Định lý rolle trên trường phức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  PHAN THỊ DUYÊN ĐỊNH LÝ ROLLE TRÊN TRƯỜNG PHỨC (On the Rolle’s Theorem on complex domain.) Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! MỤC LỤC Mở đầu…………………………………………………… ………….………2 Chương Định lý Rolle cho đa thức trường phức…………… 1.1 Định lý Rolle cho đa thức với hệ số thực…………………… …… 1.2 Định lý Gauss-Lucas …………………………………… …… .8 1.3 Giả thuyết Sendov…………………… …………………………….15 1.4 Mở rộng Định lý Rolle trường phức ………………………… 18 1.4.1 Xác định điểm tới hạn…….…………………………… 19 1.4.2 Tách điểm tới hạn………… ……………………… ……… 22 1.5 Xác định vị trí số điểm tới hạn…………………… 29 1.5.1 Đa thức với hai nghiệm xác định…………………………… 30 1.5.2 Đa thức với m nghiệm biết……………………………… 31 Chương Một số mở rộng Định lý Rolle vấn đề liên quan…… …… 38 2.1 Giả thuyết Sendov miền Rolle…………………………………….38 2.2 Một mở rộng khác định lý Rolle……………………………… 45 2.2.1 Khái niệm “ở giữa”….……………………………………… 45 2.2.2 Một số kết trường hợp tổng quát…………………47 2.2.3 Trường hợp P có tối đa ba nghiệm khác nhau………… 48 2.2.4 Trường hợp đa thức có bậc không vượt 4……………… 51 2.3 Điểm tới hạn hàm đa thức……………………… 52 Kết luận…………………………………………………………………… 56 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 57 MỞ ĐẦU Định lý Rolle trường số thực định lý giá trị trung bình, có ý nghĩa có nhiều ứng dụng Giải tích, giải phương trình hệ phương trình, tìm nghiệm điểm dừng đa thức,… Định lý Rolle mối quan hệ nghiệm hàm số nghiệm đạo hàm nói chung quen thuộc Một điều tự nhiên sau số phức lý thuyết hàm phức đời, mở rộng Định lý Rolle sang cho hàm số trường số phức Một Định lý quan trọng mở rộng Định lý Rolle Định lý Gauss (1836)-Lucas (1874) nói rằng, tất nghiệm đa thức đạo hàm nằm bao lồi (đa giác lồi) tất nghiệm đa thức Từ đó, Hình học đa thức nghiên cứu quan hệ hình học tập nghiệm đa thức tập nghiệm đạo hàm đời phát triển Nhiều kết tìm ra, nhiều giả thuyết quan trọng phát biểu Luận văn Định lý Rolle trường phức có mục đích trình bày tổng quan kết biết Định lý Rolle trường phức, chủ yếu cho lớp hàm đa thức Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm hai chương Chương trình bày tổng quan Định lý Rolle cho đa thức trường phức Chương trình bày định lý Rolle cho đa thức trường số thực số ví dụ mà định lý Rolle khơng cịn trường phức, từ dẫn đến việc xét toán mở rộng Định lý Rolle cho đa thức trường số phức Bài toán giải theo nghĩa toàn cục Định lý Gauss-Lucas Từ nảy sinh Giả thuyết Sendov, giả thuyết mà 50 năm tốn mở Chương trình bày nhiều kết khác liên quan đến mở rộng theo nghĩa địa phương Định lý Rolle Chương nghiên cứu miền Rolle, cách mở rộng khác Định lý Rolle dựa khái niệm nghiệm đa thức đạo hàm nằm “ở giữa” hai nghiệm đa thức Chương đề cập đến số mở rộng Định lý Rolle cho lớp hàm rộng lớp hàm đa thức Khi xếp kết quả, cố gắng làm rõ tranh Định lý Rolle trường phức, chứng minh định lý giải mã làm sáng tỏ Nhiều tính tốn chứng minh trình bày chi tiết tài liệu gốc Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm túc PGS TS Tạ Duy Phượng Xin bày tỏ lòng biết ơn tới người Thày, khơng hướng dẫn khoa học, mà cịn động viên khích lệ tác giả say mê học tập nghiên cứu Xin bày tỏ lòng biết ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, trang bị cho tơi kiến thức tốn học thời gian học Cao học Xin cám ơn Trường Trung học Phổ thơng Xn Giang – Quang Bình, Hà Giang, nơi công tác, tạo điều kiện để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập Xin cám ơn Gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ, hi sinh tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Cao học viết Luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2013 Tác giả Phan Thị Duyên Chương Định lý Rolle cho đa thức trường phức 1.1 Định lý Rolle cho đa thức với hệ số thực Ta biết định lý quen thuộc sau Định lý 1.1.1 (Rolle, 1691) Giả sử f :    hàm khả vi đoạn  a , b   , nhận giá trị thực có tính chất f  a   f  b  Khi tồn điểm c   a, b  cho f   c   Từ định lý Rolle ta có hệ sau cho đa thức Hệ 1.1.1 Giả sử đa thức P  x   a0 x n  a1 x n 1   an1 x  an với hệ số , i  0,1, , n, a0  0, số thực, có tất m  nghiệm thực phân biệt x1  x2   xm Khi P  x  có khơng m  nghiệm thực u1  u2   u m1 cho x1  u1  x2  u2  x3  u3  xm Nhận xét 1.1.1 Điều kiện m  quan trọng Ví dụ, đa thức P  x    x    x  1 có nghiệm thực x  2, đa thức đạo hàm P  x   3x  x  có hai nghiệm x1  x2  khơng trùng với x  (Hình 1) y f(x)=x^3-2x^2+x-2 x -8 -6 -4 -2 -5 Hình Hình Nhận xét 1.1.2 Đạo hàm P  x  có nhiều nghiệm khoảng hai không điểm P  x  Ví dụ, đa thức bậc bốn P  x    x   x    x  x  12 có hai nghiệm thực x1,2  2, P  x   x  x có ba nghiệm thực x1  x2,3    2,2  nằm khoảng (Hình 2) Nhận xét 1.1.3 Khi số nghiệm thực (khơng tính bội) nhỏ thật bậc đa thức   m  n  đa thức đạo hàm P  x  có nghiệm khác nằm ngồi khoảng hai nghiệm P  x  Ví dụ, đa thức bậc bốn P  x    x  x  3 x  52 x  138  có hai nghiệm thực x1  1 x2  Nhưng đa thức đạo hàm 3  P  x   20  x   x    x   10   có nghiệm x  nằm hai 10 nghiệm x2  4, x3  nằm ngồi khoảng  1,3 (Hình 3) Hình Trong Định lý Rolle, từ giả thiết f  a   f  b  ta khẳng định tồn nghiệm đạo hàm khoảng  a , b  Một câu hỏi tự nhiên đặt là: Ta thu hẹp đoạn  a, b chứa nghiệm đa thức đạo hàm không?- Hai định lý trả lời cho câu hỏi Trước tiên, phép biến đổi tuyến tính t  coi a  1 b  ab x , ta ln ba ba Định lý 1.1.2 (Lagguerre-Cesàro, [30]) Giả sử P  x  đa thức bậc n  với hệ số thực có nghiệm thực a  1, b  hai nghiệm liên tiếp P  x  Khi có nghiệm P  x  nằm đoạn 2 2    1  n ,1  n  Đoạn  1  n ;1  n  đoạn tốt có tính chất theo nghĩa với    , tồn đa thức P  x  có bậc n mà P  x  n khơng có nghiệm khoảng  1   ;1    Xét đa thức Legendre P0  x   1, Pm  x   Thí dụ, P1 ( x)  x; P2 ( x )  m dm x  1 ; m  1,2, m m  m! dx 1.1 1 3x  1 ; P3  x    x  3x   2 Định lý 1.1.3 (L Tschakaloff, [30]) Cho  m nghiệm lớn đa thức Legendre bậc m Nếu P  x  đa thức với hệ số thực có bậc n  2m P  1  P 1 , có nghiệm P  x  nằm khoảng mở   m ; m  với n  nằm khoảng đóng   ;  với n  Nếu n  P  x  có nghiệm đơn 