ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - - LÊ THỊ MAI QUỲNH ĐẶC TRƯNG CỦA MƠĐUN COHEN–MACAULAY DÃY QUA TÍNH CHẤT PHÂN TÍCH THAM SỐ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN NĂM 2008 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.lrc-tnu.edu.vn Mơc lơc Mơc lơc Lêi c¶m ơn Phần mở đầu Chương I Kiến thức chn bÞ 1.1 HƯ tham sè 1.2 D·y quy môđun Cohen-Macaulay 1.3 Môđun Cohen-Macaulay dÃy Chương II Phân tích tham số môđun Cohen-Macaulay dÃy 10 14 2.1 Đặc trưng môđun Cohen-Macalay dÃy 14 2.2 Đa thức Hilbert-Samuel môđun Cohen-Macaulay dÃy 27 2.3 Ví dụ 31 Tài liệu tham khảo 38 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Tự Cường Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn, PGS.TS Nguyễn Quốc Thắng toàn thể thầy cô giáo Khoa Toán Phòng Đào tạo sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đà tận tình giảng dạy giúp đỡ suốt thời gian học tập trường Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ nhiệt thành chu đáo NCS Trần Nguyên An, bạn Hoàng Lê Trường phòng đại số trình thực luận văn Lời nói đầu Cho R vành địa phương Noether với iđêan tối đại m M R môđun hữu hạn sinh với dim M = d Cho x = x1 , , xd lµ hƯ tham sè cđa M vµ q = (x1 , , xd ) iđêan tham số M sinh x Với số nguyên dương n, ký hiÖu d Λd,n = {(α1 , , αd ) ∈ Z | αi ≥ 1, ∀1 ≤ i ≤ d, d X αi = d + n − 1} i=1 q(α) = (xα1 , , xαd d ) víi ∀α = (α1 , , αd ) ∈ Λd,n Ta nãi r»ng hÖ tham sè x cã tÝnh chÊt phân tích tham số đẳng thức T qn M = q()M với n Vậy mét hƯ tham sè vµ α∈Λd,n cho tríc cđa M có tính chất phân tích tham số Vấn đề Heinzer, Ratliff Shah đà chứng minh dÃy phần tử R quy có tính chất phân tích tham số Sau đó, Goto Shimoda đà điều ngược lại phần tử dÃy không ước không R Hơn nữa, họ đưa đặc trưng khác R với dim R 2, mäi hƯ tham sè cđa R cã tÝnh chÊt ph©n tích tham số Ta nói môđun M môđun Cohen-Macaulay dÃy tồn hệ tham số x cho x có tính chất phân tích tham số Bây giờ, ta hạn chế quan tâm câu hỏi cho hệ tham số tốt M Khi môđun Cohen-Macaulay dÃy đặc trưng tính chất phân tích tham sè cđa mét hƯ tham sè tèt nh thÕ Nội dung trình báo Parametric decomposition of powers of parameter ideals and sequentially Cohen-Macaulay modules tác giả Nguyễn Tự Cường Hoàng Lê Trường Bài báo tạp chí " Proc Amer Math Soc." Mục đích luận văn trình bày lại cách hệ thống chi tiết kết báo Luận văn chia làm Chương chương "Kiến thức chuẩn bị" chương giới thiệu số kiến thức đại số giao hoán hệ tham số, dÃy quy, môđun CohenMacaulay, môđun Cohen-Macaulay dÃy Chương "Phân tích tham số môđun Cohen-Macaulay dÃy" trình bày số bổ đề từ đến định lý chương nói đặc trưng môđun Cohen-Macaulay dÃy qua phân tích tham số hệ Định lý phát biểu Định lý 2.1.6 Cho (R, m) vành địa phương Noether M R môđun hữa hạn sinh Khi