TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN HỌC TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG MÔĐUN ARTIN Thầy giáo hướng dẫn Sinh viên thực hiện GS TS LÊ VĂN THUYẾT PHAN HỮU HIỆU MSSV 19S1011009 Huế, 6 2021 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ[.]
Trang 1KHOA TOÁN HỌC
TIỂU LUẬN
ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
MÔĐUN ARTIN
Thầy giáo hướng dẫn Sinh viên thực hiệnGS.TS LÊ VĂN THUYẾT PHAN HỮU HIỆU
MSSV: 19S1011009
Trang 2KHOA TỐN HỌC
MƠĐUN ARTIN
TIỂU LUẬN ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG
Thầy giáo hướng dẫnGS.TS LÊ VĂN THUYẾT
Trang 3MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN 2
LỜI GIỚI THIỆU 3
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4
1.1 Môđun, môđun con, môđun thương 4
1.1.1 Môđun 4
1.1.2 Môđun con 5
1.1.3 Môđun thương 8
1.2 Đồng cấu môđun, tự đồng cấu môđun 9
1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp 10
1.3.1 Tích trực tiếp 10
1.3.2 Tổng trực tiếp 10
Chương 2 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MÔĐUN ARTIN 12
KẾT LUẬN 19
Trang 4LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện tiểu luận: “Môđun Artin” cùngvới sự cố gắng, nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự hướng dẫn vàgiúp đỡ tận tình của Giáo sư - Tiến sĩ Lê Văn Thuyết, người đã trực tiếpgiảng dạy và hướng dẫn tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi trong qtrình thực hiện đề tài, đồng thời tôi cũng nhận được sự giúp đỡ, động viêncủa các thầy cô giáo và của các bạn sinh viên khoa Tốn.
Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Giáo sư - Tiếnsĩ Lê Văn Thuyết đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để tơi hồn thành tốttiểu luận của mình.
Tơi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Tốn, các thầy cơ giáovà các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện, giúp đỡ tơi hồn thànhtiểu luận này.
Do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế Hơn nữa do lần đầutiên làm quen với việc làm tiểu luận nên không tránh khỏi những thiếusót Rất mong được sự góp ý của quý thầy giáo, cô giáo và các bạn Xinchân thành cám ơn!
Trang 5LỜI GIỚI THIỆU
Trong sự phát triển của tốn học hiện đại, Đại số là mơn học quantrọng, là cơ sở tiên đề cho sự phát triển của đại số hiện đại Ngày nay nhucầu học hỏi tốn học nói chung và mơn Đại số nói riêng của sinh viên khoaToán ngày càng tăng Để đi sâu nghiên cứu mơn Đại số thì cần có sự hiểubiết một cách sâu sắc về cấu trúc đại số.
Trong đó một trong các đối tượng chủ yếu của Đại số là cấu trúc mơđun.Vì vậy trong tiểu luận này tơi tập trung trình bày về "Mơđun Artin"với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ mơn Đại số.
Nội dung tiểu luận gồm hai chương:Chương 1 Kiến thức chuẩn bị.
Trong phần này tôi nhắc lại một số định nghĩa về môđun, môđun con,môđun con sinh ra bởi một tập, mơđun thương, đồng cấu, tự đồng cấu,tích trực tiếp và tổng trực tiếp cũng như trình bày một số tính chất củaphần này có liên quan đến mơđun Artin.
Chương 2 Trình bày cách giải một số bài tập liên quan đến môđunArtin.
Trang 6CHƯƠNG1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ1.1 Môđun, môđun con, môđun thương1.1.1 Môđun
Định nghĩa 1.1.1 Cho R là vành có đơn vị 1R 6= 0R; một R - mơđuntrái (hay cịn gọi là mơđun trái trên R) là một nhóm Abel cộng M cùngvới một ánh xạ
f : R × M → M
(a, x) 7→ f (a, x) = ax
được gọi là phép nhân với vô hướng, thỏa mãn các điều kiện:1 a(x + y) = ax + ay
2 (a + b)x = ax + bx
3 (ab)x = a(bx)
4 1Rx = x
với mọi a, b ∈ R và x, y ∈ M.
