Kntt chuyên đề 2 làm quen với một vài khái niệm của lí thuyết đồ thị

CHUYÊN ĐỀ LÀM QUEN VỚI MỘT VÀI KHÁI NIỆM CỦA LÍ THUYẾT ĐỒ THỊ Chuyên đề giới thiệu vài khái niệm kết ban đầu lí thuyết đồ thị, nhánh tốn học rời rạc có nhiều ứng dụng thực tế, áp dụng giải tốn tìm đường tối ưu vài trường hợp đơn giản TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang MỘT VÀI KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG KHÔNG GIAN THUẬT NGỮ KIẾN THỨC, KĨ NĂNG Nhận biết số khái niệm bản: đồ thị, đỉnh, cạnh, đường đi, chu trình, bậc đỉnh - Đồ thị - Đỉnh, cạnh - Đường đi, chu trình - Bậc đỉnh Trước vào hội nghị, đại biểu bắt tay (hai người bắt tay nhiều lần) Có đại biểu khơng bắt tay hết thấy có người bắt tay lần, người bắt tay lần người bắt tay lần Nếu hội nghị có 16 đại biểu ơng ta đếm nhầm Vì kết luận vậy? Những kiến thức ban đầu lí thuyết đồ thị học giúp tìm câu trả lời cho tình ĐỒ THỊ a) Khái niệm đồ thị HĐ1: Nhận biết khái niệm đồ thị Có bốn bạn học sinh khối 11 An, Bình, Cường Dung, đó: An bạn Bình Cường, khơng bạn Dung; Dung bạn Cường, không bạn Bình; Bình bạn Cường a) Hãy biểu diễn bạn An, Bình, Cường, Dung điểm mặt phẳng dùng chữ đầu (in hoa) tên họ để đặt tên cho điểm b) Nếu hai người bạn nhau, nối điểm biểu diễn tương ứng đoạn thẳng (hay đoạn đường cong) c) Từ hình vẽ thu HĐ1b, cho biết: có nhiều bạn có it bạn nhất? Hình vẽ thu HĐ1b (diễn tả mối quan hệ bạn bè bốn học sinh cho) gọi đồ thị Tổng quát ta có định nghĩa sau: Một đồ thị tập hợp hữu hạn điểm ( gọi đỉnh đồ thị) với tập hợp đoạn đường cong hay thẳng (gọi cạnh đồ thị) có đầu mút đỉnh đồ thị Chú ý Theo định nghĩa đồ thị, cạnh đồ thị thẳng hay cong, dài hay ngắn, đỉnh vị trí khơng quan trọng, mà chất đồ thị có đỉnh, cạnh đỉnh nối với đỉnh Ta thường kí hiệu V  G tập hợp đỉnh E  G tập hợp cạnh đồ thị G , viết G  V , E  Cạnh nối hai đỉnh A B thường kí hiệu AB BA , A B gọi hai đỉnh kề Nếu hai đầu mút cạnh trùng đỉnh C ta gọi cạnh khuyên, kí hiệu CC TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Hình 2.1 cho ta đồ thị có đỉnh A, B, C , D cạnh AB, AC , AD, BC CC Ví dụ Viết tập hợp đỉnh tập hợp cạnh đồ thị G Hình 2.2 Lời giải Tập hợp đỉnh đồ thị G V  G   A, B, C , D Tập hợp cạnh đồ thị G E  G   AB, AC , BC , CD Luyện tập Bảng F giải vơ địch bóng đá giới World Cup 2018 gồm bốn đội: Đức, Hàn Quốc, Mexico Thụy Điển Biểu diễn đội điểm phân biệt kí hiệu D, H , M , T (vẽ cho khơng có ba điểm thẳng hàng để dễ quan sát) hai đội đấu với ta nối hai điểm tương ứng đoạn thẳng, ta đồ thị G Viết tập hợp đỉnh tập hợp cạnh đồ thị G b) Đơn đồ thị đa đồ thị HĐ2: Nhận biết khái niệm đơn đồ thị Xét đồ thị cho Hình 2.2 a) Đồ thị có khun khơng? b) Có hai đỉnh đồ thị nối với nhiều cạnh không? Chú ý Trong sách này, nói từ "đồ thị" ta hiểu đơn đồ thị Khi cần xét đa đồ thị ta nói rõ Một đồ thị khơng có khun, hai đỉnh nối nhiều cạnh (khơng có hai cạnh nối cặp đỉnh) gọi đơn đồ thị Một đồ thị khơng có khun, hai đỉnh nối nhiều cạnh, gọi đa đồ thị Ví dụ Hình sau biểu diễn đơn đồ thị? Một đa đồ thị? TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Giải Hình a) khơng có khuyên có hai cạnh nối hai đỉnh Z W , nên đa đồ thị Hình b) có khun nên khơng phải đơn đồ thị, khơng phải đa đồ thị Hình c) khơng có khuyên hai đỉnh nối nhiều cạnh nên đơn đồ thị Luyện tập Vẽ đồ thị G với đỉnh cạnh sau: V  G   U , W , X , Z  E  G   UW , WX ,WZ , XZ  G có phải đơn đồ thị không? c) Đồ thị đầy đủ HĐ3: Nhận biết đồ thị đầy đủ Xét đồ thị nhận Luyện tập Có cặp đỉnh đồ thị mà khơng có cạnh nối chúng không? Một đồ thị đầy đủ cặp đỉnh nối cạnh Nhận xét Một đồ thị đầy đủ đồ thị mà cặp đỉnh kề Một đồ thị đầy đủ hoàn K toàn xác định số đỉnh Đồ thị đầy đủ có n đỉnh thường kí hiệu n Ví dụ Vẽ đồ thị đầy đủ K , K K Lời giải Ta có đồ thị K , K K hình 2.4 Luyện tập Vẽ đồ thị đầy đủ có đỉnh, đỉnh BẬC CỦA ĐỈNH HĐ Nhận biết bậc đỉnh Cho đồ thị Hình 2.5 Tìm đỉnh đầu mút của: cạnh; cạnh; cạnh; cạnh TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Một đỉnh đồ thị gọi đỉnh bậc n đầu mút n cạnh Chú ý: Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập Đỉnh bậc gọi đỉnh treo Trong đồ thị Hình 2.5, D đỉnh bậc , F đỉnh treo, G đỉnh lập Ví dụ Xác định bậc đỉnh đồ thị Hình 2.6 Lời giải A đỉnh bậc , B đỉnh bậc , C đỉnh bậc , D đỉnh bậc , E đỉnh bậc Ta chứng minh định lí ( gọi Định lí bắt tay) sau Trong đồ thị G , tổng tất bậc đỉnh số chẵn hai lần tổng tất cạnh G Hệ Số đỉnh bậc lẻ đồ thị số chẵn Ví dụ Cho đồ thị G với 14 đỉnh 25 cạnh Biết đỉnh thị G có bậc Hỏi G có đỉnh bậc Lời giải Gọi x số đỉnh bậc G Khi bậc G 14  x Tổng tất bậc đỉnh 3.x   14  x  Vì đồ thị có 25 cạnh nên ta có Vậy G có 10 đỉnh bậc 3x   14  x  2.25 50  x 20  x 10 Ví dụ Hãy giải tốn tính mở đầu Lời giải Ta vẽ đồ thị với 16 đỉnh tương ứng với 16 đại biểu tham dự hội nghị Nếu hai đại biểu bắt tay ta nối hai đỉnh tương ứng cạnh Theo số liệu mà đại biểu đếm số bắt tay cung cấp, ta có đồ thị với 16 đỉnh, có đỉnh bậc , đỉnh bậc , đỉnh bậc , đỉnh bậc Ở đỉnh bậc , số lẻ Điều mâu thuẫn với định lí bắt tay Vậy đại biểu đếm sai Luyện tập Chứng minh đơn đồ thị với 12 đỉnh 28 cạnh mà đỉnh có bậc TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH HĐ Nhận biết khái niệm đường chu trình Cho đồ thị Hình 2.7 Bằng cách dọc theo cạnh, với điều kiện không qua cạnh lần (có thể có cạnh không cần qua), cách đê: a) Đi từ đỉnh A đến đỉnh E b) Đi từ đỉnh A quay lại đỉnh A Một đỉnh đồ thị gọi đỉnh bậc n đầu mút n cạnh Trong đồ thị G , dãy cạnh nối tiếp (hai cạnh nối tiếp hai cạnh có chung đầu mút) AB, BC , CD, , MN , NP gọi đường nối A vói P , kí hiệu ABCD MNP Điểm A gọi đầu đường, điểm P gọi cuối đường Một đường khép kín (đầu đường trùng với cuối đường ) gọi chu trình Một đường (chu trình) qua n cạnh gọi đường (chu trình) có độ dài n Một đường (chu trình) sơ cấp khơng qua đỉnh hai lần trở lên Một đường (chu