mệnh đề sau tương đương: (i) M môđun Cohen-Macaulay dÃy (ii) Mäi hƯ tham sè tèt cđa M (iii) Tån t¹i hƯ tham sè tèt cđa cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè M cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè Ngoài chương trình bày mối quan hệ môđun CohenMacaulay dÃy M biểu thức hàm Hilbert-Samuel thông qua định lý Định lý 2.2.3 Cho D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M lọc chiều M đặt Di = Di /Di−1 víi mäi i = 1, , t, D0 = D0 Khi mệnh đề sau tương đương: (i) M môđun Cohen-Macaulay dÃy q M , đẳng thức t X n + d i l(M/qn+1 M ) = l(Di /qDi ) d i i=0 (ii) Víi bÊt kú iđêan tham số tốt với n q M cho đẳng thức t X n + d i l(M/qn+1 M ) = l(Di /qDi ) d i i=0 (iii) Tồn iđêan tham số tốt với n Phần cuối chương xây dựng ví dụ nhằm làm sáng tỏ kết đà nêu Chương Kiến thức chuẩn bị Mục đích chương nhắc lại số kiến thức đại số giao hoán sử dụng luận văn bao gồm định nghĩa, mệnh đề bổ đề hệ tham số, dÃy quy, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay dÃy 1.1 Hệ tham số Trong phần ta đưa khái niệm số tính chất hệ tham số, khái niệm quan trọng xuyên suốt trình thực luận văn 1.1.1 Định nghĩa Cho (R, m) vành địa phương Noether, M R môđun hữu hạn sinh với dim M = d Tập phần tö x = (x1 , x2 , , xd ), xi ∈ m , ∀i = 1, , d tho¶ m·n lR (M/xM ) < gọi tham số Giả sử sinh với hệ M (R, m) vành địa phương Noether, M R môđun hữu hạn dim M = d Mệnh đề sau nêu lên số tính chất hệ tham số 1.1.2 MƯnh ®Ị [1, MƯnh ®Ị A.4] Cho x1 , x2 , , xt ∈ m ®ã dim(M/(x1 , , xt )M ) dim M t Đẳng thức sảy vµ chØ cđa x1 , x2 , , xt phần hệ tham số M 1.1.3 MƯnh ®Ị [8, Chó ý 15.20] NÕu víi số nguyên dương x1 , , xd lµ hƯ tham sè cđa M α1 , , αd ta cã xα1 , , xd d hệ tham sè M NhËn xÐt (1) Cho x ∈ m x phần tử hệ tham sè cđa M vµ chØ x 6∈ p víi mäi p ∈ Ass R cho dimR/p = d (2) Cho x1 , , xd m xác định xi+1 p, p Ass R(M/(x1 , , xi )M ), dim R/p = d − i víi i = 0, , d − Khi ®ã {x1 , , xd } lµ hƯ tham sè cđa M TiÕp theo ta sÏ ®a định nghĩa hàm Hilbert-Samuel định lý đa thức Hilbert, định lý tiếng có ứng dụng nhiều đại số giao hoán Trong luận văn ta nhắc lại định nghĩa định lý dùng cho chương sau mà không chứng minh 1.1.4 Định nghĩa Noether Cho M môđun hữu hạn sinh vành địa phương (R, m) với dim M = d, q iđêan định nghĩa M ( tức l(M/qM ) < ) Khi ta định nghĩa mét hµm sè gäi lµ Samuel Fq,M (n) = l(M/qn+1 M ) hàm Hilber- 1.1.5 Mệnh đề [7, Định lý 13.2] Cho Noether sö r»ng R0 R = L t0 Rt vành phân bậc vành Artin M R- môđun phân bậc hữa hạn sinh Giả R = R0 [x1 , , xr ] xi tỷ n tồn ®a thøc bËc di ®ãFq,M (n) lµ mét hµm h÷u Pq,M (n) víi hƯ sè h÷u tû bËc d cho n đủ lớn với Fq,M (n) = Pq,M (n) tồn số nguyên e0 (q, M )(> 0), e1 (q, M ), , ed (q, M ) cho n+d n+d−1 Pq,M (n) = e0 (q, M ) +e1 (q, M ) +· · ·+ed (q, M ) d d1 Số e0 (q, M ) gọi sè béi Zaziski-Samuel Khi q sinh bëi mét hÖ tham sè x = {x1 , x2 , , xd } ta ký hiÖu e0 (q, M ) = e( x, M ) 1.2 D·y chÝnh quy vµ môđun Cohen-Macaulay Trong phần ta trình bày số khái niệm dÃy quy, khái niệm để định nghĩa độ sâu môđun từ đưa đến định nghĩa vành môđun Cohen-Macaulay 1.2.1 Định nghĩa tử Cho R vành giao hoán M R môđun Một phần x R gọi M quy :M x = 0, tøc lµ xa 6= víi ∀a ∈ M, a 6= Mét d·y c¸c phÇn tư x1 , , xn cđa R gọi M dÃy quy quy víi mäi (x1 , , xn )M 6= M vµ xi lµ M/(x1 , , xi−1 )M − chÝnh i = 1, , n Các mệnh đề sau nêu lên tính chất dÃy quy 1.2.2 Mệnh đề [8, Bổ đề 16.4] Cho đề sau tương đương: M R môđun mệnh (i) D·y x1 , , xn lµ d·y M − chÝnh quy (ii) D·y x1 , , xi lµ d·y M − chÝnh quy vµ xi+1 , , xn lµ d·y M/(x1 , , xi )M − chÝnh quy víi mäi ≤ i ≤ n − 1.2.3 Mệnh đề [7, Định lý 16.1] Nếu với số nguyên dương , , α n x1 , , xn ta cã lµ d·y M− chÝnh quy {xα1 , , xαnn } cịng lµ d·y M − quy 1.2.4 Mệnh đề [8, Định lý 16.9] Nếu với hoán vị phần tử x1 , , x n x1 , , x n lµ d·y M− chÝnh quy ta dÃy M quy 1.2.5 Mệnh đề [1, Mệnh đề 1.2.12] Nếu vành địa phương Noether vµ x1 , , xt M lµ x1 , , xt lµ mét phần hệ tham số R môđun hữu hạn sinh dÃy M quy M Với định nghĩa dÃy quy nêu cho phép đến khái niệm độ sâu môđun, để từ đến khái niệm môđun Cohen-Macaulay 1.2.6 Định nghĩa sinh cho Cho I iđêan vành R, M R môđun hữu hạn M 6= IM Khi độ dài cực đại dÃy M quy I gọi độ sâu iđêan I R môđun M , kí hiệu depth R(I, M ) Nếu (R, m) vành địa phương Noether, ta kí hiệu độ sâu R môđun M depthR M đơn giản depth M 1.2.7 Mệnh đề [1, Mệnh ®Ị 1.2.13] Cho Noether, M lµ (R, m) lµ vµnh địa phương R môđun hữu hạn sinh Ta có khẳng ®Þnh sau depth M ≤ dim R/p ≤ dim M, p Ass M Và ta nhắc lại khái niệm môđun Cohen- Macaulay 1.2.8 Định nghĩa Môđun M gọi môđun Cohen-Macaulay M = M 6= depth M = dim M Vµnh R gäi lµ Macaulay nÕu nã lµ nÕu vành Cohen- R môđun Cohen-Macaulay Mệnh đề sau nêu lên đặc trưng môđun Cohen-Macaulay 1.2.9 Mệnh đề [7, Định lý 17.3] (1) Nếu với p ∈ Ass M (2) NÕu ta cã x1 , , xd ∈ m Macaulay vµ chØ M dÃy M quy M/(x1 , , xd )M lµ d·y vµ M/N M M môđun Cohen- môđun Cohen-Macaulay môđun Cohen-Macaulay M quy 1.2.11 Bổ đề [3, Bổ đề 2.2] Cho dim N < dim M môđun Cohen-Macaulay dim R/p = dim M 1.2.10 Mệnh ®Ị [7, Chó ý 136] NÕu mäi hƯ tham sè M N môđun môđun Cohen-Macaulay Cho mét phÇn cđa hƯ tham sè cđa M ®ã (x1 , , xi )M ∩N Chøng minh Víi M tho¶ m·n x1 , , x i lµ = (x1 , , xi )N Ta chøng minh b»ng quy nạp theo i i = ta phải chứng minh x1 M ∩ N = x1 N Ta lu«n cã x1 N ⊆ x1 M ∩ N ta chøng minh x1 M ∩ N ⊆ x1 N ThËt vËy, lÊy y ∈ x1 M ∩ N ®ã y ∈ x1 M vµ y = x1 m víi m ∈ M suy y = x1 m ∈ N hay x1 m + N = + N M/N tøc x1 (m + N ) = suy m + N = hay m ∈ N Do ®ã y = x1 m ∈ x1 N Giả