BÀI 6: PHÉP CHIẾU SONG SONG.HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHƠNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I PHÉP CHIẾU SONG SONG Định nghĩa -Ta có định nghĩa sau: P P Cho mặt phẳng đường thẳng cắt mặt phẳng Phép đặt tương ứng điểm M không gian với điểm M mặt phẳng P cho MM ' song song trùng với gọi phép chiếu song P song lên mặt phẳng theo phương P -Mặt phẳng gọi mặt phẳng chiếu, đường thẳng gọi phuơng chiếu, điểm M gọi hình chiếu song song (hoặc ảnh) điểm M qua phép chiếu song song nói Tính chất Trong trường hợp tổng qt, ta có định lí sau: Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng; biến tia thành tia; biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau (Hình 80 , Hình 81): Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song trùng Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng nằm hai đường thẳng song song nằm đường thẳng Chú ý: Đối với hình chiếu song song đường trịn, người ta chứng minh rằng: Hình chiếu song song đường tròn mặt phẳng theo phương cho trước đường elip đường trịn, đặc biệt đoạn thẳng II HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHƠNG GIAN Khái niệm Hình biểu diễn hình H khơng gian hình chiếu song song hình H mặt phẳng theo phương chiếu hình đồng dạng với hình chiếu Chú ý: Muốn vẽ hình biểu diễn hình khơng gian ta phải áp dụng tính chất phép chiếu song song 2 Hình biểu diễn số hình khối đơn giản Các hình sau thường sử dụng làm hình biểu diễn của: hình tứ diện (Hình 86a); hình hộp (Hình 86b); hình hộp chữ nhật (Hình 86c); hình lăng trụ tam giác (Hình 86d) Chú ý Một tam giác coi hình biểu diễn tam giác có dạng tuỳ ý cho trước (có thể tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, ) Một hình bình hành coi hình biểu diễn hình bình hành tuỳ ý cho trước (có thể hình bình hành, hình vng, hình thoi, hình chữ nhật, ) Một hình thang coi hình biểu diễn cho hình thang tuỳ ý cho trước, cho tỉ số độ dài hai đáy hình biểu diễn phải tỉ số độ dài hai đáy hình thang ban đầu Ta thường dùng đường elip làm hình biểu diễn đường tròn, tâm elip biểu diễn cho tâm đường trịn (Hình 87) Phép chiếu song song nói chung khơng giữ ngun tỉ số hai đoạn thẳng không nằm hai đường thẳng song song (hay không nằm đường thẳng) không giữ nguyên độ lớn góc Từ suy hình H có hai đoạn thẳng khơng nằm hai đường thẳng song song tỉ số chúng khơng thiết phải giữ ngun hình biểu diễn Cũng vậy, độ lớn góc hình H khơng thiết giữ ngun hình biểu diễn B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Dạng Vẽ hình biểu diễn hình khơng gian Phương pháp Để vẽ hình biểu diễn hình khơng gian, ta cần ý số điểm sau: - Nếu hình H có hai đoạn thẳng phương hình H’ hình chiếu hai đoạn thẳng phải phương - Trung điểm đoạn thẳng có hình chiếu trung điểm đoạn thẳng hình chiếu - Trong tam giác có góc tù, ta cần ý chân đường cao kẻ từ đỉnh góc nhọn khơng nằm cạnh đối diện mà nằm phần kéo dài cạnh - Một góc biểu diễn cho góc (nhọn, vng, tù) - Một tam giác hình biểu diễn tam giác (cân, đều, vng) - Hình bình hành dùng làm hình biểu diễn cho hình có tính chất hình bình hành (vng, thoi, chữ nhật,…) - Một đường tròn biểu diễn đường elip đường trịn, đặc biệt đoạn thẳng Các ví dụ Ví dụ Cho tam giác ABC Hãy chọn mặt phẳng chiếu (P) phương chiếu d để hình chiếu tam giác ABC mặt phẳng (P) là: a Một tam giác cân b Một tam giác vuông Giải Qua BC dựng mặt phẳng (P) không qua A a Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA’ cân A’ Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu AA’ biến tam giác ABC thành tam giác BCA’ b Trong mặt phẳng (P), dựng tam giác BCA” vuông A” Khi đó, phép chiếu song song lên (P) theo phương chiếu AA” biến tam giác ABC thành tam giác vng A”BC A P C A" A' B Ví dụ Vẽ hình chiếu hình chóp S.ABCD lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu SA (SA không song song với (P)) Giải Vì phương chiếu d SA nên SA cắt (P) A’ Các đỉnh B, C, D có hình chiếu (P) B’, C’, D’ BB'∥ AA',CC'∥ AA', DD'∥ AA' Vậy hình chiếu hình chóp S.ABCD lên (P) tứ giác A’B’C’D’ S d D A B A' B' C P D' C' Ví dụ Vẽ hình biểu diễn tam giác ABC có góc A tù, đường cao BH Giải Xem hình vẽ sau: B' H A C' A' Hình biểu diễn Hình thật Ví dụ Vẽ hình biểu diễn đường trịn có hai đường kính vng góc Giải Giả sử hình thật ta có đường trịn tâm (O), tâm O, có hai đường kính AB CD vng góc Nếu ta vẽ dây dung MN song song với AB CD cắt MN trung điểm I MN Suy cách vẽ hình biểu diễn sau: C C' - Vẽ elip (E), tâm O’ đường kính M' M N N' A’B’ (qua O’) I' I - Vẽ dây cung M' N'∥ A' B' A' - Lấy I’ trung điểm M’N’ B A O B' O' Đường thẳng O’I’ cắt elip (E) C’, D’ Ta có A’B’ C’D’ hình biểu diễn hai đường kính vng góc với D' D đường trịn Hình thật Hình biểu diễn Ví dụ Vẽ hình biểu diễn lục giác Giải Xét hình lục giáo ABCDEF, ta thấy: - Tứ giác OABC hình thoi - Các điểm D, E, F điểm đối xứng điểm A, B, C qua tâm O Suy cách vẽ sau: B C H' + Vẽ hình bình hành O’A’B’C’ biểu diễn cho hình thoi OABC + Lấy điểm D’, E’, F’ đối xứng với điểm A’, B’, C’ qua O’ + A’B’C’D’E’F’ hình cần vẽ F E A' A F' B O O' E' D B' C C' D' Hình biểu diễn lục giác Ví dụ Vẽ hình biểu diễn tam giác Giải Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D điểm đối xứng với A qua O, ta thấy tứ giác OBDC hình thoi Từ suy cách vẽ sau: + Vẽ hình bình hành O’B’D’C’ biểu diễn cho hình thoi OBDC + Lấy điểm A’ điểm đối xứng D’ qua O’ + Tam giác A’B’C’ tam giác cần tìm A B' A' O' O D' B C D C' Hình biểu diễn tam giác Dạng Các toán liên quan đến phép chiếu song song Phương pháp Các toán liên quan đến phép chiếu song song thường dựa vào tính chất phép chiếu song song để chứng minh vấn đề Cần ý tốn dạng này, việc tìm phương chiếu đóng vai trị quan trọng Các ví dụ Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ACD a Chứng minh hình chiếu G’ điểm G mặt phẳng (BCD) theo phương chiếu AB trọng tâm tam giác BCD b Gọi M, N trung điểm AD AC Tìm hình chiếu song song điểm M, N theo phép chiếu nói Giải a Chứng minh G’ trọng tâm tam giác BCD: - Gọi I trung điểm CD Qua phép chiếu song song phương AB IB hình chiếu IA mặt phẳng (BCD) - Vì phép chiếu song song bảo tồn tính thẳng hàng thứ tự ba điểm A, G, I nên hình biểu diễn G’ G nằm BI B I Trong tam giác IAB, ta có: IG IG' IA IB IG' IG IB IA d A M N B M' G D N' G' I C Suy G’ trọng tâm tam giác BCD b Hình chiếu M, N qua phép chiếu song song phương AB mặt phẳng (BCD) Ta thấy: - BD hình chiếu AD mặt phẳng (BCD); M trung điểm AD nên M’ trung điểm BD - BC hình chiếu AC mặt phẳng (BCD); N trung điểm AC nên N’ trung điểm BC Ví dụ Cho hai hình bình hành ABCD BCC’B’ nằm hai mặt phẳng phân biệt Tìm điểm M đoạn DB’, điểm N đường chéo AC cho MN∥ BC' Giải - Phân tích: B' C' M DB' N AC Giả sử tìm cho MN∥ BC' Xét phép chiếu song song theo phương BC’ lên B'' B C mặt phẳng (ABCD) Khi qua phép chiếu này, M N hình chiếu điểm D, M, B’ D, N, B’’ Vì D, M, B’ thẳng hàng nên D, N, B” A D thẳng hàng Do đó, N giao điểm DB” AC Từ đó, ta có cách dựng sau: - Cách dựng: + Dựng B” hình chiếu B’ qua phép chiếu theo phương BC’ lên mặt phẳng (ABCD) + Dựng N giao điểm DB” AC + Trong mặt phẳng (DB’B”), ta kẻ NM∥ B' B" cắt DB’ M Vậy M N điểm cần tìm C GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài Hình 88a,88b,88c , hình hình biểu diễn cho hình tứ diện? Trong Lời giải Ba Hình 88a, 88b, 88c hình biểu diễn cho hình tứ diện Bài Cho hình hộp ABCD ABC D Xác định ảnh tam giác AC D qua phép chiếu song song ABCD lên mặt phẳng theo phương AB Lời giải Ta có: B ảnh A lên (ABCD) ABCD Có: D'C // A ' B nên C ảnh D' lên Từ C' kẻ C'E // CD' // A'B Suy E ảnh C' lên ABCD ABCD Vậy tam giác BCE ảnh tam giác AC D qua phép chiếu song song lên mặt phẳng theo phương A'B Bài Vẽ hình biểu diễn vật Hình 89 Hình 90 Lời giải Bài Vẽ hình biểu diễn của: a) Một tam giác vng nội tiếp đường trịn; b) Một lục giác Lời giải D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Câu 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hình chiếu song song hai đường thẳng cắt hai đường thẳng song song B Hình chiếu song song hình bình hành hình bình hành C Phép chiếu song song biến tam giác thành tam giác mặt phẳng chứa tam giác không phương với phương chiếu D Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng Lời giải Chọn C Trên hình A có AH BC HB HC hình B có AB∥ CD,AD∥ BC AC BD A A D O B H Hình A C B Hình B C Hãy Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A ABC tam giác B ABC tam giác cân A C ABCD hình thoi D B C Lời giải Chọn D Nhìn hình vẽ, ta thấy: - Tam giác ABC có AH vừa đường cao vừa trung tuyến nên cân A B - Tứ giác ABCD có AB∥ CD, AC∥ BD nên hình bình hành Mặt khác hai đường chéo vng góc nên ABCD hình thoi C Câu 3: Trên hình C , ta có phép chiếu song song theo phương d mặt phẳng chiếu (P); AB∥ CG AB DG ; A’, B’, C’, D’, E’, G’ hình chiếu A, B, C, D, E, G qua phép chiếu nói D C d E G B A G' C' D' E' A' P B' Hình C Mệnh đề sau đúng? DG D'G' 1 A AB A' B' C D'G' A' B' C' D' CD B D'E' DE D Tất A, B, C Lời giải Chọn D The định lí 2, ta thấy câu A câu B Từ câu A suy câu C Câu 4: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hình chiếu song song hai đường thẳng chéo song song với B Hình chiếu song song hai đường thẳng cắt song song C Hình chiếu song song hai hình vng hình vng D Hình chiếu song song lục giác lục giác Lời giải Q b P a R a' b' Chọn A Dựng mặt phẳng (P) qua a song song với b Dựng mặt phẳng (Q) qua b song song với a Giả sử (P) song song với (Q) Ta Chọn phương chiếu d song song với (P) mặt phẳng chiếu (R) cho (R) cắt (P) (Q) theo hai giao tuyến a’ b’ Khi hình chiếu a’, b’ song song với Câu 5: Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng chéo a b có hình chiếu hai đường thẳng a’ b’ Mệnh đề sau đúng? A a’ b’ luôn cắt B a’ b’ trùng C a b song song D a’ b’ cắt song song với Lời giải Chọn D Gọi l phương chiếu, Khi song song Câu 6: mặt phẳng song song với l qua a b cắt a’ b’ cắt nhau, song song a’ b’ Qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P), hai đường thẳng a b có hình chiếu hai đường thẳng song song a’ b’ Khi đó: A a b phải song song với B a b phải cắt C a b chéo song song với D a b song song Lời giải Chọn C mp a,a' ∥ mp b, b' Nếu a'∥ b' Bởi a b song song chéo Câu 7: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D có hình chiếu song song mặt phẳng (P) bốn điểm A’, B’, C’, D’ Những trường hợp sau xảy ra? A A’B’C’D’ bốn đỉnh hình bình hành B D’ trọng tâm tam giác A’B’C’ C D’ trung điểm cạnh A’B’ D Hai điểm B’, C’ nằm hai điểm A’ D’ Lời giải Chọn D Bốn điểm không đồng phẳng A’, B’, C’, D’ thẳng hàng Câu 8: Hình chiếu song song hình thang ABCD khơng thể hình đây? A Hình bình hành B Hình tam giác cân C Đoạn thẳng D Bốn điểm thẳng hàng Lời giải Chọn B