Đa thức hilbert và chiều noether cho môđun artin

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ VIỆT HƯNG ĐA THỨC HILBERT VÀ CHIỀU NOETHER CHO MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN – 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ VIỆT HƯNG ĐA THỨC HILBERT VÀ CHIỀU NOETHER CHO MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN – 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Môc lôc Môc lôc Lời nói đầu Tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bậc 1.1 Môđun phân bậc 1.2 Tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bËc 13 Đa thức Hilbert chiều Noether cho môđun Artin 25 2.1 Đa thức Hilbert cho môđun Artin 25 2.2 ChiÒu Noether cho môđun Artin 33 2.3 Mét ứng dụng vào môđun đa thức ngược 41 44 45 Kết luận Tài liệu tham khảo 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình bảo nghiêm khắc PGS.TS Lê Thanh Nhàn Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS.TSKH Nguyễn Tự Cường, GS.TSKH Phùng Hồ Hải, GS.TS Nguyễn Quốc Thắng, TS Vũ Thế Khôi thầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên đà tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt thời gian học tập Trường Tôi xin chân thành cảm ơn tập thể cán giáo viên trường PTDT Nội Trú Quản Bạ - Tỉnh Hà Giang nơi công tác, đà tạo điều kiện để hoàn thành kế hoạch học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân đà động viên, ủng hộ vật chất tinh thần để hoàn thành tốt khãa häc cđa m×nh 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lêi nãi đầu Một phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu môđun hữu hạn sinh vành địa phương sử dụng kết tương ứng môđun phân bậc hữu hạn sinh vành phân bậc Noether Chẳng hạn, với môđun phân bậc hữu hạn sinh L Mn vành phân bậc chuẩn Noether nZ Rn , nZ hàm độ dài `R0 (Mn ) đa thức r»ng nÕu L n ®đ lín Tõ ®ã ng­êi ta cã thĨ suy (R, m) lµ vµnh giao hoán Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh hàm độ dài `R (M/qn M ) hàm đa thức với iđêan m-nguyên sơ q Hơn nữa, chiều Krull dim M M bậc đa thức `R (M/qn M ) số tự nhiên t bé cho tồn t phần tử x1 , , xt ∈ m ®Ĩ `(M/(x1 , , xt )M ) < Đối ngẫu với khái niệm chiều Krull dim M khái niệm chiều Noether N-dimR A R-môđun Artin A Khái niệm giíi thiƯu bëi R N Roberts [Ro] víi tªn gäi ''chiều Krull" sau D Kirby [K2] đổi thành chiều Noether để tránh nhầm lẫn Trong báo [K1], D Kirby đà đưa tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bậc chứng minh tính chất hàm đa thức độ dài môđun thành phần với bậc đủ nhỏ Sử dụng kết này, Ông đà với Artin R-môđun A vành địa phương (R, m) với iđêan q m cho `R (0 :A q) < , độ dài `R (0 :A qn ) đa thức n đủ lớn, gọi ®a thøc Hilbert cđa A øng víi q TiÕp theo, báo [Ro], R N Roberts đà bậc đa thức chiều Noether số tự nhiên A t bé cho tồn t phần tử x1 , , xt ∈ m ®Ĩ `(0 :A (x1 , , xt )R) < ∞ Môc đích luận văn trình bày lại tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bậc, đồng thời chứng minh lại chi tiết kết đa thức Hilbert 5S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn chiều Noether cho môđun Artin hai báo D Kirby, Artinian modules and Hilberts polynomials, Quart J Math Oxford 24 (1973), 47-57 R N Roberts, Krull dimension for artinian modules over quasi local commutative rings, Quart J Math Oxford 26 (1975), 269-273 LuËn văn trình bày số ứng dụng việc nghiên cứu tính Artin chiều Noether môđun đa thức ngược Luận văn chia làm chương Phần đầu Chương I nhắc lại số khái niệm tính chất môđun phân bậc Phần chứng minh tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bậc Chương II trình bày kết đa thức Hilbert chiều Noether cho môđun Artin vành địa phương, đồng thời đưa số ứng dụng việc nghiên cứu tính Artin chiều Noether môđun đa thức ngược Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012 Tác giả Vũ Việt Hưng 6S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng Tiêu chuẩn Artin cho môđun phân bậc 1.1 Môđun phân bậc Mục đích tiết nhắc lại khái niệm tính chất sở vành môđun phân bậc 1.1.1 Định nghĩa lối cộng Ta nói Cho A nhóm giao hoán với phép toán kí hiệu theo A tổng trực tiếp hä nhãm {Ai }i∈I nÕu A sinh S Ai vµ Ai ∩ Li = {0} víi mäi i ∈ I, Li nhóm iI S A sinh bëi tËp Aj NÕu A lµ tỉng trùc tiÕp cña hä nhãm {Ai }i∈I i6L =j∈I th× ta viÕt A = Ai i∈I Chó ý phần tử A tổng trực tiếp họ nhóm {Ai }iI a A biểu diễn cách thành tổng hữu h¹n a = ai1 + + aik , ®ã aij ∈ Aij víi mäi j = 1, , k S lµ mét vµnh Ta nói S vành phân bậc L S cã sù biĨu diƠn thµnh tỉng trùc tiÕp S = Sn họ nhóm 1.1.2 Định nghĩa Cho n∈Z {Sn } cña nhãm céng S cho Sn Sm ⊆ Sn+m víi mäi m, n ∈ Z Mỗi phần tử 1.1.3 Bổ đề S Sn gọi phần tử bậc n L Nếu S = Sn vành phân bậc S0 nZ Sn S0 -môđun với lµ mét vµnh n ∈ Z 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Để chứng minh nhân đóng kín thể S0 vành, ta cần chứng minh phép S0 Điều suy từ định nghĩa vành phân bậc, cụ S0 S0 S0 Để chứng minh Sn S0 -môđun, ta cần quy tắc : S0 ì Sn Sn cho (a, x) = ax tích vô hướng Điều rõ ràng từ định nghĩa vành phân bậc ta có 1.1.4 Định nghĩa thời Giả sử S0 Sn Sn L vành Một L-đại số vành S đồng S L-môđun Một L-đại số S gọi hữu hạn sinh tồn hữu hạn phần tử a1 , , an ∈ S cho S = {f (a1 , , an ) | f (x1 , , xn ) ∈ L[x1 , , xn ]}, ®ã L[x1 , , xn ] lµ vành đa thức n biến với hệ số L phần tử c L đồng với phần tử c1 S Trong trường hợp ta nãi {a1 , , an } hệ sinh đại số S ta viÕt S = L[a1 , , an ] L Từ đến hết chương này, giả thiết S = Sn vành phân nZ bậc Rõ ràng S có cấu trúc tự nhiên S0 -đại số Nếu tồn hữu hạn phần tử a1 , , an ∈ S1 cho S = S0 [a1 , , an ] ta nói S S0 -đại số phân bậc chuẩn 1.1.5 Bổ đề Giả sử vành đa thức S S0 đại số phân bậc chuẩn Khi Nếu thêm giả thiết S0 S thương vành Noether S vành Noether Chøng minh Gi¶ sư S = S0 [a1 , , an ] víi a1 , , an ∈ S1 Khi ®ã ϕ : S0 [x1 , , xn ] → S cho bëi ϕ(f (x1 , , xn )) = f (a1 , , an ) toàn cấu vành, Vì thÕ S0 [x1 , , xn ] vành đa thức n biến S0 S ∼ = S0 [x1 , , xn ]/ Ker Vì S0 Noether nên theo Định lÝ c¬ së Hilbert, S0 [x1 , , xn ] vành Noether Do vành th­¬ng S0 [x1 , , xn ]/ Ker ϕ lµ Noether Suy S lµ vµnh Noether 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.6 VÝ dơ Cho K lµ mét tr­êng KÝ hiÖu S = K[x1 , xn ] vành đa n thức n biÕn víi hƯ sè K Mét phÇn tư cđa S cã d¹ng ax1 xα n với a K gọi tử tõ cña S cã bËc α1 + + αn Ta quy ­íc phÇn cã bËc tuú ý Hai tõ u = axα1 xαnn vµ v = bxβ1 xnn gọi đồng dạng i = i víi mäi i = 1, , n Một đa thức f S gọi bậc n f tổng hữu hạn từ, từ có bậc n Với n > 0, đặt Sn tập đa thức bậc n Đặt Sn = với n < Chú ý đa thức S viết cách thành tổng từ không đồng dạng Do đó, việc nhóm từ bậc lại với nhau, đa thức f S viết cách L thành tổng hữu hạn đa thức Suy S = Sn n∈Z DÔ thÊy Sn Sm ⊆ Sn+m víi mäi n, m V× thÕ S vành phân bậc Ta gọi cách phân bậc L Sn vành phân bậc Một iđêan I nZ L S gọi hay phân bậc I = (I Sn ) 1.1.7 Định nghĩa Cho S phân bậc tự nhiên S= nZ Sau số tiêu chuẩn để iđêan vành phân bậc 1.1.8 Bổ đề Cho I iđêan vành phân bậc L S = Sn Các phát nZ biểu sau tương đương: I iđêan P (ii) fi ∈ I víi fi ∈ Si nÕu vµ chØ nÕu fi ∈ I , víi mäi i (i) (iii) I có hệ sinh gồm phần tư thn nhÊt P ∈ I , víi mäi i rõ ràng fi I Ngược P L lại, giả sử f = fi I với fi ∈ Si V× I = (I ∩ Sn ) f I nên f nZ P có biểu diƠn f = gi víi gi ∈ I ∩ Si Vì f có cách biểu Chøng minh (i)⇒(ii) NÕu fi 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn diÔn thành tổng hữu hạn phần tử nên ta phải có fi = gi với i Vì fi I Si với i Đặc biƯt, fi ∈ I víi mäi i P (ii)⇒(iii) Gi¶ sư I = Fj S víi Fj ∈ S Víi j , biểu diễn Fj = jJ nj P fjk , fjk Sk thành tổng hữu hạn phần tử Rõ ràng k=mj I (fjk , j ∈ J, k = mj , , nj )S Theo (ii), fjk ∈ I víi mäi j, k V× thÕ (fjk , j ∈ J, k = −mj , , nj )S ⊆ I VËy I = (fjk , j ∈ J, k = −mj , , nj )S , tøc lµ I cã mét hƯ sinh {fjk } víi j ∈ J vµ k = −mj , , nj hệ gồm phần tử thuÇn nhÊt L (iii)⇒(i) Ta chØ cÇn chøng minh I ⊆ (I ∩ Sn ) LÊy f ∈ I Theo n∈Z gi¶ thiÕt (iii), I cã mét hƯ sinh (fk ) víi fk ∈ Sk Do ®ã ta cã biĨu diƠn f = fk1 G1 + + fkn Gn víi fki ∈ Ski ∩ I Gi S Khai triển vế phải nhóm hạng tử đồng dạng, ta biểu diễn phần tử nhất, hạng tử thuộc f tổng I tổng hữu hạn hạng tử mà hạng tử chứa nhân tử fki Vì f L (I ∩ Sn ) n∈Z 1.1.9 Chó ý (i) Nếu Từ chứng minh bổ đề ta có tính chất sau: S vành phân bậc Noether iđêan I S I có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử (ii) Tổng hai iđêan iđêan (iii) Giao hai iđêan iđêan Phần tiếp theo, nhắc lại số khái niệm tính chất môđun phân bậc 1.1.10 Định nghĩa Cho S = L Sn vành phân bậc Một S -môđun X nZ gọi phân bậc có họ (Xn )n∈Z c¸c nhãm cđa nhãm 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 (a') (0 :Mn xs R) = vµ Mn /xs Mn−1 = víi mäi n > p; (b') Víi mäi n < k ta cã (0 :(0:Mn xs R) (x1 , , xs−1 )R) = vµ (0 :Mn /xs Mn−1 (x1 , , xs1 )R) = Vì Mn có độ dài hữu hạn nên (0 :Mn xs R) Mn /xs Mn1 có độ dài hữu hạn với k n p Do ®ã (0 :Mn xs R) ∈ µ vµ Mn /xs Mn−1 ∈ µ víi mäi k n p Vì thế, theo giả thiết quy nạp, (0 :M xs R) M/xs M phần tử às1 2.1.7 Bổ đề Giả sử A R-môđun tồn iđêan hữu hạn sinh với J I Artin Khi với iđêan cña R cho I cña R, (0 :A I n ) = (0 :A J n ) n ≥ Đặt Chứng minh = {(0 :A I ) | I I I hữu hạn sinh} Rõ ràng 6= ta chọn I = I iđêan hữu hạn sinh (sinh phần tử 0) ®ã ta cã A = (0 :A 0) ∈ Do A Artin nên có phần tử cùc tiĨu minh (0 :A J) víi J ⊆ I iđêan hữu hạn sinh Ta chứng (0 :A I) = (0 :A J) Vì J I nên (0 :A I) (0 :A J) Ngược lại, giả sư m ∈ / (0 :A I) Khi ®ã Im 6= am 6= với a I Đặt J = J + aR Khi J I J iđêan hữu hạn sinh Rõ ràng (0 :A J ) ⊆ (0 :A J) Do tÝnh tèi thiĨu cđa (0 :A J) ta ph¶i cã (0 :A J ) = (0 :A J) V× a ∈ J am 6= nên m / (0 :A J ) V× thÕ m ∈ / (0 :A J) VËy (0 :A I) = (0 :A J) Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo n ≥ r»ng (0 :A I n ) = (0 :A J n ) Trường hợp n = hiển nhiên Ta đà chứng minh cho trường hợp nên n = Cho n > V× J n ⊆ I n (0 :A I n ) ⊆ (0 :A J n ) LÊy m ∈ (0 :A J n ) Khi ®ã J n m = Suy J n−1 (Jm) = V× thÕ Jm ⊆ (0 :A J n1 ) Theo giả thiết quy nạp, Jm ⊆ (0 :A I n−1 ) Do ®ã I n−1 (Jm) = Suy I n−1 m ⊆ (0 :A J) V× (0 :A J) = (0 :A I) nên I n1 m (0 :A I) Vì I(I n−1 m) = hay 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 I n m = Do ®ã m ∈ (0 :A I n ) VËy, (0 :A J n ) = (0 :A I n ) víi mäi n ≥ Định lí sau đây, kết thứ hai luận văn này, A R-môđun Artin I iđêan R cho `(0 :A I) < ∞ th× `R (0 :A I n ) hàm đa thức 2.1.8 Định lý Cho (0 :A I) n A R-môđun có độ dài hữu hạn `R (0 :A I n ) phần tử Artin (0 :A I n ) I iđêan R Nếu có độ dài hữu hạn với hàm đa thức Hơn nữa, I có hệ sinh gåm s `R (0 :A I n ) lµ hàm đa thức có bậc s Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.7, ta giả sử iđêan I iđêan hữu I = (a1 , , as )R Đặt M n = (0 :A I n )/(0 :A I n−1 ) +∞ L M n víi mäi n ≥ vµ M n = víi mäi n ≥ KÝ hiƯu M = hạn sinh Giả sử Với i = 1, , s vµ n −1, ta định nghĩa tích xi với phần tử m = m + (0 :A I −n ) ∈ M n−1 , ®ã m ∈ (0 :A I −n+1 ) lµ xi m = xi (m + :A I −n ) = m + :A I −n−1 Gi¶ sư m + (0 :A I −n ) = m0 + (0 :A I −n ) víi m, m0 ∈ (0 :A I −n+1 ) Khi ®ã ta cã m − m0 ∈ (0 :A I −n ) Suy I −n (m − m0 ) = V× thÕ ta cã I −n−1 I(m − m0 ) = Do I = (a1 , , as )R nªn ta cã I −n−1 (a1 , , as )R(m − m0 ) = Do ®ã I −n−1 (m − m0 ) = víi mäi i = 1, , s Điều chứng tỏ (m m0 ) ∈ (0 :A I −n−1 ) hay m + :A I −n−1 = m0 + :A I −n−1 víi mäi i = 1, , s Vậy phép nhân xác định dễ thấy làm thành tích vô hướng Rõ ràng M Vì M có cấu trúc R[x1 , , xs ]-môđun M n = víi mäi n > −1 Ngoµi với n < 1, có 34S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 phÇn tư m = m + :A I −n ∈ M n cho xi m = theo định nghĩa tích vô hướng ta có ®ã I −n−1 ( s P R)m = hay m (0 :A I n ) Điều chøng tá m = i=1 vµ suy m (0 :A I n1 ) với i = 1, , s Do (0 :Mn s P xi R) = víi mäi n < −1 Cịng cÇn chó ý r»ng i=1 M−1 = (0 :A I) R-môđun Artin Từ lập luận ta thấy R[x1 , , xs ]-môđun M thỏa mÃn điều kiện (a), (b), (c) Hệ 2.1.6 Theo Định lý 2.1.5, hàm bậc không M phần tử Artin µs g(n) = `R (M −n ) víi n N hàm đa thức s V× M −n = (0 :A I n )/(0 :A I n−1 ) nªn ta cã d·y khíp sau: → (0 :A I n−1 ) → (0 :A I n ) → M −n → Chó ý r»ng M n ∈ µ víi mäi n ∈ Z Do ®ã `R (M −n ) < ∞ víi mäi n ≥ Do (0 :A I) = M −1 nªn `R (0 :A I) = `R (M −1 ) < ∞ Tõ d·y khíp trªn ta suy (0 :A I ) có độ dài `R (0 :A I ) hữu hạn Cứ tiếp tục trình trên, quy nạp, ta suy `R (0 :A víi mäi I n) < ∞ n ≥ V× thÕ `R (0 :A I n ) = `R (0 :A I n1 ) + `R (M n ) Đặt f (n) = `R (0 :A I n ) víi n ≥ Suy f (n − 1) = `R (0 :A I n1 ) ta cã f (n) − f (n − 1) = g(n) víi mäi n ≥ Theo chøng minh trªn, g(n) hàm đa thức bậc không s1 Theo Bổ ®Ò 2.1.3, f (n) = `R (0 :A I n ) hàm đa thức bậc không s Đa thức `R (0 :A môđun Artin 2.2 I n ) Định lí 2.1.8 gọi đa thức Hilbert A ứng với iđêan I Chiều Noether cho môđun Artin 2.2.1 Chú ý Trong suốt tiết này, giả thiết R vành giao hoán với iđêan cực đại m (vành R không thiÕt lµ vµnh Noether), A 35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 lµ R-môđun Artin Trước hết, ta định nghĩa chiều Noether cho R-môđun tùy ý M (không thiết Artin) 2.2.2 Bổ ®Ị NÕu th× → M0 → M → M” dÃy khớp R-môđun N-dimR M = max{N-dimR M , N-dimR M ”} Chøng minh Cã thể giả thiết M môđun M M 00 = M/M Từ định nghĩa chiều Noether ta dễ kiểm tra N-dimR M max{N-dimR M , N-dimR M ”} Gi¶ sư max{N-dimR M , N-dimR M ”} = d NÕu d = −1 th× M , M 00 = M = Suy N-dimR M = −1 NÕu d = th× M 6= M 6= M , M 00 Noether Do M 6= lµ Noether Suy N-dimR M = Cho d > NÕu N-dimR M < d th× d = max{N-dimR M , N-dimR M ”} N-dimR M < d, vô lí Lấy M0 M1 dÃy tăng môđun M Khi ta có dÃy tăng (M0 + M )/M ⊆ (M1 + M )/M ⊆ môđun M dÃy tăng M0 ∩ M ⊆ M1 ∩ M ⊆ môđun M XÐt d·y khíp → Mn+1 ∩(Mn +M )/Mn → Mn+1 /Mn → Mn+1 /Mn+1 ∩(Mn +M ) Vì N-dim M 00 d nên tồn t¹i n0 cho víi mäi n ≥ n0 N-dimR Mn+1 /(Mn+1 ∩ (Mn + M )) 0 = N-dimR (Mn+1 + M )/M (Mn + M )/M ) < d − V× N-dimR M d nên tồn n1 cho N-dimR Mn+1 ∩ (Mn + M )/Mn N-dimR Mn+1 ∩ M /Mn ∩ M < d − 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 víi mäi n ≥ n1 Do áp dụng giả thiết quy nạp cho d·y khíp trªn ta cã N-dimR (Mn+1 /Mn ) < d−1 víi mäi n ≥ n2 , ®ã n2 = max{n0 , n1 } Theo định nghĩa chiều Noether ta suy 2.2.3 Bổ đề Cho A 6= R-môđun N-dimR M = d Artin Khi ®ã N-dimR A = nÕu dim(R/ AnnR A) = Trong trường hợp này, A có độ dài hữu hạn vành R/ AnnR A Artin Chứng minh Giả sử `R (A) < Vì vậy, theo Matsumura [Mat], vành R/ AnnR A Artin Khi N-dimR A = 0, A R-môđun Noether dim(R/ AnnR A) = Ngược lại, giả sử dim(R/ AnnR A) = AnnR A iđêan m nguyên sơ Vì thế, tồn n ∈ N cho mn ⊆ AnnR A Suy mn A ⊆ (AnnR A)A = V× thÕ ta cã d·y = mn A ⊆ mn−1 A ⊆ ⊆ mA ⊆ A Chó ý r»ng m ⊆ AnnR (mi A/mi+1 A) víi mäi i Vì mi A/mi+1 A có cấu trúc tự nhiên R/m-môđun Artin, R/m-không gian véc tơ hữu hạn chiều Suy `R (mi A/mi+1 A) i Vì `R A = = dimR/m (mi A/mi+1 A) < ∞ víi n−1 P `R (mi A/mi+1 A) < ∞ Tõ ®ã ta suy A Noether i=0 N-dim A = PhÇn tiÕp theo, chóng ta sÏ chØ r»ng chiỊu Noether của đa thức Hilbert A bậc A, vµ cịng lµ sè t bÐ nhÊt cho cã t phÇn tư x1 , , xt ∈ m ®Ĩ `R (0 :A (x1 , , xt )R) < 2.2.4 Định nghĩa Chiều Krull cổ điển hiệu R-môđun Artin A 6= 0, kí cl-dimR A, cho bới công thức cl-dimR A = inf{t ∈ N | ∃x1 , , xt ∈ m : `R (0 :A (x1 , , xt )R) < ∞} Nếu A = ta đặt cl-dimR A = −1 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 2.2.5 Bổ đề Các phát biểu sau (i) Chiều Krull cổ điển B (ii) Nếu (iii) Nếu cl-dimR A R-môđun A hữu hạn môđun B A cl-dimR B cl-dimR A mô đun A cho B 6= A vµ `R (B) < ∞ th× cl-dimR A = cl-dimR (A/B) Chøng minh tù nhiên (i) Ta có m AnnR (0 :A m) Vì (0 :A m) có cấu trúc R/m-môđun Artin R/m-không gian véc tơ hữu hạn chiều Suy `R (0 :A m) = dimR/m (0 :A m) < ∞ Theo Bỉ ®Ị 2.1.7, tồn iđêan hữu hạn sinh I m cho (0 :A m) = (0 :A I) V× `R (0 :A I) < cl-dimR A không vượt số phần tử hệ sinh hữu hạn I (ii) Với x1 , , xt m, đặt I = (x1 , , xt )R Chó ý với R-môđun X ta có Hom(R/I, X) ∼ = (0 :X I) V× thÕ tõ d·y khíp → B → A → A/B → ta cã d·y khíp c¶m sinh → (0 :B I) → (0 :A I) → (0 :A/B I) → Ext1R (R/I, B) V× thÕ, nÕu `R (0 :A tøc cl-dim B cl-dimR A (iii) Vì `R (B) Do `R (0 :A tỏ I) < `R (0 :B I) < ∞, < ∞ nªn `R (0 :B I) < ∞ vµ `R (Ext1R (R/I, B)) < ∞ I) < ∞ nÕu vµ chØ nÕu `R (0 :A/B I) < Điều chứng cl-dimR A = cl-dimR (A/B) 2.2.6 Bỉ ®Ị NÕu cl-dimR A > cl-dimR A = cl-dimR A0 Chøng minh cho Gi¶ sử có môđun xB = B với mét phÇn tư B cđa A cho x ∈ m N-dimR A = d Khi tồn x1 , , xd ∈ m `(0 :A I) < ∞, ®ã I = (x1 , , xd )R V× `(0 :A I) < nên quy nạp theo s ta dễ dàng suy `(0 :A 38S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên I s ) < ∞ víi mäi s ∈ N http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Vì A Artin nên dÃy giảm A IA ⊆ I A ⊆ ph¶i dõng, tøc tồn t N cho I t A = I t+1 A Đặt J = I t B = JA Do I hữu hạn sinh (sinhbowir d phần tử) nên J hữu hạn sinh Gọi b1 , , bm lµ mét m L hệ sinh J Xét ánh xạ : A → JA cho bëi ϕ(a) = (b1 a, , bm a) Râ rµng i=1 ϕ đồng cấu R-môđun Ker = {a ∈ A | bi a = 0, ∀i = 1, , m} = (0 :A J) Chó ý r»ng `R (0 :A J) < ∞, ®ã `R (Ker ) < Theo định lí đồng cấu môđun ta có A/ Ker = Im Vì thế, theo Bổ đề 2.2.5(iii) ta có cl-dimR A = cl-dimR (A/ Ker ϕ) = cl-dimR Im ϕ Theo Bỉ ®Ị 2.2.5(ii), m cl-dimR Im ϕ cl-dimR ⊕ JA = cl-dimR JA i=1 Vì lại theo Bổ ®Ò 2.2.5(ii) ta cã cl-dimR A cl-dimR JA cl-dimR A V× thÕ cl-dimR A = cl-dimR B Chó ý r»ng I t+1 A = I t A = B Do IB = B Vì thế, tôn x ∈ I ⊆ m cho xB = B Với R-môđun Artin A 6= ta đặt fA (n) = `A (0 :A mn ) Theo Định lí 2.1.8, f (n) hàm đa thức Kí hiệu d = d(A) bậc f (n) Khi tồn  d P n+i số nguyên a0 , , ad víi ad > cho fA (n) = i i=0 2.2.7 Bỉ ®Ị Cho → A0 → A → A” → dÃy khớp R-môđun Artin Giả sử bậc đa thức Hilbert Khi hàm đa thức fA (n) = `R (0 :A mn ) fA00 (n) cã bËc d vµ hƯ sè cđa nk fA (n) − fA0 (n) trïng víi hƯ sè cđa nk cđa A d hàm đa thức hàm đa thøc fA00 (n) víi mäi k ≥ d 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Chøng minh cđa Kh«ng mÊt tÝnh tỉng quát ta giả thiết A0 môđun A vµ A00 = A/A0 Tõ d·y khíp → (0 :A0 mn ) → (0 :A mn ) → (0 :A mn )/(0 :A0 mn ) → ta cã fA (n) − fA0 (n) = `R (0 :A mn )/(0 :A0 mn ) = `R (0 :A mn )/(0 :A mn ∩ A0 ) = `R ((0 :A mn + A0 )/A0 ) `R ((A0 :A mn )/A0 ) = `R (0 :A00 mn ) = fA00 (n) Theo Bổ đề Artin-Rees cho môđun Artin, tồn sè r ∈ N cho
A0 + (0 :A mn ) = A0 + (0 :A mr ) :A mn−r ⊇ (A0 :A mn−r ) víi mäi n ≥ r V× thÕ `R ((0 :A mn + A0 )/A0 ) ≥ `R (0 :A00 mn−r ) = fA00 (n − r) Suy fA00 (n) ≥ fA (n) − fA0 (n) ≥ fA00 (n − r) víi n đủ lớn Vì fA (n) có bậc d nên fA0 (n) cã bËc d Do ®ã fA (n) − fA0 (n) cã bËc d V× thÕ fA00 (n) cã bËc d Do ®ã víi k > d, hệ số ứng với nk hai đa thức fA (n) fA0 (n) fA00 (n) với chúng nhau, k = d chí hai vế bất đẳng thức cho nd lấy giới hạn n tiến tới vô cùng, ta hệ số øng víi nd cđa hai ®a thøc fA (n) − fA0 (n) fA00 (n) Định lí sau đây, kết luận văn, chiều Noether thức Hilbert N-dimR A, chiều Krull cổ điển cl-dimR A bậc đa deg fA (n) R-môđun Artin A 2.2.8 Định lý Với R-môđun Artin A ta cã N-dimR A = cl-dimR A = deg fA (n) 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Chøng minh Tr­íc hÕt, ta chøng minh deg fA (n) cl-dimR A Gi¶ sư cl-dimR A = d Khi tồn phần tö x1 , , xd ∈ m cho `R (0 :A (x1 , , xd )R) < Đặt I = (x1 , , xd )R Theo Định lí 2.1.8, `R (0 :A I n ) hàm đa thức bậc không d Theo Định lí 2.1.8, fA (n) hàm đa thức Vì I m nên deg fA (n) = deg `R (0 :A mn ) deg `R (0 :A I n ) d Do ®ã deg fA (n) cl-dimR A TiÕp theo, ta chøng minh cl-dimR A N-dimR A b»ng quy n¹p theo d = N-dimR A Víi d = −1, ta có A = cl-dimR A = Nếu d = A Noether `R (A) < Vì cl-dimR A = Cho d > Khi ®ã A không Noether, `R (A) = , ®ã cl-dimR A > Theo Bỉ ®Ị 1.2.5, tån môđun B A cho cl-dimR A = cl-dimR B vµ xB = B víi x ∈ m Vì ta cần chứng minh cl-dimR B d Xét dÃy tăng (0 :B x) ⊆ (0 :B x2 ) ⊆ c¸c mô đun nguyên B Vì N-dimR B N-dimR A = d nên tồn số n cho N-dimR (0 :B xm+1 )/(0 :B xm ) d với m n Đặc biÖt, ta cã N-dimR (0 :B xn+1 )/(0 :B xn ) d Vì xB = B nên ta dễ dàng kiểm tra ánh xạ đẳng cÊu Do ®ã xn (0 :B xn+1 )/(0 :B xn ) → (0 :B x) lµ N-dimR (0 :B x) d Theo giả thiết quy nạp, cl-dimR (0 :B x) = k d − V× tồn k phần tử x1 , , xk ∈ m cho `R (0 :B (x, x1 , , xk )R) = `R (0 :(0:B xR) (x1 , , xk )R) < ∞ V× thÕ cl-dimR B k + d Do ®ã cl-dimR A N-dimR A Cuèi cïng ta chøng minh N-dimR A deg fA (n) b»ng quy n¹p theo d = deg fA (n) Víi d = −1, ta cã fA (n) = `R (0 :A mn ) = víi n ®đ lín V× thÕ (0 :A m) = Suy A = N-dimR A = Cho 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 d = Khi ®ã fA (n) = `R (0 :A mn ) lµ mét h»ng sè n ®đ lín Suy A cã độ dài hữu hạn A Noether Vì N-dimR A = Giả sử d > Cho A0 ⊆ A1 ⊆ lµ dÃy tăng môđun A Với s N, kí hiệu gs (n) đa thức Hilbert môđun Artin As+1 /As Vì As A nªn deg fAs (n) deg fA (n) = d víi mäi s Do ®ã, theo Bỉ ®Ị 2.2.7, hệ số nd hai hàm đa thức fAs+1 (n) − fAs (n) vµ gs (n) lµ nh­ Do hệ số nd hai hàm đa thøc fAs+1 (n) − fA0 (n) = [fAs+1 (n) − fAs (n)] + + [fA1 (n) − fA0 (n)] vµ gs (n) + gs−1 (n) + + g0 (n) Vì As+1 A A0 As+1 nên fAs+1 (n) − fA0 (n) fA (n) Gäi hÖ sè nd hàm đa thức fA (n) ad Khi ad hệ số nd hàm đa thức fAs+1 (n)fA0 (n) không vượt ad với s Chú ý rằng, với t N, hệ số nd hàm đa thức gt (n) không âm Nếu tồn vô hạn số t cho hệ số nd hàm đa thức gt (n) dương s ®đ lín ta cã hƯ sè cđa nd hàm đa thức gs (n) + gs1 (n) + + g0 (n) lớn ad , điều vô lí Vì thế, có hữu hạn số hàm đa thức gt (n) khác Do đó, tồn t để hệ số nd n0 cho deg gt (n) d − với t n0 Theo giả thiết quy nạp, N-dimR (At+1 /At ) d − víi mäi t n0 Do đó, từ định nghĩa chiều Noether ta suy N-dimR A d VËy N-dimR A deg fA (n) 2.2.9 Hệ Nếu (0 :A x) 6= xm phần tử tháa m·n xA = A N-dimR A > vµ N-dimR (0 :A x) = N-dimR A − Chøng minh Do (0 :A x) 6= nªn A 6= Nếu N-dimR A = A Noether xA 6= A theo Bổ đề Nakayama Vì thÕ N-dimR A > Gi¶ sư N-dimR A = d Theo Định lí 2.2.8, hàm đa thức fA (n) = `R (0 :A mn ) cã bËc d Suy hàm đa thức f(0:A x) (n) = `R (0 :(0:A x) mn ) 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 cã bËc không d Vì xA = A nên ta có d·y khíp → (0 :A x) → x A → A → Do ®ã theo Bỉ ®Ị 2.2.7, hệ số bậc d hai hàm đa thức fA (n) − f(0:A x) (n) vµ fA (n) lµ nh­ Suy f(0:A x) (n) cã bËc nhá h¬n thực d Vì thế, theo Định lí 2.2.8 ta cã N-dimR (0 :A x) d − NÕu N-dimR (0 :A x) = k < d − tồn k phần tử x1 , , xk ∈ m cho `(0 :A (x, x1 , , xk )R) = `R (0 :(0:A x) (x1 , , xk )R) < Do đó, theo Định lí 2.2.8 ta cã VËy N-dimR A + k < d, điều vô lí N-dimR (0 :A x) = d 2.3 Một ứng dụng vào môđun đa thức ngược Khái niệm môđun đa thức ngược đà đưa Macaulay đà đề cập đến báo Kirby [K1] Trong phần ứng dụng này, sử dụng Định lí 1.2.1 2.2.8 để nghiên cứu tính Artin chiều Noether môđun đa thức ngược 2.3.1 Định nghĩa Cho M R-môđun Một biểu thức có d¹ng m = axi11 xiss víi a ∈ M vµ i1 , , is số nguyên không dương gọi tõ ng­ỵc bËc i1 + + is cđa c¸c biÕn x1 , , xs víi hƯ sè M Hai tõ ng­ỵc m = axi11 xiss vµ m0 = a0 xj11 xjss gọi dạng ik ®ång = jk víi mäi k = 1, , s Một tổng hữu hạn từ ngược gọi đa thức ngược biÕn x1 , , xs víi hƯ số M Với hai từ ngược đồng dạng m = axi11 xiss vµ m0 = bxi11 xiss , ta định nghĩa m + m0 = (a + b)xi11 xiss Khi đó, cách ước lược từ ngược đồng dạng, đa thức ngược biểu diễn cách thành tổng hữu hạn từ ngược không đồng dạng Tập đa thức ngược kí hiệu M [x1 , , xs ] Định nghĩa phép cộng −1 M [x−1 , , xs ] theo cách tự nhiên (cộng theo từ đồng dạng) tích vô 43S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 h­íng xác định sau: với m x = rxj11 xjss ∈ R[x1 , , xs ], r R a M , ta định nghĩa tích xm phÇn tư raxi11 +j1 xiss +js nÕu tất ik + jk không dương với ®ã −1 = axi11 xiss thuéc M [x−1 , , xs ] k = 1, 2, , s vµ b»ng trường hợp ngược lại Khi M [x1 , , xs ] lµm thµnh R[x1 , , xs ]-môđun, gọi đa thức ngược s biến x1 , , xs M Định lí sở Hilbert phát biểu thức môđun R vành Noether vành đa R[x1 , , xs ] Noether Hơn nữa, công thức tính chiều Krull vành đa thức sau: dim R[x1 , , xs ] = dim R+s Dưới trình bày kết đối ngẫu với kết cho môđun Artin 2.3.2 Định lý Cho (i) (ii) R[x1 , , xs ]-môđun A[x1 , , xs ] cịng lµ Artin −1 N-dimR[x1 , ,xt ] A[x−1 , , xs ] = N-dimR A + s Chøng minh ta đặt A 6= R-môđun Artin Khi Đặt −1 S = R[x1 , , xs ] vµ B = A[x−1 , , xs ] Víi n > Bn = Đặt B0 = A Với n < 0, đa thức ngược f B tổng từ ngược có bậc n ta nói f là tập đa thức ngược bậc n Rõ ràng B = bậc n Đặt Bn L Bn Ta cã n∈Z Bn = víi mäi n > Cho n < Gi¶ sư f ∈ (0 :Bn (x1 , , xs )R) Khi Pt ik1 iks ®ã f ∈ Bn V× thÕ ta cã thĨ viÕt f = k=1 mk víi mk = ak x1 xs từ ngược bậc n Với k {1, , t} cố định, n < nên số ikj phải có số âm Giả sử j số cho ikj < Khi ®ã ta cã i +1 = xj mk = ak xi1k1 xjkj Chó ý r»ng bËc cđa xj mk lµ n + không dương Vì xisks Hơn nữa, số ik1 , , ikj + 1, iks xj mi = kÐo theo ak = Suy f = VËy (0 :Bn (x1 , , xs )R) = víi mäi n < 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Víi n = 0, ta cã B0 = A R-môđun Artin Do đó, theo Định lÝ 1.2.1 ¸p dơng cho c¸c sè p = = k , ta suy B S -môđun (phân bậc) Artin (ii) Bằng quy nạp, ta cần chứng minh cho trường hợp s = Đặt x1 = x, S = R[x] vµ B = A[x−1 Kí hiệu L = R[[x]] vành chuỗi lũy thừa hình thức biến x với hệ số R Với m B , gọi n bậc bé số bậc từ ngược f Khi xn+1 f Vì ta định nghĩa tích vô hướng cđa mét phÇn tư víi mét phÇn tư m= n P ∞ P ri xi ∈ L i=0 x i B cách nhân đa thức i=0 víi = n P ri xi i=0 m Tõ ®ã ta suy B cã cÊu tróc tù nhiªn L-môđun môđun S -môđun B môđun L-môđun B Vì B L-môđun Artin N-dimS B = N-dimL B Do ta cần chứng minh N-dimL B = N-dimR A + đủ Rõ ràng x AnnL (0 :B x) Vì (0 :B x) có cấu trúc tự nhiên L/xL-môđun hai dàn môđun L-môđun (0 :B x) R-môđun (0 :B x) Chú ý L/xL ∼ = R V× thÕ (0 :B x) cã cấu trúc R-môđun Artin Ta có n n o n X X −i+1 −i x =0 x ∈ B