1  Hơn với   m   m , tồn đa thức P  x  có bậc n  2m mà P  x  khơng có nghiệm đoạn    m ;  m  Nhận xét 1.1.4 Định lý Rolle f  x  hàm số xác định tập số thực, nhận giá trị thực khơng cịn tập số phức, theo nghĩa sau: đoạn thẳng nối điểm nghiệm đa thức khơng thiết có nghiệm đạo hàm Ta xét số ví dụ sau Ví dụ Xét hàm số f  z   eiz  Ta có f  z   eiz    eiz   eiz  e0  z  z  2k Vậy z1  z2  2 hai nghiệm phương trình f  z   eiz  Nhưng đạo hàm f   z   ieiz  khơng có nghiệm nói chung, khơng có nghiệm khoảng  0,2    Ví dụ Xét đa thức P  z    z  1 z  i  z  i 3z  z  i Ta có   P( z )    z  1 z  i   z  1; z  1 z  i   Đa thức P  z    z  1 z  i  z  i 3z  z  i có ba nghiệm z1,2  1 z3  i Ba nghiệm z1 , z2 , z3 đa thức tạo thành tam giác cân (Hình 4) Mặt khác, ta có i  i  P  z   z  2iz    z     z1  z  3  Nghiệm đạo hàm P  z   không nằm cạnh tam giác cân có ba đỉnh ba nghiệm đa thức P  z  , tức không nằm ba đoạn thẳng nối nghiệm đa thức cho (Hình 4) Tuy nhiên, nghiệm đạo hàm nằm tam giác có ba đỉnh nghiệm đa thức P  z  Hình Ví dụ cho thấy, Định lý Rolle theo nghĩa tồn nghiệm đạo hàm nằm đoạn nối hai điểm nghiệm hàm số, khơng cịn trường phức Vì vậy, cần phải phát biểu Định lý Rolle cho đa thức trường phức cách thích hợp Ví dụ gợi ý: Các điểm nghiệm đạo hàm phải nằm bao lồi điểm nghiệm đa thức Đây nội dung Định lý Gauss-Lucas (mở rộng Định lý Rolle) quan hệ nghiệm đa thức nghiệm đạo hàm Từ ta có Hệ quả: Nếu tất nghiệm đa thức nằm đường thẳng L (không thiết trục thực) mặt phẳng phức, nghiệm đạo hàm nằm đường thẳng 1.2 Định lý Gauss-Lucas Cho đa thức P ( z ) với hệ số phức nhận giá trị phức Năm 1836, Gauss nhận xét rằng, nghiệm đa thức đạo hàm P  z  , không trùng với nghiệm bội đa thức, coi điểm cân trường lực tạo hạt đồng chất đặt điểm nghiệm zi đa thức ( mi hạt zi nghiệm bội mi ), hạt sinh lực hút tỉ lệ nghịch với khoảng cách hạt Chính lẽ đó, nghiệm  j đa thức đạo hàm P  z   thường gọi điểm cân bằng, điểm tới hạn điểm dừng đa thức P  z  Từ sau, thuật ngữ nghiệm  đa thức đạo hàm, điểm dừng, điểm tới hạn, điểm cân đa thức sử dụng theo nghĩa P    Từ nhận xét Gauss, năm 1874, F Lucas, kĩ sư người Pháp, phát biểu chứng minh Định lý 1.2.1 đây, sau gọi Định lý Gauss-Lucas Định lý 1.2.1 (Gauss-Lucas) Tất điểm tới hạn đa thức P ( z ) với hệ số phức nằm bao lồi H nghiệm P( z ) Nếu nghiệm P( z ) không nằm đường thẳng khơng có điểm tới hạn P( z ) nằm biên H , trừ nghiệm bội P( z ) (Hình 5) Hình Định lý Gauss-Lucas có nhiều cách chứng minh, thí dụ, ngồi Gauss F Lucas, [18], trang 21, M Marden liệt kê 13 tác giả chứng minh Định lý Gauss-Lucas (trước 1932): G J Legebeke (1881); F De Boer (1884); S Berlothy (1884); M E Cesàro (1885); M Bôcher (1892); J H Grace (1902); T Hayashi (1914); F Irwin (1915); B Gonggryp (1915); M B Porter (1916); Y Uchida (1916); M Krawtchouk (1926); J V Sz Nagy (1918, 1932) Có thể xem số chứng minh Định lý Gauss-Lucas [2], [6], [18], [22], [30],… Dưới chúng tơi trình bày chứng minh Định lí Gauss-Lucas theo Jerry Shao–Chieh Cheng (2012, [6]) Để