Bài 7 Hình bình hành Bài 73 trang 89 SBT Toán 8 Tập 1 Các tứ giác ABCD, EFGH và hình vẽ bên dưới có phải là hình bình hành hay không? Lời giải Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có cạnh đối AD // BC và[.]
Bài 7: Hình bình hành Bài 73 trang 89 SBT Toán Tập 1: Các tứ giác ABCD, EFGH hình vẽ bên có phải hình bình hành hay khơng? Lời giải: Tứ giác ABCD hình bình hành có cạnh đối AD // BC AD = BC cạnh ô vuông Tứ giác EFGH hình bình hành có cạnh đối EH = FG, EF = HG đường chéo hình chữ nhật có cạnh vng cạnh vng Bài 74 trang 89 SBT Tốn Tập 1: Cho hình bình hành ABCD Gọi E trung điểm AB, F trung điểm CD Chứng minh rằng: DE = BF Lời giải: Vì ABCD hình bình hành nên ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành) Vì E trung điểm AB nên EB = AB Và F trung điểm CD nên FD = CD Suy ra: EB = FD (1) Mà AB // CD (do ABCD hình bình hành) ⇒ BE // FD (2) Từ (1) (2) suy tứ giác BEDF hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau) ⇒ DE = BF (tính chất hình bình hành) Bài 75 trang 89 SBT Tốn Tập 1: Cho hình bình hành ABCD Tia phân giác góc A cắt CD M Tia phân giác góc C cắt AB N Chứng minh AMCN hình bình hành Lời giải: Vì ABCD hình bình hàn nên ta có: A = C (tính chất hình bình hành) A = A (Vì AM tia phân giác BAD ) C2 = C ( Vì CN tia phân giác BCD ) Suy ra: A = C2 Do ABCD hình bình hành nên AB // CD (tính chất hình bình hành) Hay AN // CM (1) Mà N1 = C2 (so le trong) A = C2 Suy ra: A = N1 ⇒ AM // CN (vì có cặp góc vị trí đồng vị nhau) (2) Từ (1) (2) suy tứ giác AMCN hình bình hành Bài 76 trang 89 SBT Tốn Tập 1: Trên hình 8, cho ABCD hình bình hành Chứng minh AECF hình bình hành Lời giải: Gọi O giao điểm AC BD, ta có: OA = OC (tính chất hình bình hành) (1) Xét hai tam giác vuông AEO CFO, ta có: AEO = CFO = 90o OA = OC (chứng minh trên) AOE = COF (đối đỉnh) Do ΔAEO = ΔCFO (cạnh huyền - góc nhọn) ⇒ OE = OF Hay O trung điểm EF (2) Từ (1) (2) suy tứ giác AECF hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt trung điểm đường) Bài 77 trang 89 SBT Tốn Tập 1: Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Tứ giác EFGH hình gì? Vì sao? Lời giải: Nối đường chéo AC Trong ΔABC ta có: E trung điểm AB (giả thiết) F trung điểm BC (giả thiết) Nên EF đường trung bình ΔABC ⇒EF//AC EF = AC (tính chất đường trung hình tam giác) (1) Trong ΔADC ta có: H trung điểm AD (giả thiết) G trung điểm DC (giả thiết) Nên HG đường trung bình ΔADC ⇒ HG // AC HG = AC (tính chất đường trung bình tam giác) (2) Từ (1) (2) suy ra: EF // HG EF = HG Vậy tứ giác EFGH hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau) Bài 78 trang 89 SBT Toán Tập 1: Cho hình bình hành ABCD Gọi I, K theo thứ tự trung điểm CD, AB Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự E, F Chứng minh DE = EF = FB Lời giải: Ta có: AB = CD (tính chất hình bình hành) 1 Vì I, K theo thứ tự trung điểm CD, AB nên AK = AB; CI = CD 2 Suy ra: AK = CI (1) Mặt khác: AB // CD (vì ABCD hình bình hành) ⇒ AK // CI (2) Từ (1) (2) suy tứ giác AKCI hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau) ⇒ AI // CK Trong ΔABE, ta có: K trung điểm AB (giả thiết) Và AI // CK hay KF // AE nên BF = EF (tính chất đường trung bình tam giác) (1) Trong ΔDCF, ta có: I trung điểm DC (giả thiết) Và AI // CK hay IE // CF nên DE = EF (tính chất đường trung bình tam giác) (2) Từ (1) (2) suy ra: DE = EF = FB (điều phải chứng minh) Bài 79 trang 89 SBT Tốn Tập 1: Tính góc hình bình hành ABCD biết: a) A = 110o b) A − B = 20o Lời giải: a) Tứ giác ABCD hình bình hành ⇒ C = A = 110o (tính chất hình bình hành) Lại có: A + B = 180o (2 góc phía bù nhau) ⇒ B = 180o – 110o = 70o D = B = 70o (tính chất hình bình hành) b) Vì tứ giác ABCD hình bình hành ⇒ A + B = 180o (2 góc phía bù nhau) Mà A − B = 20o (giả thiết) Ta có: A + B + A − B = 180 + 20 Suy ra: A = 200o ⇒ A = 100o Do đó, C = A = 100o (tính chất hình bình hành) B = A – 20o = 100o – 20o = 80o D = B = 80o (tính chất hình bình hành) Bài 80 trang 89 SBT Toán Tập 1: Trong tứ giác hình đây, hình hình bình hành Lời giải: * Tứ giác ABCD hình bình hành AB // CD AB = CD * Tứ giác IKMN có: I + K + N + M = 360o Suy ra: N = 360o - ( I + K + M ) = 110o Ta có I = M = 70o K = N = 110o Suy IKMN hình bình hành (tứ giác có góc đối nhau) * Tứ giác EFGH khơng hình bình hành có hai đường chéo khơng cắt trung điểm đường Bài 81 trang 90 SBT Tốn Tập 1: Chu vi hình bình hành ABCD l0cm, chu vi tam giác ABD 9cm Tính độ dài BD Lời giải: Chu hình bình hành ABCD 10cm nên (AB + AD).2 = 10(cm) ⇒ AB + AD = 10 : = 5(cm) Chu vi ΔABD bằng: AB + AD + BD = 9(cm) ⇒ BD = - (AB + AD) = - = 4(cm) Bài 82 trang 90 SBT Tốn Tập 1: Trên hình 10, cho ABCD hình bình hành Chứng minh AE //CF Lời giải: Gọi O giao điểm AC BD, ta có: OB = OE + EB OD = OF + FD (1) Lại có: EB = FD (giả thiết) (2) OB = OD (tính chất hình bình hành) (3) Từ (1), (2),(3) suy ra: OE = OF Lại có: O trung điểm AC nên OA = OC Xét tứ giác AECF có: O trung điểm AC O trung điểm EF Suy tứ giác AECF hình bình hành (vì có đường chéo cắt trung điểm đường) ⇒ AE // CF (tính chất hình bình hành) Bài 83 trang 90 SBT Toán Tập 1: Cho hình hình hành ABCD Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AB, CD Gọi M giao điểm AF DE, N giao điểm BF CE Chứng minh rằng: a) EMNF hình bình hành; b) Các đường thẳng AC, EF, MN đồng quy Lời giải: a) +) Ta có: AE = 1 AB; CF = CD (vì E F trung điểm AB, CD) 2 Và AB = CD (tính chất hình bình hành) Do đó, AE = CF +) Lại có: AB // CD ( ABCD hình bình hành) nên AE //CF Tứ giác AECF có hai cạnh đối AE, CF song song nên hình bình hành ⇒ AF //CE hay EN // FM (1) Xét tứ giác BFDE ta có: AB // CD (Vì ABCD hình bình hành) hay BE // DF 1 Vì E F trung điểm AB, CD nên BE = AB; DF = CD 2 Lại có: AB = CD (tính chất hình bình hành) Suy ra: BE = DF Tứ giác BFDE hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau) ⇒ BF//DE hay EM // FN (2) Từ (1) (2) suy tứ giác EMFN hình bình hành (theo định nghĩa hình bình hành) b) Gọi O giao điểm AC EF Tứ giác AECF hình bình hành ⇒ OE = OF (tính chất hình bình hành) Tứ giác EMFN hình bình hành nên hai đường chéo cắt trung điểm đường Suy ra: MN qua trung điểm O EF Vậy AC, EF, MN đồng quy O Bài 84 trang 90 SBT Toán Tập 1: Trên hình 11, cho ABCD hình bình hành Chứng minh rằng: a) EGFH hình bình hành b) Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy Hình 11 Lời giải: a) +) Ta có: AH + HD = AD Và CG + GB = CB Mà AD = CB (vì ABCD hình bình hành) Và DH = GB (giả thiết) Suy ra: AH = CG Xét ΔAEH ΔCFG: AE = CF (giả thiết) A = C (tính chất hình bình hành) AH = CG ( chứng minh trên) Do đó: ΔAEH = ΔCFG (c.g.c) ⇒ EH = FG Xét ΔBEG ΔDFH, ta có: BG = DH (giả thiết) B = D (tính chất hình bình hành) BE = DF (vì AB = CD AE = CF nên AB – AE = CD – CF hay BE = DF ) Do đó: ΔBEG = ΔDFH (c.g.c) ⇒ EG = FH Xét tứ giác EGFH có: EG = HF (chứng minh trên) EH = FG (chứng minh trên) Suy ra: Tứ giác EGFH hình bình hành (vì có cặp cạnh đối nhau) b) Gọi O giao điểm AC EF Xét tứ giác AECF, ta có: AB // CD ( Vì ABCD hình bình hành) hay AE // CF Lại có: AE = CF (giả thiết) Do đó: Tứ giác AECF hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau) ⇒ O trung điểm AC EF Tứ giác ABCD hình bình hành có O trung điểm AC nên O trung điểm BD Tứ giác EGFH hình bình hành có O trung điểm EF nên O trung điểm GH Vậy AC, BD, EF, GH đồng quy O Bài 85 trang 90 SBT Tốn Tập 1: Cho hình hình hành ABCD Qua C kẻ đường thẳng xy có điểm chung C với hình bình hành Gọi AA', BB', DD' đường vng góc kẻ từ A, B, D đến đường thẳng xy Chứng minh AA' = BB' + DD' Lời giải: Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Kẻ OO' ⊥ xy Ta có: BB' ⊥ xy (giả thiết) DD' ⊥ xy (giả thiết) Suy ra: BB // OO' // DD' Tứ giác BB'D'D hình thang OB = OD (tính chất hình bình hành) Nên O'B' = O'D' Do OO' đường trung bình hình thang BB'D'D ⇒ OO' = BB' + DD' (tính chất đường trung hình hình thang) (1) Ta có: AA' ⊥ xy (giả thiết) Và OO' ⊥ xy (theo cách vẽ) Suy ra: AA' // OO' Trong ΔACA' tacó: OA = OC (tính chất hình bình hành) OO' // AA' nên OO' đường trung bình ΔACA' ⇒OO' = AA' (tính chất đường trung bình tam giác) ⇒AA' = 2OO' (2) Từ (1) (2) suy ra: AA' = BB' + DD' (điều phải chứng minh) Bài 86 trang 90 SBT Tốn Tập 1: Cho hình bình hành ABCD đường thẳng xy khơng có điểm chung với hình bình hành Gọi AA’; BB’; CC’; DD’ đường vng góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy Tìm mối liên hệ độ dài AA', BB', CC', DD' Lời giải: Gọi O giao điểm AC BD ⇒ OA = OC, OB = OD (tính chất hình bình hành) Kẻ OO' ⊥ xy Ta có: AA' ⊥ xy (giả thiết) Và CC' ⊥ xy (giả thiết) Suy ra: AA' // OO' // CC' Tứ giác ACC'A' hình thang có: OA = OC (chứng minh trên) Và OO' // AA' nên OO' đường trung bình hình thang ACC'A' ⇒ OO' = AA '+ CC' (tính chất đường trung bình hình thang) (1) Ta có: BB' ⊥ xy DD' ⊥ xy (gt) OO' ⊥ xy (gt) Suy ra: BB'// OO' // DD' Tứ giác BDD'B' hình thang có: OB = OD (chứng minh trên) OO' // BB' nên OO' đường trung bình hình thang BDD'B' ⇒ OO' = BB' + DD' (tính chất đường trung bình hình thang) (2) Từ (1) (2) suy ra: AA' + CC' = BB + DD' Bài 87 trang 90 SBT Tốn Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có A = α > 90o Ở phía ngồi hình bình hành vẽ tam giác ADF, ABE a) Tính EAF ; b) Chứng minh tam giác CEF tam giác Lời giải: a) Vì BAD + BAE + EAF + FAD = 3600 ( ⇒ EAF = 3600 − BAD + BAE + FAD ) Mà BAD = αo (giả thiết) Và BAE = 60o (ΔBAE đều) FAD = 60o (ΔFAD đều) Nên EAF = 360o – (αo + 60o + 60o) = 240o – α b) Ta có: BAD + ADC = 180o (hai