ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - TRẦN THỊ HƯỜNG CHIỀU NOETHER CỦA MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - TRẦN THỊ HƯỜNG CHIỀU NOETHER CỦA MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN – 2008 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - TRẦN THỊ HƯỜNG CHIỀU NOETHER CỦA MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN – 2008 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thị Dung Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học sư phạm - ĐHTN Ngày tháng 10 năm 2008 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Cho (R, m) vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m; M R-môđun hữu hạn sinh A R-môđun Artin Như đà biết, khái niệm phân tích nguyên sơ, chiều Krull khái niệm Hình học đại số Đại số giao hoán mà thông qua người ta nói lên cấu trúc đa tạp đại số cấu trúc vành Noether môđun hữu hạn sinh chúng Chiều Krull môđun hữu hạn sinh M , ký hiệu dim M , định nghĩa chiều Krull vành R/ Ann M ta có định lý lý thuyết chiÒu nh sau δ(M ) = dim M = d(M ), (M ) số nguyên t nhỏ cho tồn dÃy phần tử a1 , , at ∈ m ®Ĩ độ dài môđun M/(a1 , , at )M bậc đa thức Hilbert hữu hạn d(M ) PM,I (n) ứng với iđêan định nghĩa I Khái niệm đối ngẫu với chiều Krull cho môđun Artin giới thiệu R N Robert [16] sau D Kirby [7] đổi tên thành chiều Noether, ký hiệu N-dim để tránh nhầm lẫn với chiều Krull đà định nghĩa cho môđun Noether Một số kết mà theo nghĩa xem đối ngẫu với kết chiều Krull cho môđun hữu hạn sinh đà đưa Đặc biệt, R N Roberts [16] đà chứng minh kết tính hữu hạn chiều Noether mối liên hệ chiều Noether với bậc đa thức Hilbert môđun Artin vành giao hoán, Noether, sau D Kirby [7] N T Cường - L T Nhàn [3] đà mở rộng kết Roberts cho vành giao hoán bÊt kú N-dim A = deg(`R (0 :A mn )) = inf{t > : ∃a1 , , at ∈ m : `R (0 :A (a1 , , at )R) < ∞} Tõ kÕt trên, cách tự nhiên định nghĩa khái niệm hệ tham số, hệ bội cho môđun Artin th«ng qua chiỊu Noether TiÕp theo, nhiỊu tác giả đà dùng chiều Noether để nghiên cứu cấu trúc môđun Artin (xem [5], [7], [19], ) Đặc biệt, tác giả N T Cường L T Nhàn [4] đà có nghiên cứu sâu chiều Noether, quan tâm đặc biệt tới chiều Noether môđun đối đồng điều địa phương chúng Artin đà đạt số kết thú vị, chứng tỏ khái niệm chiều Noether theo nghĩa phù hợp với môđun đối đồng điều địa phương Tương tự chiều Krull môđun hữu hạn sinh, cách tự nhiên, môđun Artin cđa vµnh A, R/ AnnR A chiỊu Krull dimR A hiểu chiều Krull Một kết quan trọng [4] nghiên cứu mối quan hệ chiều Noether chiều Krull môđun Artin trường hợp tổng quát: N-dimR A dimR A, N-dimR A < dimR A trường hợp xảy Đặc biệt, kết bất ngờ [4] cho ta điều kiện đủ để chiều Noether môđun Artin chiều Krull lµ AnnR (0 :A p) = p, ∀p ∈ V (AnnR A) () Cần ý R-môđun hữu hạn sinh M , theo Bổ đề