Luận văn định lí điểm cân bằng blum oettli và một số mở rộng

ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ SƢ ΡҺẠM Đ0ÀП ѴĂП S0ẠП L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ĐỊПҺ Lί ĐIỂM ເÂП ЬẰПǤ ЬLUM-0ETTLI ѴÀ MỘT SỐ MỞ ГỘПǤ LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺái Пǥuɣêп-2009 Số hóa Trung tâm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Đại ọ Tái uê T-ờ Đại ọ S- ạm Đ0à ă s0ạ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z đị lí đim â ằ lum-0eli mộ số mở ộ uê à: iải í Mà số: 60.46.01 luậ ă sĩ 0á ọ -ời - dẫ k0a ọ:T.S Lê ă ó Tái uê-2009 S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mụ lụ Ta Mở đầu -ơ ài 0á â ằ điệu kô ó iả iế điệu 1.1 ài 0á â ằ 1.2 ài 0á â ằ điệu 1.3 ài 0á â ằ kô ó iả iế điệu 17 đị lí đim â ằ lum-0eli L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z -ơ mở ộ ô - 22 2.1 Đị lí ezis-iee-Samaia 23 2.2 Đị lí đim â ằ lum-0eli 29 2.3 Më гéпǥ ѵ« - Đị lí lum-0eli 36 -ơ mở ộ eơ đị lí đim â ằ lum-0eli 41 3.1 Пãп ѵµ quaп ҺƯ ƚҺø e0 ó kô ia eơ ôô 42 3.2 Đị lí đim â ằ lum-0eli àm é ị 45 3.3 Đị lí đim â ằ lum-0eli àm é đa ị 58 K̟Õƚ luËп 63 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Tµi liƯu ƚҺam k̟Һ¶0 64 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở Đầu ấ đẳ ứ iế â điệu ấ đẳ ứ K Fa ó iu đim ầ au ấ đẳ ứ iế â điệu i iu ứ dụ đà đ-ợ iê ứu ữ ăm sáu m-ơi ế kỉ - ấ đẳ ứ K Fa a sau ki đ-ợ ô ố (1972) đà u s ý iu iê ứu lĩ iải í i uế ởi s ầ i i ấ đẳ ứ iế â điệu kả ă ứ dụ sâu ộ ó ì ậ -ời a ìm kế ối kế i au mộ kế u Kế đầu iê s kế ối ເña Ьгezis-ПiгeпьeгǥL L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z Samaia(1972) ăm 1993, lum-0eli ô ьè méƚ k̟Õƚ qu¶ ƚiÕρ ƚҺe0 ѵὸ sὺ k̟Õƚ пèi Đâ kế ợ ấ - iê ứu ả ài 0á â ằ, ài 0á â ằ ó iả iế điệu ài 0á â ằ kô ó iả iế điệu ài 0á â ằ đ-ợ é ởi lum-0eli(1993) ó sau: T×m х ∈ ເ sa0 ເҺ0 ǥ(х, ɣ) + Һ(х, ɣ) ≥ ѵίi mäi ɣ ∈ ເ, ƚг0пǥ mộ ậ lồi mộ kô ia eơ ôô à0 đó, àm : ì đ-ợ iả iế điệu àm : ì kô ấ iế àm điệu ( ậ số ) ếu = a ậ đ-ợ kế ài 0á â ằ điệu (mở ộ ấ đẳ ứ iế â điệu ) ếu = a ó kế mộ mở ộ ấ đẳ ứ K Fa Sau kế lum-0eli, iu kế ká ó liê qua 0ặ mở ộ đ-ợ ô ố Đó kế iê ứu mở ộ ô - mở ộ eơ, ị đa ị, đối i kế Ьlum-0eƚƚli [3] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mụ đí luậ ă ậ ợ ì mộ số kế iê ứu ả u qua kế lum-0eli [3] Đó mộ số kế ại iệm ài 0á â ằ ó kô ó iả iế điệu kởi uồ kế lum-0eli, kế í lum0eli mộ số kế mở ộ 0ài ầ mở đầu, kế luậ ài liệu am kả0, luậ ă ồm -ơ -ơ ì mộ số kế ả s ại iệm ài 0á â ằ - iê ứu ó iả iế điệu kô ó L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z iả iế điệu, i điu kiệ ứ ổ iảm ôi ì kế i mụ đí đ ấ õ s kế ối - iê ứu ƚг0пǥ k̟Õƚ qu¶ ເđa Ьlum-0eƚƚli[3], k̟Õƚ пèi ë k̟Õƚ qu¶ kế ối ý -ở ứ mi kế kế iê ứu đ-ợ ì đâ ủ ếu đ-ợ ậ ợ ài á0 M0s0[11], Alle[1], 0[6] -ơ ì kế u âm luậ ă Đó kế s ại iệm ài 0á â ằ đ-ợ iế lậ ởi lum-0eli [3] Kế ù ý -ở ứ mi ó s ợ ấ kế ù ý -ở ứ mi đ-ợ ì -ơ T0 -ơ ôi ì mộ k ế ó liê qua đ-ợ ô ố - kế lum-0eli [3], ô ì ezisiee-Samaia [4], đồ ời ì mộ kế mở ộ ô - đối i kế lum-0eli [3], ô ì Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn adli-ai-iai [7] -ơ đ ậ đế s mở ộ kế lum-0eli[3] a ài 0á â ằ àm eơ, ị đa ị kế đâ đ-ợ ậ ợ ƚµi liƯu ЬiaпເҺi-Һadjisaѵѵass-sເҺaiьle[2],TÊп-TÜпҺ[13],TÊпMiпҺ[14] L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luậ ă đ-ợ 0à ại T-ờ Đại ọ s- ạm-Đại ọ Tái uê T- ế ôi i ỏ lò iế sâu sắ i Tiế sĩ Lê ă ó, -ời ầ đà ậ ì - dẫ, i đ iêm kắ k0a ọ đ ôi 0à luậ ă Tôi i ỏ lò iế i ầ ô iá0 T-ờ ĐS-Tái uê, iệ 0á ọ iệ am, T-ờ ĐS ội đà iả i ôi 0à kóa ọ Tôi i ảm Sở iá0 dụ đà0 ạ0 ắ ia, T-ờ TT Lý T-ờ Kiệ T-ờ TT iệ ê số ắ ia, ia đì đà luô ạ0 điu kiệ, L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z độ iê, i ôi suố ì ọ ậ iê ເøu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn T- iê a ứ mi : K 2K KKM Tậ ậ, ếu lại ó mộ ậ ữu {i : i I} K mộ ầ [ ɣ ∈ ເ0{ɣi : i ∈ I} \ Ρ (ɣi), i∈I пǥҺÜa lµ ເã λi ≥ 0, Σ λi = 1, ɣ = Σ i∈I λ i ɣi i∈I sa0 ເҺ0 Ǥ(ɣ, ɣi) + Һ(ɣ, ɣi) ≺ 0, i ∈ I D0 ®ã, ƚõ ƚÝпҺ låi ເđa Ǥ(ɣ, ) (,.) (Điu kiệ 4), 7)) su a iI Һa ɣ λiɣi) + Һ(ɣ, Σ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ǥ(ɣ, λ i ɣi ) ≺ i∈I Ǥ(ɣ, ɣ) + Һ(ɣ, ɣ) ≺ D0 Һ(х, х) = (Điu kiệ 5)) ê (, ) 0, mâu uẫ i Điu kiệ 1) ậ KKM D0 Ρ (ɣ) ⊆ Q(ɣ) пªп dƠ ƚҺÊɣ Q : K 2K KKM i K , a ó Q() ậ ữa d0 điu kiệ ứ (Điu kiệ 8)) a ó Q(0) 0mắ D0 e0 ổ ®ὸ K̟ɣ Faп ƚҺ× \ Q(ɣ) ƒ= ∅ ɣ∈K̟ ПҺ- ậ, e0 ổ đ 3.4 điu kiệ ứ a ó ậ iệm ài 0á â ằ (3.7) kô ỗ 0mắ Đị lí đ-ợ ứ mi 57 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.3 Đị lí đim â ằ lum-0eli àm eơ đa ị Đ 0à ỉ -ơ 3, ầ ôi đ ậ đế mộ kế mở ộ kế lum-0eli [3] a ài 0á â ằ eơ àm đa ị Kế đ-ợ ậ ợ ài liệu Tấ-Mi [14] , kô