Toan 11 c6 b1 1 phep tinh luy thua tu luan hdg

C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT V I HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT BÀI 1: PHÉP TÍNH LŨY THỪA LÝ THUYẾT I = = Lũy = thừa với số mũ nguyên I Cho n số nguyên dương Ta định nghĩa: n Với a số thực tùy ý: a a.a a ( n thừa số a ) Với a số thực khác : a 1; a  n  an m Trong biểu thức a , a gọi số, m gọi số mũ Chú ý: n 1) khơng có nghĩa m n 2) Nếu a  a  a m  n m n 3) Nếu  a  a  a m  n Căn bậc n a) Định nghĩa: Cho số thực a số nguyên dương n 2 Số b gọi bậc n số a b n a Chú ý: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT - Với n chẵn, ta xét ba trường hợp sau: - Với n lẻ, a   : Có bậc n a , ký hiệu n a Lũy thừa với số mũ hữu tỉ Cho số thực a  số hữu tỉ r m n , m, n  , n  Lũy thừa a với số mũ r , m n n m kí hiệu a , xác định a a  a r r Lũy thừa với số mũ thực: Giới hạn dãy số a lim a rn với rn  a  gọi lũy thừa số thực dương a với số mũ  Kí hiệu là:   lim rn n   Tính chất phép tính lũy thừa Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA LŨY THỪA Định nghĩa Tính chất n lẻ Căn bậc n b Có Khơng tồn n chẵn Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT II = = = I Câu 1: HỆ THỐNG B À I TẬP TỰ LU ẬN Dạng 1: Tính giá trị biểu thức 5 Tính giá trị biểu thức P   Lời giải Ta có P      32   Câu 2: Tính giá trị 27 Lời giải 3 Ta có 27  27 3 Câu 3: Cho a 1   b 256 27 Tính A a  b Lời giải Thay a 1 b   256 , 27 vào A a  b ta A a Câu 4:    A    27  Giá trị  b       256   1    16        27    4     3   43  34 145  1,25 bằng: Lời giải   A    27  Câu 5:  Giá trị  1    16  A  1,25 27  16  27  165  36  20 32  25 41 34.3  25.2 24.23  2.35.3 bằng: Lời giải A 2 4 3  2 2 11   4 2  2.3  2.3 122 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT 4 3   1     22     4 A   1  3   5 3.252         25  bằng: Giá trị Câu 6: Lời giải 4 3    1 35     22    2   3  13 A   1  52 30  3   3 25         25  Câu 7: x x Cho  7 Biểu thức P  x  2 x  4.2 x  4.2 x có giá trị Lời giải x  4 x 7   x  2 x  9  x   x 3 Suy Câu 8: P  x  2 x 53   x x  4.2  4.2  12 Cho a số thực dương Giá trị biểu thức  2 P a a Lời giải  2 P Ta có Câu 9: a a 4a  a a a2  2  2 22 4   x x Cho  23 Khi biểu thức Tích a.b A a  3x  3 x a  x x 1  b với b phân số tối giản a, b  Z Lời giải Ta có: x  9 x 23   3x  3 x  25 x x  3x  3 x 5   0, x    A  3x  3 x      3x  3 x  Vậy a.b  10 x x x x Câu 10: Biết  14 , tính giá trị biểu thức P 2  Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT x Ta có  x x x x x 14        16      x  2 x 4  x x 16     x   x 4 Vậy P 4 P x x Câu 11: Cho  7 Khi biểu thức Tính tổng a  b có giá trị  x  2 x a a   x 1 1 x 32 2 b với b tối giản a  , b   Lời giải 2 Ta có: P x x x  2 x  4 x  4 x  2.2 x.2 x 7  9 Suy ra:  3   x  2 x   x  2 x 5   x 1  21 x   x   x    2.3  Suy ra: a 2 , b 9  a  b 11 DẠNG 2: Biến đổi, rút gọn, biểu diễn biểu thức Câu 12: Rút gọn biểu thức P  x x với x  Lời giải 2  P  x x  x x  x 17 x 30 1 P a   a Câu 13: Đơn giản biểu thức 2 với a  , kết Lời giải 1 P a   a Ta có: 2 a  a   2 a a  1 a  1 a1 a 3 Câu 14: Rút gọn biểu thức Q a : a với a  Lời giải 7  3 3 3 Ta có: Q a : a a : a a a P = Câu 15: Rút gọn biểu thức x3 x x , với x > Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT P = x 36 Ta có x = x x x x =x 1 + 4 =x = 4x Câu 16: Rút gọn biểu thức A  x x , x  ta Lời giải Ta có: A  x x x  x Câu 17: Cho a số thực dương tùy ý Viết a a dạng lũy thừa a với số mũ hữu tỉ Lời giải 2  3 Ta có: a a a a a a Câu 18: Cho a số thực dương Viết biểu thức P a a dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ Lời giải 3 2 Ta có P a a a a a  19 15 a Câu 19: Viết biểu thức P  x x ( x  ) dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ Lời giải 1  3 P  x x  x.x  x  x 12   3  a   ta kết Câu 20: Rút gọn biểu thức P a a a , Lời giải 1 1 1  6 Ta có P a a a a.a a a a Câu 21: Rút gọn biểu thức P  x x với x  Lời giải Ta có P = x x 18 =x + 18 11 18 =x x x Câu 22: Cho  7 Biểu thức P  x  2 x  4.2 x  4.2  x có giá trị Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Có 2 x  4 x 7   x  2 x    x.2  x  7   x  2 x   7   x   x  9  x  2 x 3 Khi đó:   x  2 x   x  2 x 53 P    x x x x  4.2  4.2      4.3 DẠNG 3: BÀI TOÁN LÃI SUẤT KÉP – DÂN SỐ Câu 23: Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,4% / tháng Biết không rút tiền ta khỏi ngân hàng sau tháng, số tiền lãi lập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng Hỏi sau tháng, người lĩnh số tiền bao nhiêu, khoảng thời gian người khơng rút tiền lãi xuất không thay đổi? Lời giải Áp dụng công thức lãi kép ta có sau tháng, người lĩnh số tiền:  0,  An  A0 (1  r ) 100.000.000    102.424.128  100  Ta có: n Câu 24: Một người gửi số tiền 300 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất kép 6% năm Biết khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau năm, số tiền lãi suất nhập vào vốn ban đầu Hỏi sau năm không rút tiền gốc lãi, số tiền ngân hàng người bao nhiêu? Lời giải Áp dụng cơng thức tính lãi suất theo hình thức lãi kép: P A   r  n Trong đó: P số tiền gồm vốn lẫn lãi thời điểm n tính từ thời điểm gửi; A số tiền gửi vào ban đầu r  %  lãi suất  A 300.000.000  n 3 P 300.000.000   6%  357.304.800 357.305.000 r 6%   Với , suy Câu 25: Một học sinh A đủ 18 tuổi cha mẹ cho 200000000 VNĐ Số tiền bảo quản ngân hàng MSB với kì hạn tốn năm học sinh A nhận số tiền học xong năm đại học Biết đủ 22 tuổi, số tiền mà học sinh A nhận 243 101 250 VNĐ Vậy lãi suất kì hạn năm ngân hàng MSB bao nhiêu? Lời giải Gọi lãi suất kỳ hạn năm ngân hàng MSB r Áp dụng công thức lãi suất kép P a   r  n ta có : 4 243101250 200000000   r     r   243101250 200000000 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT  1 r 4 243101250 243101250  r 4   r 0, 05 200000000 200000000 Câu 26: Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi suất 5, 5% / năm, kì hạn năm Hỏi sau năm, người rút vốn lẫn lãi số tiền bao nhiêu? Lời giải Gọi số tiền ban đầu A Lãi suất tính theo năm r n A A 1 r  Số tiền vốn lẫn lãi sau n năm tính theo cơng thức: n 5,5   A4 50    61,94 A  50; r  5,5%, n  100   Thay số với ta số tiền là: Câu 27: Ông A gửi 200 triệu vào ngân hàng theo hình thức lãi kép, với lãi suất 6,5% năm lãi suất không đổi suốt thời gian gửi Sau năm, số tiền lãi ông bao nhiêu? Lời giải n Ta có T  A   r  200   6,5%  292 triệu Vậy số tiền lãi 292  200 92 triệu Câu 28: Một học sinh A đủ 18 tuổi cha mẹ cho 200 000 000 VNĐ Số tiền bảo quản ngân hàng MSB với kì hạn tốn năm học sinh A nhận số tiền học xong năm đại học Biết đủ 22 tuổi, số tiền mà học sinh A nhận 243 101 250 VNĐ Vậy lãi suất kì hạn năm ngân hàng MSB bao nhiêu? Lời giải Gọi lãi suất kỳ hạn năm ngân hàng MSB r Áp dụng công thức lãi suất kép P a   r  n ta có : 4 243101250 200000000   r     r    1 r 4 243101250 200000000 243101250 243101250  r 4   r 0, 05 200000000 200000000 Câu 29: Một người gửi 200 vào ngân hàng với lãi suất 0, 2% / tháng Biết khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau tháng số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng Hỏi sau 10 tháng người lĩnh số tiền bao nhiêu? Lời giải Theo cơng thức lãi kép ta có số