trình) đơn giản khơng qua cạnh hai lần trở lên Ví dụ Cho đồ thị đầy đủ có đỉnh Hình 2.8 Tìm chu trình sơ cấp xuất phát từ đỉnh A có độ dài ; độ dài Lời giải Những chu trình sơ cấp có độ dài xuất phát từ đỉnh A là: ABCA, ABDA, ACBA, ACDA, ADBA, ADCA Những chu trình sơ cấp có độ dài xuất phát từ đỉnh A là: ABCDA, ABDCA, ACBDA, ACBA, ADBCA, ADCBA Luyện tập Cho đồ thị đầy đủ có đỉnh Hình 2.9 Tìm chu trình sơ cấp xuất phát từ đỉnh A có độ dài ; độ dài TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang b) Tính liên thơng đồ thị HĐ Nhận biết tính liên thơng đồ thị Trong đồ thị Hình 2.10 Hãy: a) Tìm đường từ đỉnh A đến đỉnh E b) Có tồn đường từ đỉnh A đến đỉnh F hay không? Hai đỉnh A B đồ thị gọi liên thơng có đường nối A B Môt đồ thị G gọi liên thông cặp đỉnh G liên thông Mộ cạnh CD đồ thị G gọi cầu bỏ cạnh CD đỉnh C D khơng cịn liên thơng Mỗi đồ thị G không liên thông chia thành số đồ thị (gọi đồ thị G ) liên thông, rời nhau, đồ thị gọi thành phần liên thơng G Ví dụ Tìm thành phần liên thơng đồ thị hình 2.11 Lời giải Đồ thị Hình 2.11 có hai thành phần liên thơng: thành phần gồm đỉnh A, B, C cạnh AB, AC , BC ; thành phần gồm hai đỉnh D, E cạnh DE Người ta chứng minh Một đồ thị 2n đỉnh, đỉnh có bậc n , đồ thị liên thơng Ví dụ Giả sử lớp có 40 học sinh Biết em có số điện thoại 20 bạn lớp bạn A có số điện thoại bạn B bạn B có số điện thoại bạn A Chứng minh hai em lớp có số điện thoại Giải TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang Ta đặt tương ứng em học sinh lớp với đỉnh đồ thị hai đỉnh gọi liên thông hai em có số điệxn thoại Bài tốn trở thành: Cho đồ thị có 40 đỉnh Biết đỉnh liên thơng với it 20 đỉnh khác Chứng minh đồ thị liên thơng Đồ thị có 40 đỉnh, đỉnh có bậc 20, đồ thị liên thông Vậy, hai em học sinh lớp có số điện thoại Luyện tập Chứng minh đồ thị Hình 2.12 liên thông Hãy đường nối đỉnh đỉnh BÀl TẬP 2.1 Vẽ hình biểu diễn đồ thị G với tập đỉnh V (G ) {1; 2;3; 4;5} tập cạnh E (G ) {12;14; 23; 25;34,35} Đồ thị G có phải đơn đồ thị khơng? Có phải đồ thị đầy đủ khơng? 2.2 Hãy vẽ đồ thị có đỉnh và: a) có hai đỉnh bậc bậc ; b) có hai đỉnh bậc bậc 2.3 Một đồ thị đồ thị G đồ thị mà đỉnh đỉnh G cạnh cạnh G Những đồ thị hình a), b), c) đồ thị đồ thị G ? n(n  1) 2.4 Chứng minh đồ thị đầy đủ có n đỉnh có cạnh 2.5 Chứng minh không tồn đồ thị với đỉnh 2,3,3, 4, 2.6 Cho đồ thị G Hinh 2.14 a) Tìm đường từ đỉnh A đến đỉnh B b) G có liên thơng khơng? c) Trong G có chu trình sơ cấp khơng? TÀI LIỆU TỐN THPT Trang ĐƯỜNG ĐI EULER VÀ ĐƯỜNG ĐI HAMILTON Thuật ngữ  Đường Euler  Kiến thức, kĩ Nhận biết đường từ đồ thị Đường Hamilton  Nhị thức Newton Trong lí thuyết đồ thị, tốn Bảy cầu Königsberg (nay thành phố Kaliningrad nước Nga) phát biểu sau : Thành phố bảy cầu bắc qua sơng Hình 2.15a Có thể dạo qua khắp cầu cầu qua lần không ? Nếu ta coi khu vực A, B, C , D thành phố đỉnh, cầu qua lại hai khu vực cạnh nối hai đỉnh, đồ thành phố