chứng minh Định lý Gauss-Lucas, trước tiên ta chứng minh Định lý 1.2.2 (Cheng, 2012, [6]) đây, tổng quát hóa kết Marden (1966, [18], trang 1) i j Định lý 1.2.2 Giả sử số phức  j  rj e  0, j  1,2, , p, thỏa mãn điều kiện    j     , j  1,2, , p ,  ,  số thực,     p Khi tổng     j : re i số phức  j khác không Hơn nữa, j 1        (Hình 6) Chứng minh Định lí 1.2.2 nói rằng, tất số phức (các vectơ) i j  j  rj e  nằm miền giới hạn hai tia tạo với góc p     vectơ tổng     j : re i nằm góc j 1 Khơng hạn chế tổng quát, cần chứng minh Định lý 1.2.2 với   Kết trường hợp tổng quát thu nhờ phép quay với góc quay  (cùng chiều kim đồng hồ   0) Hình 45   Định lý 2.1.3 Tập hợp z : Im  z     z : z  1 miền Rolle Chứng minh Lấy P  Ta sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh P có điểm tới hạn R Giả sử (không làm tính tổng qt) P đa thức mơnic (số hạng khác 0) Nếu P khơng có điểm tới hạn R, tất điểm tới hạn P nằm hợp hai khoảng  , 1  1,   Vì P đa thức z thực Xác định Q  z    P  w dw Lưu ý Q đa thức thực, Q  z   P  z   P   Vì Q 1  Q  1 nên theo Định lý Rolle cho đa thức thực ta suy Q (và P ) có điểm tới hạn nằm khoảng  1,1 , mâu thuẫn Vậy Định lý 2.1.3 chứng minh 2.2 Một mở rộng khác định lý Rolle 2.2.1 Khái niệm “ở giữa” Luis H Gallardo đưa vào khái niệm điểm (nghiệm đa thức đạo hàm) “ở giữa” (in between) hai điểm khác (nghiệm đa thức phức) Định lý Rolle mở rộng theo cách khác sử dụng khái niệm Cho P  z  đa thức với hệ số phức Cho a, b hai số phức phân biệt Ta nói P  z  có nghiệm z0 "ở giữa" a b  ( z0 ) nằm đoạn a  t  b  a  :  t  1,  phép chiếu trực giao lên đường thẳng xác định a b Giả sử đa thức P  z  với hệ số phức có hai nghiệm phân biệt z1 z2 , ta chưa biết, có hay khơng nghiệm đa thức đạo hàm nằm "ở giữa" z1 z Tuy nhiên, có: 46 a) Từ Định lý Rolle suy ra: Nếu P  z  có tất nghiệm nằm đường thẳng ta có tất nghiệm đa thức đạo hàm nằm đường thẳng b) Từ Định lí Gauss-Lucas suy ra: Nếu P  z  có hai nghiệm phân biệt a  b tất nghiệm khác P  z  “ở giữa” a b nghiệm P  z  “ở giữa” a b c) Từ Định lí Gauss-Lucas ta suy ra: Nếu P  z   z  z  1 Q  z  với Q    0, Q 1  tất nghiệm z Q thỏa mãn z  P  z  có nghiệm “ở giữa” Kí hiệu n  z   z  z.z bình phương chuẩn, Tr  z   z  z vết số phức, Re  z   Tr  z  phần thực z Bằng phép đổi biến, ta giả sử P  z  có dạng 1  P z   z2   R  z , 4  R  z  số đa thức mơnic (đa thức có hệ số 1) Như vậy, ta nghiên cứu tồn nghiệm đạo hàm P  z  nằm dải chữ nhật 1  vô hạn S   z  C   Re  z    2  Nhận xét 2.1.1 Khái niệm “ở giữa” cho phép mở rộng Định lý Rolle theo hướng hồn tồn khác với Định lý Gauss-Lucas Nói cách khác, ví dụ chứng tỏ rằng, định lý Chương (thí dụ, Định lý 1.4.1 Định lý 1.4.2) (tồn nghiệm đa thức đạo hàm đường tròn qua hai điểm A( 1;0) B(0;1) ), không tồn nghiệm đa thức đạo hàm nằm dải chữ nhật (giới hạn hai đường thẳng qua A B song song với trục tung Vì khái niệm “ở giữa” có ý nghĩa 47 2.2.2 Một số kết trường hợp tổng quát Cho n số nguyên dương Giả sử đa thức R( z ) có bậc n  Kí hiệu R  z    z  Q  z  với Q    