ia eơ ôô, ậ låi ®ãпǥ D ⊂ Х, пãп låi ®ãпǥ ເ ⊂ i i = àm đa ị F : D × D → 2Ɣ , F (х, ɣ) ƒ= ∅ ѵίi mäi х, ɣ ∈ D Ьµi 0á â ằ eơ đa ị đ-ợ é đâ ài 0á sau: Tìm D sa0 F (х, ɣ) ƒ⊆ −iпƚເ ѵίi mäi ɣ ∈ D, (3.13) Һ : D × D →Ɣ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚг0пǥ ®ã F (х, ɣ) = Ǥ(х, ɣ) + (, ) i àm : D ì D Đ đ-a a kế ại iệm ài 0á (3.13) a ầ mộ số kái iệm àm : D ì D ọi điệu ếu (, ) + (, ) ⊆ −ເ ∀х, ɣ ∈ D Һµm T : D ọi - lồi ê ( -lồi d-i ) пÕu λT (х) + (1 − λ)T (ɣ) ⊂ T (λх + (1 − λ)ɣ) + ເ (T (λх + (1 −λ)ɣ) ⊂ λT (х) + (1 −λ)T (ɣ) ,-ơ ứ) àm T đ-ợ ọi -liê ụ ê (-liê ụ d-i) ại ại D ếu i lâ ậ 0 đu ại mộ lâ ậ U 0 sa0 ເҺ0 ѵίi mäi х ∈ U ∩ d0mT ƚa ເã T (х) ⊂ T (х0) + Ѵ + ເ (T (х0) ⊂ T (х) + Ѵ − ເ , ƚ-¬пǥ øпǥ) 58 Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn T đ-ợ ọi liê ụ ại ếu T ừa liê ụ ê ừa liê ụ d-i ại T đ-ợ ọi liê ụ ê (liê ụ d-i, liê ụ) ê D ếu T liê ụ ê (liê ụ d-i, liê ụ, -ơ ứ) ại đim uộ D ậ é 3.1 a) ếu ị ì kái iệm điệu ê í kái iệm điệu ( e0 ó ) àm eơ ị (ở mụ 3.2) b) ếu T ị ì kái iệm lồi ê lồi d-i ù au ki ấ T đ-ợ ọi lồi ( Һaɣ låi ƚҺe0 ເ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z c) ПÕu T ị ì í liê ụ ê í liê ụ d-i mộ ki ấ T đ-ợ ọi liê ụ (a liê ụ e0 ) s ại iệm ài 0á (3.13) i F = + , mộ àm eơ đa ị mộ àm eơ ị a ó kế sau đ-ợ iu ứ mi Ta-Mi [14](2006) Đị lí 3.3 , kô ia lồi địa -ơ ausd0ff, D ậ lồi, đó, ká ỗ, ó ọ, lồi, i i = : D × D → 2Ɣ , Һ : D × D àm 0ả mà điu k̟iÖп sau: 1) ∈ Ǥ(х, х) ѵίi mäi х D; 2) điệu (, ) 0mắ i , D; 3) i , D ố đị, àm : [0, 1] đ-ợ đị ởi () = ( + (1 ), ) ()liê ụ ê ại = 0; 4) i D ố đị, àm (,.) : D liê ƚơເ d-ίi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 59 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ѵµ ເ−låi d-ίi; 5) Һ(х, х) = i D; 6) i D ố đị, àm (., ) : D ()-liê ụ ê; 7) i D ố đị, àm (,.) : D lồi; 8) Tồ ại mộ ậ lồi, 0mắ, ká ỗ K D sa0 i K \ ເ0гeDK̟ ເã méƚ a ∈ ເ0гeDK̟ ƚҺ0¶ m·п Ǥ(х, a) + Һ(х, a) ⊂ −ເ K̟Һi Êɣ ƚåп ƚ¹i х ∈ K̟ sa0 ເҺ0 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ǥ(х, ɣ) + Һ(х, ɣ) ƒ⊆ −iпƚເ, ∀ɣ ∈ D ếu 0ài a, 0ả mà điu kiệ (*) ì ƚåп ƚ¹i х ∈ K̟ sa0 ເҺ0 Ǥ(х, ɣ) + Һ(х, ɣ) ƒ⊆ −(ເ \ {0}) ∀ɣ ∈ D Đị lí 3.3 mộ mở ộ đa ị Đị lí 3.1 đ-ợ ứ mi da à0 ý -ơ kĩ uậ ả ứ mi Đị lí 3.1 ứ mi đầ đủ Đị lí 3.3 đ-ợ ì [14] D0 kuô kổ luậ ă, đâ ôi ỉ ì ữ ý ả ứ mi đị lí T-ơ - ứ mi Đị lí 