ sĂng tĂc ối vợi mội dÔng bi têp Ãu nảu phữỡng phĂp giÊi cử th, cõ ữa nhỳng bi toĂn vợi lới giÊi ởc Ăo Ưy tẵnh sĂng tÔo v bĐt ngớ Chữỡng Bi têp bờ sung Chữỡng ny giợi thiằu mởt số bi toĂn tiảu biu  ữủc sưp xáp v lỹa chồn k lữùng Mội bi Ãu cõ hữợng dăn cĂch giÊi nhơm vên dửng nhỳng kián thực thu ữủc tứ ba chữỡng trữợc nƠng cao k nông lêp luên v k nông tẵnh toĂn cử th Luên vôn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn khoa hồc cừa Nh giĂo nhƠn dƠn, GS-TSKH Nguyạn Vôn Mêu, tĂc giÊ xin ữủc tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh v sƠu sưc tợi GS - Ngữới ThƯy rĐt nghiảm khưc v tên tƠm cổng viằc,  truyÃn thử nhiÃu kián thực quỵ bĂu cụng nhữ kinh nghiằm nghiản cựu khoa hồc cho tĂc giÊ suốt quĂ trẳnh hồc têp v nghiản cựu à ti TĂc giÊ xin ữủc by tọ lỏng biát ỡn chƠn thnh án Ban giĂm hiằu, Phỏng o tÔo sau Ôi hồc, Khoa ToĂn-Tin cừa trữớng Ôi hồc Khoa Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn hồc - Ôi hồc ThĂi Nguyản, quỵ thƯy cổ giĂo  tham gia giÊng dÔy v hữợng dăn khoa hồc cho lợp Cao hồc ToĂn K2 T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn UBND T¿nh, S GiĂo dửc v o tÔo Tnh Cao Bơng, Ban giĂm hiằu v têp th cĂn bở giĂo viản Trữớng THPT DƠn tởc Nởi trú Tnh Cao Bơng  tÔo i·u ki»n cho t¡c gi£ câ cì hëi ÷đc håc têp v nghiản cựu TĂc giÊ cụng xin ữủc cÊm ỡn sỹ quan tƠm, giúp ù nhiằt tẳnh cừa cĂc bÔn hồc viản Cao hồc ToĂn K1, K2, K3 trữớng HKH - HTN èi vỵi t¡c gi£ st qu¡ trẳnh hồc têp v nghiản cựu khoa hồc hon thnh luên vôn ny, tĂc giÊ Â têp trung hồc têp v nghiản cựu khoa hồc mởt cĂch nghiảm túc suốt khõa hồc, cụng nhữ rĐt cân thên khƠu chá bÊn LaTex Tuy nhiản cỏn hÔn chá và thới gian, khÊ nông v hon cÊnh gia ẳnh nản quĂ trẳnh thỹc hiằn khổng trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt, tĂc giÊ rĐt mong nhên ữủc sỹ ch bÊo cừa quỵ thƯy cổ v nhỳng gõp ỵ cừa bÔn ồc luên vôn ữủc hon thiằn hỡn ThĂi Nguyản, thĂng 09 nôm 2010 Ngữới thỹc hiằn Nguyạn Th D÷ìng Ki·u Số hóa Trung tâm Học liệu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chữỡng nh lỵ Rolle v mët sè mð rëng Trong ch÷ìng n y chóng tổi giợi thiằu nởi dung nh lỵ Rolle v mởt số m rởng cừa nh lỵ Rolle (xem [3]-[4]-[8]-[10]-[11]) Mởt số hằ quÊ quan trồng cụng ữủc trẳnh by Ơy thuên lủi