C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM V CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHĨM BÀI 1: SỐ TRUNG BÌNH VÀ MỐT CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM LÝ THUYẾT I = = SỐ LIỆU GHÉP NHÓM = Một số loại số liệu điều tra nhận nhiều giá trị khác nhau, khó xác định I giá trị xác, ví dụ chiều cao, cân nặng, tuổi thọ, … Để thuận tiện cho việc lưu trữ xử lí loại số liệu này, người ta thường ghép số liệu gần lại thành nhóm Mẫu số liệu ghép hóm thường trình bày dạng bảng thống kê có dạng sau : Bảng 1: Bảng tần số ghép nhóm Chú ý : u ;u Bảng gồm k nhóm j j 1 với j k , nhóm gồm số giá trị ghép theo tiêu chí xác định Cỡ mẫu n n1 n2 nk Giá trị nhóm dùng làm giá trị đại diện cho nhóm Ví dụ u1 u2 u1 ; u2 nhóm có giá trị đại diện u ;u u uj Hiệu j 1 gọi độ dài nhóm j j 1 Một số quy tắc ghép nhóm mẫu số liệu Mỗi mẫu số liệu ghép nhóm theo nhiều cách khác thường tuân theo số quy tắc sau: - Sử dụng từ k 5 đến k 20 nhóm Cỡ mẫu lớn cần nhiều nhóm số liệu Các nhóm có độ dài L thoả mãn R k L , R khoảng biến thiên, k số nhóm - Giá trị nhỏ mẫu số thuộc vào nhóm mẫu thuộc nhóm uk ; uk 1 u1; u2 gần u1 tốt Giá trị lớn gần uk 1 tốt Ví dụ Bảng thống kê sau cho biết thời gian chạy (phút) 30 vận động viên (VĐV) giải chạy Marathon Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM Hãy chuyển mẫu số liệu sang mẫu số liệu ghép nhóm gồm sáu nhóm có độ dài Lời giải Giá trị nhỏ 129, giá trị lớn 145 nên khoảng biến thiên 145 129 16 Tổng độ dài sáu nhóm 18 Để cho đối xứng, ta chọn đầu mút trái nhóm 27,5 đầu mút phải nhóm cuối 145,5 ta nhóm 127,5;130,5 , 130,5;133,5 ,, 142, 5;145,5 Đếm số giá trị thuộc nhóm, ta có mẫu số liệu ghép nhóm sau: SỐ TRUNG BÌNH Giả sử mẫu số liệu cho dạng bảng tần số ghép nhóm: Số trung bình mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu x , tính sau : n c n c nk ck x 1 2 n , n n1 n nk Ý nghĩa số trung bình mẫu số liệu ghép nhóm Số trung bình mẫu số liệu ghép nhóm giá trị xấp xỉ cho số trung bình mẫu số liệu gốc Nó thường dùng để đo xu trung tâm mẫu số liệu Ví dụ Tìm cân nặng trung bình học sinh lớp 11D cho bảng sau: Cân nặng (kg) [40,5; 45,5) Số học sinh 10 [45,5; 50,5) [50,5; 55,5) [55,5; 60,5) [60,5; 65,5) [65,5; 70,5) 16 Lời giải Trong khoảng cân ặng, giá trị đại diện trung bình cộng giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau: Cân nặng (kg) Số họ sinh 43 48 53 58 63 68 10 16 Tổng số học sinh n 42 Cân nặng trung bình cảu học sinh lớp 11D 10.43 7.48 16.43 4.58 2.63 3.68 x 51, 81 kg 42 Ví dụ Tìm hiểu thời gian xem tivi tuần trước (đơn vị: giờ) số học sinh thu kết sau: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHĨM Thịi gian (giờ) [0; 5) [5; 10) [10; 15) [15; 20) [20; 25) Số học sinh 16 2 Tính thời gian xem tivi trung bình tuần trước bạn học sinh Lời giải Trong khoảng thời gian, giá trị đại diện trung bình cộng giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau: Thịi gian (giờ) Số học sinh 2,5 7,5 12,5 17,5 16 Tổng số học sinh n 32 Thời gian xem tivi trung bình học sinh 2,5.8 7,5.16 12,5.4 17,5.2 22,5.2 x 8, 44 h 32 22,5 MỐT Nhóm chứa mốt mẫu số liệu ghép nhóm nhóm có tần số lớn u ;u Giả sử nhóm chứa mốt m m 1 , mốt mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu M O , xác định công thức M O um nm nm u u nm nm nm nm1 m 1 m Chú ý: Nếu khơng có nhóm kể trước nhóm chứa mốt nm 0 Nếu khơng có nhóm kề sau nhóm chứa mốt nm 1 0 Ý nghĩa mốt mẩu số liệu ghép nhóm - Mốt mẫu số liệu khơng ghép nhóm giá trị có khả xuất cao lấy mẫu Mốt mẫu số liệu sau ghép nhóm M O xấp xi với mốt mẫu số liệu khơng ghép nhóm Các giá trị nằm xung quanh M O thường có khả xuất cao giá trị khác - Một mẫu số liệu ghép nhóm có nhiều nhóm chứa mốt nhiều mốt Ví dụ Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) 50 học sinh lớp 11A Khoảng chiều cao (cm) 145;150 150;155 155;160 160;165 165;170 Số học sinh 14 10 10 Tính mốt mẫu số liệu ghép nhóm Có thể kết luận từ giá trị được? Lời giải 150;155 Tần số lớn 14 nên nhóm chứa mốt nhóm Ta có j 2; a2 150; m2 14; m1 7; m3 10; h 5 Do M 150 14 153,18 14 14 10 Số học sinh có chiều cao khoảng 153,18 cm nhiều Ví dụ Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành câu hỏi thi cho sau: Thời gian (phút) 0,5;10,5 10,5; 20,5 Số học sinh 10 Tính mốt mẫu số liệu ghép nhóm 20,5;30,5 30,5; 40,5 40,5;50,5 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM Lời giải 10,5; 20,5 Tần số lớn 10 nên nhóm chứa mốt nhóm Ta có j 2; a2 10,5; m2 10; m1 2; m3 6; h 10 M 10,5 Do II = = Câu 1: = I 10 10 17,17 10 10 HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN Trong mẫu số liệu sau, mẫu mẫu số liệu ghép nhóm? Đọc giải thích mẫu số liệu ghép nhóm a) Số tiền mà sinh viên chi cho toán cước điện thoại tháng b) Thống kê nhiệt độ điểm 40 ngày, ta có bảng số liệu sau Lời giải Cả hai mẫu số liệu mẫu số liệu ghép nhóm a) Có năm nhóm Dưới 50 nghìn đồng có sinh viên Từ 50 đến 100 nghìn đồng có sinh viên Từ 100 đến 150 nghìn đồng có 23 sinh viên Từ 150 đến 200 nghìn đồng có 17 sinh viên Từ 200 đến 250 nghìn đồng có sinh viên b) Có bốn nhóm Từ 19 C đến 22 C có ngày Từ 22 C đến 25 C có 15 ngày Từ 25 C đến 28 C có 12 ngày Từ 28 C đến 31 C có ngày Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM 50 Câu 2: Cho mẫu số liệu số tiền điện phải trả gia đình tháng khu phố (đơn vị: nghìn đồng) Giá trị Số lượng gia đình 375; 450 450;525 525;600 600;675 675;750 750;825 15 10 Đọc giải thích mẫu số liệu Lời giải Mẫu số liệu cho mẫu số liệu ghép nhóm Có tất nhóm là: từ 375 nghìn đồng đến 450 nghìn đồng có gia đình, từ 450 nghìn đồng đến 525 nghìn đồng có 15 gia đình, từ 525 nghìn đồng đến 600 nghìn đồng có 10 gia đình, từ 600 nghìn đồng đến 675 nghìn đồng có gia đình, từ 675 nghìn đồng đến 750 nghìn đồng có gia đình từ 750 nghìn đồng đến 825 nghìn đồng có gia đình Câu 3: Cho mẫu số liệu khối lượng 30 củ khoai tây thu hoạch nông trường (đơn vị: gam) Giá trị 70;80 80;90 90;100 Số lượng củ khoai 12 100;110 110;120 Đọc giải thích mẫu số liệu Lời giải Mẫu số liệu cho mẫu số liệu ghép nhóm Có tất nhóm là: từ 70 gam đến 80 gam có củ, từ 80 gam đến 90 gam có củ, từ 90 gam đến 100 gam có 12 củ từ 100 gam đến 110 gam có củ, từ 110 gam đến 120 gam có củ Câu 4: Số sản phẩm công nhân làm ngày cho sau Hãy chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với bảy nhóm có độ dài bang Lời giải Khoảng biến thiên 54 49 Ta chia thành nhóm sau [4,5; 13); [13; 21,5); [21,5; 30); ; [47; 55,5) Đếm số giá trị nhóm, ta có bảng ghép nhóm sau: Câu 5: Thời gian sân (giờ) số cựu cầu thủ giải ngoại hạng Anh qua thời kì cho sau: Hãy chuyển mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với bảy nhóm có độ dài bang Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM Lời giải Khoảng biến thiên 653 492 161 Ta chia thành nhóm sau [492; 515); [515; 538); [538; 561); ; [47; 55,5) Đếm số giá trị nhóm, ta có bảng ghép nhóm sau: Câu 6: Bảng thống kê sau cho biết điện tiêu thụ 30 hộ khu dân cư tháng sau (đơn vị: kW ): 50 55 47 50 30 61 65 37 63 37 70 43 38 35 34 65 48 60 53 31 33 33 39 41 32 45 40 55 50 59 Hãy chuyển mẫu số liệu sang mẫu số liệu ghép nhóm gồm nhóm có độ dài Lời giải Giá trị nhỏ 30, giá trị lớn 70 nên khoảng biến thiên 70 30 40 Tổng độ dài nhóm 40 nên ta nhóm sau: 30;35 , 35; 40 , 40; 45 , 45;50 , 50;55 , 55; 60 , 60;65 , 65;70 Đếm số giá trị thuộc nhóm ta có mẫu số liệu ghép nhóm sau: Giá trị Số lượng Câu 7: 30;35 35; 40 40; 45 45;50 50;55 55;60 60;65 65;70 3 3 Thống kê điểm trung bình mơn Tốn số hoc sinh lớp 11 cho bảng sau: Hãy ước lượng số trung bình mốt mẫu số liệu bảng tần số ghép nhóm Lời giải Bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện Điểm trung bình mơn Tốn số hoc sinh lớp 11 x 8.6, 75 10.7, 25 16.7, 75 24.8, 25 13.8, 75 7.9, 25 4.9, 75 8,12 82 Mốt Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM Mốt M chứa nhóm [8; 8,5) Do đó: um 8; um1 8,5 um 1 um 8,5 0,5 nm 16; nm 24; nm1 13 M 8 Câu 8: 24 16 (8,5 8) 8, 21 (24 16) (24 13) Để kiểm tra thời gian sả dụng pin điện thoại mới, chị An thống kê thời gian sử dụng điện thoại từ lúc sạc đầy pin hết pin bảng sau: Hãy ước lượng thời gian sử dụng trung bình từ lúc chị An sạc đầy pin điện thoại hết pin Lời giải Thời gian sử dụng trung bình: x Câu 9: 2.8 5.10 7.12 6.14 3.16 12, 26 Tổng số lượng mưa tháng đo trạm quan trắc đặt Vũng Tàu từ năm 2002 đến năm 2020 ghi lại (đơn vị: mm) a) Xác định số trung bình tứ phân vị mẫu số liệu b) Hồn thành bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau: Tőng lượng mưa tháng (mm) So năm [120; 175) ? [175; 230) ? [230; 285) ? [285; 340) ? c) Hãy ước lượng số trung bình mốt mẫu số liệu bảng tần số ghép nhóm Lời giải a) Số trung bình: 121,8 158,3 334,9 200,9 165, 161,5 194,3 220, 189,8 · · · 255 x 19288 19 Tứ phân vị: Xếp mẫu số liệu khơng giảm ta được: Từ ta có: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM Tứ phân vị thứ mẫu số liệu là: 165, Tứ phân vị thứ hai mẫu số liệu là: 173 Tứ phân vị thứ ba mẫu số liệu là: 202, b) Hoàn thành bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau: Giá trị đại diện lớp: 120 175 175 230 147,5; c2 202,5 2 230 285 285 340 c3 257,5; c4 312,5 2 c1 Tần số lớp: n1 10; n2 5; n3 3; n4 x Số trung bình: n1c1 n2 c2 n3c3 n4c4 7145 188, 02 n1 n2 n3 n4 38 Mốt 120; 175 Mốt M chứa nhóm Do đó: um 120; um1 175 um1 um 175 120 55 nm 0; nm 10; nm1 5 M 120 10 470 (175 120) 156, 67 10 10 Câu 10: Bảng sau thống kê số ca nhiễm SARS-CoV-2 ngày tháng 12/2021 Việt Nam a) Xác định số trung bình tứ phân vị mẫu số liệu b) Hồn thành bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau: So ca (nghìn) [14; 15,5) [15,5; 17) [17; 18,5) [18,5; 20) [20; 21,5) Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM So ngày ? ? ? ? ? c) Hãy ước lượng số trung bình mốt mẫu số liệu bảng tần số ghép nhóm Lời giải a) 14254 14295 20454 17004 x 15821 31 Số trung bình: Tứ phân vị: Xếp mẫu số liệu không giảm ta được: Từ ta có: Tứ phân vị thứ mẫu số liệu là: 15139 Tứ phân vị thứ hai mẫu số liệu là: 15685 Tứ phân vị thứ ba mẫu số liệu là: 16586 b) Hồn thành bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau: c) Hãy ước lượng số trung bình mốt mẫu số liệu bảng tần số ghép nhóm 14, 75.13 16, 25.15 17, 75.2 19, 25.0 20, 75.1 1967 x 15,86 31 124 Số trung bình: Mốt 15,5;17 Mốt M chứa nhóm Do đó: um 15,5; um1 17 um1 um 17 15,5 1,5 nm 13; nm 15; nm1 2 M 15,5 15 13 157 17 15,5 15, 10 15 13 15 Page Sưu tầm biên soạn