0, hay  hệ số z R  z  1  Như vậy, P  z    z     z  Q  z   có bậc d  n  4  Để thuận tiện cho chứng minh, ta viết P  z  dạng: n n k P  z    n  1 z  z1   z  z n  P  z    n  1   1 sn k z k k 0 Định lý 2.2.1 1) Nếu   z  nghiệm P( z ) 2) Nếu   n 1 với số i ngun ta có Tr  zi   2n 3) Nếu có số k thỏa mãn sk  Cnk n k với số i nguyên ta có sn Tr  zi   4) Nếu P( z ) có nghiệm Tr  a   Chứng minh 1) Ta có 1  P  z    z   (  Q( z ))  z ( z  Q  z  4   Do Q    nên P     Nếu   P    hay z  nghiệm P( z )  1  2) Vì P  z    z   (  Q '( z ))  z ( z  Q  z  nên P     4  Mặt khác, P     n  1 ( 1) n z1 zn nên    n  1 z1 z n 48 Giả sử Tr  zi   với i Từ bất đẳng thức zi    Tr  zi  ta có n 1 Vậy 2) chứng minh n 2 3) Chứng minh tương tự 4) Giả sử P( z )  có nghiệm z0  a (bội n ) Khi n P( z )   n  1 z  a  Suy P  z    z  a  Do z1  n 1  b với số phức b không đổi 1 z2   nghiệm P  z  ta có: 2 1    a 2  n 1 n 1      a    1 Như vậy, a   ;   2    a    a   (2.2) với số phức   thỏa mãn  n 1  Theo ta có n     Tr     Nói cách khác (2.2) viết sau    1 a       1 (2.3) với  1      Tr  a   a  a         Tr    Mệnh đề chứng minh 2.2.3 Trường hợp P có tối đa ba nghiệm khác Đầu tiên ta nhắc lại định nghĩa phép đối hợp f toán tử chu kỳ 2, tức f ο f  I (toán tử đồng nhất) Giả sử 49  1  1  Pz   z    z   2  2    z  a  Với số nguyên dương  ,  , số nguyên không âm  số phức  1 a    ;   2 Khơng làm tính tổng qt, ta cần chứng minh phép đối hợp h hình cầu Riemann tác động số biến số phức z với Tr  z   thành số phức   h  z  với Tr  z   Ta có Bổ đề 2.2.1 Với số nguyên dương  ,  ,  Giả sử h phép đối hợp hình cầu Riemann S2 , tác động lên số phức z công thức   h z  Az  B , Cz  D (2.4) đây, A             ;  C               ; B             ; D   A             Khi Tr  z   suy Tr    Chứng minh Tính tốn cho thấy Tr    tương đương với điều kiện C1  0, C1  8 s                     t      sn  (2.5) s       , t  Tr  z  , n  n  z  Ta có bất đẳng thức 4n  t Do ta cần chứng minh 50 K1  8 s                     t      st   Nghĩa cần chứng minh K  với K  K1 8     s Nói cách khác, cần phải chứng minh K   t  t1  t  t2   0, t1        , t2       Nhưng điều hiển nhiên t  1  t1 , t  Tương tự, ta chứng minh Tr  z   1 cần chứng minh C2   sL  0, L                     t      sn Bổ đề chứng minh Ta đến Định lý 2.2.2 Cho a số phức, cho  ,  số nguyên dương cho  số nguyên âm Giả sử P  z  đa thức xác định ba nghiệm phân biệt  1  1  Pz   z    z   2  2    z  a  Khi P có nghiệm thỏa mãn Tr  r    1 Chứng minh Khi a   ;  ta giả sử γ = Từ phương trình  2 P  z      0 1  1 Pz  z  z  2  2  ta có z    Từ suy Tr  z   2     Định lý chứng minh trường hợp Phương trình 51 P  z        0 1  1 z a Pz  z  z  2  2  viết dạng  z  z1  z  z2   0, 1  1  a       a      a   2  ; zz  z1  z2           Từ hai phương trình này, sau tính tốn ta có z2  h  z1  , h định nghĩa Bổ đề 2.2.1 Kết luận Định lý suy trực tiếp từ Bổ đề 2.2.1 Ta tham khảo thêm [18], trang 268 [3], trang cách giải thích hình học vị trí nghiệm z1 , z2 mặt phẳng phức 2.2.4 Trường hợp đa thức