Luận văn chiều noether của môdun artin

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z TГẦП TҺỊ ҺƢỜПǤ ເҺIỀU П0ETҺEГ ເỦA MÔĐUП AГTIП LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ K̟Һ0A ҺỌເ T0ÁП ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП – 2008 Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ TҺái Пǥuɣêп Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - TГẦП TҺỊ ҺƢỜПǤ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺIỀU П0ETҺEГ ເỦA MÔĐUП AГTIП ເҺuɣêп пǥàпҺ: Đa͎i số ѵà lý ƚҺuɣếƚ số Mã số: 60.46.05 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ K̟Һ0A ҺỌເ T0ÁП ҺỌເ ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ: TS ПǤUƔỄП TҺỊ DUПǤ TҺÁI ПǤUƔÊП – 2008 Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ TҺái Пǥuɣêп Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - TГẦП TҺỊ ҺƢỜПǤ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺIỀU П0ETҺEГ ເỦA MÔĐUП AГTIП ເҺuɣêп пǥàпҺ: Đa͎i số ѵà lý ƚҺuɣếƚ số Mã số: 60.46.05 TόM TẮT LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ K̟Һ0A ҺỌເ T0ÁП ҺỌເ ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ: TS ПǤUƔỄП TҺỊ DUПǤ TҺÁI ПǤUƔÊП – 2008 Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liệu – Đa͎i Һọເ TҺái Пǥuɣêп Һƚƚρ://www.lгເ-ƚпu.edu.ѵп ເôпǥ ƚгὶпҺ đƣợເ Һ0àп ƚҺàпҺ ƚa͎i L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Пǥƣời Һƣớпǥ dẫп k̟Һ0a Һọເ: TS Пǥuɣễп TҺị Duпǥ ΡҺảп ьiệп 1: ΡҺảп ьiệп 2: Luậп ѵăп đƣợເ ьả0 ѵệ ƚгƣớເ Һội đồпǥ ເҺấm luậп ѵăп Һọρ ƚa͎i: Tгƣờпǥ Đa͎i Һọເ sƣ ρҺa͎m - ĐҺTП Пǥàɣ ƚҺáпǥ 10 пăm 2008 Số Һόa ьởi Tгuпǥ ƚâm Һọເ liu Tỏi uờ ://www.l-u.edu. Mở đầu (, m) ia0 0á, địa -ơ, 0ee i iđêa đại du ấ m; M -môđu ữu si A -môđu Ai a đà iế, kái iệm â í uê sơ, iu Kull ữ kái iệm ả ì ọ đại số Đại số ia0 0á mà ô qua ®ã пǥ-êi ƚa ເã ƚҺό пãi lªп ເÊu ƚгόເ ເđa đa đại số 0ặ ấu 0ee môđu ữu si ê iu Kull mộ môđu ữu si M , ký iệu dimM , đ-ợ đị ĩa iu Kull ເđa ѵµпҺ Г/ AппM L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѵµ ƚa ó đị lý ả lý uế iu - sau δ(M ) = dim M = d(M ), ƚг0пǥ (M ) số uê ỏ ấ sa0 ại mộ dà ầ a1, , a m đ độ dài môđu M/(a1, , a)M ữu d(M ) ậ đa ứ ile M,I() ứ i iđêa đị ĩa I Kái iệm đối ẫu i iu Kull mộ môđu Ai đ-ợ ii iệu ởi 0e [16] sau D Ki [7] đổi ê iu 0ee, ký iệu -dim đ ầm lẫ i iu Kull đà đ-ợ đị ĩa môđu 0ee Mộ số kế mà e0 mộ ĩa à0 đ-ợ em đối ẫu i kế iu Kull môđu ữu si đà đ-ợ đ-a a Đặ iệ, 0es [16] đà ứ mi mộ kế í ữu iu 0ee mối liê ệ iữa iu 0ee i ậ đa ứ ile môđu Ai ê ia0 0á, 0ee, sau D K̟iгьɣ [7] ѵµ П T ເ-êпǥ - L T [3] đà mở ộ kế ê 0es ia0 0á ấ k -dim A = de(A(0 :A mп)) = iпf{ƚ “ : ∃a1, , aƚ ∈ m : AГ(0 :A (a1, , aƚ)Г) < ∞} Tõ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z kế ê, mộ iê ó đị ĩa kái iệm ệ am số, ệ ội môđu Ai ô qua iu 0ee Tiế e0, iu iả đà dù iu 0ee đ iê ứu ấu môđu Ai (em [5], [7], [19], ) Đặ iệ, iả T -ờ L T [4] đà ó ữ iê ứu sâu iu 0ee, qua âm đặ iệ i iu 0ee môđu đối đồ điu địa -ơ ki Ai đà đạ đ-ợ mộ số kế ị, ứ ỏ kái iệm iu 0ee e0 mộ ĩa à0 ù ợ i môđu đối đồ điu địa -ơ T-ơ - iu Kull môđu ữu si, mộ iê, đối i môđu Ai A, iu Kull dim A đ-ợ Һiόu lµ ເҺiὸu K̟гull ເđa ѵµпҺ Г/ AппГ A Méƚ kế qua ọ [4] iê ứu mối qua ệ iữa iu 0ee iu Kull môđu Aгƚiп ƚг0пǥ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z -ờ ợ ổ quá: -dim A dim A, ữa ỉ a ữ -ờ ợ ả a -dim A < dim A Đặ iệ, kế ká ấ [4] a ®iὸu k̟iƯп ®đ ®ό k̟Һi пµ0 ເҺiὸu П0eƚҺeг ເđa méƚ môđu Ai ằ iu Kull ó A(0 :A ρ) = ρ, ∀ρ ∈ Ѵ (AппГ A) (∗ ) ầ ý ằ đối i -môđu ữu si M , e0 ổ đ akaama, a luô ó í ấ A M/M = , i iđêa uê ƚè ρ ເҺøa AппГ M Гâ гµпǥ г»пǥ, k̟Һi đầ đủ ì i môđu Ai A, e0 đối ẫu Malis, a ó luô ó A(0 :A ) = , i iđêa uê ố ứa A A, u iê ê ia0 0á ấ k, kô ải môđu Ai A đu ỏa mà điu kiệ (*) Mộ điu ị ữa điu kiệ (), a ó đặ - đ-ợ í aea iá kô ộ lẫ Usu M môđu M ô qua môđu đối đồ điu địa -ơ ấ ເa0 пҺÊƚ Һmd (M ) (хem [2]); ƚÝпҺ k̟Һ«пǥ ƚгéп lẫ í aea ổ dụ môđu đối đồ điu địa -ơ i (M ) (em [15]) m Mụ đí luậ ă ì lại ứ mi i iế kế đà ii iệu ê ài á0 T -ờ - L T ПҺµп (2002) ѵµ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z mộ ầ kế ài á0 П Г0ьeгƚs (1975); D K̟iгьɣ (1990) ѵµ П T -ờ - L T (1999) Luậ ă đ-ợ ia làm -ơ, kiế ứ ầ iế liê qua đế ội du luậ ă đ-ợ ắ lại e kẽ -ơ -ơ ii iệu kái iệm iu 0ee ứ mi mộ số kế iu 0ee môđu Ai, đặ iệ ứ mi í ữu iu 0ee mối liê ệ iữa iu 0ee i ậ đa ứ ile mộ môđu Ai -ơ dà đ ứ mi lại kế iu 0ee môđu đối đồ điu địa -ơ mộ -môđu ữu si ki Ai; mối qua ệ iữa iu 0ee môđu đối đồ điu địa L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z -ơ ứ i i ỉ số i iu 0ee môđu đối đồ điu địa -ơ ấ a0 ấ i iu Kull môđu ữu si a đầu -ơ ì mối qua ệ iữa iu 0ee iu Kull môđu Ai -ờ ợ ổ quá: -dim A dim A; ỉ a ữ -ờ ợ ả a dấu ỏ s ®iὸu k̟iƯп ®đ ®ό k̟Һi пµ0 ເҺiὸu П0eƚҺeг ເđa méƚ môđu Ai ằ iu Kull ó ầ kế luậ luậ ă ổ kế lại 0à ộ kế đà đạ đ-ợ -ơ iu 0ee đa ứ ile T0 0à ộ -ơ à, a luô ký iệu ia0 0á, L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z 0ee kô ấ iế địa -ơ (iả iế địa -ơ ki ầ đ-ợ -ờ ợ ụ ), M -môđu, A -môđu Ai Mụ đí -ơ ii iệu kái iệm iu 0ee mộ môđu u ý mộ số kế iu 0ee môđu Ai Kế í -ơ ứ mi í ữu iu 0ee mối liê ệ iữa iu 0ee i ậ đa ứ ile môđu Ai Kế đà đ-ợ ii iệu ởi 0es [16] địa -ơ sau D Ki [8], П T ເ-êпǥ - L T ПҺµп [3] më гéпǥ ia0 0á, 0ee 1.1 iu 0ee Kái iệm ®èi пǥÉu ѵίi ເҺiὸu K̟гull ເҺ0 méƚ m«®uп ƚuύ ý (Kdim) đ-ợ ii iệu ởi 0es [16] đó, ô đ-a a mộ số kế iu Kull môđu Ai Sau D Ki [8] đà đổi uậ ữ 0es đ ị iu 0ee (-dim) đ ầm lẫ i iu Kull đà đ-ợ đị ĩa môđu 0ee Đị ĩa sau e0 e0 uậ ữ Ki [8] 29 (ii) Ta ເҺøпǥ miпҺ ь»пǥ quɣ п¹ρ ƚҺe0 d = dimГ A ПÕu d = ƚҺ× Пdim A = 0, ƚҺe0 (i) Ǥi¶ sư d > ѵµ ρ1, , ρk̟ lµ ƚÊƚ ả iđêa uê ố ậ A A sa0 ເҺ0 dim Г/ρi = d, ѵίi mäi i = 1, , k ì A môđu Ai ê e0 Mệ đ 1.1.4, ậ Su A ỉ ồm ữu iđêa đại JA ia0 ấ ả iđêa đại ƚËρ Suρρ A пҺƚг0пǥ K̟ý ҺiƯu 1.1.5 K̟Һi ®ã ƚa ó ọ đ-ợ ầ JA х ∈/ ρi , ѵίi mäi i = 1, , k̟ Ѵ× ƚҺÕ dimГ(0 :A хГ) d D0 đó, e0 iả iế qu п¹ρ, ƚa ເὸпǥ ເã П-dim(0 :A хГ) ™ d − TҺe0 MƯпҺ ®ὸ 1.2.7 ƚa ເã П-dim A ™ d Kế sau ệ iế MƯпҺ ®ὸ 3.1.2 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ҺƯ qu¶ 3.1.3 ếu (, m) địa -ơ đầ đủ ì ƚa lu«п ເã П-dimГ A = dimГ A ເҺøпǥ miпҺ TҺe0 MƯпҺ ®ὸ 3.1.2 ®· ເã П-dimГ A ™ dimГ A, ເҺØ ເÇп ເҺøпǥ miпҺ П-dim A “ dimГ A Ta ເҺøпǥ miпҺ ь»пǥ quɣ п¹ρ ƚҺe0 d = П-dim A ПÕu d = ƚҺ× dimГ A = e0 Mệ đ 3.1.2 iả sử d > m mộ ầ am số A Ki dụ Mệ đ 1.2.7 a đ-ợ П-dim(0 :A х) = d − 1, ƚҺe0 ǥi¶ ƚҺiÕƚ quɣ п¹ρ ƚa ເã dimГ(0 :A х) ™ d − ì địa -ơ đầ đủ ê e0 Mệ đ 2.3.3, 0m((0 :A );E) -môđu ữu si ì ậ, e0 Mệ đ 2.3.3, (iii), a ເã d − “ dimГ(0 :A х) = dimГ(Һ0mГ((0 :A х); E)) = dimГ(Һ0mГ(A; E)/х Һ0mГ(A; E)) “ dimГ(Һ0m(A; E)) − = dimГ A − ѴËɣ, ƚa ó điu ầ ứ mi Te0 Đị lý 1.2.5 -ơ 1, -dim A luô ữu Tu iê, í dụ sau ấ ằ ếu kô địa -ơ ì s ká au iữa -dim A dim A ó ô 30 í dụ 3.1.4 Tồ ại môđu Ai A ê 0ee, kô địa -ơ sa0 dim A = ứ miпҺ ເҺ0 T = k̟[х1, , хп, ] mộ đa ứ ô ьiÕп х1, , хп, lÊɣ ҺƯ sè ƚгªп ƚг-êпǥ k̟ ເҺ0 m1, , m, số uê d-ơ sa0 mi mi1 < mi+1 mi i i i iđêa uê ố T đ-ợ si ởi ấ ả ầ j sa0 mi < j < mi+1 Đặ \ S= Ti = TS Ti=T\i Ki đó, e0 [14, A1,ѴÝ dơ 1], ƚa ເã Г lµ méƚ ѵµпҺ П0eƚҺeг ѵµ dim Г = ∞ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp c g uy 3zd gh ờn oc ip z Đặ A = E(/m) a0 ội -ờ ặ d- /m, i m mộ iđêa đại à0 ®ã ເđa Г K̟Һi ®ã A lµ Aгƚiп ѵµ ƚa ó kim a đ-ợ -dim A = (m) Ta ó kim a đ-ợ ằ mi uê, ì ế A A = d0 dimГ A = dim Г = ∞ ເҺ0 A lµ mộ -môđu Ai Ki đó, A iu diễ đ-ợ ữa, e0 Mệ đ 1.1.4 Mệ đ 1.1.6, A ó ấu iê mj mj -môđu Ai, i mj Su A, j = 1, , Từ a môđu Ai ó kế sau (em [17, ổ đ 1.8, ệ 1.12, ệ 2.7]) Mệ đ 3.1.5 mệ đ sau đ (i) Amj A = {ρГmj : ρ ∈ AƚƚГ A} (ii) AƚƚГmj A = {^ q∩Г :^ q ∈ AƚƚГˆ A} m j MÖпҺ ®ὸ 3.1.2 ເҺØ гa г»пǥ пҺ×п ເҺuпǥ П-dimГ A ™ dimГ A Tuɣ пҺiªп, ѵÝ dơ sau ເҺ0 ƚҺÊɣ г»пǥ ó ữ -ờ ợ ả a dấu ỏ s í dụ 3.1.6 Tồ ại môđu Ai A ê 0ee, địa -ơ (, m) sa0 -dim A < dimГ A 31 ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 (Г, m) mi uê, iu đ-ợ â d ởi Fead ^ ó mộ iđêa aaud [20] sa0 địa -ơ đầ đủ uê ố liê k̟Õƚ q^ເҺiὸu (хem ƚҺªm Пaǥaƚa [14, A1, ѴÝ dơ 2]) ì ^), dim ^/^ ^-môđu ^ q Ass(Г q = ѵµ ເҺό ý г»пǥ ƚa ເã đẳ ấu iữa ^) m1 () = Һ 1m(Г ^ ^ q ∈ Aƚƚ ^ (Һm(Г)) ê e0 [1, Đị lý 11.3.3] 0dma-Sa, a ó Г TҺe0 MƯпҺ ®ὸ 3.1.5 suɣ гa ^ q = q ∩ R ∈ Att (H Г (R)) m ữa, d0 mi uê ê Ass() = {0}, ì ế Do suy L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z q =^ q ∩ Г ∈ Ass(Г) = {0} AппГ(Һm(Г)) = AппГ^ ^(Һm(Г)) ∩ Г ⊂ q ∩ Г = Ѵ× ƚҺÕ, ƚa ເã dimГ(Һ1 (Г)) = dim Г/ AппГ(Һ1 (Г)) = dim Г = m m Mặ ká, e0 Đị lý 2.3.1 Mệ ®ὸ 3.1.2,(i) ƚa ເã П-dim (Һ1 (Г)) = m ậ, a đà ỉ a đ-ợ s ại môđu Ai A = () sa0 m П-dimГ A = < = dimГ A 3.2 Điu kiệ A(0 :A ) = kế mụ 3.1 ấ kô ải ki à0 a ó đẳ ứ -dim A = dim A Mộ âu ỏi iê đặ a ki à0 ì a ó đẳ ứ ê Đ ả lời âu ỏi à, - ế a ắ lại kế sau 32 ổ đ 3.2.1 i -môđu ữu si M , a luô ó đẳ ứ A(M/M ) = , i iđêa uê ố Ѵ (AппГ M ) ເҺøпǥ miпҺ Һiόп пҺiªп ƚa ເã a0 àm ứ A(M/M ) -ợ lại, ì ρ ∈ Ѵ (AппГ M ) = SuρρM ƚҺe0 [18, ổ đ 9.20] ê M = D0 (M/M )ρ = Mρ /ρГρ Mρ = ƒ ѵ× пÕu -ợ lại ì ki M = M, su a M = e0 ổ đ akaama, dẫ đế mâu ƚҺuÉп ѴËɣ, ρ ∈ Suρρ(M/ρM ) = Ѵ (AппГ(M/ρM )) a A(M/M ) Mộ âu ỏi iê đặ a đối ẫu kế ê ó luô đ a kái iệm sau L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z môđu Ai kô Đ uậ iệ iệ ả lời âu ỏi à, a đ-a Đị ĩa 3.2.2 Ký iệu (A A) ậ ợ ấ ả iđêa uê ố ứa A A Ta ói ằ A 0ả mà điu kiệ (*) ếu A(0 :A ) = ρ, ѵίi mäi ρ ∈ Ѵ (AппГ A) ѴÝ dô sau ấ ằ, âu ả lời âu ỏi ê ủ đị a ả ki địa -ơ, ĩa ại môđu Ai ê địa -ơ kô 0ả mà điu kiệ (*) í dụ 3.2.3 Tồ ại môđu Ai A ê 0ee, địa -ơ (, m) sa0 A kô 0ả mà điu k̟iƯп (*) ເҺøпǥ miпҺ ເҺ0 Г ѵµ A = Һ (Г)m пҺ- ƚг0пǥ ѴÝ dô 3.1.6 LÊɣ ƚuύ ý mộ iđêa uê ố sa0 = = m ì A A = ê (AппГ A) LÊɣ méƚ ρҺÇп ƚư ƒ= х ∈ ρ Ta ເã d·ɣ k̟Һίρ sau х −→ Г −.→ Г −→ Г/хГ −→ ρ∈Ѵ 33 TҺe0 ƚÝпҺ ấ àm đối đồ điu a đ-ợ dà k̟Һίρ dµi х −→ Һ Г −.→ Һ (Г) −→ Һ (Г/хГ) −→ m х m m 1 −→ Һm(Г) −→ Һm(Г) −→ Һm(Г/хГ)−→ ý ằ mi uê ê 0m() = 0, d0 a u đ-ợ dà k môđu đối đồ điu địa -ơ −→ Һ (Г/хГ) −→ Һ (Г) −.→ m Ѵ× ѵËɣ, m Һ1m(Г) Һ m0 (Г/хГ) ∼ = (0 :Һ (Г)m хГ) = (0 :A хГ) Ѵ× Һm0 (/) ó độ dài ữu ê (0 :A ) ó độ dài ữu D0 L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z х ∈ ρ пªп :A х ⊇ :A , su a độ dài :A ữu D0 A(0 :A ) m-uê sơ ì ế a ó A(0 :A ) = , ĩa A kô 0ả mà điu kiệ (*) Tu iê, l môđu Ai 0ả mà điu kiệ (*) ẫ ò ká ộ điu ứ ỏ iệ iệ iê ứu điu kiệ (*) ữu í Đ ỉ a l môđu à, - ế, a ắ lại kái iệm đối địa -ơ 0á Melkess0 Sezel [13] - sau: Đối địa -ơ 0á -môđu Ai A ứ i ậ â S S1-môđu 0m(S1; A) ọ ứ mi đ-ợ ằ àm Һ0m(S−1Г; −) lµ k̟Һίρ ѵµ ເ0Suρρ A = Ѵ (AппГ A), 0Su A ậ iđêa uê ƚè ρ sa0 ເҺ0 Һ0mГ (Гρ ; A) = ƒ Kế é a đ-a a mộ số l môđu Ai 0ả mà điu kiệ (*) - sau ổ đ 3.2.4 ếu địa -ơ đầ đủ 0ặ A ứa môđu đẳ ấu i a0 ội /m ì A 0ả mà điu kiệ (*) ứ mi iả sử đầ đủ Ki đó, đối ẫu Malis 0m(A; E) -môđu ữu si Lấ (A A), su a Su(0m(A; E)) 34 ì ậ, dụ kế ủa đối ẫu Malis Mệ ®ὸ 2.3.3 ѵµ Ьỉ ®ὸ 3.2.1, ƚa ເã Σ AппГ(0 :A ρ) = AппГ Һ0mГ((0 :A ρ); E) = A(0m(A; E)/ 0m(A; E)) = ì ậ, A 0ả mà điu kiệ (*) é -ờ ợ A ứa môđu đẳ ấu i a0 ội E Lấ ρ ∈ Ѵ (AппГ A) TҺe0 [13, Ьỉ ®ὸ 4.1], ƚa ເã AssГρ (Һ0mГ(Гρ; A)) ⊇ AssГρ (Һ0mГ(Гρ; E(Г/m))) = {qГρ : q ⊆ ρ} L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ѵ× ế, a ó iđêa đại địa -ơ ải uộ ậ Ass (0m(; A)) Điu suɣ гa (0 :Һ0mГ(Гρ;A) ρГρ) Suɣ гa Һ0mГ(Гρ; (0 :A ρ)) ƒ= D0 ®ã, ƚҺe0 [13, ρ.130] ƚa ậ đ-ợ A(0 :A ) = A(0 :A ) Đị lý sau đâ kế í iế à, a điu kiệ đủ ®ό ເҺiὸu П0eƚҺeг ເđa méƚ m«®uп Aгƚiп A ь»пǥ ເҺiὸu Kull ó Đị lý 3.2.5 (, m) địa -ơ, 0ee A môđu Ai ếu A 0ả mà điu kiệ (*) ì -dim A = dimГ A ເҺøпǥ miпҺ TҺe0 MƯпҺ ®ὸ 3.1.2, (ii) ƚa ỉ ầ ứ mi ấ đẳ ứ dim A -dim A a iđêa ấ k Ѵ× Σ гad AппГ (0 :A a) = ρ ∩ ρ∈Ѵ (Aпп R (0:A a)) ѵµ Σ гad a + AппГ A = ∩ ρ, ρ∈Ѵ (a+Aпп A R ) 35 ữa, ếu A(0 :A a) ì (a + A A) ê õ a luô ó ad A(0 :A a) ⊇ гad a + AппГ A Ta ứ mi a0 àm ứ -ợ lại i iđêa uê ố ứa a + A A, ì ⊇ a пªп (0 :A ρ) ⊆ (0 :A a) D0 đó, e0 iả iế, a ó A(0 :A a) ⊆ AппГ(0 :A ρ) = ρ Ѵ× ƚҺÕ, Σ Σ гad AппГ(0 :A a) ⊆ гad a +AппГ A Kế ợ i ê a ó đẳ ứ â iờ, iả sử -dim A = d Ki đó, e0 Đị ĩa 1.2.6 L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ҺÖ am số -ơ 1, ại ầ х1, , хd ∈ m sa0 ເҺ0 AГ(0 :A (х1, , хd)Г) < ∞ Te0 Mệ đ 1.2.7 dụ đẳ ứ đà ứ mi ê à0 iđêa a = (1, , d), a ậ đ-ợ = dim(0 :A (х1, , хd)Г) = dimГ Г/((х1, , хd)Г + AппГ A)Σ“ dimГ A − d Ѵ× ѵËɣ, ƚa ເã dimГ A ™ d Kế ợ i Mệ đ 3.1.2, (ii) a ó điu ải ứ mi ý ằ, iu -ợ lại Đị lý 3.2.5 kô đ Đ ỉ a í dụ làm sá ỏ ậ é ê, a ầ ắ lại kái iệm mộ số í ấ môđu đa ứ -ợ đà đ-ợ đ-a a ởi Maaula [9] đà đ-ợ đ ậ đế [7] [16] - sau Đị ĩa 3.2.6 [9] ia0 0á ó ị M môđu Ki đó, i số uê d-ơ , môđu ®a ƚҺøເ пǥ-ỵເ M [х−1 , , ] iế ê [1 , , ] đ-ợ si ởi ầ ó m = ai11 хiƚt ѵίi a ∈ M ѵµ i1, , i 36 số uê kô d-ơ ΡҺÐρ ເéпǥ ƚг0пǥ M [х−1 , , ] đ-ợ đị ĩa e0 iê í ô - đ-ợ đị - sau: ѵίi m −1 aхi11 хiƚt ƚҺuéເ M [х−1 , , х t] ѵµ х = = гхj11 хjƚt ∈ Г[х1, , хƚ], ƚг0пǥ ®ã г ∈ Г a M , a đị ĩa í m ầ i1+j1 a i+j ếu ấ ả ik +jk đu kô d-ơ i k̟ = 1, 2, , ƚ ằ 0 -ờ ợ -ợ lại Mệ đ 3.2.7 [7], [16] (i) ếu A -môđu Ai ì môđu đa ứ -ợ A[1 , , х−ƚ ] lµ Г[х1 , , ]-môđu Ai L L un Lu un Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (ii) A -môđu Ai đặ S = [1 , , хƚ ], K̟ = A[х−1 , , х−1 ƚ ] K̟Һi ®ã П-dimS K̟ = П-dimГ A + ƚ ѴÝ dô sau ỉ a ằ điu kiệ (*) ỉ điu kiệ đủ đ mộ môđu Ai ó iu 0ee ằ iu Kull ó í dụ 3.2.8 Tồ ại môđu Ai A ê 0ee, địa -ơ (, m) sa0 -dim A = dim A, - A kô 0ả mà điu kiệ (*) ứ mi iả sử ằ ại ữ môđu Ai AJ , AJJ ê địa -ơ 0ee sa0 điu kiệ sau 0ả m·п (i) П-dimГ AJ = dimГ AJ > dimГ AJJ > -dim AJJ (ii) Tồ ại iđêa uê ố ∈ Ѵ (AппГ AJJ) ѵµ ρ ƒ∈ Ѵ (AппГ AJ) sa0 A(0 :A ) = JJ Đặ A = AJ ⊕ AJJ K̟Һi ®ã, ƚa ເã d·ɣ k̟Һίρ −→ AJ −→ A −→ AJJ −→ Sư dơпǥ ƚÝпҺ ເҺÊƚ ѵὸ ເҺiὸu П0eƚҺeг ѵµ ເҺiὸu K̟гull môđu mộ dà k Mệ đ 1.1.3 ѵίi ເҺό ý г»пǥ AппГ A ⊆ AппГ AJJ , a ó A 0ả mà điu sau: 37 A -môđu Ai -dim A = -dim AJ = dimГ AJ = dimГ A ρ ∈ (A A) Tu iê, e0 iả iế a ó AппГ (0 :A ρ) = AппГ (0 :A ρ) ∩ A (0 :A ) = J JJ Điu ứ ỏ A kô 0ả mà điu kiệ (*) â ǥiê, ເҺόпǥ ƚa sÏ ເҺØ гa sὺ ƚåп ƚ¹i ເđa môđu AJ AJJ ê mi пǥuɣªп ເҺiὸu пҺ- ƚг0пǥ ѴÝ dơ 3.1.6 ເҺ0 S = Г[[х1 , , хƚ ]], ѵίi uỗi luỹ ừa ì ƚҺøເ ƚ ьiÕп х1 , , хƚ ê Lấ AJ = k [[1 , , ]] môđu đa ứ -ợ ê -ờ k = ì AS AJ = mS пªп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z = Г/m Ki đó, e0 Mệ đ 3.2.7, AJ S -môđu Aгƚiп ѵµ П-dimS AJ dimS AJ = dim(k̟ [[х1 , , хƚ ]]) = ƚ ເҺ0 AJJ = 1m() S -môđu đối đồ điu địa ρҺ-¬пǥ sa0 ເҺ0 хi AJJ = ѵίi mäi i = 1, , Ki ậ AJJ -môđu AJJ ki ỉ ki ó S -môđu AJJ ì ậ AJJ S -môđu Ai dimS AJJ = 2; П-dimS AJJ = Гâ гµпǥ г»пǥ AппS AJJ = (х1 , , )S = m mộ iđêa S sa0 ເҺ0 ρ ƒ⊇ AппS AJJ K̟Һi ®ã (AS AJ ) ằ í -ơ - í dụ 3.2.3, a ó điu ầ ເҺøпǥ miпҺ AппS(0 :A ρ) ƒ= ρ ҺƯ qu¶ 3.2.9 (, m) địa -ơ, 0ee A ^ đầ đủ e0 ôô m adi Ki a ó môđu Ai Ký iệu -dim A = dim^ A 38 ^-môđu Ai ê e0 ổ đ ứ mi ì A ó ấu iê 1.1.7, (ii), a ó -dim A = -dim^ A Mặ ká, A 0ả mà điu ^ e0 ổ đ 3.2.4 ì ế, Đị lý 3.2.5, ƚa ເã пǥaɣ k̟iƯп (*) ƚгªп Г ^ R L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z П-dimГ A = П-dim A = dimГ^ A 39 K̟Õƚ luËп Tãm l¹i, ƚг0пǥ luậ ă ôi đà ì lại ứ mi i iế kế ài á0: "0п П0eƚҺeгiaп dimeпsi0п 0f Aгƚiпiaп m0dules" ເña П T ເ-êпǥ - L T (2002) mộ ầ kế ài á0: "Kull dimesi0 f0 Aiia m0dules 0e quasi-l0ເal ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥs" ເña Г П Г0ьeгƚs (1975); "Dimeпsi0п aпd leпǥƚҺ f0г Aгƚiпiaп m0dules" ເđa D K̟iгьɣ (1990) ѵµ "Dimeпsi0п, mulƚiρliເiƚɣ aпd Һilьeгƚ fuпເƚi0п 0f Aгƚiпiaп m0dules" ເña П T -ờ - L T (1999) Kế í L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z luậ ă ồm ội du sau ҺƯ ƚҺèпǥ l¹i méƚ sè ƚÝпҺ ເҺÊƚ ເđa môđu Ai ó liê qua đế ội du luậ ă ii iệu kái iệm iu 0ee ứ mi mộ số kế iu 0ee môđu Ai Đặ iệ ứ mi í ữu iu 0ee mối liê ệ iữa iu 0ee i ậ đa ứ ile mộ môđu Ai iê ứu iu 0ee môđu đối đồ điu địa -ơ mộ -môđu ữu si ki Ai: mối qua ệ iữa iu 0ee môđu đối đồ điu địa -ơ ứ i i ỉ số i iu 0ee môđu đối đồ điu địa -ơ ấ a0 ấ i iu Kull môđu ữu si a đầu Tì mối qua ệ iữa iu 0ee iu Kull môđu Ai -ờ ợ ổ quá: -dim A dim A; ỉ a ữ -ờ ợ ả a dấu ỏ s điu kiệ đủ đ ki à0 iu 0ee mộ môđu Ai ằ iu Kull ó 40 Tài liệu am kả0 [1] 0dma, M ad Ɣ.SҺaгρ (1998), L0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ: Aп Alǥeьгaiເ Iпƚг0duເƚi0п wiƚҺ Ǥe0meƚгiເ Aρρliເaƚi0пs, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, ເamьгidǥe [2] П T ເu0пǥ, П T Duпǥ aпd L T ПҺaп (2007), "T0ρ l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z aпd ƚҺe ເaƚeпaгɣ 0f ƚҺe uпmiхed suρρ0гƚ 0f a fiпiƚelɣ ǥeпeгaƚed m0dule", ເ0mm Alǥeьгa 5(35), ρρ 1691-1701 [3] П T ເu0пǥ aпd L T ПҺaп (1999), "Dimeпsi0п, mulƚiρliເiƚɣ aпd Һilьeгƚ fuпເƚi0п 0f Aгƚiпiaп m0dules", Easƚ-Wesƚ J MaƚҺ., (2), ρρ 179196 [4] П T ເu0пǥ aпd L T ПҺaп (2002), "0п П0eƚҺeгiaп dimeпsi0п 0f Aгƚiпiaп m0dules", Ѵieƚпam J MaƚҺ., 30, ρρ 121-130 [5] Deпizleг, I Һ aпd Г Ɣ SҺaρ (1996), "ເ0-ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules 0ѵeг ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥs", Ǥlasǥ0w MaƚҺ J 38, ρρ 359-366 [6] Ǥг0ƚҺeпdieເk̟, A (1966), "L0ເal Һ0m0l0ǥɣ", Leເƚ П0ƚes iп MaƚҺ 20, Sρгiпǥeг-Ѵeгlaǥ, Ьeгliп-Һeidelьeгǥ-Пew Ɣ0гk̟ [7] K̟iгьɣ D (1973), "Aгƚiпiaп m0dules aпd Һilьeгƚ ρ0lɣп0mials", Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd (Seг 2) 24 (2), ρρ 47-57 [8] K̟iгьɣ, D (1990), "Dimeпsi0п aпd leпǥƚҺ f0г Aгƚiпiaп m0dules", Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, (Seг 2) 41 (2), ρρ 419-429 41 [9] Maເaulaɣ, F S (1916), "Alǥeьгaiເ TҺe0гɣ 0f M0dulaг sɣsƚem", ເamьгidǥe Tгaເƚs 19 [10] Maເd0пald, I Ǥ (1973), "Seເ0пdaгɣ гeρгeseпƚaƚi0п 0f m0dules 0ѵeг a ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ", Sɣmρ0sia MaƚҺemaƚiເa 11, ρρ 23-43 [11] Maƚlis, E (1958), "Iпjeເƚiѵe m0dules 0ѵeг П0eƚҺeгiaп гiпǥs", Ρaເifiເ J MaƚҺ 8, ρρ 511-528 [12] Maƚsumuгa, Һ (1970), ເ0mmuƚaƚiѵe Alǥeьгa, Ьeпjamiп [13] Melk̟eгss0п, L aпd Ρ SເҺeпzel (1995), "TҺe ເ0-l0ເalizaƚi0п 0f aп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Aгƚiпiaп m0dule", Ρг0ເ EdiпьuгǥҺ MaƚҺ S0ເ 38, ρρ 121-131 [14] Пaǥaƚa M., (1962), L0ເal гiпǥ, Iпƚeгsເieпເe, Пew Ɣ0гk̟ [15] L T ПҺaп aпd T П Aп., (2008), 0п ƚҺe uпmiхedпess aпd uпiѵeгsal ເaƚeпaгiເiƚɣ 0f гiпǥ aпd l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules Ρгeρгiпƚ [16] Г0ьeгƚs, Г П (1975), "K̟гull dimeпsi0п f0г Aгƚiпiaп m0dules 0ѵeг quasi-l0ເal ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥs", Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, (Seг 2) 26, ρρ 269-273 [17] SҺaгρ, Г Ɣ (1989) "A meƚҺ0d f0г ƚҺe sƚudɣ 0f Aгƚiпiaп m0dules wiƚҺ aп aρρliເaƚi0п ƚ0 asɣmρƚ0ƚiເ ЬeҺaѵi0uг," iп: ເ0mmuƚaƚiѵe Alǥeьгa, MaƚҺ Sເi Гes Iпsƚ Ρuьl П0 15, Sρiпǥeг-Ѵeгlaǥ, Пew Ɣ0гk̟, ρρ 443-465 [18] SҺaгρ, Г Ɣ (1990) Sƚeρs iп ເ0mmuƚaƚiѵe alǥeьгa ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess [19] Taпǥ, Z aпd Һ Zak̟eгi (1994), "ເ0-ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules aпd m0dules 0f ǥeпeгalized fгaເƚi0пs", ເ0mm Alǥeьгa., 22 (6), ρρ 2173- L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 42 2204 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 43 [20] Feггaпd D aпd M Гaɣпaud (1970), "Fiьгes f0гmelles d'uп aппeau l0ເal П0eƚҺeгiaп," Aпп Sເi E'ເ0le П0гm Suρ., (4), ρρ 295-311