tiền lãi vốn sau 10 tháng là: n 10 T  X   r  200   0.2%  204, 036 triệu đồng Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Câu 30: Ông Đại xin việc làm nên gửi tiết kiệm vào ngân hàng với hình thức đầu tháng đóng vào triệu đồng với lãi suất 0,33%/ tháng Tính số tiền mà ơng Đại thu từ ngân hàng sau năm Lời giải Với a số tiền ơng Đại đóng vào tháng, r % lãi suất ông Đại gửi tiết kiệm tháng  n 1 Gọi Pn số tiền mà ông Đại thu sau n tháng Suy P1 a   r %  P2  P1  a    r %  a   r %   a   r %  P3  P2  a    r %  a   r %   a   r %   a   r %  ……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………… n Pn  Pn   a    r %  a   r %   a   r %  Xét cấp số nhân có số hạng đầu Pn u1  u2   un u1 n   a   r %  u1 a   r %  công bội q 1  r %  qn 1 q Vậy số tiền ông Đại nhận từ ngân hàng sau năm   1, 0033  q 60 P60 u1 5  1, 0033  1 q 0, 0033 60 332 triệu đồng Câu 31: Ơng Bình vay vốn ngân hàng với số tiền 100 000 000 đồng Ông dự định sau năm trả hết nợ theo hình thức: sau tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ lần Hỏi theo cách đó, số tiền a mà ông phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ bao nhiêu? Biết lãi suất hàng tháng 1, 2% không thay đổi thời gian ơng hồn nợ Lời giải Gọi m, r , Tn , a số tiền vay ngân hàng, lãi suất hàng tháng, tổng số tiền vay lại sau n tháng, số tiền trả đặn tháng ● Sau hết tháng thứ  n 1 cịn lại: T1 m  r  1  a Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT ● Sau hết tháng thứ hai  n 2  cịn lại: T2  m  r  1  a   r  1  a 2 m  r  1  a  r  1  a m  r  1  a  r   m  r  1  a  r  1  1  r a 2   T3  m  r  1    r  1  1   r  1  a   n 3  r   ● Sau hết tháng thứ ba cịn: m  r  1  a  r 1  1  r  n ● Sau hết tháng thứ n cịn lại: Tn m  r  1  a n  r 1  1 r 60  1,  12.10  1 n m  r  1 r  100  Tn 0  a   n 60  r 1   1,  1     100  Áp dụng cơng thức trên, ta có Câu 32: Lãi suất cho vay PVcomBank tháng 5/2022 ưu đãi, mức 5%/năm, áp dụng tháng đầu, từ tháng thứ trở ấn định mức lãi 12%/năm Tại ngân hàng này, thời hạn cho vay mua nhà tối đa 20 năm, mức vay tối đa 85% giá trị tài sản đảm bảo Một người có khả trả cố định tháng 15 triệu Giả sử người mượn người thân 15% giá trị nhà, sử dụng gói vay với thời hạn tối đa mức vay tối đa mua nhà có giá trị tối đa khoảng Lời giải Gọi A số tiền tối đa người vay, r1  Ai số tiền nợ sau tháng thứ i 5% 12 lãi suất/1 tháng, tháng đầu 12% r2  1% 12 lãi suất/1 tháng, từ tháng thứ trở Sau tháng, số tiền gốc lãi A1  r  , người trả 15 triệu nên nợ: A1  A   r   15 Sau tháng thứ A2  A1   r1   15  A   r1   15    r1   15  A   r1   2: 15  (1  r1 )  1 r1 Page 11 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VI – TOÁN – 11 – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT A3  A   r1   Sau tháng thứ 3: 15  (1  r1 )3  1 r1 …… A6  A   r1   Sau tháng thứ 6: 15  (1  r1 )6  1 r1 A7  A6   r2   15 Sau tháng thứ 7: A8  A6   r2   Sau tháng thứ 8: 15  (1  r2 )  1 r2 ……… Sau tháng thứ 240 : A240  A6   r2  Vì phải trả hết nợ sau 20 năm nên A6   A 15  (1  r1 )6  1   r1   r1  234 A240  15  (1  r2 ) 234  1 r2 15  (1  r2 ) 234  1 0  A6  1353,819328 234   r2  r2 1409,163992 A 1657,83999 85% Vậy người mua nhà có giá trị tối đa triệu đồng 1, 65784 tỷ đồng.dd N P   e  0,15 d  Câu 33: Số người cộng đồng sinh viên nghe tin đồn P tổng số sinh viên cộng đồng d số ngày trôi qua kể từ tin đồn bắt đầu Trong cộng đồng 1000 sinh viên, cần ngày để 450 sinh viên nghe tin đồn? Lời giải Ta có: N P  e  0,15 d  450 1000  e  0,15 d   e  0,15 d ln    11  d 3,98 20 Vậy cần ngày để 450 sinh viên nghe tin đồn Page 12 Sưu tầm biên soạn