Kưnigsberg đa đồ thị Hình 2.15b Vấn đề đặt chinnh là: Có thể vẽ Hình 2.15 b bẳng nét liền hay không? ĐƯỜNG ĐI EULER a) Khái niệm đường Euler HĐ1 Nhận biết đường Euler Hãy thử vẽ hình Hình 2.16 nét liền Cho đa đồ thị G Một đường đơn giản từ đỉnh A đến đỉnh B chứa cạnh G gọi đường Euler từ A đến B Một chu trình đơn giản chứa cạnh G gọi chu trình Euler G Ví dụ Tìm chu trình Euler đồ thị Hình 2.17 Giải Một chu trình Euler đồ thị ABECDEA TÀI LIỆU TỐN THPT Trang Định lí sau cho ta điều kiện cần đủ để đa đồ thị có chu trình Euler Định lí (Euler) Một đa đồ thị G có chu trình Euler G liên thơng đỉnh G có bậc chẵn Từ Định li ta chứng minh định lí sau Định lí Một đa đồ thị G có đường Euler từ A đến B G liên thông đỉnh G có bậc chẳn, trừ A B có bậc lẻ Chú ý Hai định li cho trường hợp G đơn đồ thị Ví dụ Giải thích Hình 2.18: a) Các hình a) b) vẽ nét liền; b) Các hình c) d) khơng thẻ̉ vẽ nét liền Giải Đồ thị hình a) liên thơng đỉnh có bậc chãn (ở bậc 2) nên có chu trình Euler Đồ thị hình b) liên thơng có đủng hai đỉnh bậc lẻ (ở bậc 3) nên có đường Euler Vỵ ta vẽ hình a) b) nét liền Các đồ thị hình c) d) có bốn đỉnh bậc lẻ (ở bậc 3) nên chúng khơng có chu trình Euler khơng có đường Euler Vì ta khơng thể vẽ hình c) d) nét liền Ví dụ Hãy giải tốn tình mở đẩu Giải Xét đa đồ thị G Hình 2.15b Vì đỉnh A, B, C , D có bậc lẻ nên theo Định lí , G khơng có đường Euler (và khơng có chu trình Euler) Vậy khơng thể dạo qua khắp cầu thành phố Königsberg cầu qua lần Luyện tập Đồ thị có đường Euler? Hãy đường Euler ĐƯỜNG ĐI HAMILTON TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 10 HĐ2 Nhận biết đường Hamilton Có thành phố du lịch A, B, C , D, E đường nối thành phố Hình 2.20 Hãy cách để tham quan thành phố đó, mà khơng cần đến địa điểm lần Một đường sơ cấp từ đỉnh A đến đỉnh B qua đỉnh đồ thị G gọi đường Hamilton từ A đến B Một chu trình sơ cấp chứa đỉnh G gọi chu trình Hamilton G Ví dụ Tìm chu trình Hamilton đồ thị Hình 2.21 Giải Một chu trình Hamilton đồ thị ABECDA Định lí sau cho ta điều kiện đủ cho tồn chu trình Hamilton Định lí (Ore)  n 3 cặp đỉnh không kề có tổng bậc Nếu G đơn đồ thị có n đỉnh khơng nhỏ n G có chu trình Hamilton Hệ (Định lí Dirac) Nếu G đơn đồ thị có n G có chu trình Hamilton  n 3 đỉnh n đỉnh có bậc khơng nhỏ Từ định lí Dirac ta chứng minh được: Định lí  n 3 đỉnh n đỉnh có bậc khơng nhỏ G có Nếu đơn đồ thị G có n đường Hamilton Ví dụ Đồ thị Hình 2.22 có chu trình Hamilton khơng? Nếu có, chu trình Hamilton xuất phát từ đỉnh A Giải Đồ thị có đỉnh, đỉnh có bậc Do đó, theo Định lí Dirac,đồ thị có chu trình Hamilton Có thể thấy chu trình Hamilton xuất phát từ đỉnh A là: AGCKDHBEA Chú ý Trong số trường hợp đơn giản, ta tìm đường (chu trình Hamilton) G chứng minh G khơng có đường (chu trình Hamilton) dựa vào nhận xét sau: Đường (chu trình) Hamilton phải qua cạnh có đầu mút đỉnh có bậc TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 11 Luyện tập Đồ thị Hình 2.23 có đường Hamilton? Hãy đường Hamilton BÀI TẬP 2.7 Mỗi đồ thị sau có chu trình Euler chu trình Hamilton hay khơng? Hãy vẽ chu trình Euler chu trình Hamilton 2.8 Có thể dạo chơi qua cầu Hình 2.25, cầu vừa lần? 2.9 Cho đồ thị G Hình 2.26 Tìm chu trình Hamilton xuất phát từ đỉnh S G 2.10 Cho đồ thị G Hình 2.27 Tìm chu trình Hamilton xuất phát từ đỉnh S đến R n 2.11 Hãy ví dụ chứng tỏ điều kiện bậc đỉnh đồ thị G không nhỏ n Định lí Dirac, khơng thể thay điều kiện “bậc đỉnh không nhỏ ” 2.12 a) Giả sử G đồ thị với n đỉnh minh G có chu trình Hamilton TÀI LIỆU TOÁN THPT  n  1  n    2 cạnh Sử dụng Định lí Ore, chứng Trang 12 b) Tìm đồ thị với n đỉnh  n  1  n    cạnh mà khơng có chu trình Hamilton 2.13 Với giá trị n đồ thị đầy đủ K n có chu trình Euler? Có đường Euler? 2.14 Với giá trị n đồ thị đầy đủ K n có chu trình Hamilton? Có đường Hamilton? Em có biết? Euler lí thuyết đồ thị Leonhard Euler (1707 – 1783) nhà toán học vĩ đại lịch sử Ơng có khám phá quan trọng đóng góp tiên phong nhiều chun ngành tốn học Ơng giới thiệu nhiều thuật ngữ kí hiệu tốn đại, dùng phổ biến ngày kí hiếu số e dùng số cho logarit tự nhiên, kí hiệu cho hàm số, kí hiệu hàm lượng giác, kí hiệu để tổng,… Một nhận xét nhà toán học người Pháp Laplace thể ảnh hưởng Euler toán học: “Hãy đọ Euler, đọc Euler đi, ông bậc thầy tất chúng ta.” Bài báo Euler lời giải toán Bảy cầu Konigsberg, xuất năm 1736, coi cơng trình lí thuyết đồ thị Một toán tiếng thú vị lí thuyết đồ thị tốn bốn màu: “Liệu với bốn màu tơ màu đồ cho khơng có hai nước biên giới tơ màu hay khơng?” Bài tốn đề xuất Francis Guthrine năm 1852, giả sau gần kỉ vào năm 1976 Kenneth Appel Wolfgang Haken, với lời giải dựa vào hỗ trợ máy tính Trong cố gắng giải toán này, nhà toán học phát minh nhiều thuật ngữ khái niệm tảng cho lí thuyết đồ thị Đồ thị biểu diễn nhiều cấu trúc, nhiều mối quan hệ trình hệ vật lí, sinh học, quan hệ xã hội, hệ thống thông tin, mạng lưới giao thông, … ngày lí thuyết đồ thị nghiên cứu mạnh mẽ có nhiều ứng dụng thực tế quan trọng Một vài tốn tìm đường thực tế tốn tìm đường tối ưu (ngắn nhất, nhanh nhất, có chi phí rẻ nhất,…) tình đơn giản nghiên cứu học sau (Theo scienceworld.wolfram.com) TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 13 THUẬT NGỮ  Đồ thị có trọng số  Trọng số KIẾN THỨC, KĨ NĂNG  Nhận biết thuật tốn tìm đường tối ưu trường hợp đơn giản  Sử dụng kiến thức đồ thị để giải số tình liên quan đến thực tiễn BÀI TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT HĐ1 Cho sơ đồ Hình 2.28 A, B, C , D, E , F địa điểm nối với đường với độ dài đường cho hình a) Hãy đường từ A đến F so sánh độ dài hai đường I V  b) Với đỉnh V sơ đồ Hình 2.28, ta gắn số khoảng cách ngắn để từ A đến V I  A  0 gọi nhãn vĩnh viễn đỉnh V Như vậy, ta có Dựa vào Hình 2.28, tìm I  B I  C  , hai đỉnh kề với A B, C Để giải tốn tìm đường ngắn nối A với F , xem sơ đồ cho đồ thị liên thông cạnh gắn với số không âm, số độ dài đường Những đồ thị gọi đồ thị có trọng số đường gắn với cạnh gọi trọng số cạnh Bài tốn cho trở thành tìm đường từ A đến F với tổng trọng số nhỏ nhất, tức cần xác định I F nhãn vĩnh viễn nhãn vĩnh viễn  Đồ thị có trọng số đồ thị liên thông cạnh gắn với số khơng âm, gọi trọng số cạnh  Để tìm đường ngắn từ đỉnh A đến đỉnh F đồ thị có trọng số, ta xuất phát từ đình A I V  di chuyển theo cạnh đồ thị Với đỉnh V , ta gắn số khoảng cách ngắn để từ A đến V , gọi nhãn vĩnh viễn đỉnh V Như vậy, để tìm độ dài đường I F ngắn nối A với F , ta cần tìm Ví dụ Tìm độ dài đường ngắn nối A với F đồ thị có trọng số Hình 2.28 Giải Ta áp dụng thuật tốn mơ tả TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 14 I  A  0 Đầu tiên ta gắn nhãn đỉnh A gắn cho đỉnh kề với A B, C nhãn tạm thời I  A   3, I  A   1 Chọn số nhỏ chúng viết I  C  1 Đỉnh C gắn nhãn vĩnh viễn I  C   7 I  C   5 Tiếp theo ta gắn cho đỉnh kề với C B, D, E nhãn tạm thời , , I  C   6 B ( có hai nhãn tạm thời ) Nhãn tạm thời nhỏ nhãn gắn I  B  3 (ở B, D, E ) (tại B ), nên ta viết Đỉnh B gắn nhãn vĩnh viễn Bây ta xét đỉnh kề với B (mà chưa gắn nhãn vĩnh viễn) D E Ta gắn cho đỉnh D nhãn tạm thời I  B   10 D ( có hai nhãn tạm thời 10 ) Gắn cho E nhẵn tạm thời I  B   5 E ( có hai nhãn tạm thời ) Nhãn tạm thời nhỏ (tại D E ), I  D  5 I  E  5 ta viết Hai đỉnh D E gắn nhãn vĩnh viễn I  D   14 Xét đỉnh kề với D F , ta gắn cho F nhãn tạm thời Xét đỉnh kề với E F , ta gắn cho F nhãn tạm thời I  E   13 Vậy đỉnh F gắn nhãn vĩnh viễn 13 I  F  13 nên đường đinh ngắn từ A đến F có độ dài 13 Để tìm đường ngắn từ A đến F vậy, ta lần ngược từ điểm cuối F Ta chi cần giới hạn việc xét cạnh mà độ dài hiệu nhãn gắn cầu mút nó, EF , BE Vì AB (do I  F   I  E  13  8, I  E   I  B  5  2 I  B   I  A  3  3 ) Khi ta kết luận, đường ngắn từ A đến F phải qua cạnh EF , BE AB Vậy, đường ngắn (trong trường hợp nhất) từ A đến F A B E  F Chú ý a) Nếu đồ thị có trọng số cạnh có trọng số tốn trở thành tìm số cạnh đường ngắn từ A đến F b) Các số sơ đồ Hình 2.28 thời gian để dọc đường đó, chi phí hết đường đó,…Bởi vậy, ta có sử dụng thuật toán giải toán gốc toán tìm đường ngắn để giải bào tốn tìm đường nhanh hoạc đường có chi phí rẻ nhất,… BÀI TỐN NGƯỜI ĐƯA THƯ TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 15 Bài tốn người đưa thu phát biểu sau: Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện phải qua số đường để phát thư quay lại điểm xuất phát, hỏi người phải để đường ngắn Ở điểm cần phát thư nằm dọc theo đường cần phải qua Trong toán này, người đưa thư phải đường lần(để phát thư cho điểm cần phát nằm dọc theo đường đó) cuối quay lại vị trí xuất phát Ngoài ra, cần đảm bảo quãng đường phải nhỏ Trong ngơn ngữ lí thuyết đồ thị, toán người đưa thư tương đương với tốn tìm chu trình ngắn qua tất cạnh đồ thị cho trước Bài tốn phát biểu dạng đồ thị có trọng số, đồ thị ứng với hệ thống đường, trọng số cạnh độ dài đường tương ứng Các cạnh đồ thị mô tả đường cần phải qua, đỉnh đồ thị điểm đầu điểm cuối đường (và khơng phải điểm cần phát thư) Khi ta cần tìm chu trình có tổng trọng số nhỏ chứa cạnh lần Trong trường hợp tổng quát, nói chung toán phức tạp Trong mục này, ta xét hai tình đơn giản (liên quan đế đồ thị có trọng số, liên thơng): 1) Tất đỉnh đồ thị có bậc chẵn Khi đồ thị có chu trình Euler chu trình Euler đường u cầu 2) Chỉ có hai đỉnh đồ thị có bậc lẻ Khi ta tìm đường Euler từ đỉnh bậc lẻ đến đỉnh bậc lẻ kia, sau dùng thuật tốn Mục tìm đường ngắn để quay trở lại đỉnh xuất phát Kết hợp hai đường đó, ta lời giải toán cho Dưới ta xét hai ví dụ minh họa cho hai trường hợp Ví dụ Cho đồ thị có trọng số Hình 2.30 Chứng tỏ đồ thị có chu trình Euler tìm chu trình Euler xuất phát từ đỉnh A Giải Vì đồ thị liên thơng đỉnh có bậc chẵn (ở bậc 4) nên đồ thị có chu trình Euler Một chu trình Euler xuất phát từ đỉnh A ABCDECDADA Ví dụ Cho đồ thị cí trọng số Hình 2.31 Tìm chu trình xuất phát từ đỉnh A đồ thị, có tổng trọng số nhỏ chứa cạnh lần TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 16 Giải Đồ thị có hai đỉnh bậc lẻ A D nên ta tìm đường Euler từ A đến D (đường qua cạnh lần) Một đường Euler từ A đến D AEABEDBCD tổng độ dài        36 Để quay trở lại điểm xuất phát có đường ngắn nhất, ta cần tìm đường ngắn từ D đến A theo thuật tốn mơ tả Mục Đường ngắn từ D đến A DBA có độ dài  5 Vậy chu trình cần tìm AEABEDBCDBA có độ dài 36  41 Chú ý Trong lí thuyết đồ thị, người ta thường phát biểu đề Ví dụ dạng: Giải toán người đưa thư đồ thị có trọng số Hình 2.31 Từ sau, ta dùng cách phát biểu ngắn gọn Luyện tập Giải toán người đưa thư đồ thị có trọng số Hình 2.32 BÀI TẬP 2.15 Tìm đường ngắn từ A đến D đồ thị có trọng số Hình 2.33 2.16 Tìm đường ngắn từ đỉnh $S$ đến đỉnh khác đồ thị có trọng số Hình 2.34 2.17 Giải tốn người đưa thư đồ thị có trọng số Hình 2.35 2.18 Giải toán người đưa thư đồ thị có trọng số Hình 2.36 TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 17 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 18 BÀI TẬP CUỐl CHUYÊN ĐỀ 2.19 Viết tập hợp đỉnh tập hợp cạnh mối đồ thị sau: 2.20 Vẽ đồ thị G (V , E ) với đỉnh cạnh sau: V {1; 2;3; 4;5;6; 7;8} E {12;13; 23;34;35;67; 68;78} Đồ thị có phải đơn đồ thị khơng? Có phải đồ thị đầy đủ không? 2.21 Chứng minh đơn đồ thị với 12 đỉnh 28 cạnh mà đỉnh có bậc 2.22 Chứng minh G đơn đồ thị có hai đỉnh G có it hai đỉnh có bậc 2.23 Tìm số đỉnh nhỏ cần thiết để xây dựng đồ thị đầy đủ với 1000 cạnh 2.24 Hãy đường từ S đến Y đồ thị Hình 2.38 2.25 Kiểm tra xem điều kiện định lí Ore có thoả mãn với đồ thị Hình 2.39 khơng 2.26 Tìm chu trình Euler đồ thị Hình 2.40 TÀI LIỆU TOÁN THPT Trang 19 2.27 Giải tốn người đưa thư đồ thị có trọng số Hình 2.41 Hình 2.41 2.28 Giải tốn người đưa thư đồ thị có trọng số Hình 2.42 Hình 2.42 TÀI LIỆU TỐN THPT Trang 20