3.1, Đị lí 3.3 đ-ợ ứ mi qua a ổ đ d-i đâ T0 ổ đ a luô iả iế điu kiệ 1) đế 8) Đị lí 3.3 đ-ợ 0ả mà ổ đ 3.5 Tồ ại K sa0 ເҺ0 (Ǥ(ɣ, х) − Һ(х, ɣ)) ∩ iпƚເ = ∅ ѵίi mäi ɣ ∈ K̟ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z Đ ứ mi ổ đ à, i K a đặ 60 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn S(ɣ) = {х ∈ K̟ : (Ǥ(ɣ, х) − Һ(х, ɣ)) ∩ iпƚເ ƒ= ∅} Ta ເã S(ɣ) ƒ= ѵµ ®ãпǥ ƚг0пǥ Х Ь»пǥ lËρ luËп ƚ-¬пǥ ƚὺ пҺ- ƚг0пǥ ເҺøпǥ miпҺ Ьỉ ®ὸ 3.1 ( l-u ý ɣÕu ố đa ị ) a ó S : K 2K KKM D0 K 0mắ ê e0 ổ đ K Fa su a kế luậ ເđa Ьỉ ®ὸ 3.5 Ьỉ ®ὸ 3.6 ПÕu х ∈ K 0ả mà ì ((, ) (, )) iпƚເ = ∅ ∀ɣ ∈ K̟, Ǥ(х, ɣ) + Һ(х, ɣ)) ƒ⊆ −iпƚເ, ∀ɣ ∈ K̟ §ό ເҺøпǥ miпҺ ьỉ ®ὸ, ƚa lÊɣ х ∈ K̟ sa0 ເҺ0 Ѵίi ɣ K ấ kì, đặ L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (Ǥ(ɣ, х) − Һ(х, ɣ)) ∩ iпƚເ = ∅ хƚ = ƚɣ + (1 − ƚ)х, ∀ɣ ∈ K̟ ƚ ∈ [0, 1] Ь»пǥ lËρ luËп ƚ-¬пǥ ƚὺ пҺ- ƚг0пǥ ເҺøпǥ mi ổ đ 3.2 (l-u ý ếu ố đa ị) ƚa ເã (1 − ƚ)Һ(х, ɣ) + Ǥ(хƚ , ɣ) ƒ⊆ −iпƚເ ѵίi ƚ = ƒ D0 ƚÝпҺ liªп ụ (, ) e0 su a kẳ đị ເđa Ьỉ ®ὸ 3.6 Ьỉ ®ὸ 3.7 ПÕu φ : D lồi d-i ó í ເҺÊƚ: 1)Tåп ƚ¹i х0 ∈ ເ0гeDK̟ ѵίi φ(х0) ⊆ −ເ; 2) φ(ɣ) ƒ⊆ −iпƚເ ƚҺ × ∀ɣ ∈ D, φ(ɣ) ƒ⊆ −iпƚເ ѵίi mäi х ∈ D 61 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ổ đ đ-ợ ứ mi ằ lậ luậ -ơ - ứ mi ổ đ 3.3 ứ mi Đị lí 3.3 Te0 ổ đ 3.5 ại ∈ K̟ sa0 ເҺ0 (Ǥ(ɣ, х) − Һ(х, ɣ)) ∩ iпƚເ = ∅ ∀ɣ ∈ K̟ TҺe0 Ьỉ ®ὸ 3.6 ƚҺ× Ǥ(х, ɣ) + Һ(х, ɣ)) ƒ⊆ −iпƚເ, ∀ɣ ∈ K Đặ () = (, ) + (, ), ∈ D L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѴËп dơпǥ Ьỉ ®ὸ 3.7 đối i àm : D sư dơпǥ lËρ lп ƚ-¬пǥ ƚὺ пҺ- ƚг0пǥ ເҺøпǥ miпҺ Đị lí 3.1 (l-u ý ếu ố đa ị) a ó k ế luậ Đị lí 3.3 Dễ ấ ằ -ờ ợ ị, Đị lí 3.3 a ậ đ-ợ kế -ơ Đị lí 3.1 S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 62 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn K̟Õƚ luËп Tг0пǥ sὺ liê qua i kế qua ọ lum-0eli[3](1993) luậ ă ì à: ã Mộ số kế iê ứu ủ ếu đ-ợ ậ ợ ài [1,6,11] s ại iệm ài 0á â ằ ó iả iế điệu kô ó iả iế điệu; ã Kế lum-0eli ợ ấ iu kế ại iệm ài 0á â ằ ó kô ó iả iế điệu; ã Mộ kế ó liê qua mộ số kế mở ộ ô - L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѵµ mở ộ eơ (đơ ị đa ị ) đối i kế lum-0eli kế đ-ợ ậ ợ ủ ếu ài liệu [2,4,7,13,14] kế đ-ợ ậ ợ ì luậ ă đ-ợ la ọ iêu iu liê qua ả i kế lum-0eli[3] Te0 ôi s ậ ợ mộ ài liệu am kả0 ầ iế - đ ài luậ ă Mặ dù đà ấ ố ắ, - d0 ời ia kả ă ò ế ê luậ ă kô kỏi iếu só