Định nghĩa 1.1.2 Tương tự, ta cũng có một định nghĩa cho R - mơđunphải (hay cịn gọi là mơđun phải trên R) là một nhóm Abel cộng M cùngvới một ánh xạ
f : M × R → M
(x, a) 7→ f (x, a) = xa
Trang 71 (x + y)a = xa + ya
2 x(a + b) = xa + xb
3 x(ab) = (xa)b
4 x1R = x
với mọi a, b ∈ R và x, y ∈ M.
Về kí hiệu nếu M là một R - mơđun trái (phải) ta kí hiệu RM (MR)để chỉ rõ vành cơ sở R khi cần thiết Nếu khơng ta sẽ nói mơđun thay chomơđun phải.
Ví dụ 1.1.3.
(i) Mỗi nhóm cộng Abel M đều được coi là Z - mơđun.
(ii) NếuK là một trường thì các K - mơđun chính các khơng gian vectơtrên trường K.
(iii) Mỗi iđêan phải của vành R - là một R - môđun Đặc biệt, mỗiiđêan của R là một R - môđun và bản thân R cũng là một R - môđun.
1.1.2 Môđun con
Định nghĩa 1.1.4 Cho M là một R - môđun phải Tập con N của M
được gọi là môđun con của M nếu N là môđun trên R với phép cộng vàphép nhân với vô hướng của M hạn chế trên N.
Ví dụ 1.1.5.
(i) Mỗi R - môđun M luôn chứa hai môđun con tầm thường là bảnthân M và môđun con {0} Môđun con N của M được gọi là môđun conthực sự nếu N 6= {0} và N 6= M.
(ii) Cho R - môđun M và x là một phần tử của M Khi đó tập con:
Trang 8là một mơđun con của M Nó cịn được gọi là mơđun con xyclic sinh bởiphần tử x.
(iii) Mọi nhóm con của một nhóm Abel M đều là một Z - mơđun concủa M.
(iv) Mọi iđêan của một vành R có đơn vị 1R 6= 0R đều là một môđuncon của R.
Bổ đề dưới đây sẽ cho ta một để cách kiểm tra các môđun con hiệu quả.Bổ đề 1.1.1 Cho M là một R - môđun phải Nếu N là tập con khác rỗngcủa M thì các điều kiện sau tương đương:
(i) N là môđun con trong M.
(ii) ∀x, y ∈ N, ∀r ∈ R : x + y ∈ N, xr ∈ N.(iii) ∀x, y ∈ N, ∀r, s ∈ R : xr + ys ∈ N.
Mệnh đề 1.1.2 Giao của một họ bất kì những mơđun con của của R -môđun M là một môđun con của M.
Định nghĩa 1.1.6 Cho X là một tập con của R - môđun M Môđuncon bé nhất N chứa X được gọi là môđun con sinh bởi X và X được gọilà một tập sinh hay hệ sinh của N, kí hiệu N = |X) Trong trường hợp
N = M ta nói X là một hệ sinh của M hay M được sinh bởi X.
Nếu M có một hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là R - mơđun hữu hạnsinh Mơđun con sinh bởi 1 phần tử chính là mơđun con xyclic.
Trang 9Một cách tương tự, cho A là một môđun con thực sự của R - mơđun
M Khi đó A là mơđun con cực tiểu của M nếu A 6= {0} và nó khơngchứa một môđun con thực sự nào của M.
Mệnh đề 1.1.3 NếuA, B là các môđun con củaR - môđunM vớiA ⊂ B.Khi đó với mọi mơđun con C của M ta đều có:
(C + A) ∩ B = (C ∩ B) + AChứng minh.- Với mọi x ∈ (C + A) ∩ B, ta có:x ∈ C + Ax ∈ B⇒∃a ∈ A, c ∈ C : x = c + a∃b ∈ B : x = b⇒ c + a = b⇒ c = b − a ∈ Bc ∈ Cc ∈ B⇒ c ∈ C ∩ B ⇒ x = c + a ∈ (C ∩ B) + ADo đó (C + A) ∩ B ⊂ (C ∩ B) + A.
- Với mọi x ∈ (C ∩B)+A, khi đó:∃n ∈ C ∩B, a ∈ Asao cho:x = n+a
Trang 101.1.3 Môđun thương
Cho M là R - mơđun, N là mơđun con của M Khi đó:
M/N = {x + N : x ∈ M }
là một nhóm thương, đó cũng là nhóm Abel với phép cộng:
(x + N ) + (y + N ) = (x + y) + N
với mọi x + N, y + N ∈ M/N.
Trên M/N xác định phép nhân vô hướng như sau:
a(x + N ) = ax + N
với mọi a ∈ R, x + N ∈ M/N.
Thì phép nhân vơ hướng này thoả mãn các điều kiện của tích vơ hướng.Định nghĩa 1.1.8 Cho M là R - môđun, N là mơđun con của M Khiđó R - mơđun M/N, với phép cộng và phép nhân vô hướng được xác địnhở trên được gọi là môđun thương của R - mơđun M trên mơđun con N
của nó.
Ví dụ 1.1.9.
(i) Xét mơđun con nZ của Z - mơđun Z Khi đó ta có mơđun thươngcủa Z trên nZ là:
Z/nZ = {0, 1, , n − 1}.
Trang 111.2 Đồng cấu môđun, tự đồng cấu môđun
Định nghĩa 1.2.1 Cho hai môđun M, N là các R - môđun Khi đó, mộtánh xạ f : M → N thỏa mãn
f (x + y) = f (x) + f (y) và f (xa) = f (x)a
với mọi x, y ∈ M, a ∈ R, được goi là một đồng cấu R - mơđun từ M vào
N Nếu N = M thì f được gọi là một tự đồng cấu của M.
Nếu đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì nó tương ứngđược gọi là đơn cấu, tồn cấu, đẳng cấu.
Ví dụ 1.2.2.
(i) ChoN là một mơđun con củaR- mơđunM, thì ta có mơđun thương
M/N Khi đó quy tắc:
f : M → M/N
x 7→ p(x) = x = x + N
là một đồng cấu R - môđun Hơn thế nữa, p là một toàn cấu, được gọi làphép chiếu chính tắc Tồn cấu này có Kerp = N.
(ii) Với mỗi môđun con N của R - môđun M, ánh xạ cho bởi:
i : N → M
x 7→ i(x) = x
là một đơn cấu R - môđun, được gọi là phép nhúng chính tắc từ N vào
M.
Mệnh đề 1.2.1 Cho đồng cấu môđun f : M → N và U, V tương ứng làmôđun con của M, N Khi đó:
Trang 12Nhận xét 1.2.3 Im(f ) và Ker(f ) là những môđun con tương ứng của
N, M.
1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp1.3.1 Tích trực tiếp
Cho một họ các R - mơđun (Mi)i∈I; và xét tích Descartes của họ nàyY
i∈I
Mi = {(xi)i∈I | xi ∈ Mi}
Trên Q
i∈I
Mi ta định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng như sau:
(xi)i∈I + (yi)i∈I = (xi+ yi)i∈I
(xi)i∈Ia = (xia)i∈I
với mọi (xi)i∈I, (yi)i∈I ∈ Q
i∈I
Mi, a ∈ R.Định nghĩa 1.3.1 Q
i∈I
Mi là R - mơđun được gọi là tích trực tiếp của họ
R - môđun (Mi)i∈I Nếu Mi = M với mọi i ∈ I thì ta kí hiệu Q
i∈IMi bởiMI.1.3.2 Tổng trực tiếpĐịnh nghĩa 1.3.2 (xi)i∈I ∈ Qi∈I
Mi được gọi là có giá hữu hạn nếu xi = 0
tất cả trừ một số hữu hạn i ∈ I.Đặt ⊕
i∈IMi = {(xi)i∈I ∈ Q
i∈I
Mi | (xi)i∈I có giá hữu hạn} là một tập concủa Q
i∈I
Mi.
Khi đó với mọi (xi)i∈I, (yi)i∈I ∈ ⊕
i∈IMi, a, b ∈ R, vì (xi)i∈I và (yi)i∈I cógiá hữu hạn, nên
Trang 13cũng có giá hữu hạn Do đó:
(xi)i∈Ia + (yi)i∈Ib ∈ ⊕
i∈IMi.
Vậy ⊕
i∈IMi là một R - môđun con của Q
i∈I
Mi.Định nghĩa 1.3.3 ⊕
i∈IMi là R - môđun được gọi là tổng trực tiếp của họcác R - môđun (Mi)i∈I Nếu Mi = M với mọi i ∈ I thì ta kí hiệu ⊕
Trang 14CHƯƠNG2
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MƠĐUN ARTIN
Định nghĩa 2.0.1 Một R - mơđun M được gọi là môđun Artin nếu mỗitập khác rỗng các môđun con của M ln chứa ít nhất một phần tử cựctiểu theo quan hệ bao hàm.
Bài tập 2.1 Chứng minh rằng môđun M là Artin nếu và chỉ nếu mọidãy giảm các mơđun con của nó:
M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃
đều dừng, tức là có một số n sao cho Mn = Mn+1 =
Lời giải (⇒) Giả sử M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ là một dãy giảm các mơđuncon của M.
Vì M là mơđun Artin nên tập {Mi | i ≥ 0} các môđun con của M cómột phần tử cực tiểu, chẳng hạn đó là Mn, khi đóMk = Mn, ∀k ≥ n (theotính chất của môđun con cực tiểu).
(⇐) Giả sử S là một tập con khác rỗng các môđun con của M và S
khơng có phần tử cực tiểu.
Vì S 6= ∅ nên ta chọn được một mơđun con M0 ∈ S.
Khi đó, vì M0 khơng cực tiểu nên sẽ tồn tại M1 là môđun con thực sựcủa M0.
Cứ tiếp tục như thế, ta sẽ chỉ ra tồn tại một dãy giảm M0 ⊃ M1 ⊃M2 ⊃ không dừng các môđun con của M (mâu thuẫn).
Trang 15Bài tập 2.2 Giả sử N là một môđun con của M Chứng minh rằng M
là Artin nếu và chỉ nếu các môđun N và M/N đều Artin.
Lời giải (⇒) Giả sử M là môđun Artin Trước hết, ta sẽ chứng minh N
là mơđun Artin.
Thật vậy, vì mỗi tập hợp khác rỗng các môđun con trong N cũng làtập hợp khác rỗng các môđun con trong M nên trong tập hợp này cũngcó phần tử cực tiểu Do đó N là mơđun Artin.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh M/N là môđun Artin.
Giả sử M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ là dãy giảm các mơđun con của mơđun
M/N Xét phép chiếu chính tắc:
p : M → M/N
Khi đó sẽ tồn tại một dãy giảm các môđun con của M là N0 ⊃ N1 ⊃N2 ⊃ sao cho p(Ni) = Mi, với i ≥ 0.
Nhưng vì M là mơđun Artin nên dãy N0 ⊃ N1 ⊃ N2 ⊃ là dãy dừngtức là tồn tại một số n sao cho Nn = Nn+1 = , từ đó suy ra tồn tại mộtsố n sao cho p(Nn) = p(Nn+1) = hay Mn = Mn+1 =
Do đó M/N là mơđun Artin.
(⇐) Giả sử N và M/N là môđun Artin.
Xét dãy giảm bất kì các mơđun con của M: M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ Khi đó ta có dãy giảm tương ứng các môđun con của N:
M0 ∩ N ⊃ M1 ∩ N ⊃ M2 ∩ N ⊃
Và dãy giảm tương ứng các môđun con của M/N:
Trang 16với p là phép chiếu chính tắc.