sử Lấy i > Ta có (x1 , , xi )N ⊆ (x1 , , xi )M ∩ N (1) a ∈ (x1 , , xi )M ∩ N ®ã a = x1 a1 + · · · + xi ®ã aj ∈ M víi mäi j = 1, , i a N nên (N + (x1 , , xi−1 )M ) : xi Mặt khác, dÃy x1 , , xi lµ M/N − chÝnh quy vµ (N + (x1 , , xi−1 )M ) :M xi = N + (x1 , , xi−1 )M 25 q(α)M ®ã ta cã x ∈ qn M , x ảnh x α∈Λd,n T M ®ã x ∈ qn M + Dt−1 VËy q(α)M ⊆ qn M + Dt−1 V× Cho T x ∈ α∈Λd,n α1 αd x1 , , xd lµ hƯ tham sè tèt cđa M víi ∀α ∈ Λd,n vµ theo bỉ ®Ò αdt−1 q(α)M ∩ Dt−1 = (xα1 , , xdt−1 )Dt−1 Do vËy \ q(α)M = [ α∈Λd,n \ 1.3.8 lµ q(α)M ] ∩ [qn M + Dt−1 ] α∈Λd,n =[ \ \ n q(α)M ∩ q M ] + [ α∈Λd,n q(α)M ∩ Dt−1 ] α∈Λd,n \ = qn M + [q(α)M ∩ Dt−1 ] α∈Λd,n αd \ = qn M + t−1 (xα1 , , xdt−1 )Dt−1 α∈Λd,n Ta lu«n cã (β1 , , βdt−1 , 1, , 1) ∈ Λd,n víi bÊt kú (β1 , , βdt−1 ) ∈ dt1 ,n độ dài lọc chiều môđun Cohen-Macaulay dÃy Dt1 t Do theo giả thiết quy nạp ta có \ dt1 (x1 , , xdt−1 )Dt−1 ⊆ (α1 , ,αd )∈Λd,n \ βd t−1 (xβ1 , , xdt−1 )Dt−1 (β1 , ,βdt−1 )∈Λdt−1 ,n = (x1 , x2 , , xdt−1 )n Dt−1 ⊆ qn M Suy T q(α)M = qn M α∈Λd,n (ii)⇒(iii) V× mäi hƯ tham sè cđa M có tính chất phân tích tham số nên tồn hệ tham số (iii) M cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè ⇒ (i) Cho x = x1 , , xd lµ hƯ tham sè tèt cđa M cã tÝnh chÊt phân tích tham số Ta phải chứng minh tương đương với chứng minh M môđun Cohen-Macaulay dÃy hay Ds /Ds−1 , ∀s = 1, , t môdun Cohen- 26 Macaulay với D : D0 D1 ⊂ ⊂ Dt = M lµ lọc chiều M Để chứng minh điều tríc hÕt ta chøng minh r»ng (qi M + Ds ) : xi+1 = qi M + Ds víi ∀i < ds+1 vµ s = 0, , t − ThËt vËy, theo bỉ ®Ị 2.1.5 sÏ tồn số nguyên k cho qi M : xki+1 = qi M + :M xki+1 k qi M : xk+1 ds+1 = qi M + :M xds+1 Hơn theo bổ đề 1.3.5 có :M xki+1 ⊆ :M xkds+1 Khi ®ã ta cã (qi M + :M xds+1 ) : xki+1 ⊆ qi M : xds+1 xki+1 = (qi M + :M xki+1 ) : xds+1 ⊆ qi M : xk+1 ds+1 = qi M + :M xkds+1 mµ theo bỉ ®Ị 1.3.5 cã Ds = : xkds+1 ®ã (qi M + Ds ) : xki+1 = qi M ⊆ (qi M + Ds ) : xi+1 víi ∀i < ds+1 suy (qi M + Ds ) : xi+1 = qi M + Ds Ta cã depth M/Ds ≥ ds+1 víi s = 0, , t − nªn tõ d·y khíp ng¾n −→ Ds /Ds−1 −→ M/Ds−1 −→ M/Ds −→ kéo theo Ds /Ds1 môđun Cohen-Macaulay với s = 1, , t hay M lµ môđun Cohen-Macaulay dÃy 2.1.7 Hệ Cho phương thứ dim M ≥ cđa M vµ Hm0 (M ) ứng với iđêan tối đại môđun đối đồng điều địa m Khi mệnh đề sau tương đương: (i) M/Hm0 (M ) môđun Cohen-Macaulay mHm0 (M ) = (ii) Mäi hƯ tham sè cđa M cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè 27 (i) (ii) Theo giả thiết M/Hm (M ) môđun Cohen-Macaulay Chứng minh nên M môđun Cohen-Macaulay dÃy víi läc chiỊu D : Hm0 (M ) ⊂ M Hơn nữa, theo bổ đề 1.2.11 ta có (x1 , , xd )M ∩ Hm0 (M ) = (x1 , , xd )Hm0 (M ) mặt khác (x1 , , xd )Hm0 (M ) ⊆ mHm0 (M ) = víi bÊt kú hƯ tham sè x1 , , xd cña M Suy (x1 , , xd )M ∩ Hm0 (M ) = Điều có nghĩa hệ tham số M tốt, theo định lý chÝnh nã cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè (ii)⇒ (i) V× mäi hƯ tham sè cđa M cã tÝnh chất phân tích tham số nên theo định lý M môđun Cohen-Macaulay dÃy hay ta có M/Hm0 (M ) môđun Cohen-Macaulay Ta phải chứng minh chứng minh phần tử x1 mDt1 = Thật giả sử ngược lại Khi tồn m cho x1 Dt−1 6= vµ dim M/x1 M = d1 Vì d nên ta chän x2 ∈ m cho x2 Dt−2 = vµ dim M/(x1 , x2 )M = d − Ta dƠ thÊy r»ng d·y cđa mHm0 (M ) = 0.Ta sÏ x1 , x2 vµ x1 , x1 + x2 phần tử hệ tham số M Do đó, theo giả thiết bổ đề 2.1.3(i) ta cã (x21 , x1 + x2 )M ∩ (x1 , (x1 + x2 )2 )M = (x1 , x1 + x2 )2 M = (x1 , x2 )2 M = (x21 , x2 )M ∩ (x1 , x22 )M Vì M/Dt1 môđun Cohen-Macaulay, từ bổ đề 1.2.11 có x1 Dt−1 = (x21 , x1 + x2 )Dt−1 ∩ (x1 , (x1 + x2 )2 )Dt−1 = (x21 , x2 )Dt−1 ∩ (x1 , x22 )Dt−1 = x21 Dt−1 Theo bỉ ®Ị Nakayama ta cã x1 Dt−1 = Suy mDt−1 = 28 2.2 §a thức Hilbert-Samuel môđun Cohen-Macaulay dÃy Phần đà cho ta thấy môđun Cohen-Macaulay dÃy M đặc trưng tính chất phân tích tham số hệ tham số tốt nào, phần ta sÏ chØ r»ng víi hµm Hilbert-Samuel M lµ môđun Cohen-Macaulay dÃy Fq,M (n) = l(M/q n+1 M ) biểu thức đặc biệt với hệ số không âm, tính toán lọc chiều hàm trùng với đa thức Hilbert-Samuel Pq,M (n) với iđêan tham số tốt q M với n Hơn môđun Cohen-Macaulay dÃy M đặc trưng biểu thức hàm Hilbert-Samuel Trước tiên ta bắt ®Çu b»ng viƯc chøng minh hai bỉ ®Ị sau 2.2.1 Bổ đề Cho q iđêan tham số tốt môđun Cohen-Macaulay dÃy M Khi qn M Di = qn Di víi ∀n ≥ vµ i = 0, , t Chøng minh sè tốt Cho q iđêan tham số tốt M vµ x1 , , xd lµ hÖ tham m ta ký hiÖu qM = (x1 , , xd )M Víi ∀n ≥ vµ i = 0, , t ta lu«n cã qn Di ⊆ qn M ∩ Di Ta phải chứng minh qn M Di ⊆ qn Di ThËt vËy ta cã qn M ∩ Di = [ \ q(α)M ] ∩ Di α∈Λd,n = \ (q(α)M ∩ Di ) α∈Λd,n = \ α∈Λd,n α (xα1 , , xdidi )Di 29 Mặt khác ta có (1 , , βdi , 1, , 1) ∈ Λd,n víi ∀(β1 , , di ) di ,n Do theo định lý 2.1.6 ta cã \ α (xα1 , , xdidi )Di ⊆ α∈Λd,n \ β (xβ1 , , xdidi )Di (β1 , ,βdi )∈Λdi ,n = (x1 , , xdi )n Di Suy qn M ∩ Di ⊆ (x1 , , xdi )n Di ⊆ qn Di VËy ta cã qn M ∩ Di = qn Di víi ∀n ≥ vµ i = 0, , t 2.2.2 Bỉ ®Ị Cho q iđêan tham số môđun M.Khi n+d n+1 l(M/q M ) ≤ l(M/qM ) d Hơn nữa, bất đẳng thức trở thành đẳng thức M môđun Cohen-Macaulay q = (x1 , , xd ) iđêan tham số M Ta đặt L N = (M/qM )[X1 , , Xd ] grq(M ) = qi M/qi+1 M ta có toàn Chứng minh Giả sử i=0 : N grq(M ) xác định (Xi ) = xi = xi + q2 M qM/q2 M Đặt Q = Ker Theo định lý đồng cấu môđun cã N/Q ∼ = grq(M ) Gäi cÊu J iđêan sinh X1 , , Xd suy N/JN ∼ = M/qM vµ M/qn M ∼ = N/J n N + Q Do ®ã l(M/qn+1 M ) = l(N/J n+1 N + Q) = l(N/J n+1 N ) − l(J n+1 N + Q/J n+1 N ) l(N/J n+1 N ) 30 mặt khác ta cã l(N/J n+1 l(M/q n+1 n+d N) = l(N/JN ) d n+d = l(M/qM ) d Suy M) ≤ n+d l(M/qM ) d Hơn nữa, bất đẳng thức trở thành đẳng thức hay đẳng cấu M môđun Cohen-Macaulay 2.2.3 Định lý Cho đặt D : D0 ⊂ D1 ⊂ ⊂ Dt = M Di = Di /Di−1 víi mäi lµ läc chiỊu cđa M i = 1, , t, D0 = D0 Khi mệnh đề sau tương đương: (i) M môđun Cohen-Macaulay dÃy q M , đẳng thức t X n + di n+1 l(M/q M ) = l(Di /qDi ) d i i=0 (ii) Với iđêan tham sè tèt ®óng víi mäi n ≥ q cđa M cho đẳng thức t X n + di n+1 l(M/q M ) = l(Di /qDi ) d i i=0 (iii) Tồn iđêan tham số tốt ®óng víi mäi n ≥ Chøng minh (i)⇒ (ii) Ta chứng minh quy nạp theo độ dài chiều t cđa läc D cđa M Trêng hỵp t = hiển nhiên M môđun Cohen-Macaulay nên theo n+d n+d bổ đề l(M/qn+1 M ) = d l(M/qM ) = d l(D0 /qD0 ) 31 Giả sử t > Ta cã d·y khíp ng¾n sau −→ qn+1 M +Dt−1 /qn+1 M −→ M/qn+1 M −→ M/qn+1 M +Dt−1 −→ Theo định lý đồng cấu môđun ta có qn+1 M + Dt−1 /qn+1 M ∼ = Dt−1 /qn+1 M ∩ Dt−1 2.2.1 ta cã qn+1 M ∩ Dt−1 = qn+1 Dt−1 nªn suy qn+1 M + Dt−1 /qn+1 M ∼ = Dt−1 /qn+1 Dt−1 Do ®ã ta có dÃy khớp ngắn Mặt khác theo bổ đề −→ Dt−1 /qn+1 Dt−1 −→ M/qn+1 M −→ M/qn+1 M + Dt−1 −→ 0, suy ta cã l(M/qn+1 M ) = l(Dt−1 /qn+1 Dt−1 ) + l(Dt /qn+1 Dt ) Vì Dt1 môđun Cohen-Macaulay dÃy lọc chiều có độ dài t1 theo giả thiết quy n¹p ta cã t−1 X n + d i l(Dt−1 /qn+1 Dt−1 ) = l(Di /qDi ) d i i=0 mặt khác Dt môđun Cohen-Macaulay với chiÒu d = dt , ta cã n + d l(Dt /qn+1 Dt ) = l(Dt /qDt ) d Suy t X n + d i l(M/qn+1 M ) = l(Di /qDi ) d i i=0 với n (ii) (iii) hiển nhiên 32 (iii) (i) Vì dÃy sau khíp Dt−1 /qn+1 Dt−1 −→ M/qn+1 M −→ M/qn+1 M + Dt−1 −→ 0, nªn ta cã l(M/qn+1 M ) ≤ l(Dt−1 /qn+1 Dt−1 ) + l(Dt /qn+1 Dt ) Do đó, từ quy nạp theo độ dài läc chiỊu ta cã thĨ chØ r»ng l(M/q n+1 M) ≤ t X l(Di /qn+1 Di ) i=0 MỈt khác theo bổ đề 2.2.2 có l(Di /qn+1 Di ) ≤ víi n + di l(Di /qDi ) di ∀i = 0, , t, nªn theo gi¶ thiÕt (iii) ta cã l(M/q n+1 M) ≤ t X l(Di /q n+1 i=0 ®ã l(Di /qDi ) = n+di di t X n + di l(Di /qDi ) Di ) ≤ d i i=0 l(Di /qDi ) víi ∀i = 0, , t Do Di môđun Cohen-Macaulay với ∀i = 0, , t (còng theo bổ đề 2.2.2) Do M môđun Cohen-Macaulay dÃy 2.3 Cho Ví dụ S vành địa phương quy với dim S = 3, m iđêan tối đại S giả sử m = (X, Y, Z) với X, Y, Z S Đặt R = S/(X, Y )(Z) Gọi x, y, z tương ứng ảnh X, Y, Z R, đồng thời đặt Q = (x+z, y) Khi ®ã ta cã 33 (1) Qn = (x + z, y; α) vµ lR (R/Qn ) = T 2,n (2) Đặt b1 n2 +3n với ∀n ≥ = x + z vµ b2 = x + y + z ®ã Q = (b1 , b2 ) với n n2 + 2n nÕu n = 2q, q ∈ Z \ lR (R/ (b; α)) = (n + 1)2 α∈Λ2,n nÕu n = 2q + 1, q ∈ Z T hàm lR (R/ (b; )) không trùng với ®a thøc cđa n nªn α∈Λ2,n T T Qn 6= (b; ) với n supn>0 lR ([ (b; α)]/Qn ) = ∞ α∈Λ2,n α∈Λ2,n Chøng minh (1) Trước hết ta chứng minh thiết toán ta cã dim R = ThËt vËy, tõ gi¶ R/(X, Y ), R/(Z) vành địa phương quy miền nguyên, suy (X, Y ), (Z) iđêan nguyên tố Ass R = Ass(S/(X, Y ) ∩ (Z)) = {(X, Y ), (Z)} Do S/(0) S miền nguyên nên (0) iđêan