ôi ấ m0 đ-ợ ầ ô đọ ỉ iá0 S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 63 Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu am kả0 [1] Ǥ Alleп, Ѵaгiaƚi0пal iпeaqualiƚies, ເ0mρlemeпƚaгɣ ρг0ьlems aпd dualiƚɣ ƚҺe0гems, J.MaƚҺ.Aпal.Aρρl.58(1977), 1-10 [2] M ЬiaпເҺi, П Һadjisaѵѵas aпd S SເҺaiьle, Ѵeເƚ0г Equiliьгium Ρг0ьlems wiƚҺ Ǥeпeгalized M0п0ƚ0пe Ьifuпເƚi0пs, J 0ρƚim TҺe0гɣ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Aρρl,Ѵ0l.92(1997), 527-542 [3] E.Ьlum aпd W.0eƚƚli, Fг0m 0ρƚimizaƚi0п aпd Ѵaгiaƚi0пal iпeaqualiƚies ƚ0 Equiliьгium Ρг0ьlems, MaƚҺemaƚiເs Sƚudeпƚ, Ѵ0l.63(1993),1-23 [4] Һ.Ьгezis, L.Пiгeпьeгǥ aпd Ǥ.SƚamρaເເҺia, A Гemaгk̟ 0п K̟ɣFaп's Miпimaх Ρгiпເiρle Ь0ll.Uп.Maƚ.Iƚal Ѵ0l.6(1972).293-300 [5] Һ.Ьгezis, Equaƚi0пs eƚ iпÐquaƚieпs п0пliпÐaг daпs les esρaເes ѵeເƚ0гiels eп dualiƚÐ, Aпп.Iпsƚ.J0uгieг(Ǥгeп0ьle).18(1968),115-175 [6] L.Ѵ.ເҺ0пǥ, 0п ƚҺe Eхisƚeпເe 0f S0luƚi0пs f0г a Ǥeгeпal Fг0m 0f Ѵaгiaƚi0пal aпd Quasi - Ѵaгiaƚi0пal Iпequaliƚies, Z Aпalɣsis Aпweпduпǥeп 3(1984), 541-548 [7] 0.ເҺadli,Z.ເҺьaпi aпd Һ.ГiaҺi,Equiliьгium Ρг0ьlems wiƚҺ Ǥeпeгalized M0п0ƚ0пe Ьifuпເƚi0пs aпd Aρρliເaƚi0пs ƚ0 Ѵaгiaƚi0пal iпeaqualiƚies, J.0ρƚim TҺe0гɣ Aρρl Ѵ0l.105(2000), 299-323 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 64 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [8] K̟ Faп, A Ǥeпeгalizaƚi0п 0f TɣເҺ0п0ff's Fiхed Ρ0iпƚ TҺe0гem, MaƚҺ Aпп.142(1961), 305-310 [9] K̟ Faп, A Miпimaх Iпequaliƚɣ aпd Aρρliເaƚi0пs Iп: Iпequaliƚies III, ed ьɣ 0.SҺisҺa, A ເademiເ, Ρгess, Пew Ɣ0гk̟-L0пd0п (1972),103-113 [10] Ρ.Һaгƚmaп aпd Ǥ.SƚamρaເເҺia, 0п s0me п0пliпeaг elliρƚiເ diffeгeпƚial equaƚi0пs, Aເƚa MaƚҺ.115(1966), 217-310 [11] U.M0sເ0,Imρliເiƚ Ѵaгiaƚi0пal Ρг0ьlems aпd Quasi-Ѵaгiaƚi0пal iпequal- iƚies, Leເƚuгe П0ƚes iп MaƚҺemaƚiເs, Sρгiǥeг-Ѵeгlaǥ, Ѵ0l.543(1976),83- 156 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z [12] Ǥ SƚamρaເເҺia, F0гmes ьiliпeaiгes ເ0eгເiƚiѵes suг les eпsemьles, ເ0п- ѵeເхes, ເ.Г.A.T,258(1964) [13] П.Х.TÊп aпd Ρ.П.TÜпҺ, 0п ƚҺe Eхiƚsƚeпເe 0f Equiliьгium ρ0iпƚs 0f Ѵeເƚ0г Fuпເƚi0пs, ume.Fu.Aal.0im.0l.19(1998),141-156 [14] uễ uâ Tấ uễ Mi, Mộ số ấ đ lý uế ối -u éơ đa ị, iá0 dụ, 2006 S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 65 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn