Bài 7 hình bình hành

BÀI 7: HÌNH BÌNH HÀNH Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa hình bình hành + Nắm dấu hiệu nhận biết hình bình hành  Kĩ + Vẽ hình bình hành + Chứng minh tứ giác hình bình hành + Chứng minh đoạn thẳng, góc dựa vào tính chất hình bình hành Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Nhận xét: Hình bình hành hình thang có hai Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song cạnh bên song song song  AB //CD ABCD hình bình hành    AD //BC Tính chất Định lí: Trong hình bình hành a) cạnh đối Dấu hiệu d) dấu hiệu dùng b) góc đối c) hai đường chéo có cắt trung điểm đường Dấu hiệu nhận biết a) Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành b) Tứ giác có cạnh đối hình bình hành c) Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành d) Tứ giác có góc đối hình bình hành e) Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Trang Hình vẽ Khái niệm Hình bình Hình bình hành tứ giác có cạnh đối song song ABCD hình bình hành hành Tính chất Các cạnh đối Các góc đối Hai đường chéo có cắt trung điểm đường Tứ giác có cạnh đối song song hình bình hành Dấu hiệu nhận biết Tứ giác có cạnh đối hình bình hành Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có góc đối hình bình hành Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Vận dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học Phương pháp giải Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm AB, F trung điểm DC a) Chứng minh BE DF b) Chứng minh tứ giác BEDF hình bình hành Trang Hướng dẫn giải Bước Xác định đoạn thẳng thuộc cạnh a) Ta có: EA EB  AB (E trung điểm AB) có tính chất đặc biệt song song, trung FD FC  DC (F trung điểm DC) điểm Mà AB DC (ABCD hình bình hành) Bước Sử dụng định nghĩa tính chất Nên EA EB FD FC cạnh, góc đường chéo hình bình hành b) Xét tứ giác BEDF ta có: BE DF (chứng minh trên) BE //DF  AB //DC  Suy tứ giác BEDF hình bình hành có hai cạnh đối vừa song song vừa Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD Gọi K trung điểm AB, I trung điểm DC BD cắt AI CK M, N Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD a) Chứng minh tứ giác AKCI hình bình hành b) Chứng minh DM MN  NB Hướng dẫn giải Ta có: KA KB  AB (K trung điểm AB) ID IC  DC (I trung điểm DC) Mà AB DC (ABCD hình bình hành) nên KA KB ID IC Trang Xét tứ giác AKCI, ta có: AK IC (chứng minh trên) AK //IC  AB //DC  Suy tứ giác AKIC hình bình hành có hai cạnh đối vừa song song vừa b) Xét BAM ta có: K trung điểm BA (gt), KN //AM (AKCI hình bình hành)  N trung điểm BM  NB MN  1 Xét DCN ta có: I trung điểm CD (gt) IM //CN (AKCI lả hình bình hành)  M trung điểm DN  DM MN  2 Từ  1   suy DM MN NB Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Phát biểu đúng? A Hình bình hành tứ giác có cạnh B Hình bình hành tứ giác có góc C Hình bình hành tứ giác hai cạnh kề D Hình bình hành tứ giác có hai cạnh đối song song Câu 2: Cho hình bình hành ABCD biết A 75 Các góc cịn lại có giá trị bao nhiêu?  105 , C  105 , D  75 A B  105 , C  75 , D  105 B B  85 , C  95 , D  105 C B  75 , C  105 , D  105 D B  40 Tính số đo góc A Câu 3: Cho hình bình hành ABCD biết A  B A A 60 B A 110 C A 90 D A 120 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD, gọi I giao điểm hai đường chéo AC, BD Chọn phát biểu A AC 2 IB B ID  AC C IC  AC D IA IB ID Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AB 6 cm , BC 8 cm Tính chu vi hình bình hành ABCD A 10 B 14 C 28 D 24 Dạng 2: Chứng minh tứ giác hình bình hành Phương pháp giải Bước Xác định đoạn thẳng thuộc cạnh có Ví dụ: Cho ABC nhọn có AB  AC Gọi D, E, F Trang tính chất đặc biệt song song, trung điểm trung điểm AB, AC, BC Chứng Bước Sử dụng định nghĩa tính chất cạnh, minh tứ giác BDEF hình bình hành góc đường chéo hình bình hành Hướng dẫn giải Xét ABC ta có D trung điểm AB, E trung điểm AC  DE đường trung bình ABC  DE //BC     DE  BC Ta có DE  BC (chứng minh trên), BF  BC (F trung điểm BC)    DE BF   BC    Xét tứ giác BDEF, ta có DE BF (chứng minh trên), DE //BF  DE //BC   Tứ giác BDEF hình bình hành có hai cạnh đối vừa song song vừa Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N cho MB DN a) Chứng minh BMDN hình bình hành b) Chứng minh AMCN hình bình hành Trang c) Gọi K giao điểm DM AN H giao điểm BN CM Chứng minh tứ giác MKNH hình bình hành Hướng dẫn giải a) Xét tứ giác BMDN ta có: BM DN (giả thiết), BM //DN (tứ giác ABCD hình bình hành)  Tứ giác BMDN hình bình hành có hai cạnh đối vừa song song vừa b) Ta có AB CD (tứ giác ABCD hình bình hành), BM DN (giả thiết),  AB  BM CD  DN  AM CN Xét tứ giác AMCN, ta có AM CN (chứng minh trên), AM //CN (tứ giác ABCD hình bình hành)  Tứ giác AMCN hình bình hành có hai cạnh đối vừa song song vừa c) Xét tứ giác MKNH, ta có KM //NH (tứ giác BMDN hình bình hành), MH //KN (tứ giác AMCN hình bình hành)  Tứ giác MKNH hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến BM CN cắt G Gọi P điểm đối xứng điểm M qua G Gọi Q điểm đối xứng điểm N qua G a) Tứ giác MNPQ hình gì? Vì sao? b) Trên tia đối tia MN, lấy điểm E cho AM NM Chứng minh EQ MP Câu 2: Cho ABC nhọn có AB  AC Gọi M, N, P trung điểmcủa AB, AC, BC a) Chứng minh MP  AN b) Chứng minh tứ giác CNMP hình bình hành c) Chứng minh tứ giác AMPN hình bình hành Câu 3: Cho ABC cân A Trên AB lấy điểm D, AC lấy điểm E, cho AD CE Gọi I trung điểm DE AI cắt BC K Chứng minh tứ giác ADKE hình bình hành Dạng 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy Trang Phương pháp giải Bước Chứng minh tứ giác hình bình hành Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD hình bình Bước Sử dụng tính chất đường chéo hình hành Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh CD lấy bình hành để chứng minh điểm N cho DM CN Gọi O giao điểm AC BD Hướng dẫn giải Tứ giác ABCD hình bình hành O giao điểm hai đường chéo AC, BD  O trung điểm AC, BD Xét tứ giác AMCN ta có AM CN (giả thiết), AM //CN (tứ giác ABCD hình bình hành)  tứ giác AMCN hình bình hành có hai cạnh đối vừa song song vừa Mà O trung điểm đường chéo AC nên O trung điểm đường chéo MN Hay M, O, N thẳng hàng Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo AC, BD cắt O Kẻ BH  AC H cắt DC N kẻ DK  AC K cắt AB M a) Chứng minh tứ giác BMDN hình bình hành b) Chứng minh tứ giác BKDH hình bình hành c) Chứng minh AC, BD, MN đồng quy Hướng dẫn giải a) Ta có DM  AC (gt), BN  AC (gt)  DM //BN   AC  Xét tứ giác BMDN, ta có: BM //DN tứ giác ABCD hình bình hành), Trang DM //DN (chứng minh trên)  tứ giác BMDN hình bình hành có hai cặp cạnh đối song song b) Xét AKD CHB ta có: AKD CHB   90  , AD BC (tứ giác ABCD hình bình hành),   (hai góc so le AD //BC ) DAK BCH  AKD CHB (cạnh huyền - góc nhọn)  DK BH Xét tứ giác BKDH, ta có BH //DK (chứng minh trên), BH DK (chứng minh trên)  tứ giác BKDH hình bình hành có hai cạnh đối song song c) Tứ giác ABCD hình bình hành có O giao điểm hai đường chéo AC, BD nên O trung điểm đường chéo BD Lại có tứ giác BMDN hình bình hành suy O trung điểm đường chéo MN  O  MN Vậy ba đường thẳng AC, BD, MN đồng quy O Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi M trung điểm BC, tia AM lấy điểm K cho M trung điểm AK a) Chứng minh tứ giác ABKC hình bình hành b) Gọi I trung điểm AB E trung điểm AC Trên tia IE lấy điểm H cho E trung điểm IH Chứng minh tứ giác AHCI hình bình hành c) Chứng minh K, C, H thẳng hàng Câu 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi O trung điểm AC, tia BO lấy điểm P cho O trung điểm BP a) Chứng minh tứ giác ABCP hình bình hành b) Trên tia PC lấy điểm K cho C trung điểm PK Chứng minh BK  AC c) Từ O kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC M Chứng minh A, M, K thẳng hàng Câu 3: Cho hình bình hành ABCD Lấy hai điểm E, F theo thứ tự thuộc AB CD cho AE CF Lấy hai điểm M, N theo thứ tự thuộc BC AD cho CM  AN Chứng minh rằng: a) Tứ giác AECF hình bình hành b) Tứ giác ANCM hình bình hành c) Ba đường thẳng MN, EF, BD đồng quy Câu 4: Cho hình bình hành ABCD Gọi E, F trung điểm AB CD a) Tứ giác DEBF hình gì? Vì sao? b) Chứng minh ba đường thẳng BD, AC, EF đồng quy Trang ĐÁP ÁN Dạng Vận dụng tính chất hình bình hành để chứng minh tính chất hình học 1-D 2-B 3-B 4-C 5-C Dạng Chứng minh tứ giác hình bình hành Câu 1: a) Xét tứ giác MNPQ, ta có G trung điểm MP (P đối xứng với M qua G) G trung điểm NQ (Q đối xứng với N qua G)  Tứ giác MNPQ hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm đường b) Ta có EM MN (giả thiết) PQ MN (Tứ giác MNPQ hình bình hành)  EM PQ  MN  Xét tứ giác EMPQ, ta có EM PQ (chứng minh trên) EM //PQ  MN //PQ   Tứ giác EMPQ hình bình hành có hai cạnh đối vừa song song vừa Suy EQ MP Câu 2: a) Xét ABC ta có: M trung điểm AB (giả thiết) P trung điểm BC (giả thiết)  MP đường trung bình ABC  MP //BC Và MP  AC  AN (điều phải chứng minh) b) Ta có MP  NC (tứ giác CNMP hình bình hành) AN CN (N trung điểm AC)  MP  AN  CN  Xét tứ giác AMPN ta có MP  AN (chứng minh trên) MP //AN  MP //CN   Tứ giác AMPN hình bình hành có hai cạnh đối vừa song song vừa Trang 10 c) Ta có MN  BC (MN đường trung bình ABC )   CP  BC (P trung điểm BC)  MN CP   BC      Xét tứ giác CNMP, ta có MN CP (chứng minh trên) MN //CP  MN //BC   Tứ giác CNMP hình bình hành có hai cạnh đối vừa song song vừa Câu 3: Từ E kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC S   (hai góc đồng vị ES //AB )  ESC  ABC  ECS  ABC   ESC ECS Mà ( ABC cân A ) nên  ECS cân E  ES  AD (vì EC  AD ) Xét tứ giác ADSE, ta có AD //ES (giả thiết) AD ES (chứng minh trên)  Tứ giác ADSE hình bình hành có hai cạnh đối song song Mà I trung điểm đường chéo DE nên I trung điểm đường chéo AS hay A; I; S thẳng hàng Suy AI cắt BC s Lại có AI cắt BC K, S K Vậy tứ giác ADKE hình bình hành Dạng Chứng minh ba điểm thẳng hàng, đường thẳng đồng quy Câu 1: a) Xét tứ giác ABKC, ta có M trung điểm BC (giả thiết); M trung điểm AK (giả thiết)  Tứ giác ABKC hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm đường b) Xét tứ giác AHCI ta có E trung điểm AC (giả thiết); E trung điểm IH (giả thiết)  Tứ giác AHCI hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm đường c) Ta có Trang 11 KC //AB (tứ giác ABKC hình bình hành); CH //AB (tứ giác AHCI hình bình hành)  KC trùng với CH (cùng song song với AB)  K, C, H thẳng hàng.  Câu 2: a) Xét tứ giác ABCP, ta có O trung điểm AC (giả thiết) O trung điểm BP (giả thiết)  Tứ giác ABCP hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm đường b) Ta có PC CK (C trung điểm PK) PC  AB (tứ giác ABCP hình bình hành)  CK  AB  PC  Xét tứ giác ABKC, ta có AB CK (chứng minh trên) AB //CK  AB //PC   Tứ giác ABKC hình bình hành có cạnh đối vừa song song vừa  BK  AC c) Xét ABC ta có O trung điểm AC (giả thiết); OM //AB (giả thiết)  M trung điểm BC Mà BC đường chéo hình bình hành ABKC nên M trung điểm đường chéo AK Suy A, M, K thẳng hàng Câu 3: a) Tứ giác AECF hình bình hành Xét tứ giác AECF, ta có AE CF (giả thiết) AE //CF (tứ giác ABCD hình bình hành)  Tứ giác AECF hình bình hành có cạnh đối vừa song song vừa b) Tứ giác ANCM hình bình hành Xét tứ giác ANCM ta có AN CM (giả thiết) AN //CM (tứ giác ABCD hình bình hành)  Tứ giác ANCM hình bình hành có hai cạnh đối vừa song song vừa Trang 12 c) Ba đường thẳng MN, EF, BD đồng quy • Gọi O giao điểm AC MN Mà tứ giác AMCN hình bình hành nên O trung điểm hai đường chéo AC, MN  1 • Tứ giác AECF hình bình hành có O trung điểm đường chéo AC nên O trung điểm đường chéo EF Suy O, E, F thẳng hàng   • Tứ giác ABCD hình bình hành có O trung điểm đường chéo AC nên O trung điểm đường chéo BD Suy O, B, D thẳng hàng  3 Từ  1 ,   ,  3 suy ba đường thẳng MN, EF, BD đồng quy O   Câu 4: a) Ta có: AE EB  AB (E trung điểm AB) DF FC  DC (F trung điểm DC) Mà AB CD (tứ giác ABCD hình bình hành) nên AE EB DF FC Xét tứ giác DEBF, ta có BE DF (chứng minh trên) BE //DF (tứ giác ABCD hình bình hành)  Tứ giác DEBF hình bình hành có hai cạnh đối vừa song song vừa b) Gọi O giao điểm AC BD Do tứ giác ABCD hình bình hành nên O trung điểm hai đường chéo AC, BD  1 Tứ giác DFBE hình bình hành có O trung điểm đường chéo BD nên O trung điểm đường chéo EF Suy O, E, F thẳng hàng   Từ  1   suy ba đường thẳng BD, AC, EF đồng quy O Trang 13