Nakayama, ta lu«n cã tÝnh chÊt AnnR M A, AnnR M/pM = p, Râ rµng r»ng, vµnh R lµ đầy đủ với theo đối ngẫu Matlis, ta có có nguyên tố (), UsuppR M cao p chứa R-môđun Artin AnnR (0 :A p) = p, với iđêan p chứa AnnR A, nhiên vành giao hoán bất kỳ, môđun Artin ®iỊu kiƯn víi mäi i®ªan nguyªn tè A ®Ịu tháa mÃn điều kiện (*) Một điều thú vị nhờ ta đặc trưng tính catenary giá không trộn lẫn môđun Hmd (M ) M thông qua môđun đối đồng điều địa phương cấp (xem [2]); tính không trộn lẫn tính catenary phổ dụng môđun đối đồng điều địa phương Hmi (M ) (xem [15]) Mục đích luận văn trình bày lại chứng minh chi tiết kết đà giới thiệu báo N T Cường - L T Nhàn (2002) phần kết báo R N Roberts (1975); D Kirby (1990) vµ N T Cêng - L T Nhàn (1999) Luận văn chia làm chương, kiến thức cần thiết liên quan đến nội dung luận văn nhắc lại xen kẽ chương Chương giới thiệu khái niệm chiều Noether chứng minh số kết chiều Noether môđun Artin, đặc biệt chứng minh tính hữu hạn chiều Noether mối liên hệ chiều Noether với bậc đa thức Hilbert môđun Artin Chương dành để chứng minh lại kết chiều Noether môđun đối đồng điều địa phương R-môđun hữu hạn sinh chúng Artin; mối quan hệ chiều Noether môđun đối đồng điều địa phương thứ i với số i chiều Noether môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với chiều Krull môđun hữu hạn sinh ban đầu Chương trình bày mối quan hệ chiều Noether chiều Krull môđun Artin trường hợp tổng quát: N-dimR A dimR A; trường hợp xảy dấu nhỏ thực điều kiện đủ để chiều Noether môđun Artin chiều Krull Phần kết luận luận văn tổng kết lại toàn kết đà đạt Chương Chiều Noether đa thức Hilbert Trong toàn chương này, ta ký hiệu R vành giao hoán, Noether không thiết địa phương (giả thiết địa phương cần nêu trường hợp cụ thể), M R-môđun, A R-môđun Artin Mục đích chương giới thiệu khái niệm chiều Noether cho môđun tuỳ ý số kết chiều Noether cho môđun Artin Kết chương chứng minh tính hữu hạn chiều Noether mối liên hệ chiều Noether với bậc đa thức Hilbert môđun Artin Kết ®· ®ỵc giíi thiƯu bëi R N Roberts [16] cho vành địa phương sau D Kirby [8], N T Cêng - L T Nhµn [3] më réng cho vành giao hoán, Noether 1.1 Chiều Noether Khái niệm đối ngẫu với chiều Krull cho môđun tuỳ ý (Kdim) giới thiệu R N Roberts [16] đó, ông đưa số kết chiều Krull cho môđun Artin Sau D Kirby [8] đà đổi thuật ngữ Roberts đề nghị thành chiều Noether (N-dim) để tránh nhầm lẫn với chiều Krull đà định nghĩa cho môđun Noether Định nghĩa sau theo theo thuật ngữ Kirby [8] Định nghĩa 1.1.1 Chiều Noether môđun M, ký hiệu N-dimR M, định nghĩa quy nạp sau: Khi M = 0, đặt N-dimR M = −1 Víi M 6= 0, cho mét sè nguyªn sai với dÃy tăng N-dimR M < d cđa d > 0, M, tån t¹i sè nguyên n0 cho ta đặt N-dimR M = d M0 M1 môđun N-dimR (Mn+1 /Mn ) < d, víi mäi n > n0 Cho VÝ dơ 1.1.2 M lµ Noether R-môđun M n > n0 Do ®ã, mäi Mn+1 /Mn = 0, V× N-dimR M = tăng M 6= M R-môđun Thật vậy, giả sử M R-môđun nên n0 N v× thÕ cho Mn = Mn+1 , Do ®ã, cho Nk+1 = Nk , N-dimR M = n > n0 víi Khi ®ã, lÊy mét d·y Theo định nghĩa, N-dimR Nk+1 /Nk = < 0, với với theo định nghĩa, N0 ⊆ N1 ⊆ ⊆ môđun M n0 môđun N-dimR Mn+1 /Mn = −1 < 0, N-dimR M > Ngược lại, giả sử tồn số nguyên dương k > n0 lµ M0 ⊆ M1 ⊆ ⊆ Mn ⊆ ®Ịu dõng nên tồn n > n0 M N-dimR M = Noether Vì dÃy tăng khác không Khi với hay dÃy dừng, nghĩa R-môđun Noether Mệnh đề 1.1.3 Nếu M −→ M −→ M ” −→ lµ dÃy khớp R-môđun N-dimR M = max{N-dimR M , N-dimR M ”} Chøng minh Kh«ng mÊt tÝnh tổng quát, ta giả sử M0 M M 00 = M/M NÕu M = th× M = M ” = M = 0, suy N-dimR M = N-dimR M 00 = N-dimR M = Do ta cã thĨ gi¶ thiÕt M 6= Ta chøng minh quy nạp theo N-dimR M = d Giả sử d = Theo ví dụ trên, M Giả sử R-môđun Noether Vì vậy, M , M 00 R-môđun Noether nên suy N-dimR M = N-dimR M 00 = d > sù nhỏ d mệnh đề với môđun có chiều Noether thực Cho môđun M0 ⊆ M1 ⊆ ⊆ Mn ⊆ 6= 6= 6= 6= xích tăng M Khi đó, ta có d·y M0 ∩ M ⊆ M1 ∩ M ⊆ ⊆ Mn ∩ M ⊆ 6= 6= 6= (1) 6= (M + M0 )/M ⊆(M + M1 )/M ⊆ ⊆(M + Mn )/M 6= 6= 6= tương ứng xích tăng môđun Do N-dimR M = d N-dimR Mn+1 /Mn < d, M0 vµ M 00 = M/M nên theo định nghĩa, tồn víi mäi n > n0 (2) 6= n0 ∈ N cho Vì vậy, áp dụng giả thiết quy nạp vào dÃy khớp Mn+1 M + Mn+1 M ∩ Mn+1 −→ −→ −→ 0, M ∩ Mn Mn M + Mn ta cã M ∩ Mn+1 M + Mn+1 N-dimR (Mn+1 /Mn ) = max{N-dimR , N-dimR } M ∩ Mn M + Mn V× thÕ, víi mäi n > n0 , ta cã hc M ∩ Mn+1 N-dimR = N-dimR (Mn+1 /Mn ) < d M Mn Do đó, M + Mn+1 N-dimR = N-dimR (Mn+1 /Mn ) < d M + Mn theo định nghĩa chiều Noether ta có N-dimR M = d N-dimR M 00 = d hay N-dimR M = max{N-dimR M , N-dimR M 00 } 26 3.1 Chiều Krull môđun Artin Đối với môđun Artin, cách tự nhiên ta có khái niệm chiều sau Định nghĩa 3.1.1 Chiều Krull môđun Artin chiều Krull vành A, ký hiƯu bëi dimR A, lµ R/ AnnR A Ta quy íc dimR A = −1 nÕu A = Lý thut biĨu diƠn thø cÊp cđa I G Macdonald [10] đà nhắc lại Chương Vì môđun Artin có biểu diễn thứ cấp tập iđêan nguyên tố tối thiểu AttR A nên dimR A AnnR A tập phần tử tối thiểu cận số dim R/p p chạy khắp tập iđêan nguyên tố g¾n kÕt dimR A = max{dim R/p | p ∈ AttR A} KÕt qu¶ sau chØ mèi quan hƯ Mệnh đề 3.1.2 (i) Các phát biểu sau ®óng N-dimR A = nÕu vµ chØ nÕu dimR A = Trong trường hợp này, A có độ dài hữu hạn vành (ii) N-dimR A dimR A R/ AnnR A lµ Artin N-dimR A dimR A Chøng minh (i) Gi¶ sư N-dimR A = 0, A `R (A) < Vì vậy, theo [12, 12.B], ta có vành dimR A = Ngược lại, giả sử chứa dimR A = AnnR A iđêan cực đại Gọi J chứa R-môđun Noether R/ AnnR A Artin Khi đó, iđêan nguyên tố giao tất iđêan nguyên tố AttR A, theo Mệnh đề 2.2.2, (i) ký hiệu JA J= Vì thế, tồn Do p= pAttR A pAttR A,p tèi thiÓu n ∈ N cho JAn A = N-dim A = p= ∩ ta cã p = JA p∈V (AnnR A) Suy `R A < ∞ theo Bỉ ®Ị 1.2.1 27 (ii) Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo d = dimR A NÕu d = th× N-dim A = 0, theo (i) Giả sử d > p1 , , pk tất iđêan nguyên tè tËp AttR A cho dim R/pi = d, môđun Artin nên theo Mệnh đề 1.1.4, tập cực ®¹i cđa víi mäi i = 1, , k A Supp A gồm hữu hạn iđêan R Cho JA giao tất iđêan cực đại tập Supp A Ký hiệu 1.1.5 Khi ta chọn phần tử với Vì i = 1, , k V× thÕ dimR (0 :A xR) d − quy n¹p, ta cịng cã N-dim(0 :A xR) d − x ∈ JA vµ x∈ / pi , Do đó, theo giả thiết Theo Mệnh ®Ị 1.2.7 ta cã N-dim A d KÕt qu¶ sau hệ trực tiếp Mệnh đề 3.1.2 Hệ 3.1.3 Nếu (R, m) vành địa phương đầy đủ ta có N-dimR A = dimR A Chøng minh Theo MƯnh ®Ị 3.1.2 ®· cã N-dimR A minh NÕu dimR A, chØ cÇn chøng N-dim A > dimR A Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo d = N-dim A d=0 th× dimR A = phần tử tham số theo Mệnh đề 3.1.2 Giả sử A d>0 xm Khi áp dụng Mệnh đề 1.2.7 ta N-dim(0 :A x) = d 1, theo giả thiết quy nạp ta cã dimR (0 :A x) d − V× R vành địa phương đầy đủ nên theo Mệnh đề 2.3.3, HomR ((0 :A x); E) R-môđun hữu hạn sinh Vì vậy, theo Mệnh đề 2.3.3, (iii), ta cã d − > dimR (0 :A x) = dimR (HomR ((0 :A x); E)) = dimR (HomR (A; E)/x HomR (A; E)) > dimR (Hom(A; E)) − = dimR A Vậy, ta có điều cần chứng minh Theo Định lý 1.2.5 Chương dụ sau cho thấy 1, N-dimR A hữu hạn Tuy nhiên, ví R không vành địa phương khác N-dim A dimR A vô hạn 28 Ví dụ 3.1.4 cho Tồn môđun Artin A vành Noether, không địa phương dimR A = Chứng minh Cho vành đa thức vô hạn biến T = k[x1 , , xn , ] x1 , , xn , lÊy hƯ sè trªn trêng k Cho m1 , , mn , lµ số nguyên dương cho tố T mi mi1 < mi+1 mi sinh tất phần tử \ S= xj Ti với i Cho cho iđêan nguyên pi mi < j < mi+1 Đặt R = TS Ti =T \pi Khi ®ã, theo [14, A1,VÝ dơ 1], ta có Đặt A = E(R/m) bao nội xạ trường thặng dư iđêan cực đại N-dimR A = ht(m) R vành Noether dim R = R Khi A R/m, víi m lµ mét lµ Artin vµ ta cã thĨ kiểm tra Ta kiểm tra R miền nguyên, AnnR A = ®ã dimR A = dim R = ∞ Cho A R-môđun Artin Khi đó, theo Mệnh đề 1.1.4 Mệnh đề 1.1.6, Artin A biểu diễn Hơn nữa, A có cấu trúc tự nhiên Rmj -môđun d R mj -môđun Artin, với mj ∈ Supp A, j = 1, , r Từ ta có kết sau (xem [17, Bổ đề 1.8, Hệ 1.12, Hệ 2.7]) Mệnh đề 3.1.5 (i) (ii) Các mệnh đề sau AttRmj A = {pRmj : p AttR A} q∩R:b q ∈ AttRd A} AttRmj A = {b m j Mệnh đề 3.1.2 nhìn chung N-dimR A dimR A Tuy nhiªn, vÝ dơ sau cho thấy có trường hợp xảy dấu nhá h¬n thùc sù VÝ dơ 3.1.6 cho Tån môđun Artin N-dimR A < dimR A A vành Noether, địa phương (R, m) 29 Chứng minh Cho (R, m) miền nguyên, chiều xây dựng Ferrand Raynaud [20] cho vành địa phương đầy đủ nguyên tố liên kết b q chiều b R R có iđêan (xem thêm Nagata [14, A1, VÝ dơ 2]) V× b dim R/ b b b-môđun b q Ass(R), q = ý ta có đẳng cấu R b Hm1 (R) ∼ = Hmb1 (R) nªn theo [1, §Þnh lý 11.3.3] cđa Brodmann-Sharp, ta cã b q ∈ AttRb (Hm1 (R)) Theo MƯnh ®Ị 3.1.5 suy q=b q R AttR (Hm1 (R)) Hơn nữa, R miền nguyên nên Ass(R) = {0}, q=b q ∩ R ∈ Ass(R) = {0} Do ®ã suy AnnR (Hm1 (R)) = AnnRb (Hm1 (R)) ∩ R ⊂ b q ∩ R = V× thÕ, ta cã dimR (Hm1 (R)) = dim R/ AnnR (Hm1 (R)) = dim R = Mặt khác, theo Định lý 2.3.1 Mệnh đề 3.1.2,(i) ta có N-dimR (Hm (R)) Vậy, ta đà tồn môđun Artin A = Hm1 (R) = cho N-dimR A = < = dimR A 3.2 §iỊu kiƯn AnnR (0 :A p) = p Các kết mục thức 3.1 N-dimR A = dimR A cho thấy ta có đẳng Một câu hỏi tự nhiên đặt ta có đẳng thức Để trả lời cho câu hỏi này, trước hết ta nhắc lại kết sau 30 Bổ đề 3.2.1 Với R-môđun hữu hạn sinh M , ta có đẳng thức AnnR (M/pM ) = p, với iđêan nguyên tè p ∈ V (AnnR M ) Chøng minh HiÓn nhiên ta có bao hàm thức p p V (AnnR M ) = Supp M ⊆ AnnR (M/pM ) Ngược lại, theo [18, Bổ đề 9.20] nên Mp 6= Do ®ã (M/pM )p = Mp /pRp Mp 6= ngược lại Mp = pRp Mp , suy Mp = theo Bổ đề Nakayama, dẫn đến mâu thuẫn Vậy, p Supp(M/pM ) = V (AnnR (M/pM )) hay p ⊇ AnnR (M/pM ) Một câu hỏi tự nhiên đặt đối ngẫu kết có cho môđun Artin không Để thuận tiện cho việc trả lời câu hỏi này, ta đưa khái niệm sau Định nghĩa 3.2.2 chứa Ký hiệu V (AnnR A) tập hợp tất iđêan nguyên tố AnnR A Ta nói A thoả mÃn điều kiện (*) AnnR (0 :A p) = p, víi mäi p ∈ V (AnnR A) VÝ dơ sau cho thÊy r»ng, c©u trả lời câu hỏi phủ định vành R địa phương, nghĩa tồn môđun Artin vành địa phương không thoả mÃn ®iỊu kiƯn (*) VÝ dơ 3.2.3 cho Tån t¹i môđun Artin A vành Noether, địa phương (R, m) A không thoả mÃn điều kiện (*) Chứng minh Cho R iđêan nguyên tố p A = Hm1 (R) cho p 6= nh VÝ dô 3.1.6 Lấy tuỳ ý p 6= m Vì AnnR A = p ∈ V (AnnR A) LÊy mét phÇn tư 6= x ∈ p Ta cã d·y khíp sau x −→ R −→ R −→ R/xR nên 31 Theo tính chất hàm tử đối đồng điều ta dÃy khớp dài x −→ Hm0 R −→ Hm0 (R) −→ Hm0 (R/xR) −→ x −→ Hm1 (R) −→ Hm1 (R) −→ Hm1 (R/xR) −→ Chó ý r»ng R lµ miỊn nguyên nên Hm0 (R) = 0, ta thu dÃy khớp môđun đối đồng điều địa phương x −→ Hm0 (R/xR) −→ Hm1 (R) −→ Hm1 (R) V× vËy, Hm0 (R/xR) ∼ = (0 :Hm1 (R) xR) = (0 :A xR) Vì Hm0 (R/xR) có độ dài hữu hạn nên (0 :A xR) có độ dài hữu hạn Do xp nên :A x :A p, AnnR (0 :A p) m-nguyên suy độ dài sơ Vì ta có :A p hữu hạn Do AnnR (0 :A p) 6= p, nghĩa A không thoả mÃn điều kiện (*) Tuy nhiên, lớp môđun Artin thoả mÃn điều kiện (*) rộng điều chứng tỏ việc việc nghiên cứu điều kiện (*) hữu ích Để lớp môđun này, trước hết, nhắc lại khái niệm đối địa phương hoá Melkersson Schenzel [13] sau: Đối địa phương hoá R-môđun HomR (S R; A) khớp nguyên tố Artin A ứng với tập nhân đóng S Họ chứng minh hàm tử coSupp A = V (AnnR A), coSupp A S R-môđun Hom(S R; ) tập iđêan p cho HomR (Rp ; A) 6= Kết cho phép ta đưa số lớp môđun Artin thoả mÃn điều kiện (*) sau Bổ đề 3.2.4 Nếu R vành địa phương đầy đủ A chứa môđun đẳng cấu với bao nội xạ R/m A thoả mÃn điều kiện (*) Chứng minh Giả sử R vành đầy đủ Khi đó, đối ngẫu Matlis HomR (A; E) R-môđun hữu hạn sinh Lấy p V (AnnR A), suy p ∈ SuppR (HomR (A; E)) 32 V× vậy, áp dụng kết của đối ngẫu Matlis Mệnh đề 2.3.3 Bổ đề 3.2.1, ta có AnnR (0 :A p) = AnnR HomR ((0 :A p); E) = AnnR (HomR (A; E)/p HomR (A; E)) = p Vì vậy, A thoả mÃn điều kiện (*) Xét trường hợp A chứa môđun đẳng cấu với bao néi x¹ cđa E LÊy p ∈ V (AnnR A) Theo [13, Bỉ ®Ị 4.1], ta cã AssRp (HomR (Rp ; A)) ⊇ AssRp (HomR (Rp ; E(R/m))) = {qRp : q p} Vì thế, ta có iđêan cực đại pRp vành địa phương Rp phải thuộc tập AssRp (HomR (Rp ; A)) Điều suy (0 :HomR (Rp ;A) pRp ) 6= Suy HomR (Rp ; (0 :A p)) 6= Do ®ã, theo [13, p.130] ta nhận p AnnR (0 :A p) tõ ®ã p = AnnR (0 :A p) Định lý sau kết tiết này, cho ta điều kiện đủ để chiều Noether môđun Artin Định lý 3.2.5 Artin Nếu Cho A chiều Krull (R, m) vành địa phương, Noether A R-môđun A thoả mÃn điều kiƯn (*) th× N-dimR A = dimR A Chøng minh Theo Mệnh đề 3.1.2, (ii) ta cần chứng minh bất đẳng thức dimR A N-dimR A Cho a iđêan R Vì rad AnnR (0 :A a) = ∩ p p∈V (AnnR (0:A a)) vµ rad a + AnnR A = ∩ p, pV (a+AnnR A) 33 nữa, p AnnR (0 :A a) th× p ⊇ (a + AnnR A) nên rõ ràng ta có rad AnnR (0 :A a) ⊇ rad a + AnnR A Ta chứng minh bao hàm thức ngược lại Với iđêan nguyên tố p chứa a + AnnR A, p ⊇ a nªn (0 :A p) ⊆ (0 :A a) Do đó, theo giả thiết, ta có AnnR (0 :A a) ⊆ AnnR (0 :A p) = p V× thÕ, rad AnnR (0 :A a) ⊆ rad a + AnnR A Kết hợp với ta có đẳng thức Bây giờ, giả sử N-dimR A = d Khi đó, theo Định nghĩa 1.2.6 hệ tham số Chương 1, tồn phần tử cho x1 , , x d ∈ m `R (0 :A (x1 , , xd )R) < Theo Mệnh đề 1.2.7 áp dụng đẳng thức đà chứng minh vào iđêan a = (x1 , , xd ), ta nhận = dimR (0 :A (x1 , , xd )R) = dimR R/((x1 , , xd )R + AnnR A) > dimR A − d V× vËy, ta cã dimR A d Kết hợp với Mệnh đề 3.1.2, (ii) ta có điều phải chứng minh Chú ý rằng, chiều ngược lại Định lý 3.2.5 không Để ví dụ làm sáng tỏ nhận xét trên, ta cần nhắc lại khái niệm số tính chất môđun đa thức ngược đà đưa Macaulay [9] đà đề cập đến [7] [16] sau Định nghĩa 3.2.6 R-môđun ngược [9] Cho R vành giao hoán có đơn vị phần tử có dạng t biến vành m = axi11 xitt t, môđun đa thức Khi đó, với số nguyên dương M [x1 , , xt ] M R[x1 , , xt ] với a M sinh i1 , , i t 34 lµ số nguyên không dương Phép cộng M [x1 , , xt ] định nghĩa theo cách tự nhiên tích vô hướng xác định sau: với m axi11 xitt = R[x1 , , xt ], ®ã raxi11 +j1 xitt +jt vµ b»ng r∈R vµ a ∈ M, x = rxj11 xjt t ta định nghĩa tích tất ik + jk không dương với xm phần tử k = 1, 2, , t trêng hỵp ngỵc lại Mệnh đề 3.2.7 ngược M [x1 , , xt ] thuéc [7], [16] (i) Nếu A R-môđun Artin môđun đa thức −1 A[x−1 , , xt ] R[x1 , , xt ]-môđun Artin (ii) Cho A R-môđun Artin đặt S = R[x1 , , xt ], K = A[x−1 , , xt ] Khi ®ã N-dimS K = N-dimR A + t VÝ dụ sau điều kiện (*) ®iỊu kiƯn ®đ ®Ĩ mét m«®un Artin cã chiỊu Noether b»ng chiỊu Krull cđa nã VÝ dơ 3.2.8 cho Tồn môđun Artin A vành Noether, địa phương (R, m) N-dimR A = dimR A, nhng A kh«ng thoả mÃn điều kiện (*) Chứng minh Giả sử tồn môđun Artin phương Noether (i) vành địa R cho điều kiện sau thoả mÃn N-dimR A0 = dimR A0 > dimR A00 > N-dimR A00 (ii) Tồn iđêan nguyên tố cho A0 , A00 p ∈ V (AnnR A00 ) vµ p 6∈ V (AnnR A0 ) AnnR (0 :A00 p) 6= p Đặt A = A0 A00 Khi ®ã, ta cã d·y khíp −→ A0 −→ A −→ A00 −→ Sư dơng tÝnh chÊt vỊ chiỊu Noether chiều Krull môđun dÃy khớp Mệnh đề 1.1.3 với ý thoả mÃn điều sau: AnnR A AnnR A00 , ta có A 35 A R-môđun Artin N-dimR A = N-dimR A0 = dimR A0 = dimR A p ∈ V (AnnR A) Tuy nhiªn, theo gi¶ thiÕt ta cã AnnR (0 :A p) = AnnR (0 :A0 p) ∩ AnnR (0 :A00 p) 6= p Điều chứng tỏ A không thoả mÃn điều kiện (*) B©y giê, chóng ta sÏ chØ sù tån môđun miền nguyên chiều A0 A00 ë trªn Cho R nh VÝ dơ 3.1.6 Cho S = R[[x1 , , xt ]], với t > vành chuỗi luỹ thõa h×nh thøc t biÕn x1 , , xt vành R Lấy A0 = k[[x1 , , xt ]] môđun đa thức ngược trường Khi đó, theo Mệnh đề 3.2.7, AnnS A0 = mS A0 S -môđun Artin k = R/m N-dimS A0 = t Vì nªn dimS A0 = dim(k[[x1 , , xt ]]) = t Cho A00 = Hm1 (R) lµ S -môđun đối đồng điều địa phương cho xi A00 = víi mäi i = 1, , t Khi tập A00 R-môđun A00 S -môđun A00 Vì A00 S -môđun Artin dimS A00 = 2; N-dimS A00 = Râ rµng r»ng cho AnnS A00 = (x1 , , xt )S Cho p 6= m iđêan S p AnnS A00 Khi ®ã p 6∈ V (AnnS A0 ) Bằng cách tính tương tự Ví dụ 3.2.3, ta có điều cần chứng minh AnnS (0 :A p) 6= p HƯ qu¶ 3.2.9 Cho (R, m) vành địa phương, Noether A R-môđun Artin Ký hiệu b đầy đủ theo tôpô m adic cđa R Khi ®ã ta cã R N-dimR A = dimRb A 36 Chøng minh V× 1.1.7, (ii), ta cã kiƯn (*) trªn A cã cÊu tróc tù nhiên N-dimR A = N-dimRb A b-môđun R Mặt khác, Artin nên theo Bổ đề A thoả mÃn điều b theo Bổ đề 3.2.4 Vì thế, từ Định lý 3.2.5, ta cã R N-dimR A = N-dimRb A = dimRb A 37 KÕt luËn Tãm l¹i, luận văn đà trình bày lại chứng minh chi tiết kết b¸o: "On Noetherian dimension of Artinian modules" cđa N T Cường - L T Nhàn (2002) phần kết báo: "Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings" cña R N Roberts (1975); "Dimension and length for Artinian modules" cđa D Kirby (1990) vµ "Dimension, multiplicity and Hilbert function of Artinian modules" cña N T Cường - L T Nhàn (1999) Kết luận văn gồm nội dung sau Hệ thống lại số tính chất môđun Artin có liên quan đến nội dung luận văn Giới thiệu khái niệm chiều Noether chứng minh số kết chiều Noether môđun Artin Đặc biệt chứng minh tính hữu hạn chiều Noether mối liên hệ chiều Noether với bậc đa thức Hilbert môđun Artin Nghiên cứu chiều Noether môđun đối đồng điều địa phương R-môđun hữu hạn sinh chúng Artin: Noether môđun đối đồng điều địa phương thứ mối quan hệ chiều i với số i chiều Noether môđun đối đồng điều địa phương cấp cao với chiều Krull môđun hữu hạn sinh ban đầu Trình bày mối quan hệ chiều Noether chiều Krull môđun Artin trường hợp tổng quát: N-dimR A dimR A; trường hợp xảy dấu nhỏ thực điều kiện đủ để chiều Noether môđun Artin b»ng chiỊu Krull cđa nã 38 Tµi liƯu tham kh¶o [1] Brodmann, M and R Y Sharp (1998), Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications, Cambridge University Press, Cambridge [2] N T Cuong, N T Dung and L T Nhan (2007), "Top local cohomology and the catenary of the unmixed support of a finitely generated module", Comm Algebra 5(35), pp 1691-1701 [3] N T Cuong and L T Nhan (1999), "Dimension, multiplicity and Hilbert function of Artinian modules", East-West J Math., (2), pp 179-196 [4] N T Cuong and L T Nhan (2002), "On Noetherian dimension of Artinian modules", Vietnam J Math., 30, pp 121-130 [5] Denizler, I H and R Y Shap (1996), "Co-Cohen-Macaulay modules over commutative rings", Glasgow Math J 38, pp 359-366 [6] Grothendieck, A (1966), "Local homology", Lect Notes in Math 20, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York [7] Kirby D (1973), "Artinian modules and Hilbert polynomials", Quart J Math Oxford (Ser 2) 24 (2), pp 47-57 [8] Kirby, D (1990), "Dimension and length for Artinian modules", Quart J Math Oxford, (Ser 2) 41 (2), pp 419-429 39 [9] Macaulay, F S (1916), "Algebraic Theory of Modular system", Cam- bridge Tracts 19 [10] Macdonald, I G (1973), "Secondary representation of modules over a commutative ring", Symposia Mathematica 11, pp 23-43 [11] Matlis, E (1958), "Injective modules over Noetherian rings", Pacific J Math 8, pp 511-528 [12] Matsumura, H (1970), Commutative Algebra, Benjamin [13] Melkersson, L and P Schenzel (1995), "The co-localization of an Artinian module", Proc Edinburgh Math Soc 38, pp 121-131 [14] Nagata M., (1962), Local ring, Interscience, New York [15] L T Nhan and T N An., (2008), On the unmixedness and universal catenaricity of ring and local cohomology modules Preprint [16] Roberts, R N (1975), "Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings", Quart J Math Oxford, (Ser 2) 26, pp 269-273 [17] Sharp, R Y (1989) "A method for the study of Artinian modules with an application to asymptotic Behaviour," in: Commutative Algebra, Math Sci Res Inst Publ No 15, Spinger-Verlag, New York, pp 443-465 [18] Sharp, R Y (1990) Steps in commutative algebra Cambridge University Press [19] Tang, Z and H Zakeri (1994), "Co-Cohen-Macaulay modules and modules of generalized fractions", Comm Algebra., 22 (6), pp 21732204 40 [20] Ferrand D and M Raynaud (1970), "Fibres formelles d'un anneau local Noetherian," Ann Sci E'cole Norm Sup., (4), pp 295-311