nguyên tố S Giả sử P0 ⊂ P1 ⊂ ⊂ Pd lµ d·y iđêan nguyên tố S chứa P Ass R có (0) P1 Pd dÃy iđêan nguyên tố S Vậy dim R < dim S (Z) ⊂ (Z, X) ⊂ (Z, X, Y ) = m dÃy iđêan nguyên tố chứa (Z) Ass R có độ dài ta có dim R = Tiếp theo, đặt T a1 = x + z, a2 = y, I = (z) §Ó chøng minh Qn = (a1 , a2 ; α) ta sÏ α∈Λ2,n chøng minh (i) Vµnh R = S/(X, Y ) ∩ (Z) lµ vµnh Cohen-Macaulay d·y víi läc (0) ⊂ (Z)/(X, Y ) ∩ (Z) ⊂ R (ii) (a1 , a2 ) lµ hƯ tham sè tèt cđa R ThËt vËy, ta cã Do R/I = S/((X, Y ) ∩ (Z))/(Z)/((X, Y ) ∩ (Z)) ∼ = S/(Z) S vành quy Z phần cđa hƯ tham sè chÝnh quy nªn 34 S/(Z) cịng lµ vµnh chÝnh quy, vËy S/(Z) lµ vµnh Cohen-Macaulay vµ dim R/I = hay R/I lµ vµnh Cohen-Macaulay (*) TiÕp theo ta cã I = (Z)/((X, Y ) ∩ (Z)) ∼ = (X, Y, Z)/(X, Y ) X, Y, Z R quy nên Z S/(X, Y ) quy từ ta có S đồng cÊu θ : S/(X, Y ) −→ S/(X, Y ) xác định (u) = uZ Ker() = AnnS/(X,Y ) (Z) = vµ Im(θ) = Z(S/(X, Y )) = (X, Y, Z)/(X, Y ) = m/(X, Y ) Suy S/(X, Y ) = I Mặt khác S/(X, Y ) lµ vµnh Cohen= m/(X, Y ) ∼ Macaulay dim S/(X, Y ) = nên I R môđun Cohen-Macaulay dimR I = dim S/(X, Y ) = (**) Tõ (*) vµ (**) suy Ta cã R lµ vµnh Cohen-Macaulay d·y (a1 , a2 ) lµ hƯ tham sè tèt cđa R ThËt vậy, gọi a1 , a2 ảnh a1 , a2 R/(z) Ta cã (a1 , a2 )R/(z) = (x+z, y, z)/(z) = (x, y, z)/(z) iđêan cực đại R/(z), Mặt khác dim R hệ tham sè cđa = dim R/(z) = nªn (a1 , a2 ) R/(z)vµ cịng suy (a1 , a2 ) hệ tham số R ta có a2 I = (yz) = nªn (a1 , a2 ) lµ hƯ tham sè tèt cđa R Tõ (i) T (ii) theo định lý 2.1.5 ta có Qn = (a1 , a2 ; α) α∈Λ2,n Cuèi cïng ta sÏ chøng minh lR (R/Qn ) ta thÊy nÕu = n2 +3n , ∀n ≥ Tríc hÕt ϕ : M N R đồng cấu môđun ta cã d·y khíp −→ M/ Ker ϕ −→ N −→ N/ Im ϕ −→ víi α : M/ Ker N xác đinh (m + Ker ϕ) = ϕ(m) vµ β lµ toµn cÊu tù nhiên Ta có R đồng cấu môđun : I −→ R/(al1 , am ) ®ã ϕ = pi với i : I R đơn cấu tắc p : R R/(al1 , am ) toàn cấu tự nhiên ta có d·y khíp l m −→ I/ Ker ϕ −→ R/(al1 , am ) −→ (R/(a1 , a2 ))/ Im 35 m l định nghĩa ta có Im = (I + (al1 , am ))/(a1 , a2 ) vµ Ker ϕ = I ∩ (al , am ) Do R/I ∼ = S/(Z) nªn ta cã víi l m ∼ (R/(al1 , am ))/ Im ϕ = R/(I + (a1 , a2 )) ∼ = (S/Z)/((X + Z)l , Y m , Z)S/(Z) ∼ = S/((X + Z)l , Y m , Z) = S/(X l , Y m , Z) m l Ker ϕ = I ∩ (al1 , am ) nhng (a1 , a2 ) R/I quy nên I (al , am ) = (al , am )I Mặt khác I ∼ = S/(X, Y ) nªn Ta cã 2 I/ Ker ϕ = I/(al1 , am )I ∼ = S/(X, Y )/((X + Z)l , Y m )S/(X, Y ) ∼ = S/((X + Z)l , Y m , X, Y ) = S/(X, Y, Z l ) VËy ta cã d·y khíp l m −→ S/(X, Y, Z l ) −→ R/(al1 , am ) −→ S/(X , Y , Z) −→ 0, ∀l, m ≥ Do ®ã ta cã l l m lR (R/(al1 , am )) = lR (S/(X, Y, Z )) + lR (S/(X , Y , Z)) = e(X, Y, Z l ; S) + e(X l , Y m , Z; S) = l.e(X, Y, Z; S) + ml.e(X, Y, Z; S) = l(m + 1) 36 VËy ta cã lR (R/Qn ) = lR (R/ \ (a1 , a2 ; α)) α∈Λ2,n = = = n X i=1 n X i=1 n X lR (R/(an+1−i , ai2 )) n−1 X − (n + − i)(i + 1) − i lR (R/(an−i , a2 )) i=1 n−1 X (n − 1)(i + 1) i=1 (i + 1) i=1 n + 3n (2) DÔ thÊy Q = (x + z, x + y + z) = (x + z, y) hay Q = (b1 , b2 ) Gäi = b1 , b2 ảnh b1 , b2 R/(z) Khi ®ã cã (b1 , b2 )R/(z) = (x + z, x + y + z, z)/(z) = (x, y, z)/(z) iđêan cực đại tham số R/(z) nên b1 , b2 hệ tham số R/(z) hệ R/I Chứng minh tương tự nh (1) víi ϕ = pi ®ã i : I R đơn cấu tắc p : R −→ R/(bl1 , bm ) lµ toµn cÊu tù nhiªn ta cã l m (R/(bl1 , bm ))/ Im ϕ = R/(I + (b1 , b2 )) ∼ = (S/Z)/((X + Z)l , (X + Y + Z)m , Z)S/(Z) ∼ = S/(X l , (X + Y )m , Z) Mặt khác l m Ker ϕ = I ∩ (bl1 , bm ) = (b1 , b2 )I vµ I/ Ker ϕ = I/(bl1 , bm )I ∼ = S/(X, Y )/((X + Z)l , (X + Y + Z)m , X, Y )S/(X, Y ) ∼ = S/(X, Y, (Z l , Z m )) 37 VËy ta cã d·y khíp ng¾n l m −→ S/(X, Y, (Z l , Z m )) −→ R/(bl1 , bm ) −→ S/(X , (X+Y ) , Z) −→ Do ®ã l m l m lR (R/(bl1 , bm )) = lR (S/(X, Y, (Z , Z ))) + lR (S/(X , (X + Y ) , Z)) = e(X, Y, (Z l , Z m ); S) + e(X l , (X + Y )m , Z; S) VËy lR (R/(bl1 , bm )) cã lR (R/ T = lm + min{l, m} Khi ®ã theo [4, MƯnh ®Ò 4.3] ta (b1 , b2 ; α)) = α∈Λ2+n = = n X i=1 n X lR (R/(b1n+1−i , bi2 )) − n−1 X i lR (R/(bn−i , b2 )) i=1 (n + − i)i + min{n + − i, i} − i=1 n−1 X (n − i)i + min{n − i, i} i=1 = n + + (n − 1)n/2 + n−1 X (min{n + − i, i} − min{n − i, i}) i=1 Nếu n chẵn tức n = 2q, q ∈ Z th× lR (R/ T α∈Λ2+n (b1 , b2 ; α)) = n2 +n T n lẻ tức n = 2q + 1, q Z th× lR (R/ (b1 , b2 ; α)) = (n+1) α∈Λ 2+n T Tõ ®ã ta thÊy lR (R/ (b1 , b2 ; )) ®a thøc cđa n mµ ta NÕu α∈Λ2+n N ®đ lín cho lR (R/Qn ) trïng víi mét ®a T thøc Èn n víi ∀n ≥ N Do ®ã (b1 , b2 ; α) 6= Qn Cho n = 2q, q biết phải tồn số tự nhiên 2,n 38 ta có lR (R/ \ n n (b1 , b2 ; α)/Q ) = lR (Q ) − lR (R/ α∈Λ2,n \ α∈Λ2,n n2 + 3n n2 + 2n − 2 n = = q T Điều chứng tỏ supn>0 lR ([ (b; α)]/Qn ) < ∞ = α∈Λ2,n (b1 , b2 ; )) Tài liệu tham khảo [1] W Bruns and J Herzog, Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press [2] N T Cuong and D T Cuong, On sequentially Cohen-Macaulay modules, [3] Kodai Math J, 30 (2007), 409-428 N T Cuong and H L Truong, Parametric decomposition of powers of parameter ideals and sequentially Cohen-Macaulay modules, to appear in Proc Amer Math Soc 2008 [4] S Goto and Y Shimoda, Parametric decomposition of powers of ideals versus regularity of sequences, Proc Amer Math Soc., 132 (2003), 229-233 [5] S Goto and Y Shimoda On the parametric decomposition of powers of parameter ideals in a Noetherian local ring, Tokyo J Math, 27 (2004), 125-134 [6] W Heinzer, L J Ratliff and K Shah, Parametric decomposition of monomial ideals (I), [7] Houston J Math., 21 (1995), 29-52 H Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 1986 [8] R Y Sharp, Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press, 1980 39