Toan 11 c8 b1 1 hai duong thang vuong goc tuluan hdg

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN VIII QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN C H Ư Ơ N BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC GĨC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG: Định nghĩa  a, b  , góc hai đường thẳng a Góc hai đường thẳng a, b khơng gian, kí hiệu b qua điểm song song trùng với a b Nhận xét a) Để xác định góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại 0  a, b  90 b) Với hai đường thẳng a b bất kì: HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN: Định nghĩa: Hai đường thẳng a b gọi vng góc với nhau, kí hiệu a  b , góc chúng 90 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN II = = = I1 = = = I HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN PHƯƠNG PHÁP d  d  Để tính số đo góc hai đường thẳng ta thực tính thơng qua góc hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng cho Bước Sử dụng tính chất sau:  d1 , d     d1 , d   d1 , d3     d / / d Bước Áp dụng định lí cơsin tam giác để xác định góc = = Câu= 1: I BÀI TẬP Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC ABC  có đáy ABC tam giác cân,  AB  AC a, BAC 120 cạnh bên AA a Tính góc hai đường thẳng AB BC Lời giải Ta có BC / / BC   AB, BC  AB, BC  2 Xét ABC  có AB  AC   AB  BB a Áp dụng định lý cosin cho ABC , ta có  BC  AB  AC  AB AC.cos BAC a  a  2.a.a.cos120 3a  BC BC  a Suy ABC  đều, AB, BC  AB, BC   ABC  60 Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu 2: Cho hình lập phương ABCD ABC D Tính góc đường thẳng a) AB BC  b) AC BC  c) AC  BC Lời giải AB, BC  90 nên AB, BC  90 a) Ta có AB / / AB mà b) Vì tứ giác ABCD hình vng nên AC , BC  45 AC , BC  45 Ta có BC / / BC  nên c) Ta có AC / / AC  ACB tam giác có cạnh đường chéo hình AC , BC  AC , BC  60 vng Do Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc  MN , SC  bằng: Lời giải Ta có: MN / / SA   MN , SC   SA, SC  2 Ta lại có: AC a Xét SAC , nhận thấy: AC SA  SC Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Theo định lí Pitago đảo, SAC vng S Suy ra: ASC 90 hay  MN , SC   SA, SC  900 Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a; SA vng góc với đáy SA a Khi đó, cosin góc SB AC Lời giải Gọi I trung điểm SD  OI đường trung bình SBD OI / / SB    SB SA2  AB 3a  a OI    a   2 Vì  OI / / SB  SB, AC  OI , AC   AOI SD SA2  AD 3a  a AI    a 2 Ta có:  AI OI  AOI cân I Gọi H trung điểm OA  IH  OA Và OH  OA AC a   4 a OH  cos HOI    OI a Xét OHI , ta có:  cos SB, AC  cos HOI  Vậy Câu 5: Cho tứ diện ABCD có cạnh a, M trung điểm cạnh BC Gọi  góc hai đường thẳng AB DM, cos  Lời giải: Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Gọi N trung điểm AC  MN đường trung bình ABC  MN / / AB     MN  AB Vì BCD ACD tam giác cạnh a  MD  ND  Vì a MN / / AB   AB, DM  MN , DM  Xét MND , ta có: MN  MD  ND  cos NMD  MN MD 2 a a 3 a 3        2        0 a a 3 2    NMD  90  MN , DM   NMD  cos  cos NMD  Vậy Câu 6:    Cho hình hộp thoi ABCD ABC D có tất cạnh a ABC BBA BBC 60 Chứng minh tứ giác ABCD hình vng Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Ta có tứ giác ABCD hình bình hành  Do BBC 60 nên BBC Suy BC a Do CD BC a nên ABCD hình thoi          a2 a2 CB.CD  CB  BB BA CB.BA  BB.BA   0 2 Ta có Suy CB  CD Vậy tứ giác ABCD hình vng  Câu 7:  Cho hình hộp ABCD ABC D có độ dài tất cạnh a góc BAD, DAA, AAB 60 Gọi M, N trung điểm AA, CD Gọi  góc tạo hai đường thẳng MN BC , tính giá trị cos  Lời giải  AD / / BC   Ta có  MN / / A P với P trung điểm DC   P MN , BC  AP, AD  DA Suy    Vì BAD DAA  AAB 60 cạnh hình hộp a Do AD a, C D C A a AD  AC 2 DC 2 5a   AP  Suy Áp dụng định lý cosin cho tam giác ADP , ta có AP  cos   Câu 8: AD  AP  DP  AD AP 10 Cho tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm cạnh BC Tính góc hai đường thẳng AB DM Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Lời giải Gọi N trung điểm AC MN / / AB AB, DM  MN , DM  Suy  Ta có  cos DMN  MN  DM  DN 2.MN DM 2 a a 3 a 3        2       a a 2  DMN arccos Suy Vậy Câu 9: AB, DM  arccos CD  AB Cho tứ diện ABCD có Gọi G, E , F trung điểm BC , AC , DB , biết EF  AB Tính góc CD AB Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Gọi G trung điểm BC Đặt AB a Ta có GF  GE  AB a  2 CD 2a 5a  AB  ; EF  AB  3 6 Từ GE  GF  a 4a 25a   EF 36  GEF vuông G AB, CD  GE , GF EGF 90     Vì GE / / AB, GF / / CD nên  Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a ; SA vng góc với đáy SA a Tính cơsin góc SB AC Lời giải Gọi I trung điểm SD  OI đường trung bình SBD Suy OI / / SB   SB SA2  AB 3a  a  a OI    2 Vì  OI / / SB  SB, AC  OI , AC   AOI Ta có AI  SD SA2  AD 3a  a   a 2  AI OI  AOI cân I Gọi H trung điểm OA  IH  OA OH  OA AC a   4 a OH  cos HOI    OI a Xét OHI có  cos SB, AC  cos HOI  Vậy Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Câu 11: Cho hình chóp S ABC có BC a , cạnh cịn lại a Góc hai đường thẳng SB AC bằng: Lời giải S N B C H M A 2 2 2 Tập có AB  AC a  a 2a BC Suy tam giác ABC vuông A Gọi H , M , N trung điểm BC , AB , SA  MN // SB   MH // AC nên góc SB AC góc MN MH MN  SB a AC a AH  BC  a  NH   2 2, 2, Xét tam giác SBC có SB SC nên SH  BC  SH  SB  HB  a  2a a  Lại có H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC SH   ABC  Mà SA SB SC a nên Suy tam giác SAH vuông cân H HN  SA a a  2 Do tam giác MHN cạnh Góc cần tìm 600 Câu 12: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a , độ dài cạnh bên a Gọi M , N trung điểm cạnh SA BC Góc MN SC Lời giải Page Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN  SC // NP   MN , SC   MN , NP  MNP Gọi P trung điểm SB , ta có     SC  AC  SA2 a  2a  a 5a a a MC    MP  AB  NP  SC  4 ; 2; 2; Mà MB  a  5a 3a  2    a  MC  MB   BC 4  3a 2  MN    4 a NP  MN  MP MN  cos MNP     2.NP.MN NP a 2 Do Vậy 2  MNP 30 Câu 13: Cho hình lập phương ABCD ABC D , gọi I trung điểm cạnh AB Tính cơsin góc hai đường thẳng AD BI kết Lời giải Gọi độ dài cạnh hình lập phương a  Page 10 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TỐN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN Ta có     I , BC BC  D  AD, BI  B  a a BI  a     CI ; BC a 2   Tính 2 a 5 a 5    a     2a 10    cos IBC    a a 10 .a 2 Trong tam giác BCI có   10 cos AD, BI  Vậy   Câu 14: Cho tứ diện ABCD có AB CD a Gọi M , N trung điểm AD BC Xác định độ dài đoạn thẳng MN để góc hai đường thẳng AB MN 30 Lời giải A M P D B N C Gọi P trung điểm AC Ta có NP / / AB, MP / / CD  AB, MN  NP, MN   cos MNP  2 NP MP  MN  NP  MP  2.MN NP AB, MN  30  a a2 a2  4  MN a a 2.MN MN    MNP 30    MNP 150 MN a  MNP 30    MN  a 2 Page 11 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN MN  MNP 150   a (loại)    Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB  AD a BAC BAD 60 , CAD 90 Gọi M trung điểm cạnh CD Tính độ dài cạnh AC để cơsin góc hai đường thẳng AC BM Lời giải Gọi N trung điểm AD Ta có BM , AC  BM , MN   Đặt AC 2 x  MN x  Theo ta có tam giác ABD cạnh a nên BD a, BN  a 2 2 Tam giác ACD vuông A nên DC  AD  AC a  x 2 Xét tam giác ABC ta có BC a  x  2ax Do BM  a  a  x  2ax a  x 3a  x  4ax   4 3a  x  4ax 3a  x2  BM  MN  BN 4  cos BMN   2 BM MN 3a  x  4ax .x Ta tính  x  4ax x 3a  x  4ax  2 2x  a 3a  x  4ax Theo giả thiết ta có cos   2x  a 2 3a  x  4ax   x  8ax 0   x 0  x a  Do x  nên x a  AC 2 x 2a Page 12 Sưu tầm biên soạn