cho viằc vên dửng giÊi cĂc bi toĂn ữủc trẳnh by hai chữỡng tiáp theo 1.1 nh lỵ Rolle Cỡ s cừa nh lỵ Rolle dỹa vo hai nh lỵ cỡ bÊn nhĐt cừa Weierstrass ối vợi hm liản tửc khng nh rơng f liản tửc trản oÔn [a, b] thẳ nõ phÊi Ôt giĂ tr lợn nhĐt v giĂ tr nhọ nhĐt trản oÔn õ v nh lỵ Fermat và im cỹc tr cừa hm khÊ vi khng nh rơng náu hm khÊ vi g(x) (a, b) Ôt cỹc tr (cỹc Ôi hoc cỹc tiu) tÔi mởt im khoÊng õ thẳ Ôo hm tÔi im õ bơng nh lỵ 1.1 ( nh lỵ Rolle) GiÊ sỷ f l hm liản tửc trản oÔn [a; b] v cõ Ôo hm tÔi mồi x ∈ (a; b) N¸u f (a) = f (b) thẳ tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt im c (a; b) cho f 0(c) = Chùng minh V¼ f liản tửc trản oÔn [a; b] nản theo nh lỵ Weierstrass hm f phÊi Ôt giĂ tr cỹc Ôi v giĂ tr cỹc tiu trản oÔn [a; b], tực l Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn tỗn tÔi cĂc im x1 , x2 ∈ (a; b) cho f (x1 ) = f (x) = m, f (x2 ) = max f (x) = M [a;b] [a;b] Câ hai kh£ nông: a) m = M Khi Đy f (x) = const trản oÔn [a; b], õ f (x) = vỵi måi x ∈ (a; b) v c l im bĐt kẳ trản khoÊng õ b) m < M Khi â v¼ i·u ki»n f (a) = f (b) nản ẵt nhĐt mởt hai im x1 , x2 s khổng trũng vợi cĂc Ưu mút cừa oÔn [a; b] GiÊ sỷ x1 (a; b), theo nh lỵ Fermat thẳ Ôo hm bơng tÔi im ny nh lỵ  ữủc chựng minh xong Nhên xt 1.1 1) nh lỵ Rolle nõi chung s khổng cỏn óng n¸u kho£ng (a; b) câ iºm c m tÔi õ f (c) khổng tỗn tÔi Chng hÔn, x²t h m √ f (x) = − x2 , x [1; 1] Dạ thĐy f (x) thọa mÂn cĂc iÃu kiằn: f (x) , liản tửc tr¶n (−1; 1) v f (−1) = f (1) Ta xt Ôo hm f (x) = 33x ró rng tÔi x0 = (1; 1) Ôo hm khổng tỗn tÔi, nản hm số khổng thoÊ mÂn ừ cĂc iÃu kiằn cừa nh lỵ Rolle 2) iÃu kiằn liản tửc trản oÔn [a; b] ối vợi hm f (x) cơng khỉng thº thay bði i·u ki»n f (x) liản tửc khoÊng (a; b) Chng hÔn, xt h m 1, n¸u x = 0, f (x) = x, náu < x é Ơy x = l im giĂn oÔn Khi õ, ró rng khổng tỗn tÔi x0 (0, 1) f (x0 ) = 3) ị nghắa hẳnh hồc: Náu cĂc iÃu kiằn cừa nh lỵ Rolle ữủc thoÊ mÂn thẳ trản ỗ th cừa hm số y = f (x), x [a; b] tỗn tÔi im M (c; f (c)), c (a; b) m tiáp tuyán tÔi â song song vỵi trưc ho nh Ox H» qu£ 1.1 Náu hm số f (x) cõ Ôo hm trản khoÊng (a; b) v phữỡng trẳnh f (x) = cõ n nghiằm phƠn biằt thuởc khoÊng (a; b) thẳ phữỡng Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tr¼nh f (x) = cõ ẵt nhĐt