góc phía bù nhau) ⇒ ADC = 180o - BAD = 180o – α Mà CDF = ADC + ADF = 180o - αo + 60o = 240o – α Suy ra: CDF = EAF Xét ΔAEF ΔDCF: AF = DF (vì ΔADF đều) AE = DC (vì AB) CDF = EAF (chứng minh trên) Do đó: ΔAEF = ΔDCF (c.g.c) ⇒ EF = CF (1) Ta có: CBE = ABC + 60o = 180o – α + 60o = 240o – α Xét ΔBCE ΔDFC có: BE = CD (vì AB) CBE = CDF = 240o – α BC = DF (vì AD) Do ΔBCE = ΔDFC (c.g.c) ⇒ CE = CF (2) Từ (1) (2) suy ra: EF = CF = CE Vậy Δ ECF Bài 88 trang 90 SBT Toán Tập 1: Cho tam giác ABC Ở phía ngồi tam giác vẽ tam giác vuông cân A ABD, ACE Vẽ hình bình hành ADIE Chứng minh rằng: a) IA = BC; b) IA ⊥ BC Lời giải: a) Ta có: BAD + BAC + DAE + EAC = 3600 Lại có: BAD = 90o, EAC = 90o Suy ra: BAC + DAE = 180o (1) Vì AE // DI (giả thiết) ⇒ ADI + DAE = 180o (2 góc phía) Từ (1) (2) suy ra: BAC = ADI Xét ΔABC ΔDAI có: AB = AD (vì tam giác ABD vng cân) AC = DI (= AE) BAC = ADI (chứng minh trên) Suy ra: ΔABC = ΔDAI (c.g.c) ⇒ IA = BC b) Vì ΔABC = ΔDAI (chứng minh trên) ⇒ ABC = A1 (3) Gọi giao điểm IA BC H Ta có: A1+ BAD+ A = 180o (kề bù) Mà BAD = 90o (giả thiết) ⇒ A1+ A = 90o (4) (2) Từ (3) (4) suy ra: ABC + A = 90o Trong ΔAHB ta có: AHB + ABC + A = 180o Suy AHB = 90o ⇒ AH ⊥ BC hay IA ⊥ BC Bài 89 trang 91 SBT Toán Tập 1: Dựng hình bình hành ABCD biết: a) AB = 2cm, AD = 3cm, A = 110o; b) AC = 4cm, BD = 5cm, BOC = 50o Lời giải: a) Cách dựng (hình a) - Dựng ΔABD có AB = 2cm, A = 110o, AD = 3cm - Dựng tia Bx //AD - Dựng tia Dy // AB Dy cắt Bx C Ta có hình bình hành ABCD cần dựng Chứng minh AB //CD, AD // BC nên tứ giác ABCD hình bình hành Ta lại có: AB = 2cm, A = 110o, AD = 3cm Bài tốn có nghiệm hình b) Cách dựng (hình b) - Dựng ΔOBC có OC = 2cm, OB = 2,5 cm, BOC = 50o - Trên tia đối tia OC lấy điểm A cho OA = OC = 2cm - Trên tia đối tia OB lấy điểm D cho OD = OB =2,5cm Nối AB, BC, CD, AD ta có hình bình hành ABCD cần dựng Chứng minh Tứ giác ABCD có OA = OC, OB = OD nên hình bình hành có đường chéo cắt trung điểm đường Có AC = 4cm , BD = 5cm, BOC = 50o Bài tốn có nghiệm hình Bài 90 trang 91 SBT Toán Tập 1: Cho ba điểm A, B, C giấy kẻ vng hình bên Hãy vẽ điểm thứ tư M cho A, B,C, M đỉnh hình bình hành Lời giải: - Nếu hình bình hành nhận AC làm đường chéo Vì AB đường chéo hình vng có vng nên CM đường chéo hình vng cạnh ô vuông A, M nằm nửa mặt phẳng bờ BC ta có hình bình hành ABCM - Nếu hình bình hành nhận BC làm đường chéo Điểm A cách điểm C ba ô vuông, điểm B cách điểm M ba ô vuông nửa mặt phẳng bờ AB ta có hình bình hành ABMC - Nếu hình bình hành nhận AB làm đường chéo ... ⇒ B = 180 o – 110o = 70 o D = B = 70 o (tính chất hình bình hành) b) Vì tứ giác ABCD hình bình hành ⇒ A + B = 180 o (2 góc phía bù nhau) Mà A − B = 20o (giả thiết) Ta có: A + B + A − B = 180 + 20... C = A = 100o (tính chất hình bình hành) B = A – 20o = 100o – 20o = 80 o D = B = 80 o (tính chất hình bình hành) Bài 80 trang 89 SBT Tốn Tập 1: Trong tứ giác hình đây, hình hình bình hành Lời giải:... EF // HG EF = HG Vậy tứ giác EFGH hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song nhau) Bài 78 trang 89 SBT Tốn Tập 1: Cho hình bình hành ABCD Gọi I, K theo thứ tự trung điểm CD, AB Đường chéo BD