Toan 11 c8 b1 2 hai duong thang vuong goc tn hdg

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN VIII QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN C H Ư Ơ N BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC III HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM = = 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG DẠNG =I ¢¢¢¢ Câu 1: Cho hình lập phương ABCD A B C D Góc hai đường thẳng BA¢ CD A 60° B 90° ( ) ( C 45° Lời giải D 30° ) · ¢, CD = BA · ¢, AB BA Ta có AB PCD nên Vì ABB ¢A¢là hình vng nên Câu 2: · ¢, AB = ·ABA¢= 45° ( BA ) Cho hình lập phương ABCD ABC D Góc hai đường thẳng AB AC  Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN A 60 B 45  C 90 Lời giải   D 30    AC  AB, AC    AB, AC  B   Vì AB // A B nên  Tam giác ABC  vuông cân B nên BAC  45 Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAD Góc BC SA là: A 60 B 30 C 90 Lời giải D 45  BC , SA   AD, SA 60 Vì BC  AD nên Câu 4: Cho hình lập phương ABCD ABC D Tính góc hai đường thẳng BD AA A 90 B 45 C 60 Lời giải D 30 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN A' D' B' C' A D B C Vì ABCD ABC D hình lập phương nên tứ giác AADD AABB hình vng     Do AA AD  AA AB 0          AA.BD  AA AD  AB  AA AD  AA.AB 0 Vậy :     AA, BD 90 AA, BD 90 Do AA  BD nên Suy     Câu 5:  Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh Gọi I J trung điểm  IJ , CD  bằng: SC BC Số đo góc A 90 B 45 C 60 Lời giải D 30 S I A B D C J Theo giả thiết ta có IJ đường trung bình SBC nên IJ // SB  60  IJ , CD   SB, AB  SBA Vì IJ // SB CD // AB nên Câu 6: Cho hình lập phương ABCD ABC D Góc hai đường thẳng BA CD A 45 B 60 C 30 D 90 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Lời giải A B D C A B D C   45  BA, CD   BA, BA  ABA Vì CD //AB nên Câu 7: / / / / / / Cho hình lập phương ABCD A B C D Góc hai đường thẳng A B AD o A 60 o B 120 o C 90 Lời giải o D 45 / / / / Ta có A B / / D C , nên góc hai đường thẳng A B AD góc hai đường thẳng   D / C AD / góc AD / C  AD / C 60o ; / o / / Mà tam giác ACD tam giác nên góc hai đường thẳng A B AD 60 Câu 8: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AB a; AA’ a Góc hai đường thẳng AB’ CC’ A 30 B 60 C 45 Lời giải D 90 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN C A B A' C' B'  Vì AA’ / / CC’ nên góc CC’ AB ' góc AA’ AB’ góc A ' AB ' Với AB a; AA’ a Câu 9: tan A ' AB '  A' B ' a    A ' AB ' 300 AA ' a 3 Cho hình lập phương ABCD A1B1C1D1 Góc hai đường thẳng AC DA1 A 60 B 90 C 45 Lời giải D 120  AC , DA1   A1C1 , DA1  , góc DA1C1 Ta có AC  A1 C1 , góc Do DA1 ; A1C1 , DC1 đường chéo hình vng nên Vậy DA1C1 đều, Vậy góc DA1C1 60 Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Số đo góc hai đường thẳng SA CD A 30 B 90 C 60 Lời giải D 45 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN  SA, CD  SA, AB  Vì AB CD    , CD 60 SA  Tam giác SAB cạnh a  SAB 60 Vậy Câu 11: Cho lăng trụ ABCABC  có tất cạnh B A C A' B' C' Góc hai đường thẳng AB C A A 30 B 60 C 45 Lời giải D 90 Chọn B  Ta có tam giác ABC tam giác suy BAC 60 Lại có  CA // C A  AB, C A AB, CA  BAC 60 Vậy góc hai đường thẳng AB C A 60 Câu 12: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác Góc AB CD là? Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN A 120 B 60 C 90 Lời giải D 30 C A D I B Gọi I trung điểm AB Vì ABC ABD tam giác CI  AB  Nên  DI  AB AB   CID   AB  CD Suy Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a cạnh bên a Góc đường thẳng BB ' AC ' A 90 Ta có B 45 C 60 Lời giải  C BB // CC   BB, AC  CC , AC   AC Khi ACC  vuông C nên tan AC C  D 30 AC a    AC C 60 CC  a Vậy góc đường thẳng BB ' AC ' 60 Câu 14: Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình bình hành mặt bên SAB tam giác vng cân S Góc hai đường thẳng SA CD A 60 B 90 C 30 D 45 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Lời giải   SA; CD  SA; AB  SAB 45 Vì ABCD hình bình hành nên ta có: CD //AB Câu 15: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh AB BC Tính số đo góc hai đường thẳng MN CD A 30 B 60 C 45 Lời giải D 90 Gọi P trung điểm BD Ta có MN , NP, MP đường trung bình tam giác ABC , BCD, ABD Do đó: MN  AC MN // AC , NP  CD NP // CD , MP  AD MP // AD , ABCD tứ diện  AC CD  AD  MN  NP MP nên tam giác MNP tam giác  , CD  MN  , NP  MNP  MN 60     Câu 16: Cho tứ diện ABCD với đáy BCD tam giác vuông cân C Các điểm M , N , P, Q Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN trung điểm AB, AC , BC , CD Góc MN PQ A 45 B 60 C 30 Lời giải D Do MN song song BC PQ song song BD nên góc MN PQ góc BC  450 BD góc CBD Câu 17: Cho hình chóp S ABC có độ dài cạnh SA SB SC  AB  AC a BC a Góc hai đường thẳng AB SC A 60 B 90 C 30 Lời giải D 45 Cách 1: Gọi M , N , Q trung điểm SA, SB, AC  MN / / AB    AB, SC  MN , MQ   MQ / / SC Mặt khác, ta có  Ta có AN  a Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN NC  SC  BC SB a  2a a a     4 3a 5a  NA  NC AC a2 a 4 NQ      4 Xét tam giác NAC có 2 a a 3a   MN  MQ  NQ 4   cos NMQ   a a 2MN MQ 2 MNQ 2 Xét tam giác có 2   NMQ 120  MN , MQ  180  120 60 Câu 18: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAD Góc BC SA  A 60 Vì  B 30 C 90 Lời giải   BC //AD  BC , SA  AD, SA  SAD 60  D 45 Câu 19: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O cạnh a , góc hai đường thẳng AB SD A 120 B 60 C 30 Lời giải SO  a 2 , D 90 Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN S A D O B Ta có: AB //CD   AB, SD   CD, SD  C a OD  BD  2 SD  SO  OD  Suy a2 a2  a  2  SD SC CD a  SCD  SDC 60  60  AB, SD   CD, SD  SDC Câu 20: Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác cân A , M trung điểm BC Góc hai đường thẳng BC  AM A 60 B 30 C 45 Lời giải D 90 Do tam giác ABC cân A M trung điểm đoạn BC nên AM  BC  BC , AM   BC , AM  90 Ta có BC / / BC  Câu 21: Cho tứ diện ABCD có AB CD a, JI  a , I , J trung điểm AD, BC Số đo góc hai đường thẳng AB CD Page 11 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN A 60 B 30 C 45 Lời giải D 90 Gọi M trung điểm AC Khi góc hai đường thẳng AB, CD góc hai đường thẳng MI MJ Ta có  cos IMJ  IM  MJ  IJ   MI MJ Từ suy góc hai đường thẳng AB, CD 60 Câu 22: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA 2a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi F trung điểm cạnh AB G trung điểm SF Gọi  góc tạo hai đường thẳng CG BD Tính cos  ? 82 A 41 41 B 41 41 C 41 Lời giải 82 D 82 S H G A I D F B C Gọi I trung điểm AD H trung điểm SI Dễ thấy GH // FI BD // FI CG; BD   CG; GH  Nên GH // BD suy  Page 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN a a a CI  CD  DI  a      CF CI  2 ;  2 Ta có a 17 a SF SI  SA  AF   2a      ;  2 SC  SA2  AC  Khi 2  2a    a  a 5a 9a 2  a CF  CS SF 41a a 41 CG       CH CG  4 16 ; 1 a GH  FI  BD  2 2  a 41   a   a 41        2      GC  GH  HC 82   cos CGH    2.GC.GH 82 a 41 a 2 4 Ta có Vậy cos   82 82 · Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, tam giác SAB vng S SBA = 30 Mặt phẳng ( SAB ) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm AB Tính cosin góc tạo hai đường thẳng ( SM , BD ) A Đặt AB = a ( a > 0) B 26 C 13 Lời giải D a a SM = AB = ;SA = SA.sin300 = 2 nên tam giác SAM cân S Ta có Page 13 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN ( SAB ) ^ ( ABCD ) ( SAB ) Ç ( ABCD ) = AB nên Gọi H hình chiếu S lên AB , SH ^ ( ABCD ) hay H trung điểm AM · · SM , BD ) = ( SM , MK ) ( AD trung điểm , Gọi K a MK = BD = 2 SH = HB tan300 = Khi SK = SH + HK = SH + AH + AK = 3a a = 4 ; a2 a2 a2 a2 + SM + MK - SK · 2 = cosSMK = = 2.SM MK a a 2 2 Ta có 2 Câu 24: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M trung điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng AB DM A B C Lời giải D cos  AB, DM  cos  EM , DM  Gọi E trung điểm cạnh AC Khi ta có EM  AB Suy Tứ diện ABCD đều, cạnh a E, M trung điểm AC, BC Suy DE  DM  a , AB a a EM   , 2 Page 14 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN DM  EM  DE  cos DME    DM EM Do đó, Vậy cos  AB, DM   Câu 25: Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác vuông A , BA 2 AC 2a , cạnh bên AA 2a , M trung điểm BC Cosin góc hai đường thẳng BC AM A  5 B C Lời giải  D  AM , B ' C  ( AM , MN ) Gọi N trung điểm BB ' , ta có MN / / B ' C nên 2 2 Ta có: BC  AB  AC  4a  a  5a Page 15 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN AM  BC 5a  2 AN  AB  BN  4a  a  5a MN  B 'C BC  BB '2 5a  4a    a 2 2 Áp dụng định lý cosin tam giác MNA ta có: a  a  5a 2 2 MN  MA  AN  cos NMA  4  2.MN MA 5 a a 2 Vậy cos  AM , B ' C   Câu 26: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C Tam giác SAB vuông cân  60 Gọi M trung điểm cạnh SB ,  góc đường thẳng AB CM S BSC Khẳng định sau đúng? A cos   B cos   cos   C Lời giải D cos   6 Đặt SA a Suy SB CA CB a AB a o  Lại có BSC 60 Suy tam giác SBC nên SC a Suy CM CN  a Hay MN song song với AB Khi AB, CM  MN , CM  Áp dụng định lí cosin vào tam giác CMN ta có: Page 16 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN MC  MN  CN  cos CMN   2MC.MN 6   cos  AB, CM  cos  MN , CM   cos CMN  Câu 27: Cho hình hộp ABCD ABC D có độ dài tất cạnh a góc BAD, DAA , AAB 60 Gọi M , N trung điểm AA, CD Gọi  góc tạo hai đường thẳng MN BC , giá trị cos  bằng: A B C Lời giải D 10 Gọi P trung điểm DC   AD // BC   Ta có  MN // A P Suy  P  MN , BC  AP, AD  DA  ' 60 nên ADA tam giác Suy AD a ADA có AD  AA DAA AAB có AB  AA AAB 60 nên AAB tam giác Do DDC tam giác Vậy DC  2 DP 2 a a  60 nên BAD tam giác BAD có AD  AB BAD Vì BAD tam giác nên BAD tam giác Page 17 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Gọi AI đường cao BAD Khi AC  2 AI 2 Dễ thấy AP đường trung tuyến tam giác DAC  nên a a AP  AD  AC 2 DC 2 5a   Áp dụng định lý cosin cho tam giác ADP , ta có cos   AD  AP  DP  AD AP 10 SA   ABCD  , SA a Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, M trung điểm cạnh SD Cô-sin góc đường thẳng AC đường thẳng BM B A 3 C Lời giải D Gọi O  AC  BD , I SO  BM  SAC  kẻ NK / / AC , NK  SA N , NK  SC K Trong mặt phẳng Ta có I trọng tâm tam giác SBD   3a a SO SA  AO a   a    SO  2   Ta có 2 Tam giác SBD cạnh a  BM  a a a   BI  MB  2 3 IK 2 a a SK 2   IK  OC     SK  SC  a OC 3 3 SC 3 Page 18 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Tam giác SBC vng  B  cos SBC  SB a   SC a 3 2a 2 2   KB SK  SB  2SK SB.cos BSK  a   2a  .a  a 3 3  Ta có 2 2  a   a  2a      IK  IB  KB      cos KIB     IK IB a a 3 Vây cosin góc đường thẳng thẳng AC đường thẳng BM Câu 29: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  AB a Gọi M trung điểm SB Góc AM BD A 45 B 30 C 90 Lời giải D 60 2 Xét tam giác SAB vng A có: SB  SA  AB a Gọi E trung điểm MC , ta có:     a 2a  a   , BD OE  AM  AM , BD  OE 1 a OE  AM  SB  4 Ta có: CB  AB, SA  CB  CB  SB  SBC vuông B Xét tam giác MBC vuông B có: MC  MB  BC  a BE  MC  Page 19 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Xét tam giác BCD vng C có: Xét tam giác    EBO BD  BC  DC a  BO  a 2 a a 3a   EO  OB  EB 8   EOB   cos EOB   60 2.EO.OE a a 2 có:   , BD EOB   AM , BD  OE 60 Câu 30: Cho hình chóp S ABC có độ dài cạnh SA SB SC  AB  AC a BC a Góc hai đường thẳng AB SC là? A 60 B 90 C 30 Lời giải D 45 2 Ta có BC  AB  AC  ABC vuông A  trung điểm M cạnh huyền BC tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì SA SB SC nên SM đường cao hình chóp S ABC Gọi N , I trung điểm AC , SB      , AB  IM  , MN SC Ta có MN  AB IM  SC nên Mà BN  AB  AN  a   a2 a  Page 20 Sưu tầm biên soạn