n nghiằm phƠn biằt thuởc khoÊng (a; b) (Phữỡng trẳnh f (k) (x) = cõ ẵt nhĐt n k nghiằm phƠn biằt thuởc kho£ng (a; b), vỵi k = 1, 2, , n) Chựng minh GiÊ sỷ phữỡng trẳnh f (x) = câ n nghi»m ph¥n bi»t thuëc kho£ng (a; b)  ữủc sưp thự tỹ x1 < x2 < · · · < xn Khi â ¡p dửng ng lỵ Rolle cho n oÔn [x1 ; x2 ], [x2 ; x3 ], , [xn1 ; xn ] thẳ phữỡng trẳnh f (x) = cõ ẵt nhĐt n nghiằm thuëc n − kho£ng (x1 ; x2 ), (x2 ; x3 ), , (xn−1 ; xn ) Gåi n − nghi»m â l ξ1 , ξ2 , , ξn−1 th¼ ta câ f (ξ1 ) = f (ξ2 ) = · · · = f (ξn−1 ) = Tiáp tửc Ăp dửng nh lỵ Rolle cho n kho£ng (ξ1 ; ξ2 ), , (n2 ; n1 ) thẳ phữỡng trẳnh f 00 (x) = cõ ẵt nhĐt n nghiằm trản khoÊng (a; b) Tiáp tửc lỵ luên trản, sau k bữợc phữỡng trẳnh f (k) (x) = cõ ẵt nhĐt n k nghiằm phƠn biằt trản khoÊng (a; b) H» qu£ 1.2 Gi£ sû h m sè f (x) liản tửc trản oÔn [a; b] v cõ Ôo hm trản khoÊng (a; b) Khi õ, náu phữỡng trẳnh f (x) = câ khæng qu¡ n − nghiằm phƠn biằt trản khoÊng (a; b) thẳ phữỡng trẳnh f (x) = câ khỉng qu¡ n nghi»m ph¥n biằt trản khoÊng õ Chựng minh GiÊ sỷ phữỡng trẳnh f (x) = câ nhi·u hìn n nghi»m ph¥n biằt trản khoÊng (a; b), chng hÔn l n + nghiằm, thá thẳ theo hằ quÊ 1.1 phữỡng trẳnh f (x) = cõ ẵt nhĐt n nghiằm thuởc khoÊng (a; b) iÃu ny trĂi vợi giÊ thiát Vêy phữỡng trẳnh f (x) = cõ khổng quĂ n nghiằm trản khoÊng (a; b) Tiáp theo, ta xt mởt m rởng cừa nh lỵ Rolle Hằ quÊ 1.3 Cho hm số f (x) thoÊ mÂn ỗng thới cĂc tẵnh chĐt sau Ơy: i) f (x) xĂc nh v cõ Ôo hm cĐp n (n 1) liản tửc trản oÔn [a; b] ii) f (x) cõ Ôo hm c§p n + kho£ng (a; b) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii) f (a) = f (a) = · · · = f (n) (a) = 0, f (b) = Khi õ tỗn tÔi dÂy im b1 , b2 , , bn+1 ph¥n bi»t thuëc kho£ng (a; b)sao cho f (k) (bk ) = 0, k = 1, 2, , n + Chùng minh Tø gi£ thi¸t f (a) = f (b) = 0, theo nh lỵ Rolle tỗn tÔi b1 ∈ (a; b) cho f (b1 ) = 0, kát hủp vợi iÃu kiằn f (a) = 0, suy tỗn tÔi b2 (a; b1 ) ⊂ (a; b) cho f 00 (b2 ) = LÔi kát hủp vợi iÃu kiằn f 00 (a) = v tiáp tửc Ăp dửng nh lỵ Rolle ta câ f 000 (b3 ) = vỵi b3 ∈ (a; b2 ) ⊂ (a; b) Ti¸p tưc nhữ vêy, án bữợc thự n, tỗn tÔi bn (a; bn−1 ) ⊂ (a; b) cho f (n) (bn ) = 0, kát hủp vợi iÃu kiằn f (n) (a) = 0, suy tỗn tÔi bn+1 (a; bn ) ⊂ (a; b) cho f (n+1) (bn+1 ) = Nhữ vêy tỗn tÔi dÂy im ph¥n bi»t b1 , b2 , , bn+1 kho£ng (a; b) cho f (k) (bk ) = 0, k = 1, 2, , n + Ch½nh nhí nhúng h» qu£ n y m nh lỵ Rolle tr thnh mởt cổng cử rĐt mÔnh giÊi toĂn, c biằt l ối vợi dÔng toĂn và giÊi phữỡng trẳnh v kim chựng số nghiằm cừa phữỡng trẳnh mởt khoÊng no õ CĂc ựng dửng ny s ữủc trẳnh by chi tiát cĂc chữỡng sau 1.2 nh lỵ Lagrange v nh lỵ Cauchy Tiáp theo ta xt mởt số nh lỵ liản quan mêt thiát vợi nh lỵ Rolle nh lỵ 1.2 ( nh lỵ Lagrange) GiÊ sỷ f l hm liản tửc trản oÔn v cõ Ôo hm tÔi mồi im khoÊng (a; b) Khi õ tỗn tÔi ẵt nhĐt mởt im c ∈ (a; b) cho [a; b] f (b) − f (a) = f (c)(b − a) Chùng minh (1.1) Ta x²t h m phö (1.2) F (x) = f (x) − λx, Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn = ≤ |b−a| + c2 Hay ta câ | arctan b − arctan a |≤| b − a | B i 3.24 Cho < a < b < c v < q < p Chùng minh r¬ng: cp bq + bp aq + ap cq ≥ cq bp + bq ap + aq cp Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.29) 52 Gi£i X²t h m sè f (x) = xp bq + bp aq + ap xq − xq bp − bq ap − aq xp Khi â b§t ng thực (3.29) tữỡng ữỡng vợi f (c) > Ta câ f (b) = v f (x) = p(bq − aq )xp−1 + q(ap − bp )xq−1 bp − ap q q q−1 p p−q = q(b − a )x x − q q b aq (3.30) p dửng nh lỵ Cauchy cho hai hm xp v xq trản oÔn [a; b], ta câ pmp−1 p p−q b p − ap = = m vỵi a < m < b bq − aq qmq−1 q (3.31) Tø (3.30) v (3.31) ta câ f (x) = p(bq − aq )xq−1 (xp−q − mp−q ) > 0, ∀x > Suy f (x) ỗng bián trản khoÊng (b; c) nản f (c) > f (b) = Tø â ta câ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh B i 3.25 Cho h m sè f (x) = cos a1x + cos a2x, ∀x ∈ R Gåi m(a1 , a2 ) = f (x) Chùng minh r¬ng m(a1 , a2 ) < 0, ∀a1 , a2 ∈ R, a1 , a2 6= Gi£i °t g(x) = sin a1 x sin a2 x + , ∀x ∈ R Khi â a1 a2 g (x) = cos a1 x + cos a2 x = f (x) Câ thº gi£ thi¸t < a1 ≤ a2 (do cos a1 x v cos a2 x l c¡c hm chđn) Náu a1 = a2 thẳ f (x) = cos a1 x, ta câ f π a1 = cos π = −2 < ⇒ m(a1 , a2 ) ≤ −2 < Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 N¸u < a1 < a2 Ta câ g(0) = v 3π 3π 3πa2 sin + sin 2a1 a1 a2 2a1 1 3πa2 1 = − + sin ≤− + < a1 a2 2a1 a1 a2 3π cho Theo nh lỵ Lagrange, 0; 2a1 3π − g(0) g 2a = g (ξ) = f (ξ) ≥ m(a1 , a2 ) 3π g = 2a1 Do g 3π 2a1 − g(0) 3π 2a1 < n¶n m(a1 , a2 ) < 0, ∀a1 , a2 ∈ R Vªy m(a1 , a2 ) < vỵi måi a1 , a2 ∈ R, v a1 , a2 6= B i 3.26 Gi£ sû S1 = 4n P2 n P v S = n ∈ N 1 , k=1 k k=1 k Vỵi nhúng gi¡ trà n o cõa n ta câ S1 < S2 ? Gi£i X²t h m f (x) = x , (x ≥ 1) Ró rng f (x) liản tửc v cõ Ôo hm 1 tr¶n [1; +∞), v ta câ f (x) = x Theo nh lỵ Lagrange, ∃c ∈ (k; k + 1), k ∈ N cho f (k + 1) − f (k) = f (c) 1 1 1 ⇔(k + 1) − k = c− < k − h i 1 ⇔k − > (k + 1) k Cho k chÔy tứ án 4n2 rỗi cởng lÔi, ta ữủc S1 = 4n X 1 k=1 k2 > 4n − (3.32) X²t h m f (x) = x , (x ≥ 1) Ró rng f (x) liản tửc v cõ Ôo h m tr¶n [1; +∞), v ta câ f (x) = x− Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Theo nh lỵ Lagrange, c (k; k + 1) cho f (k + 1) − f (k) = f (c) 2 ⇔(k + 1) − k = c− > h3 − 13 ⇔2(k + 1) < (k + 1) (k + 1)− i k3 Cho k chÔy tứ án n v cởng lÔi, ta ữủc n X k=1 k < 3n < 3n < 8n − 4, (3.33) ⇔S2 < 4n − Tø (3.32) v (3.33) ta câ S1 > S2 , n N Nhữ vêy, khổng tỗn tÔi n N S1 < S2 B i 3.27 Chùng minh r¬ng q q √ 3 cos(e − 1) − sin(e − 1) cos e > cos(e − 1) cos e sin e Gi£i Ta câ π > e v e − ≈ 1, 71828 > (3.34) π sin e > 0, sin(e − 1) > 0, ⇒ cos e < 0, cos(e − 1) < Khi â sin e sin(e − 1) p (3.34) ⇔ √ − > 3 cos e cos(e − 1) sin x π °t f (x) = √ , vỵi i·u ki»n x = + kπ, k ∈ Z cos x π Rã r ng h m f (x) li¶n tưc tr¶n [e − 1, e] ⊂ ; π v câ Ôo hm trản khoÊng (e 1; e) Theo nh lỵ Lagrange, c (e 1; e) cho f (e) − f (e − 1) = f (c) cos2 x + M°t kh¡c, ta câ f (x) = √ 3 cos4 x Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.35) 55 p dưng b§t ¯ng thùc AM-GM cho sè cos2 x, cos2 x, ta câ √ cos2 x + = cos2 x + cos2 x + ≥ cos4 x cos2 x + ⇔ √ ≥ ⇔ f (x) ≥ 3 cos4 x DĐu "=" khổng xÊy vợi x [e 1; e], vªy (3.36) f (c) > Tø (3.35) v (3.36) ta thu ÷đc f (e) − f (e − 1) > 1, sin(e − 1) sin e p − > hay √ 3 cos e cos(e − 1) Tø â ta câ b§t ¯ng thực cƯn chựng minh Chựng minh rơng vợi < α < β < th¼ B i 3.28 β−α β−α < tan β − tan α < cos2 α cos2 β Gi£i X²t h m sè f (x) = tan x Rã r ng f (x) li¶n tưc tr¶n [α; ], cõ Ôo hm trản khoÊng (; ) v ta câ f (x) = cos2 x Theo nh lỵ Lagrange, c (; ) cho tan β − tan α = (β − α) cos2 x (3.37) π n¶n < cos β < cos c < cos α 1 < < , cos2 α cos2 c cos2 β V¼ < α < β < Tø â ta câ Suy β−α β−α β−α < < cos2 α cos2 c cos2 β Tø (3.37) v (3.38) ta câ b§t ¯ng thực cƯn chựng minh Bi 3.29 Chựng minh rơng vợi n > 1(n ∈ N) v < a < b ta câ nan−1 (b − a) < bn − an < nbn−1 (b − a) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.38) 56 Gi£i X²t h m sè f (x) = xn , vợi x > Ró rng f (x) liản tửc tr¶n (0; +∞) v f (x) = nxn−1 Khi õ theo nh lỵ Lagrange, c (a; b) cho f (b) − f (a) = f (c)(b − a), hay bn − an = ncn−1 (b − a) (3.39) Do b − a > v a < b < c n¶n ta câ nan−1 (b − a) < ncn−1 (b − a) < nbn−1 (b − a) (3.40) Tø (3.39) v (3.40) ta câ b§t ¯ng thùc c¦n chùng minh B i 3.30 Cho t > chùng minh b§t ¯ng thùc Gi£i t+1 t 1+ > 1+ t+1 t X²t h m sè 1 = x[ln(x + 1) − ln x], vỵi x > f (x) = x ln + x Ta câ 1 f (x) = ln(x + 1) − ln x + x − x+1 x (3.41) = ln(x + 1) − ln x − x+1 X²t h m sè g(y) = ln y trản oÔn [x; x + 1] Ró rng g(y) liản tửc trản [x; x + 1], cõ Ôo h m tr¶n kho£ng (x; x + 1) v ta câ g (y) = y Theo nh lỵ Lagrange, ∃c ∈ (x; x + 1) cho g(x + 1) − g(x) = g (c)(x + − x), ngh¾a l ta câ ln(x + 1) − ln x = c 1 , â V¼ < x < c < x + ⇒ > c x+1 ln(x + 1) − ln x > x+1 ⇔ ln(x + 1) − ln x − > x+1 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.42) 57 Tø (3.41) v (3.42) ta thu ÷đc f (x) > 0, ∀x > suy f (x) l hm ỗng bián trản khoÊng (0; +) Nhữ vêy, vỵi t > ta câ f (t + 1) > f (t), hay ta câ 1 (t + 1) ln + > t ln + x+1 t t+1 t 1 > ln + ⇒ ln + t+1 t (3.43) Do tẵnh ỗng bián cừa hm g(y) = ln y , n¶n tø (3.43) ta suy 1+ t+1 t > 1+ t+1 t BĐt ng thực ữủc chựng minh Nhên xt 3.6 Ta  biát, náu n l số tỹ nhiản, ta luæn câ n n+1 > 1+ 1+ n+1 n (3.44) Nhữ vêy, bĐt ng thực bi trản l m rởng cừa bĐt ng thùc (3.44) (Tø c¡c sè tü nhi¶n mët sè dữỡng tuý ỵ) Vợi bĐt ng thực (3.44) ta cõ cĂch chựng minh rĐt ngưn gồn nhữ sau: 1 p dưng b§t ¯ng thùc AM-GM cho n + số gỗm n số + v n số 1, ta câ 1 1 1 1+ + 1+ + ··· + + +1 n n n ≥ n+1 n+1 n ⇔ 1+ > 1+ n+1 n r n+1 n 1+ n BĐt ng thực ữủc chựng minh Bi 3.31 Cho n ∈ N∗ Chùng minh r¬ng √ xn − x < √ , ∀x ∈ (0; 1) 2ne Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 GiÊi BĐt ng thực  cho tữỡng ữỡng vợi x2n (2n 2nx) < e (3.45) p dưng b§t ¯ng thùc AM-GM cho 2n sè d÷ìng x v sè d÷ìng 2n−2nx, ta câ q x + x + · · · + x + 2n − 2nx 2n+1 x2n (2n − 2nx) ≤ 2n + x + x + · · · + x + 2n − 2nx 2n+1 ⇔x2n (2n − 2nx) ≤ 2n + 2n 2n+1 ⇔x2n (2n − 2nx) ≤ (3.46) 2n + Ta s³ chùng minh 2n 2n+1 < 2n + e (3.47) Thªt vªy, ta câ 2n 2n+1 (3.47) ⇔ ln < ln e−1 2n + ⇔ (2n + 1)[ln 2n − ln(2n + 1)] < −1 ⇔ ln(2n + 1) − ln 2n > 2n + p dửng nh lỵ Lagrange cho hm số f (x) = ln x trản oÔn [2n; 2n + 1], â ∃c ∈ (2n; 2n + 1) cho ln(2n + 1) − ln 2n = f (c) = 1 > c 2n + Nhữ vêy ta cõ bĐt ng thực (3.47) Tứ (3.46) v (3.47) ta thu ữủc bĐt ng thực cƯn chùng minh B i 3.32 Gi£ sû a1, a2, a3, a4 > v (x + a1 )(x + a2 )(x + a3 )(x + a4 ) = x4 + 4P1 x3 + 6P22 x2 + 4P33 x + P44 (Pi > Vỵi i = 1, , 4) a) T½nh P1 , P2 , P3 , P4 ? b) Chùng minh r¬ng P1 ≥ P2 ≥ P3 ≥ P4 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Gi£i a)T½nh P1 , P2 , P3 , P4 Ta câ (x + a1 )(x + a2 )(x + a3 )(x + a4 ) = x4 + (a1 + a2 + a3 + a4 )x3 + (a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 + a2 a3 + a2 a4 + a3 a4 )x2 + (a1 a2 a3 + a1 a2 a4 + a1 a3 a4 + a2 a3 a4 )x + a1 a2 a3 a4 ỗng nhĐt thực cĂc hằ số ta ÷đc 4P1 = a1 + a2 + a3 + a4 , 6P = a a + a a + a a + a a + a a + a a , 4 4P33 = a1 a2 a3 + a1 a2 a4 + a1 a3 a4 + a2 a3 a4 , P = a a a a 4 P1 = 41 (a1 + a2 + a3 + a4 ), q P2 = (a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 + a2 a3 + a2 a4 + a3 a4 ), q6 ⇔ P3 = 14 (a1 a2 a3 + a1 a2 a4 + a1 a3 a4 + a2 a3 a4 ), P = √ aaaa 4 b) Chùng minh r¬ng P1 ≥ P2 ≥ P3 ≥ P4 +) Theo nh lỵ AM-GM ta cõ P1 P4 +) CM: P1 ≥ P2 a thùc P (x) = x4 + 4P1 x3 + 6P22 x2 + 4P33 x + P44 cõ nghiằm, vẳ thá theo hằ quÊ 1.1 thẳ P 00 (x) cõ ẵt nhĐt nghi»m, m ta câ P 00 (x) = 12x2 + 24P1 x + 12P22 P 00 (x) câ hai nghi»m ⇔ ∆0 ≥ ⇔ P1 ≥ P2 (v¼ P1 > 0, P2 > 0) +) CM: P2 ≥ P3 Ta câ P (x) = 4(x3 + 3P1 x2 + 3P22 x + P33 ) °t x = th¼ ta câ P (x) = (1 + 3P1 t + 3P22 t2 + P33 t3 ) Dạ thĐy a t t thực P (x) cõ nghiằm Ơm nản a thực Q(t) = (1 + 3P1 t + 3P22 t2 + P33 t3 ) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 công câ nghi»m, suy Q0 (t) câ nghi»m M Q0 (t) = 3(P33 t2 + 2P22 t + P1 ) Q0 (t)câ nghi»m ⇔ ∆0 ≥ ⇔ P24 − P33 P1 ≥ ⇔ P24 ≥ P33 P1 ≥ P33 P2 (v¼P1 ≥ P2 ≥ 0) ⇔ P23 ≥ P33 P2 P3 +) Theo nh lỵ AM - GM ta dng chựng minh ữủc P3 ≥ P4 B i 3.33 (Olympic Nga ) Cho ph÷ìng tr¼nh a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an = 0.(ai 6= 0, i = 1, 2, , n) câ n nghiằm phƠn biằt Chựng minh rơng (n 1)a21 > 2na0 a2 Gi£i X²t a thùc f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an Rã r ng f (x) kh£ vi vổ hÔn lƯn trản R Vẳ f (x) cõ n nghiằm phƠn biằt, nản theo hằ quÊ 1.1 thẳ f (x) cõ ẵt nhĐt n nghiằm, f 00 (x) cõ ẵt nhĐt n nghiằm, ÃÃà f (n2) (x) cõ ẵt nhĐt nghiằm n! M ta câ f (n−2) (x) = a0 x2 + (n − 1)!a1 x + (n − 2)!a2 f (n−2) (x)câ nghi»m ph¥n bi»t ⇔ ∆ > ⇔ [(n − 1)!a1 ]2 − 2n!a0 (n − 2)!a2 > ⇔ (n − 1)a21 > 2na0 a2 Ta câ i·u ph£i chùng minh Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 Chữỡng Bi têp bờ sung Bi 4.1 Chựng minh rơng vợi a, b, c tuý ỵ, phữỡng trẳnh a cos 3x + b cos 2x + c cos x + sin x = luæn câ nghi»m thuëc oÔn [0; 2] ( à thi tuyn sinh H khối A - HQG - 1999) Hữợng dăn giÊi Xt hm số 1 f (x) = a sin 3x + b sin 2x + c sin x − cos x v Ăp dửng nh lỵ Rolle trản oÔn [0; 2] Bi 4.2 Chựng minh rơng náu phữỡng trẳnh an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = an−1 a1 an + + à à à + + a0 = thẳ phữỡng tr¼nh câ n+1 n nghi»m kho£ng (0; 1) thoÊ mÂn hằ thực Hữợng dăn giÊi Xt hm số f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 v ¡p döng nh lỵ 3.1 Bi 4.3 Chựng minh rơng phữỡng trẳnh sau câ nghi»m π πx − π arccos x − √ − √ = − x2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 √ πx − X²t h m sè f (x) = π arccos x − −√ v 2 − x h1 πi ¡p dửng nh lỵ Rolle trản oÔn ; Hữợng dăn giÊi Bi 4.4 Cho hm số f (x) thoÊ mÂn ỗng thới cĂc tẵnh chĐt sau Ơy i) f (x) xĂc nh v cõ Ôo hm cĐp (k 1) liản tửc trản oÔn [a; b], (1 k n) ii) f (x) cõ Ôo hm cĐp k trản khoÊng (a; b) iii) f (x0 ) = f (x1 ) = · · · = f (xk ) vỵi a < x0 < x1 < · · · < xk < b Chùng minh r¬ng khoÊng (x0 ; xk ) tỗn tÔi ẵt nhĐt (n − k + 1) iºm ξ cho f (k) (ξ) = 0, vỵi måi k = 1, 2, , n Hữợng dăn giÊi p dửng nh lỵ Rolle Bi 4.5 Cho hm số f (x) khÊ vi trản oÔn [a; b] v thọa mÂn iÃu kiằn f (a) = f (b), f (x) 6= 0, ∀x (0 = a; b) Chựng minh rơng tỗn tÔi dÂy {xn }, xn (a; b) cho Hữợng dăn giÊi f (xn ) lim = 2010 n→∞ ( n e − 1)f (xn ) Vỵi méi n = 1, 2, 3, , x²t h m sè Gn (x) = exp − 2010x )f (x) n B i 4.6 Cho h m sè f (x) li¶n tửc v cõ Ôo hm trản oÔn [0; 1] GiÊ sû f (0) = 0, f (1) = Chùng minh rơng tỗn tÔi hai số , vợi < α < β < cho f ().f () = Hữợng dăn giÊi Xt hm sè g(x) = f (x) + x − B i 4.7 Chựng minh rơng phữỡng trẳnh 2(x2 x 2) cos 2x = (1 − 2x) sin 2x câ ẵt nhĐt ba nghiằm phƠn biằt khoÊng (1; 2) Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn