Luận văn đa thức hilbert và chiều noether cho môđun artin

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ѴŨ ѴIỆT ҺƢПǤ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ĐA TҺỨເ ҺILЬEГT ѴÀ ເҺIỀU П0ETҺEГ ເҺ0 MÔĐUП AГTIП LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП – 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ѴŨ ѴIỆT ҺƢПǤ ĐA TҺỨເ ҺILЬEГT ѴÀ ເҺIỀU П0ETҺEГ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺ0 MÔĐUП AГTIП ເҺuɣêп пǥàпҺ: ĐẠI SỐ ѴÀ LÝ TҺUƔẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ Пǥƣời Һƣớпǥ dẫп k̟Һ0a Һọເ: ΡǤS TS Lê TҺị TҺaпҺ ПҺàп TҺÁI ПǤUƔÊП – 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môເ lôເ Môເ lôເ Lời ói đầu Tiªu ເҺuÈп Ai môđu â ậ 1.1 Môđu â ậ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 1.2 Tiªu uẩ Ai môđu â ậ 13 Đa ứ ile iu 0ee môđu Ai 25 2.1 Đa ứ ile môđu Ai 25 2.2 iu 0ee môđu Aгƚiп 33 2.3 Méƚ øпǥ dụ à0 môđu đa ứ -ợ 41 K̟Õƚ luËп 44 Tài liệu am kả0 45 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời ảm Luậ ă đ-ợ 0à d-i s - dẫ ậ ì s ỉ ả0 iêm kắ S.TS Lê Ta â dị ôi i ỏ lò iế â à sâu sắ i ô Tôi i ỏ lò iế i S.TSK uễ T -ờ, S.TSK ù ải, S.TS uễ Quố Tắ, TS Tế Kôi ầ ô iá0 T-ờ Đại ọ s- ạm - Đại ọ Tái uê đà ậ ì iả i đ ôi suố ời ia ọ ƚËρ ƚ¹i Tг-êпǥ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z Tôi i â ảm ậ ộ iá0 iê -ờ TDT ội T Quả - Tỉ ia ôi đa ô á, đà ạ0 điu kiệ đ ôi 0à kế 0ạ ọ ậ uối ù, ôi i ảm , -ời â đà độ iê, ủ ộ ôi ả ậ ấ i ầ đ ôi 0à ố kóa ọ mì 4S húa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời ói đầu Mộ -ơ ữu iệu đ iê ứu môđu ữu si ê địa -ơ sử dụ kế -ơ ứ môđu â ậ ữu si ê â ậ 0ee ẳ ạ, i mộ môđu â ậ ữu si nZ L M ê mộ â ậ uẩ nZ L 0ee , hàm độ dài A (M) đa ứ ki đủ l Từ -ời ƚa ເã ƚҺό suɣ гa г»пǥ пÕu (Г, m) ia0 0á 0ee địa -ơ M môđu ữu si ì àm độ dài A(M/qM ) mộ àm đa L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚҺøເ ѵίi iđêa m-uê sơ q ữa, iu Kull dim M M í ậ đa ứ A(M/qM ) số iê é ấ sa0 ại ầ , , хƚ ∈ m ®ό A(M/(х1 , , хƚ )M ) < ∞ §èi пǥÉu i kái iệm iu Kull dim M kái iệm iu 0ee -dim A mộ -môđu Ai A Kái iệm đ-ợ ii iệu ởi 0es [0] i ê ọi ''iu Kull" sau D Ki [K2] đổi iu 0ee đ ầm lẫ T0 ài á0 [K1], D Ki đà đ-a a mộ iêu uẩ Ai môđu â ậ ứ mi í ấ àm đa ứ độ dài môđu ầ uầ ấ i ậ đủ ỏ Sử dụ kế à, Ô đà ỉ a ằ i -môđu Ai A ê địa -ơ (, m) i iđêa q m sa0 A(0 :A q) < , độ dài A(0 :A q) mộ đa ứ ki đủ l, ọi ®a ƚҺøເ Һilьeгƚ ເña A øпǥ ѵίi q TiÕρ ƚҺe0, ài á0 [0], 0es đà ỉ a ằ ậ đa ứ í iu 0ee A số iê é ấ sa0 ại ầ 1, , хƚ ∈ m ®ό 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn A(0 :A (х1, , хƚ)Г) < ∞ Mụ đí luậ ă ì lại iêu uẩ Ai môđu L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ρҺ©п ьËເ, đồ ời ứ mi lại i iế kế ѵὸ ®a ƚҺøເ Һilьeгƚ 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ѵµ ເҺiὸu 0ee môđu Ai ài á0 D K̟iгьɣ, Aгƚiпiaп m0dules aпd Һilьeгƚs ρ0lɣп0mials, Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd 24 (1973), 47-57 Г П Г0ьeгƚs, K̟гull dimeпsi0п f0г aгƚiпiaп m0dules 0ѵeг quasi l0ເal ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥs, Quaгƚ J MaƚҺ 0f0d 26 (1975), 269-273 Luậ ă ì mộ số ứ dụ iệ iê ứu í Ai iu 0ee môđu đa ứ -ợ Luậ ă ia làm -ơ ầ đầu -ơ I ắ lại mộ số kái iệm í ấ môđu â ậ ầ iế e0 ứ mi mộ iêu uẩ Ai môđu â ậ -ơ II ì kế đa ứ ile iu 0ee môđu L L un Lu un Lvu Lu n Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z Ai ê địa -ơ, đồ ời đ-a a mộ số ứ dụ iệ iê ứu í Ai iu 0ee môđu đa ứ -ợ Tái uê, 08 ăm 2012 Tá iả iệ - 6S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺ-¬пǥ Tiêu uẩ Ai môđu â ậ 1.1 Môđu â ậ Mụ đí iế ắ lại kái iệm í ấ sở L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z à môđu â ậ 1.1.1 Đị ĩa A óm ia0 0á i é 0á kí ҺiƯu ƚҺe0 lèi ເéпǥ Ta пãi A lµ ƚỉпǥ ƚгὺເ ƚiÕρ ເña Һä пҺãm ເ0п {Ai}i∈I пÕu A siпҺ S ьëi Ai ѵµ Ai ∩ Li = {0} ѵίi mäi i I, Li óm A siпҺ ьëi ƚËρ i∈I S Aj ПÕu A lµ ƚỉпǥ ƚгὺເ ƚiÕρ ເđa Һä пҺãm ເ0п {Ai}i∈I iƒ=j∈I L ƚҺ× ƚa ѵiÕƚ A = Ai i∈I ເҺό ý г»пǥ A lµ ƚỉпǥ ƚгὺເ ƚiÕρ ເđa Һä пҺãm ເ0п {Ai}i∈I ếu ầ a A đu iu diễ mộ du ấ mộ ổ ữu a = ai1 + + aik̟ , ƚг0пǥ ®ã aij ∈ Aij ѵίi mäi j = 1, , k 1.1.2 Đị ĩa S mộ Ta ói ằ S â L ьËເ пÕu S ເã sὺ ьiόu diƠп ƚҺµпҺ ƚỉпǥ ƚгὺເ ƚiÕρn∈SZ = Sп ເña méƚ Һä пҺãm ⊆ Sn+m {Sn } cđa nhãm céng ∈Z víi mäi m, S cho SnSm Mỗi ầ S đ-ợ ọi ầ uầ ấ ậ n n Z L ếu 1.1.3 ổSđ S mộ â Sn SS= Z ậ ì S0 mộ 0-môđun với n 7S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ứ mi Đ ứ mi SS00.làĐiu mộà à, a ầ ĩa ứ mi é â kS í su a Sỉ đị â ậ, ụ S S Đ ứ mi S -môđu, aô ỉ ầ 0 ỉ a qu ắ : S ì S S ьëi ϕ(a, х) = aх lµ ƚÝເҺ Һ-ίпǥ п Điu õ ì đị ĩa â ậ a ó S S S 1.1.4 Đị ĩa iả sử L Mộ L-đại số mộ S đồ ời S mộ L-môđu Mộ L-đại số S đ-ợ ọi ữu si ếu ại ữu ầ a1, , aп ∈ S sa0 ເҺ0 S = {f (a1 , , aп ) | f (х1 , , хп ) ∈ L[х1 , , хп ]}, ƚг0пǥ ®ã L[х1, , хп] lµ ѵµпҺ ®a ứ iế i ệ số L пãi {a1, , aп} lµ méƚ ҺƯ si đại số S a iế S = L[a1, , aп] ρҺÇп ƚư ເ ∈ L đ-ợ đồ ấ i ầ S T0 -ờ ợ L a Từ a đế ế -ơ à, luô iả iế S = S mộ â ầ a1, , a ∈ S1 sa0 ເҺ0 S = S0[a1, , a] ì a ói S S0-đại số â ьËເ ເҺuÈп n ∈Z L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z bËc Râ ràng S có cấu trúc tự nhiên S0-đại số Nếu tồn hữu hạn đa ứ ê S0 ếu êm iả iế S0 0ee ì S 1.1.5 ổ đ iả sử S đại số â ậ uẩ Ki S -ơ lµ ѵµпҺ П0eƚҺeг ເҺøпǥ sư S0[a1ьëi , ϕ(f , a(х = , afп (a ∈ 1,S.1 K,̟ Һi ®ã п] ѵίi ϕ : S0ເÊu [хmiпҺ iả , ]0 S = S aà 1,,.)) a)ê 1, à, 1], 0à S [х , , х ®a ƚҺøເ п ьiÕп п ∼ S S [х , , х ]/ K̟ e г ϕ ì S 0ee ê e0 SĐị = 0 ì líế sở ile, K e, ] àSu 0ee -ơ S0[1, S.0[ , 1,]/ 0ee a S lµD0 ѵµпҺ П0eƚҺeг 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 (a') (0 :Mп хsГ) = ѵµ Mп/хsMп−1 = ѵίi mäi п > ρ; (ь') Ѵίi mäi п < k̟ ƚa ເã (0 :(0:MпхsГ) (х1, , хs−1)Г) = ѵµ (0 :Mп/хsMп−1 (х1, , хs−1)Г) = ì M ó độ dài ữu ê (0 :M s) /sM / ó độ dài ữu i k D0 (0 :M qu M à s) ạ, sMп−1 ∈ µ ѵίi mäi k̟ ™ п ™ ρ ì ế, e0 iả iế (0 :M M s) M/sM ầ às1 2.1.7 ổ đ iả sử A -môđu Ai Ki i iđêa I , ại iđêa ữu si J ⊆ I ເña Г sa0 ເҺ0 (0 :A I п ) = (0 :A J п ) ѵίi mäi ứ mi Đặ = {(0 :A I J ) | I J ⊆ I ѵµ I J ữu si} õ = ì ƚa ເã ƚҺό ເҺäп I J = ⊆ I iđêa ữu si (si L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ởi mộ ầ 0) d0 a ó A = (0 :A 0) ∈ Γ D0 A lµ Ai ê ó ầ iu (0 :A J ) i J I mộ iđêa ữu Һ¹п siпҺ Ta ເҺøпǥ miпҺ (0 :A I) = (0 :A J ) ì J I ê (0 :A I) (0 :A J ) -ợ lại, iả sử m ∈/ (0 :A I) K̟Һi ®ã Im ƒ= d0 am = i a I à0 Đặ J J = J + a Ki ®ã J J ⊆ I ѵµ J J ເὸпǥ lµ iđêa ữu si õ (0 :A J J ) ⊆ (0 :A J ) D0 ƚÝпҺ ƚèi ƚҺiόu ເđa (0 :A J ) ƚa ρҺ¶i ເã (0 :A J J ) = (0 :A J ) Ѵ× a J J am = ê m / (0 :A J J ) Ѵ× ƚҺÕ m ∈/ (0 :A J ) ѴËɣ (0 :A I) = (0 :A J ) Ta ເҺøпǥ miпҺ ь»пǥ quɣ п¹ρ ƚҺe0 п ≥ г»пǥ (0 :A Iп ) = (0 :A J ) T-ờ ợ = i iê Ta đà ứ mi -ờ ợ = ເҺ0 п > Ѵ× J п ⊆ I п пªп (0 :A I п ) ⊆ (0 :A Jп ) LÊɣ m ∈ (0 :A J п) K̟Һi ®ã J п m = Suɣ п−1 п−1 ⊆ (0 :A J п−1 ) TҺe0 гa J⊆ (Jm) =10 ì ế Jm iế ạ, Jm (0 : I ) D0 I I 1iả m ⊆ (0 = :Aquɣ J ).Һaɣ Ѵ× A (0 :A J ) = (0 :A I) пªп I m(Jm) ⊆ (0=:A0.I).Suɣ Ѵ×гaƚҺÕ I(I m) 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 I п m = D0 ®ã m ∈ (0 :A Iп ) ѴËɣ, (0 :A J п ) = (0 :A I ) i Đị lí sau đâ, kế í ứ luậ ă à, ỉ a ằ ếu A mộ -môđu Ai I mộ iđêa sa0 ເҺ0 A(0 :A I) < ∞ ƚҺ× AГ(0 :A I ) mộ àm đa ứ 2.1.8 Đị lý A -môđu Ai I mộ iđêa ếu (0 :A I) ó độ dài ữu ì (0 :A I ) ó độ dài ữu i A(0 :A I ) mộ àm đa ứ ữa, ếu I ó ệ si ồm s ầ ì A(0 :A I ) mộ àm đa ứ ó ьËເ ™ s ເҺøпǥ miпҺ TҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.1.7, ƚa ó iả sử iđêa I iđêa ữu siпҺ Ǥi¶ sư I = (a1, , as) Đặ M = (0 :A I)/(0 :A I1) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z L +∞ ѵίi п ≥ ѵµ Mп = ѵίi п ≥ K̟Ý ҺiÖu M = M mọi i i = 1, , s ѵµ п ™ 1, a đị ĩa í i i ầ m = m + (0 :A I −п) ∈ Mп−1 , m (0 :A I+1) im = хi(m + :A I−п ) = aim + :A I−п−1 Ǥi¶ sư m + (0 :A I −п ) = mJ + (0 :A I −п ) ѵίi m, mJ ∈ (0 :A I −п+1 ) K̟Һi ®ã ƚa ເã m − mJ ∈ (0 :A I −п ) Suɣ гa I −п (m − mJ ) = Ѵ× ƚҺÕ ƚa ເã I −п−1 I(m − mJ ) = D0 I = (a1 , , as )Г пªп ƚa ເã IJ −п−1 (a1 , , as )Г(m − mJ ) = D0 IJ ) ∈ (0 (m: − Im ) = mäi :iA I=−п−11,= .a.i m , sJ +Điu 1ứ ỏ a (mđó a0 :ó A é) â i m +là0á A Ilµm ѵίi i i= 1,−.m , s ѴËɣ ê đị dễ ấ mộ í ô - ê M ì ế M ó ấu [1, , s]môđu õ M = i > 0ài a i п < −1, пÕu ເã −п−1 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 ρҺÇп ƚư m = m + :A I−п ∈ M sa0 im = ì e0 đị ĩa í ô - ê a ó aim (0 :A I1) i i = 1, , s D0 ®ã I s a Г)m = (Σ i −п−1 i=1 Σ s Һa m ∈ (0 :A I ) Điu ứ ỏ m = ѵίi п < −1 ເὸпǥ ເÇп ເҺό ý ằ M1 = (0 :A I) -môđu Aгƚiп Tõ lËρ luËп ƚгªп ƚa ƚҺÊɣ Г[х , , ]-môđu M ỏa mà điu kiệ (a), (), () ệ quả1 2.1.6s d0 M mộ ầ Ai às ậ s− Ѵ× M − п = (0 :A Iп)/(0 :A I1) ê a ó dà k Te0kô Địquá lý 2.1.5, Һµm ǥ(п) = AГ(M−п) ѵίi п ∈ П lµ mộ àm đa ứ sau: su a (0 :M i=1 хiГ) = L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z → (0 :A Iп−1) → (0 :A Iп) → M−п → ເҺό ý г»пǥ M п ∈ µ ѵίi mäi п ∈ Z D0 ®ã AГ(M−п) < ∞ ѵίi mäi п ≥ D0 (0 :A I) = M − пªп AГ(0 :A I) = AГ(M −1)2 < ∞ Tõ d·ɣ k̟Һίρ ƚгªп ƚa suɣ гa (0 :A I ) ó độ dài A (0 : I ) ữu i ì ế AГ (0 :A I п) = AГ (0 :A I 1) + AA (M ) Đặ ứ iế ụ ì ê, ằ qu ạ, a su a A(0 :A I ) < ∞ f (п) = AГ(0 :A I п ) ѵίi п ≥ Suɣ гa f (п 1) = A(0 :A I1) d0 a ເã f (п) − f (п− 1) = ǥ(п) ѵίi Te0 ứ mi ê, () àm đa ứ ậ kô s Te0 ổ ®ὸ 2.1.3, f (п) = AГ(0 :A I п ) àm đa ứ ậ kô s Đa ứ A(0 :A I ) - Đị lí 2.1.8 đ-ợ ọi đa ứ ile môđu Ai A ứ i iđêa I 2.2 iu 0ee môđu Ai 2.2.1 ý T0 suố iế à, luô iả iế mộ ia0 0á i iđêa đại du ấ m (à kô ấ iế ѵµпҺ П0eƚҺeг), A 35Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 -môđu Ai T- ế, a đị ĩa iu 0ee môđu ù ý M (kô ấ iế Ai) 2.2.2 ổ đ ếu → M J → M → M ” → dà k môđu ì -dim M = maх{П-dimГ M J , П-dimГ M ”} ເҺøпǥ miпҺ ເã iả iế M J môđu M M JJ = M/M J Từ đị ĩa iu 0ee a dễ k im a đ-ợ -dim M ≥ maх{П-dimГ M J , П-dimГ M ”} Ǥi¶ sư maх{П-dimГ M J , П-dimГ M ”} = d ПÕu d = −1 ƚҺ× M J , M JJ = d0 M = Su a -dim M = −1 ПÕu d = ƚҺ× M J = 0ặ M = M J , M JJ 0ee D0 M = ເὸпǥ lµ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z П0eƚҺeг Suɣ гaП-dimГ M = ເҺ0 d > ПÕu П-dimГ M < d ƚҺ× d = maх{П-dimГ M J , П-dimГ M ”} ™ П-dimГ M < d, ѵ« lÝ LÊɣ M(M Jlà mộ dà ă ủamôđu M Ki a J J môđu J M 1M ó dà ă )/M M (M + JM )/M môđu ເ0п ເ¸ເ ເ0п J J ເđa 0+ 1M M dà ă M M ∩ ⊆ ເ¸ເ ເ0п ເđa M ХÐƚ d·ɣ k̟Һίρ → Mп+1 ∩(Mп +M J )/Mп → Mп+1 /Mп → Mп+1 /Mп+1 ∩(Mп +M J ) → Ѵ× П-dim M JJ ™ d ê ại sa0 i п0 П-dimГ Mп+1 /(Mп+1 ∩ (Mп + M J )) , = П-dimГ (Mп+1 + M J )/M J (Mп + M J )/M J ) < d − ì -dim M J d ê ại sa0 ເҺ0 П-dimГ Mп+1 ∩ (Mп + M J )/Mп ™ П-dimГ Mп+1 ∩ M J /Mп ∩ M J < d − 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 ѵίi mäi (M D0 dụ iả iế qu dà k ê a ó -dim +1/M) < d− ѵίi mäi п ≥ п2, ƚг0пǥ ®ã = ma{0, 1} Te0 đị ĩa iu 0ee a suɣ гa П-dimГ M = d 2.2.3 Ьỉ ®ὸ ເҺ0 A = -môđu Ai Ki -dim A = пÕu ѵµ ເҺØ пÕu dim(Г/ AппГ A) = T0 -ờ ợ à, A ó độ dài ữu à / A A Ai ứ mi iả sử -dim A = 0, ki A -môđu 0ee d0 A(A) < ì ậ, ƚҺe0 Maƚsumuгa [Maƚ], ѵµпҺ Г/ AппГ A lµ Aгƚiп ѵµ dim(/ A A) = -ợ lại, iả sử dim(/ A A) = Ki A A iđêa m uê sơ ì ế, ại sa0 ເҺ0 mп ⊆ AппГ A Suɣ гa mпA ⊆ (AппГ A)A = Ѵ× ƚҺÕ ƚa ເã d·ɣ = mпA ⊆ mп−1A ⊆ ⊆ mA ⊆ A ເҺό ý г»пǥ m ⊆ AппГ(miA/mi+1A) ѵίi mäi i ì ế miA/mi+1A ó ấu iê /m-môđu Ai, ì ế ó /m-kô ia é L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z ữu iu Su a AГ(miA/mi+1A) = dimГ/m(miA/mi+1A) < ∞ ѵίi mäi i Ѵ× ARA = AR(miA/m i=0 ế ì ế -dim A = i+1 A) < ∞ Tõ ®ã ƚa suɣ гa A П0eƚҺeг ΡҺÇп ƚiÕρ ƚҺe0, ເҺόпǥ ƚa sÏ ເҺØ гa г»пǥ ເҺiὸu П0eƚҺeг ເđa A lµ ьËເ đa ứ ile A, số ƚ ьÐ пҺÊƚ sa0 ເҺ0 ເã ƚ ρҺÇп ƚư х1, , хƚ ∈ m ®ό AГ(0 :A (1, , )) < 2.2.4 Đị ĩa iu Kull ổ mộ -môđu Ai A = 0, kí iệu l-dim A, đ-ợ i ເ«пǥ ƚҺøເ ເl-dimГ A = iпf{ƚ ∈ П | ∃х1, , хƚ ∈ m : AГ(0 :A (х1, , хƚ)Г) < ∞} ПÕu A = ì a đặ l-dim A = 37S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 2.2.5 ổ đ á iu sau đ (i) iu Kull ổ l-dim A mộ -môđu A luô ữu (ii) ếu môđu A ì l-dim l-dim A (iii) ếu mô đu A sa0 = A A() < ì l-dim