Do N và M/N là môđun Artin nên tồn tại hai số n1 và n2 sao cho
Mn1 ∩ N = Mn1+1 ∩ N và p(Mn2) = p(Mn2+1).Đặt n = max (n1, n2).Khi đó Mn∩ N = Mn+1 ∩ N và p(Mn) = p(Mn+1).Từ p(Mn) = p(Mn+1) ta suy ra Mn+ N = Mn+1+ N Theo mệnh đề1.1.3, ta có: Mn = (Mn + N ) ∩ Mn = Mn = (Mn+1+ N ) ∩ Mn= Mn+1 ∩ (N + Mn) = Mn+1 ∩ (N + Mn+1) = Mn+1 = Do đó M là mơđun Artin.Bài tập 2.3 Chứng minh rằng Z-môđun Z không Artin.
Lời giải Để chứng minh Z-môđun Z không Artin ta sẽ chỉ ra một dãygiảm các môđun con của ZZ sao cho dãy này không dừng.
Thật vậy, với mọi a ∈ Z, a /∈ {0, ±1}, ta có dãy giảm khơng dừng cácmôđun con của ZZ là:
aZ ⊃ a2Z ⊃ a3Z ⊃
Do đó Z-mơđun Z khơng Artin.
Bài tập 2.4 Các ví dụ về mơđun Artin.
Lời giải Trước tiên ta sẽ chấp nhận một mệnh đề như sau:Mệnh đề 2.4.1 Dãy các môđun con của môđun M:
Trang 17(bao hàm ngặt) là dãy thoả mãn khơng có mơđun con của M nào có thểbổ sung vào dãy khi và chỉ khi Mi−1/Mi là đơn.
(i) Mọi môđun đơn (nghĩa là khơng có mơđun con nào ngồi 0 và chínhnó) đều là môđun Artin.
(ii) Mọi không gian vectơ hữu hạn chiều trên trường đều là môđunArtin Thật vậy, giả sử VK là một không gian vectơ hữu hạn chiều trêntrường K và {x1, x2, , xn} là một cơ sở của nó Khi đó:
V ⊃ x1K + x2K + + xnK ⊃ ⊃ x1K + x2K ⊃ x1K ⊃ 0
là một dãy các mơđun con của V.
Vìx1K+ +xiK là các môđun con cực đại của môđunx1K+ +xi+1K
nên (x1K + + xi+1K)/(x1K + + xiK) là các môđun đơn.Do đó VK là mơđun Artin.
Mặt khác, nếu VK là khơng gian vectơ vơ hạn chiều thì khơng là mơđunArtin.
(iii) Cho p là số nguyên tố và Qp = {a
pi | a ∈ Z, i ∈ N}, tức là Q là tậphợp tất cả các số hữu tỉ mà mẫu số là lũy thừa củap (bao gồm cả p0 = 1).Như vậy Qp là nhóm con (xem như nhóm cộng) của Q và Z ⊂ Qp.
Khi đó: Z - mơđun Qp là mơđun Artin Ta có thể tham khảo chứngminh sau đây.
Giả sử 1pi +Z
là môđun con của Z - môđun Qp sinh bởi phần tử
1
pi +Z ∈ Qp/Z ta xét dãy các môđun con trong Qp/Z:
0 ⊂ 1p +Z⊂ 1p2 +Z⊂ 1p3 +Z⊂
Trang 18môđun con thực sự của Qp/Z Từ đó suy ra rằng mỗi tập khơng rỗngnhững mơđun con của Qp/Z đều có mơđun con nhỏ nhất.
Trước hết ta có nhận xét rằng nếu(a, p) = 1thì 1pi +Z= api +Z(∗).
Thật vậy, do a và p là nguyên tố cùng nhau nên tồn tại m, n ∈ Z saocho: am + pin = 1Từ đó 1pi−ampi = n ∈ Z ⇒ ampi +Z = 1pi+Z ⇒ 1pi +Z⊂ api +Z.Vì apiZ ⊂ 1piZ nên api +Z⊂ 1pi +Z Do đó nhận xét trên đượcchứng minh.
Bây giờ nếu B là mơđun con của Qp/Z thì có thể xảy ra 2 trường hợp:Trường hợp 1: Đối với mỗi n ∈ N tồn tại i ∈ N sao cho i ≥ n và
a
pi +Z ∈ B, ngoài ra (a, p) = 1 Khi đó từ (∗) suy ra B = Qp/Z với mỗi
x
pi +Z ∈ B.
Trường hợp 2: Tồn tại i ∈ N cực đại để tìm được a
pi + Z ∈ B với
(a, p) = 1.
Khi đó từ (∗) suy ra: api +Z= 1pi +Z= B.Bài tập 2.5 Chứng minh rằng tích trực tiếp của một họ hữu hạn cácmôđun là Artin nếu và chỉ nếu mỗi môđun của họ là Artin.
Lời giải Khơng mất tính tổng qt ta xét tích trực tiếp của hai mơđun.Giả sử M = N × P thì N ∼= N × {0} và P ∼= M/N × {0}, vớiN là mơđuncon của M.
Trang 19Bài tập 2.6 Giả sử h là một tự đồng cấu của môđun Artin M Chứngminh rằng nếu h là một đơn cấu thì h là một đẳng cấu.
Lời giải Giả sử h : M → M là một tự đồng cấu của R - mơđun Artin
M và h là đơn cấu Ta có dãy giảm các môđun con của M là:
M ⊃ h(M ) ⊃ h2(M ) ⊃ h3(M ) ⊃
Do M là môđun Artin nên dãy trên phải dừng, tức là tồn tại một số n
sao chohn(M ) = hn+1(M ) = (1)
Bây giờ ta sẽ chứng minh h là một toàn cấu.
Thật vậy, với mọi a ∈ M, theo (1) ta được: hn(a) ∈ hn+1(M ) do đó sẽtồn tại b ∈ M sao cho:
hn(a) = hn+1(b) = hn(h(a)).
Vì h là một đơn cấu nên hn cũng là một đơn cấu Do đó a = h(b).Tức là với mỗi a ∈ M luôn tồn tại b ∈ M sao cho h(a) = b Suy ra h
là một tồn cấu.
Do đó h là một đẳng cấu.
Bài tập 2.7 Vành R có đơn vị 1R được gọi là vành Artin phải nếu R -mơđun phải R là Artin Cho các ví dụ về vành Artin phải.
Lời giải.
(i) Mọi trường đều là vành Artin.
Trang 20(iii) Với mỗi n ≥ 1, vành ma trận vuông Mn(R)trên một vành R Artinphải là vành Artin phải.
(iv) Với K là một trường Khi đó mơđun thương K[t]/tn là vành Artinvới mọi số ngun dương n.
(v) Vành số nguyên Z không phải là một vành Artin vì Z khơng phải
Trang 21KẾT LUẬN
Qua q trình tìm hiểu tài liệu, tơi vừa có thể ơn tập lại các kiến thứcvề cấu trúc mơđun, tơi vừa tìm hiểu thêm được thế nào là một mơđunArtin, đưa ra các ví dụ về mơđun Artin, vành Artin và chứng minh đượcmột số tính chất của môđun Artin thông qua việc giải các bài tập.
Qua quá trình tìm hiểu, tơi nhận thấy mình đã bước đầu thành côngtrong việc thực hiện một tiểu luận Tôi bước đầu có thể tìm hiểu thêm vềmột vấn đề mới nằm ngồi chương trình học tập Đây là nền tảng giúp tơicó thể thực hiện các tiểu luận hay khóa luận sau này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn Giáo sư - Tiếnsĩ Lê Văn Thuyết, ban chủ nhiệm khoa Tốn, các thầy cơ giáo và các bạnsinh viên trong khoa đã tạo điều kiện, giúp đỡ tơi hồn thành tiểu luậnnày.
Trang 22TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lí thuyếtmơđun và vành, NXB Giáo dục.
[2] Dương Quốc Việt (2017), Cơ sở lí thuyết Module, NXB Đại học Sưphạm.
[3] Văn Nam - Phan Văn Thiện (2012), Đại số đại cương nâng cao,Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế.
[4] F Kasch (1982), Modules und Rings, Academic Press.