có bậc khơng vượt Khi bậc đa thức P  z  khơng q 4, ta sử dụng Định lý GraceHeawood, phát biểu Polya theo Bổ đề để chứng minh Định lý Rolle suy rộng Bổ đề 2.2.2 Cho a  b hai số phức phân biệt Gọi d số nguyên dương P  z  đa thức bậc d có hệ số phức thỏa mãn P  a    P  b  Khi đó, P có nghiệm r thỏa mãn r ab  a b   tan   d  Nhận xét 2.2.1 Phần 2) Định lí 2.2.1 Bổ đề 2.2.2 suy Định lý Rolle với deg (P) ≤ Vì ta cịn phải nghiên cứu số trường hợp Bổ đề 2.2.3 Cho P  z  đa thức bậc d  với hệ số phức cho 52 1 1  1  P     P    thỏa mãn gcd  P, z    Khi P có nghiệm r 4 2  2  thỏa mãn Tr  r   Chứng minh Theo Nhận xét 2.2.1, giả sử n  Nhận xét kết cho P  z  cho  P   z  Vì vậy, ta cần phải xét đa thức sau:   1  (a)   z      z  1 z  1 z 4       1  (b)   z   z      z  1 z  1  2    1   1 (c) P  z    z   z    z  a  với a    ;   2   2 Các trường hợp (a) (b) dễ dàng suy từ Phần 2) Định lý 2.2.1 Trong trường hợp (c), đa thức P  z  có ba nghiệm phân biệt Do kết suy từ Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.3 Nếu P  z  đa thức bậc d  với hệ số phức 1  1 P     P    P có nghiệm r thỏa mãn Tr  r   2  2 Chứng minh Suy từ Bổ đề 2.2.2 Bổ đề 2.2.3 Nhận xét Trường hợp P  z  có bốn nghiệm phân biệt, d  5, toán chứng minh Định lý Rolle suy rộng (theo khái niệm “ở giữa”) tốn khơng tầm thường 2.3 Điểm tới hạn hàm đa thức Chương tổng quan kết mở rộng định lý Rolle cho đa thức biến phức Tuy nhiên, Định lý Rolle phát biểu cho hàm khả vi 53 Mục trình bày số kết tương tự cho lớp hàm nguyên, hàm hữu tỷ hàm tổng quát biến phức Nhận xét 2.3.1 Có hàm số (khơng phải đa thức) có vơ số điểm dừng, khơng có cực trị có hữu hạn nghiệm Thí dụ, Hàm số f  x   x  sin x (giải tích, khơng phải đa thức) có đạo hàm f '  x    cos x  với x nên ln đồng biến, có khơng điểm x  khơng có cực trị Trong đó, đạo hàm f '  x    cos x có vơ số nghiệm x    k 2 , k  1, 2, (Hình 17) Hình 17 Vì vậy, mở rộng Định lý Rolle cho hàm phức toán thú vị có ý nghĩa Đã có số nghiên cứu tốn Xem, thí dụ, [4], [8], [32] Dưới trình bày vài nhận xét [20] toán Theo định nghĩa, hàm nguyên hàm biểu diễn thành chuỗi Maclaurin f  z   b0  b1 z  b2 z  , hội tụ điểm z Một lớp hàm đặc biệt thú vị hàm nguyên có cấp  hữu hạn, có nghĩa   lim sup log log M  r , f  k log k  lim sup  ,   log r r  log   k  bk   54   M  r , f   max f  z  , z  r Kết điểm tới hạn hàm nguyên có cấp  hữu hạn phát biểu Định lý Định lý 2.3.1 (Marden, 1985, [20]) Nếu f hàm nguyên có cấp  hữu hạn, có tất nghiệm dải nửa vơ hạn T, có tối thiểu n điểm tới hạn f nằm hình quạt S (Hình 18), n số ngun dương lớn nhỏ  Hình 18 Ví dụ, cho f  z   e z  m   z  k  k 0  số nguyên dương  1 hàm nguyên có cấp  có tất nghiệm  dải nửa vô hạn T:  x,   y  Do đó, nhiều n   điểm tới hạn nằm hình quạt S k p Một ví dụ khác, f  z    cos  z  ki  hàm nguyên cấp   Do k  p n      Có thể rằng, điểm tới hạn nằm dải nửa vô hạn 2 T: x  , y  p Vì vậy, khơng có điểm tới hạn nằm x  2 , y  p 55 Tổng quát Định lý 2.3.1, chứng minh trường hợp hàm nguyên f cấp  ,    1, đa giác lồi H chứa tất nghiệm f chứa tất điểm tới hạn f Tuy nhiên, H thường khơng bị chặn, f có vơ số nghiệm Có thể phát biểu định lý phân bố nghiệm đạo hàm cho hàm hữu tỷ hàm phân hình, tương tự định lý cho đa thức hàm nguyên Vào năm 1930, nhà toán học người Pháp Jean Dieudonné nhận số kết cho lớp hàm giải tích miền T (xem [8]) Giả sử f có T hai nghiệm z  z1 z  z2 , hình trịn C với đường kính đoạn thẳng từ z1 đến z2 chứa T Với số điều kiện đặt lên f , J Dieudonné chứng minh có điểm tới hạn f nằm C Tuy nhiên, điều kiện phức tạp nên ta không phát biểu Kết luận Chương Chương trình bày: 1) Hai nghiên cứu Sendov Miller miền Rolle 2) Mở rộng Định lý Rolle theo khái niệm nghiệm đạo hàm “ở giữa” hai nghiệm đa thức 3) Một số mở rộng Định lý Rolle cho hàm khả vi Các vấn đề trình bày Chương hai kết hợp với Chương thành thể tương đối thống hồn chỉnh 56 KẾT LUẬN Luận văn trình bày Định lý Rolle trường phức dựa chủ yếu theo tài liệu [6], [14], [18], [20], [30] có kết hợp với sách báo Tài liệu Định lý Rolle Nội dung luận văn gồm hai chương Chương trình bày tổng quan Định lý Rolle cho đa thức trường phức Chương trình bày chứng minh số mở rộng Định lý Rolle trường phức số vấn đề liên quan Nhằm cung cấp Tài liệu tham khảo tương đối đầy đủ Định lý Rolle cho người quan tâm, liệt kê Tài liệu không đề cập đến Luận văn Thí dụ, Tài liệu [5], [12], [13], [16], tài liệu nói Định lý Rolle nhiều chiều, khơng trình bày Luận văn Những Tài liệu đánh dấu * Tài liệu mà có Hy vọng Luận văn vẽ lên tranh tương đối hoàn chỉnh mở rộng định lý Giải tích thực sang Giải tích phức Hy vọng Luận văn tài liệu tham khảo tốt cho quan tâm đến Định lý Rolle trường số phức vấn đề liên quan 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1]* Nguyễn Thị Lương, Về Giả thuyết Sendov (Luận văn Cao học), Đại học Sư phạm Hà Nội 2, 2012 [2]* Nguyễn Thị Lương, Tạ Duy Phượng, Giới thiệu Giả thuyết Sendov, Kỷ yếu Hội thảo Các chuyên đề Toán Bồi dưỡng giáo viên Trung học Phổ thông Chuyên 2012, Hạ Long, 06-07/10/2012, 97-116 Tiếng Anh [3] A Abain, A ultimate proof of Rolle’s theorem, The American Mathematical Monthly, Vol 86 (November 1979), 484 – 485 [4] A Benhissi, Le Théorèm de Rolle sur le corps des séries formelles généralisées, Comptes Rendus Math De l’cadémie des Sciences, 13 (1991), 109 – 114 [5] R Brown, T C Craven, M J Pelling, Ordered fieds satisfying Rolle’s Theorem, III, J Math., 30 (1986), 66 – 78 [6]* Jerry Shao–Chieh Cheng, On the Distribution of the critical points of a polynomial, June th 2012, 1-20 [7]* J F McCulloch, Extension of Roll’s Theorem, Annals of Mathematics, Vol 4, No 1, 2013, 5-8 [8] J Deudonné, Sur une generalization du theorem de Rolle aux fonctions d’une variable complexe, Ann of Math., 31 (1930), 79-116 [9] W G Dotson, A note of complex polynomials having Rolle’s property and the mean value property for derivatives, The Mathematics Magazine, Vol 41, No (May, 1968) 58 [10]* J–CI Evard and F Jafari, A complex Rolle’s theorem, The American Mathematical Monthly, Vol 99, No (November 1992), 858 – 861 [11] J–CI Evard and F Jafari, Generalizations of Rolle’s theorem and applications to complex analysis and Hermite interpolation, in preparation [12] Jesús Ferrer, Rolle’s theorem fails in l2 , The American Mathematical Monthly, Vol 103, No (Feb., 1996) [13]* Massimo Furi and Mario Martelli, A multidimensional version of Rolle’s theorem, The American Mathematical Monthly, Vol 102, No (Mar., 1995), pp 243 – 249 [14]* Luis H Gallardo, On Rolle’s theorem for polynomials over the complex numbers, Applied Mathematics E – Notes, (2006), pp 10– 16 [15] F Jafari, J–CI Evard and P Polyakov, Generalizations and applications of a complex Rolle’s theorem, Nieuw Archief voor Wiskunde, 13, 173 – 180 [16]* A Khovanskii, S Yakovenko, Generalized Rolle theorem in  n and C, Journal of Dynamical and Control Systems, Vol 2, No 1, 1996, 103-123 [17]* Morris Marden, The location of the zeros of the derivative of a polynomial, The American Mathematical Monthly, Vol 42, No.5 (May, 1935), 277-286 [18]* Morris Marden, Geometry of polynomials, in Mathematical Surveys and Monographs, No 3, Published by The American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1966 [19]* Morris Marden, Conjectures on the critical points of a polynomial, The American Mathematical Monthly, Vol 90, No ( Apr, 1983), 267 – 276 [20]* Morris Marden, The search for a Rolle’s theorem in the complex domain, The American Mathematical Monthly, Vol 92, No (Nov, 1985), 643 – 650 59 [21]* Michael J Miller, On minimal Rolle’s Domains for complex polynomials, arXiv: 3688v2 , 2010, 1–4 [22]* G V Milovanović, D S Mitrinović, Th M Rassias, Topics in polynomials: Extremal Problems, Inequalities, Zeros, World Scientific, 1994 [23]* Piotr Pawlowski, On the zeros of a polynomial and its derivatives, Transaction of the American Mathematical Society, vol 350, Number 11, November 1998, 4461 – 4472 [24]* J–P Pemba, A R Davies, N.E Muoneke, A complexification of Rolle’s theorem, Applications and Applied Mathematics Vol 2, No.1 (June 2007), 28 – 31 [25]* Victor V Prasolov, Polynomials, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2004 Nguyên bản: Victor V Prasolov, Đa thức (Tiếng Nga), 2001 [26] Q I Rahman, G Schmeisser, Analytic Theory of Polynomials, Oxford Univ Press Inc., New York, 2002 [27]* Christiane Rousseau, Rolle’s theorem: From a simple theorem to an extremely powerful tool, (2011), – [28] I.J Schoenberg, A conjectured analogue of Rolle’s theorem for polynomials with real or complex coefficients, The American Mathematical Monthly, Vol 93, No (Jan, 1986) [29] T Sheil-Small, Complex polynomials, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 75, Cambridge, 2002 [30]* Bl Sendov, Complex analogues of the Rolle’s theorem, Serdica Mathematical Journal, 33 (2007), 387 – 398 [31]* B Sury, When are complex zeros on a Rolle?, 1-11 [32] A Tineo, A generalization of Rolle’s Theorem and an application to a nonlinear equation, J Austr Math Soc., Ser A, 46, 395 – 401