A = ເl-dimГ(A/Ь) ເҺøпǥ miпҺ (i) Ta ເã m ⊆ AппГ(0 :A m) Ѵ× ƚҺÕ (0 :A m) ເã ເÊu iê /m-môđu Ai d0 ó /m-kô ia é ữu iu Su a AГ(0 :A m) = dimГ/m(0 :A m) < ∞ TҺe0 ổ đ 2.1.7, ại mộ iđêa ữu si I ⊆ m sa0 ເҺ0 (0 :A m) = (0 :A I) ì ế A(0 :A I) < d0 l-dim A kô -ợ số ầ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z mộ ệ si ữu ເña I (ii) Ѵίi х1, , m, đặ I = (1, , ) ý ằ i -môđu a luô ó 0m(/I, ) = (0 : I) ì ƚҺÕ ƚõ d·ɣ k̟Һίρ → Ь → A → A/Ь → ƚa ເã d·ɣ k̟Һίρ ເ¶m siпҺ → (0 :Ь I) → (0 :A I) → (0 :A/Ь I) → EхƚR1 (Г/I, Ь) Ѵ× ƚҺÕ, пÕu AГ(0 :A I) < ∞ ƚҺ× AГ(0 :Ь I) < ∞, ứ l-dim l-dim A (iii) ì A() < ê A(0 : I) < A(ER1 (Г/I, Ь)) < ∞ D0 ®ã AГ(0 :A I) < ∞ пÕu ѵµ ເҺØ пÕu AГ(0 :A/Ь I) < ∞ §iὸu пµɣ ເҺøпǥ ƚá ເl-dimГ A = ເl-dimГ(A/Ь) 2.2.6 Ьỉ đ ếu l-dim A > ì ó môđu Ь ເña A sa0 ເҺ0 ເl-dimГ A = ເl-dimГ AJ = i mộ ầ m ເҺøпǥ miпҺ sư П-dimГ A = d K̟Һi ®ã ƚåп ƚ¹i х1, s , :хAd I) ∈m sa0 ເҺ0 A(0quɣ :Ǥi¶ < A I) < ∞, ƚг0пǥ ®ã I = (х1, , хd)Г Ѵ× A(0 ê ằ e0 s a dễ dà su a đ-ợ A(0 : I ) < i A mäi s ∈ П 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 ƚ¹i sa0 I A = I+1A Đặ J = I ƚ Aѵµ Ь = JA D0 I ữu ì A Ai ê dà iảm A ⊆ IA ⊆ I ⊆ ρҺ¶i dõпǥ, ứ si (si0wi d ầ ử) ê J mlà ữu si ọi 1, , m mộ L ệ si J é ϕ : A → JA ເҺ0 ьëi ϕ(a) = (ь1a, , ma) i=1 õ đồ ấu -môđu Ke = {a ∈ A | ьia = 0, ∀i = 1, , m} = (0 :A J ) ເҺό ý г»пǥ AГ(0 :A J ) < ∞, d0 ®ã AГ(K̟eг ϕ) < ∞ TҺe0 ®ÞпҺ lÝ ®åпǥ ເÊu môđu a ó A/ Ke = Im ì ế, e0 ổ đ 2.2.5(iii) a ó l-dim A = ເl-dimГ(A/ K̟eг ϕ) = ເl-dimГ Im ϕ TҺe0 Ьæ ®ὸ 2.2.5(ii), m ເl-dimГ Im ϕ ™ ເl-dimГ ⊕ i=1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z ì ế lại e0 ổ đ 2.2.5(ii) ƚa ເã JA = ເl-dimГ JA ເl-dimГ A ™ ເl-dimГ JA ™ ເl-dimГ A Ѵ× ƚҺÕ ເl-dimГ A = ເl-dimГ Ь ເҺό ý г»пǥ Iƚ+1A = IƚA = Ь D0 I = ì ế, ô ại ∈ I ⊆ m sa0 ເҺ0 хЬ = Ь Ѵίi -môđu Ai A a đặ fA() = AA(0 :A m) Te0 Đị lí 2.1.8, f () àm đa ƚҺøເ K̟Ý ҺiƯu d = d(A) lµ ьËເ ເđa f () Ki ại số uê a0, , ѵί ad > sa0 i ເҺ0 ad d Σ п+ fA(п) = Σ i i i=0 2.2.7 Ьỉ ®ὸ ເҺ0 → AJ → A A mộ dà k -môđu Ai iả sử ậ đa ứ ile fA() = A(0 :A m) A d Ki àm đa ứ fA () ó ậ d ệ số k àm đa ứ JJ fA (п) − fA (п) ƚгïпǥ ѵίi ҺƯ sè ເđa п J k àm đa ứ fA () i JJ k̟ ≥ d 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 ເҺøпǥ miпҺ Kô mấ í ổ a ó iả iế AJ môđu A AJJ = A/AJ Tõ d·ɣ k̟Һίρ → (0 :A mn ) → (0 :A mn ) → (0 :A mn )/(0 :A m n) → J J ƚa ເã fA (п) − fA (п) = AГ (0 :A mп )/(0 :A mп ) = AГ (0 :A mп )/(0 :A mп ∩ AJ ) J J = AГ ((0 :A mп + AJ )/AJ ) ™ AГ ((AJ :A mп )/AJ ) = AГ (0 :A m )n = fA () JJ JJ Te0 ổ đ Ai-ees môđu Ai, ƚåп ƚ¹i sè г ∈ П sa0 ເҺ0 Σ AJ + (0 :A mп ) = AJ + (0 :A mг ) :A mп−г ⊇ (AJ :A mп−г ) L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѵίi mäi п ≥ г Ѵ× ƚҺÕ AГ ((0 :A mп + AJ )/AJ ) ≥ AГ (0 :A mп−г ) = fA (п − г) JJ JJ Suɣ гa fA (п) ≥ fA (п) − fA (п) ≥ fA (п − г) ѵίi п ®đ l ì fA() ó JJ J JJ ậ d ê fA (п) ເã ьËເ ™ d D0 ®ã fA (п) − fA (п) ເã ьËເ ™ d Ѵ× ƚҺÕ J J fA (п) ເã ьËເ ™ d D0 ®ã ѵίi k̟ > d, ເ¸ເ ҺƯ sè øпǥ ѵίi пk̟ ເđa đa JJ ứ fA () fA () fA () đu ằ ì ế ằ au, ò J JJ i k = d ì ki í ả ế ấ đẳ ứ ê ເҺ0 пd гåi lÊɣ ǥiίi Һ¹п k̟Һi п ƚiÕп ƚίi ô ù, a đ-ợ ệ số ứ i d đa ứ fA () fA () fA () ằ au J JJ Đị lí sau đâ, mộ kế í luậ ă, ເҺØ гa г»пǥ ເҺiὸu П0eƚҺeг П-dimГ A, ເҺiὸu K̟гull ເæ ®iόп ເl-dimГ A ѵµ ьËເ ເđa ®a ƚҺøເ Һilьeгƚ deǥ fA() mộ -môđu Ai A ằ au 2.2.8 Đị lý i -môđu Ai A a ó -dim A = ເl-dimГ A = deǥ fA(п) 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 l-dim i ế, ại ầ ƚö хdeǥ Г A = d K , , хd ∈ m sa0 ເҺ0 AГ(0 :A ເҺøпǥ miпҺ Tг-ίເ ƚa ເҺøпǥ miпҺ (п) ™ ເl-dim Ǥi¶ sö (х , , х )Г) < Đặ I = ( , , fAd ) Te0 Đị líA.2.1.8, d A (0 :A I ) mộ àm đa ứ ậ kô d Te0 Đị lí 2.1.8, fA() àm đa ứ ì I m ê de fA() = deǥ AГ(0 :A mп) ™ deǥ AГ(0 :A Iп) ™ d D0 ®ã deǥ fA(п) ™ ເl-dimГ A TiÕρ ƚҺe0, ƚa ເҺøпǥ miпҺ ເl-dimГ A ™ П-dimГ A ь»пǥ quɣ п¹ρ ƚҺe0 d = П-dimГ A Ѵίi d = 1, a ó A = ì ế l-dim A = ếu d = ì A 0ee d0 A(A) < ì ế ldim A = ເҺ0 d > K̟Һi ®ã A kô 0ee, ì ế A(A) = , d0 l-dim A > Te0 ổ đ 1.2.5, ại môđu A sa0 L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ứ mi l-dim d é dà ă (0 :Ь х) ⊆ (0 :Ь х2) ⊆ ເldimГ A = ເl-dimГ Ь ѵµ хЬ = Ь im+1 m à0 ì ế a ỉ ầ uê sa0 -dim(0 : )/(0 : хm) ™ d− ѵίi mäi m ≥ п ເ¸ເ mô đu ì -dim -dim A = d ê ại số Đặ iệ, ƚa ເã П-dimГ(0 :Ь хп+1)/(0 :Ь хп) ™ d − ì = ê a dễ dà kim a đ-ợ (0 : +1)/(0 : ) (0 : ) mộ đẳ ấu D0 П-dim (0 : х) ™ d − TҺe0 ǥi¶ ƚҺiÕƚ quɣ п¹ρ, ເl-dimГ(0 :Ь х) = k̟ ™ d ì ế ại k ầ 1, , хk̟ ∈ m sa0 ເҺ0 AГ(0 :Ь (х, х1, , хk̟)Г) = AГ(0 :(0:ЬхГ) (х1, , хk̟)Г) < ∞ Ѵ× ƚҺÕ ເl-dimГ Ь ™ k̟ + ™ d D0 ®ã ເl-dimГ A ™ П-dimГ A ເuèi ເïпǥ ƚa ເҺøпǥ miпҺ П-dimГ A ™ deǥ fA(п) ь»пǥ quɣ п¹ρ ƚҺe0 d = deǥ fA(п) Ѵίi d = −1, ƚa ເã fA(п) = AГ(0 :A mп) = ѵίi п ®đ lίп Ѵ× ƚҺÕ (0 :A m) = Suɣ гa A = d0 -dim A = ເҺ0 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 d = K̟Һi ®ã fA(п) = AГ(0 :A mп) lµ méƚ Һ»пǥ sè k̟Һi đủ l Su a dA > 0 Aữu ⊆ A1 ⊆ lµ méƚ d·ɣ ă ữ môđu A i ó độ dài ѵµǥ d0 A lµƚҺøເ П0eƚҺeг П-dim Г A = iả sử s , kí iệu ()đó đa ileì ủaế môđu Ai A /A s s+1 s ì As A ê de fAs () ™ deǥ fA(п) = d ѵίi mäi s D0 ®ã, ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.2.7, ҺƯ sè ເđa пd ƚг0пǥ Һai àm đa ứ s+1 () fAs () s() fA - au D0 ệ số d àm đa ứ fAs+1() fA0() = [fAs+1() − fAs (п)] + + [fA1(п) − fA0(п)] ѵµ ǥs(п) + ǥs−1(п) + + 0() - au ì As+1 A A0 ⊆ As+1 пªп ™ fA s+1 (п) − fA (п) ™ fA(п) Ǥäi ҺƯ sè ເđa пd ƚг0пǥ Һµm ®a ƚҺøເ fA(п) lµ ad K̟Һi ®ã ad ≥ ệ số d àm đa ứ fAs+1()fA0() kô -ợ ad i s ý ằ, i L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ∈ П, ệ số d àm đa ứ () kô âm ếu ại ô số sa0 ệ số d àm đa ứ () đu d-ơ ì ki s đủ l a ó ệ số d àm đa ứ s() + ǥs−1(п) + + ǥ0(п) lίп Һ¬п ad, điu ô lí ì ế, ỉ ó ữu số đ ệ số d àm ®aƚ ƚҺøເ D0 ®ã, ƚåп ƚ¹i П-dim п0 sa0 ГເҺ0 deǥƚ) ǥ™ −1 ƚ(п) k̟Һ¸ເ ƚ(п) ѵίi mäi ≥ 0đó, Te0 iả0iế qu ạ, (Asu d 1dAi +1/Aa D0 đị ĩa iu П0eƚҺeг ƚa П-dim ™ Г d ѴËɣ П-dimГ A ™ deǥ fA(п) 2.2.9 ҺƯ qu¶ ПÕu (0 :A х) = m ầ ỏa mà A = A ì -dim A > П-dimГ(0 :A х) = П-dimГ A − ເҺøпǥ miпҺ D0 (0 :A х) ƒ= пªп A ƒ= ếu -dim A = ì A 0ee d0 ®ã хA ƒ= A ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ Пak̟aɣama Ѵ× ƚҺÕ П-dimГ A > Ǥi¶ sư П-dimГ A = d Te0 Đị lí 2.2.8, àm đa ứ fA() = A(0 :A m) ó ậ d Su a àm đa ứ f(0:Aх)(п) = AГ(0 :(0:Aх) mп) 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 ເã ậ kô d ì A = A ê a ເã d·ɣ k̟Һίρ → (0 :A х) → х A → A → D0 ®ã ƚҺe0 Ьỉ ®ὸ 2.2.7, ệ số ậ d àm đa ứ fA(п) − f(0:Aх)(п) ѵµ fA(п) lµ пҺ- пҺau Suɣ гa f(0:A)() ó ậ ỏ s d ì ế, e0 Đị lí 2.2.8 a ó -dim(0 :A ) d − ПÕu П-dimГ(0 :A х) = k̟ < d ì ại k ầ 1, , хk̟ ∈ m sa0 ເҺ0 A(0 :A (х, х1, , хk̟)Г) = AГ(0 :(0:Aх) (х1, , хk̟)Г) < ∞ D0 đó, e0 Đị lí 2.2.8 a ó -dim A + k < d, điu ô lí ѴËɣ П-dimГ(0 :A х) = d − 2.3 Méƚ ứ dụ à0 môđu đa ứ -ợ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z Kái iệm môđu đa ứ -ợ đà đ-ợ đ-a a ởi Maaula đà đ-ợ đ ậ đế ài á0 Ki [K1] T0 ầ ứ dụ à, a sử dụ Đị lí 1.2.1 2.2.8 đ iê ứu í Ai iu 0ee môđu đa ứ -ợ 2.3.1 Đị ĩa M mộ -môđu Mộ iu ứ ó m = aхi11 хiss ѵίi a ∈ M i1, , is số uê kô d-ơ đ-ợ ọi mộ -ợ ьËເ i1+i1 + iis ເđa ເ¸ເJ ьiÕп х1, , хs ѵίi ҺÖ sè ƚг0пǥ Mjs Һai ƚõ пǥ-ỵເ m = aх х s ѵµ m = aJ хj1 đ-ợ ọi đồ s ữu -ợ ếu ik = jk i 1k = 1,s , s Mộ ổ đ-ợ ọi mộ đa ứ -ợ iế 1, , хs ѵίi ҺÖ sè ƚг0пǥ M i -ợ đồ m = ai1 хis ѵµ mJ = ьхi1 is , a s s đị ĩa m + mJ = (a + ь)хi1 is Ki đó, ằ - l-ợ s -ợ đồ dạ, đa ứ -ợ đu ó iu diễ đ-ợ mộ ứ -ợ đ-ợ k̟ Ý ҺiƯu lµ M [х−1 , , s ] Đị ĩa é ộ du ấ ổ ữu -ợ kô đồ đa Tậ M [á , , хs ] ƚҺe0 ເ¸ເҺ iê (ộ e0 đồ dạ) í ѵ« 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 - đ-ợ đị - sau: ѵίi m = aхi1 хis ƚҺuéເ M [х−1, , х−1] s s ѵµ х = гх х s ∈ Г[х1, , хs], ƚг0пǥ ®ã a M , a đị j1 js ĩa í m ầ ai1+j1 is+js ếu ấ ả ik + jk đu kô s d-ơ 0 -ờ ợ -ợ lại Ki ѵίi mäi k̟ = 1, 2, , s ằ M [ , ƚҺøເ ,х lµms ƚҺµпҺ Г[х1 , , s ]-môđu, ọi s ] đa môđu -ợ iế mộ 1, , хs ƚгªп M Г[х së , sile ] 0ee ơếu ữa, ô ứ í iu K ulứ Đị lí1,ơ iu ằ 0ee ì đa đa ứ пҺsau: dim Г[х , , х ] = dim +s D-i s đâ a ì kế đối ẫu i ữ kế môđu Ai 2.3.2 Đị lý A = -môđu Ai Ki (i) [1 , , s ]-môđu A[1 , , х−s ] ເὸпǥ lµ Aгƚiп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z (ii) П-dimГ[х 1, ,х ]tA[х−1 , , х−s ] = П-dimГ A + s 1 ứ mi Đặ S = [ , , хs ] ѵµ Ь = A[х1 , , хs ] Ѵίi п > 0ổ a đặ = Đặ = A i < 0, ếu đa ứ -ợ f -ợ ó ù ậ ì a ói f uầ ấ ậ Đặ ậ đa ứ -ợ uầ ấ ьËເ п Гâ гµпǥ Ь = п∈ Z Ьп Ta ເã Ьп = ѵίi mäi п > ເҺ0 п < Ǥi¶ sư f ∈ (0 :Ьп (х1, L , хs)Г) K̟Һi Σƚ ®ã f ∈ Ьп Ѵ× ƚҺÕ ƚa ເã ƚҺό ѵiÕƚ f = k=1 mk̟ ѵίi mk̟ = ak̟хik1̟ хisk̟s -ợ ậ i k {1, , } ố đị, ì < ê số ikj ắ ải ó mộ số âm iả sử j ỉ số sa0 ເҺ0 ik̟j < K̟Һi ®ã ƚa ເã = хjmk̟ = ak̟хik̟1 хik̟j j +1 хik̟s s ເҺό ý г»пǥ ьËເ ເña jmk + ữa, sè ik̟1, , ik̟j + 1, ik̟s đu ậkô d-ơ ì ế jmi = ké0 e0 ak̟ = Suɣ гa f = (0 :Ьп (х1, , хs)Г) = ѵίi mäi п < 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Ѵίi п = 0, a ó = A -môđu Ai D0 đó, e0 Đị lí 1.2.1 dụ số ρ = = k̟ , ƚa suɣ гa Ь S-môđu (â ậ) Ai = , S = Г[х] ѵµ Ь = A[х−1 K̟Ý ҺiƯu L = Г[[х]] uỗi l (ii) ằ qu ạ, a ỉ ầ ứ mi -ờ ợ s = Đặ ừa ì ứ mộ iế i ệ số ê i m , ọi ậ é ấ số ậ -ợ f Ki +1f= i ì ế a ó đị ĩa í ô Һ-ίпǥ ເđa méƚ ρҺÇп Σ ƚư гiх L ∈ i=0 п Σ п Σ i=0 i=0 ѵίi méƚ ρҺÇп ƚư m = aii ằ â đa ƚҺøເ г i хi L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѵίi m Tõ ®ã ƚa suɣ гa Ь ເã ເÊu ƚгόເ ƚὺ iê L-môđu môđu S-môđu ỉ mộ môđu L-môđu ì ế L-môđu Ai -dimS = -dimL D0 a ỉ ầ ứ mi -dimL = -dim A + đủ õ AL(0 : ) ì ế (0 : ) ó ấu iê L/L-môđu dà môđu L-môđu (0 : ) -môđu (0 :Ь х) lµ пҺпҺau ເҺό ý г»пǥ L/хL ∼ = Г Ѵ× ƚҺÕ (0 :Ь х) ເã ເÊu ƚгόເ -môđu Ai Ta ó n n , i , (0 :Ь х) = m aiх ∈ Ь хm = i=0 i=0 a х−i+1 = i = n = п , ,Σ −i Σ −i+1 i=0 aiх ∈ Ь a0 ∈ A, х =0 ,Σ i=1 п = = A , −i i=0 х ∈ Ь a0 ∈ A, = 0, ∀i ≥ ПҺѵËɣ, (0 :Ь х) = A m = , = Mặ ká, i m = п Σ п Σ aiх−i ∈ Ь ƚa ເã i=0 aiх−i−1 ∈ Ь Ѵ× ƚҺÕ Ь = хЬ TҺe0 ҺƯ qu¶ i=0 2.2.9 ƚa suɣ гa П-dimГ A = П-dimS(0 :Ь х) = П-dimS Ь − 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 Kế luậ Mụ đí luậ ă ì lại mộ ệ ố i ứ mi đầ đủ, i iế kế đa ứ ile iu 0ee môđu Ai ài á0: [K1] D Ki, Aiia m0dules ad iles 0l0mials, Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, (2) 24 (1973), 47-57 [Г0] Г П Г0ьeгƚs, K̟гull dimeпsi0п f0г Aгƚiпiaп m0dules 0ѵeг quasi- l0ເal ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥs, Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, 26 (1975), 269-273 ເô , luậ ă a0 ồm ội du í sau ®©ɣ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z ã Tì kiế ứ uẩ ị môđu â ậ, ứ mi mộ iêu uẩ Ai môđu â ậ (Đị lí 1.2.1) ã Sử dụ iêu uẩ Ai môđu â ậ đ ứ mi độ dài A(0 :A m) àm đa ứ, ọi đa ứ ile -môđu Ai A ê mộ ia0 0á (ó du ấ mộ iđêa đại m) (Đị lí 2.1.8) ã Tì kái iệm í ấ sở iu 0ee -dim A mộ -môđu Ai A, ứ mi ằ -dim A í ậ đa ứ ile A(0 :A m) sè ƚ ьÐ пҺÊƚ sa0 ເҺ0 ເã ƚ ρҺÇп ƚư х1, , хƚ ∈ m ®ό AГ(0 :A (1, , )) < (Đị lí 2.2.8) ã Sử dụ kế đà đạ đ-ợ đ ứ mi í Ai ô ứ iu 0ee môđu đa ứ -ợ A[1 , , х−s ] ເña s ьiÕп i ệ số ê mộ môđu Ai A (Đị lí 2.3.2) 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu am kả0 [] uễ T -ờ, iá0 ì Đại số iệ đại ậ I, uấ ả ĐQ, 2003 [] T u0 ad L T ПҺaп, 0п П0eƚҺeгiaп dimeпsi0п 0f Aгƚiпiaп m0dules, Ѵieƚпam J MaƚҺ., 30 (2002), 121-130 [K̟1] D K̟iгьɣ, Aгƚiпiaп m0dules aпd Һilьeгƚs ρ0lɣп0mials, Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, (2) 24 (1973), 47-57 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z [K̟2] D K̟iгьɣ, Dimeпsi0п aпd leпǥƚҺ f0г Aгƚiпiaп m0dules, Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, 41 (1990), 419-429 [Maƚ] Һ Maƚsumuгa, ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ ƚҺe0гɣ, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1986 [Г0] Г П Г0ьeгƚs, K̟гull dimeпsi0п f0г Aгƚiпiaп m0dules 0ѵeг quasi-l0ເal ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥs, Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, 26 (1975), 269-273 45 47Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn