Dạy thêm toán 8 bài 7 hình

DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com BÀI 7: TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA (G.G) I Tóm tắt lý thuyết Định lý: Nếu hai góc tam giác hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng GT ∆ABC,∆A 'B'C' µ = A',B µ $ = B' µ A KL ∆ABC ∽ ∆A 'B'C' II Các dạng tập Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng – Tỉ số đoạn thẳng – Tỉ số chu vi, diện tích Bài tập minh họa Bài 1: ABCD h.thang (AB // CD) A 12,5 B GT AB = 12,5cm; CD = 28,5cm · · = DBC DBA x KL D x =? C Hướng Dẫn: ∆ABD ∆BDC có : · · = DBC (gt) DAB µ1 = D µ ( so le AB // CD) B ⇒ ∆ABD ⇒ : ∆BDC (g.g) x AB BD 12,5 = hay = 28,5 BD DC x ⇒ x2 = 12,5 28,5 ⇒ x = 12,5 28,5 ≈ 18,9(cm) µ ; AB = 4cm; BC = 5cm Tính độ dài AC? µ = 2C Bài 2: Tam giác ABC có B Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Hướng Dẫn: A Trên tia đối tia BA lấy BD = BC µ = D µ =∝ ∆ACD ∆ABC có µA chung; C B ⇒ ∆ACD ⇒ D : ∆ABC (g.g) AC AD = ⇒AC2 = AB AD AB AC C = = 36 ⇒AC = 6(cm) · Bài 3: Cho ∆ABC, D điểm cạnh AC cho BDC = ·ABC Biết AD = 7cm; DC = 9cm Tính tỷ số BD BA GT · ∆ABC; D ∈ AC : BDC = ·ABC ; AD = 7cm; DC = 9cm KL Tính B C D BD BA A Hướng Dẫn: · ∆CAB ∆CDB có C chung ; ·ABC = BDC (gt) ⇒ ∆CAB : ∆CDB (g.g) ⇒ CB CA = ta có : CD CB CB2 = CA.CD Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = + = 16 (cm) Do CB2 = 9.16 = 144 ⇒ CB = 12(cm) Mặt khác lại có : DB = BA Bài 4:Cho hình vng ABCD, gọi E F theo thứ tự trung điểm Ab, BC, CE cắt DF M Tính tỷ số SCMB S ABCD D ? C M F A E Hướng Dẫn: GT Hình vng ABCD; AE = EB ; BF = CF; CE ∩ DF M KL Tính SCMB S ABCD ? B µ = B µ = 900; BE = CF Xét ∆DCF ∆CBE có DC = BC (gt); C µ µ 1= C ∆DCF = ∆CBE (c.g.c) ⇒ D µ 1+ C µ = 1v ⇒ C µ + D µ = 1v ⇒ ∆CMD vng M Mà C Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com ∆CMD : DC CM µ 2; C = M 1= C ả ) = ∆FCD (vì D FD FC SCMD CD CD = ⇒ SCMD = SFCD S FCD FD FD 1 1 Mà SFCD = CF.CD = BC.CD = CD2 2 4 CD CD Vậy SCMD = CD2 = (*) FD FD Áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông DFC, ta có: DF2 = CD2 + CF2 = CD2 + ( BC)2 = CD2 + CD2 = CD2 4 CD2 ta có : 1 SCMD = CD2 = SABCD 5 SCMB ⇒ = S ABCD Thay DF2 = Bài 5: Hướng Dẫn: ∆ABC ( µA = 900); AH ⊥ BC GT BM = CM; BH = 4cm; CH = 9cm KL Tính S∆AMH A Xét 2∆ vng HBA ∆ vng HAC có : · · + HAC = 1v (1) BAH · · + HAC = 1v (2) HCA · · Từ (1) (2) ⇒ BAH = HCA Vậy ∆HBA : ∆ HAC (g.g) B H M C ⇒ HB HA = HA HC ⇒ HA2 = HB.HC = 4.9 = 36 ⇒ HA = 6cm Lại có BC = BH + HC = 4cm + 9cm = 13cm 1 6.13 S∆ABC = = 19,5(cm2) 2 S∆AHM = S∆BAH = 19,5 - 4.6 = 7,5(cm2) S∆ABM = Vậy S∆AMH = 7,5(cm2) Bài 6:Cho ∆ABC hình bình hành AEDF có E ∈ AB; D ∈ BC, F ∈ AC Tính diện tích hình bình hành biết : SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2; ∆ABC hình bình hànhAEDF GT SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2 KL Tính SAEDF Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Hướng Dẫn: µ = D µ (đồng vị DF // AB) (1) Xét ∆EBD ∆FDC có B E1 = D2 ( so le AB // DF) µ 1= F µ (2) ⇒E D2 = E1 ( so le DE // AC) Từ (1) (2) ⇒ ∆EBD : ∆FDC (g.g) Mà SEBD : SFDC = : 12 = : = ( )2 Do : EB ED 1 = = ⇒ FD = 2EB ED = FC FD FC 2 A ⇒AE = DF = 2BE ( AE = DF) AF = ED = F EC ( AF = ED) E Vậy SADE = 2SBED = 2.3 = 6(cm2) 1 1 SADF = SFDC = 12 = 6(cm2) 2 B D C ⇒ SAEDF = SADE + SADF = + = 12(cm2) Dạng 2:Chứng minh hai tam giác đồng dạng Phương pháp giải: Chỉ hai cặp góc tương ứng hai tam giác để suy hai tam giác đồng dạng Bài tập minh họa Bài 1: Cho ∆ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm Trên AB lấy điểm D cho AD = 3,2cm, AC lấy điểm E cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB F B a) CMR : ∆ ABC : ∆AED b) ∆FBD : ∆FEC 3,6 c) Tính ED ; FB? Hướng Dẫn: F C Sơ đồ chứng minh: a) GT ⇓ µA chung D E 2,4 A AB AC = =2 AE AD ⇓ ∆ABC : ∆AED (c.g.c) ∆ABC : ∆ AED (câu a) ⇓ b) ¶ µ = D C ; ⇓ ¶ = D ¶ D Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HC CHNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com ả = D C µF chung ⇓ ∆FBD : ∆FEC (g.g) c)Từ câu a, b hướng dẫn học sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED FB Bài 2:Cho ∆ABC cân A; BC = 2a; M trung điểm BC Lấy điểm D E AB; AC · µ cho DME = B A a) CMR : ∆BDM : ∆CME b) ∆MDE : ∆DBM c) BD CE không đổi D E 1 B Hướng dẫn: M C góc ngồi ∆DBM ả ả ; DMC ả + B Ã · = M1 + M = D DMC 1 gt ả ; = M B ABC cõn à =C ; B ả = M ¶ D ⇓ ∆BDM : ∆CME (gg) Câu a gt ⇓ ⇓ b) DM ME DM ME = = = M ả (gt) ; B 1 BD ; CM = BM BM BD BM ⇓ DM ME = BD BM ⇓ ∆DME : ∆DBM (c.g.c) c) Từ câu a : ∆BDM : ∆CME (gg) BD BM = ⇒ BD CE = Cm BM CM CE BC Mà CM = BM = =a a2 ⇒ BD CE = (không đổi) ⇒ Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 3: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt tia AD E Chứng minh: a) ∆ABD ∽ ∆ECD; b) ∆ACE cân C Hướng Dẫn: · · a) Do AB//CE nên BAD Chứng minh ∆ABD : ∆ECD( g.g ) = DEC ( ) · · · = CED = BAD b) Chứng minh CAD nên ∆ACE cân C · · Bài 4: Hình thang ABCD ( AB PCD) , có DAB Chứng minh ∆ABD ∽ ∆BDC = CBD Hướng Dẫn: Chứng minh ∆ABD : ∆BDC ( g g ) · Bài 5: Cho ∆ABC có AM phân giác BAC ( M ∈ BC ) Kẻ tia Cx thuộc nửa mặt phẳng bờ BC 1· · = BAC không chứa A cho BCx Gọi N giao Cx tia AM Chứng minh: a) BM.MC = MN.MA; b) ∆ABM ∽ ∆ANC; c) Tam giác BCN cân Hướng Dẫn: a) Chứng minh ∆BAM : ∆NCM ( g g ) ⇒ ĐPCM · b) Từ a, suy ·ABM = CNM Từ chứng minh ∆ABM : ∆ANC ( g g ) c) Từ a, có BM MN = MA CM Chứng minh ∆BMN : ∆AMC (c.g.c) Do · · ⇒ ĐPCM NBM = BCN 1· · · NBM = CAM = BAC , ta Bài 6: Cho hình bình hành ABCD Một cát tuyến d qua A cắt đường chéo BD E đường thẳng BC, CD F G Chứng minh: a) ∆GCF ∽ ∆GDA; b) ∆GCF ∽ ∆ABF; c) ∆GDA ∽ ∆ABF tích số BF.DG không đổi d quay quanh A Hướng Dẫn: a) b) HS tự chứng minh c) Sử dụng tính chất bắc cầu, ta ∆GDA : ∆ABF Từ suy BF.DG = AB.AD, mà AB.AD không đổi d quay quanh A ⇒ ĐPCM Dạng 3: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài cạnh, chứng minh hệ thức cạnh chứng minh góc Phương pháp giải: Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ ba (nếu cần) để chứng minh hai tam giác đồng dạng, từ suy cặp góc tương ứng cặp cạnh tương ứng tỉ lệ Bài tập minh họa Bài 1: Cho hình thang ABCD(AB // CD) Gọi O giao điểm 2đường chéo AC BD a)Chứng minh rằng: OA OD = OB OC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com b)Đường thẳng qua O vng góc với AB CD theo thứ tự H K CMR: Hướng Dẫn: a) OA OD = OB.OC Phân tích Sơ đồ hướng chứng minh: µ (SLT l AB // CD) + µA = C · + ·AOB = COD ( Đối đỉnh) ⇓ ∆OAB ∽ ∆OCD (g.g) ⇓ H A OA AB = OK CD B O OA OB = OC OD D C K ⇓ OA.OD = OC.OC Học sinh tự trình bày theo sơ đồ lên b) OH AB = OK CD Phân tích Sơ đồ hướng chứng minh: µ = K µ = 900 +H µ 1.(SLT; AB // CD) + µA = C ⇓ ∆OAH P ∽ OCK(gg) ⇓ Câu a ⇓ ∆OAB ∽ ∆OCD ⇓ OH OA = OK OC AB OA = CD OC OH OK = AB CD Học sinh tự trình bày lại theo sơ đồ lên Bài 2: Cho hai tam gíac vng ABC ABD có đỉnh góc vng C D nằm nửa mặt phẳng bờ AB Gọi P giao điểm cạnh AC BD Đường thẳng qua P vng góc với AB I CMR : AB2 = AC AP + BP.PD O A C P I B Hướng Dẫn: Xét đoạn thẳng AB (AB = AI + IB) ⇒AB2 = ? (AB.(AI + IB) = AB AI + AB IB) Việc chứng minh toán đưa việc chứng minh hệ thức Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com AB.AI = AC.AP AB.IB = BP.PD Sơ đồ chứng minh: µ = I$ = 900 + D · + PBI chung ⇓ ∆ADB ∽∆PIB ⇓ AB PB = µ = I$ = 900 +C · + PAI chung ⇓ ∆ACB ∽ ∆AIP (gg) ⇓ DB IB AB AP ⇓ AB.AI = PB.DB AC AI = ⇓ AB AI = AC AP AB IB + AB AI = BP PD + AC AP ⇓ AB (IB + IA) = BP PD + AC AP ⇓ AB2 = BP PD + AC AP Học sinh tự trình bày lại theo sơ đồ lên Bài 3: Cho ∆ ABC, I giao điểm đường phân giác, đường thẳng vuông góc với CI I cắt AC BC M N Chứng minh a) AM BI = AI IM A b) BN IA = BI NI M AM  AI  c) =  ÷ BN  BI  I Hướng Dẫn : a) Để chứng minh hệ thức AM BI = AI  AM B N C IM  = IM ta cần chứng minh:  ÷ BI   AI b) Để chứng minh đẳng thức ta cần chứng minh: (∆ AMI ∽ ∆AIB) Sơ đồ: µ1 µA1 = µA2 (gt) µ1 * CM: I$1 = B I$1 = B µ C · ∆MIC vng: IMC = 900 ∆AMI ∽ ∆AIB (gg) ⇓ AM AI = µ = 1800(t/c tổng ) µ +C ∆ABC: µA + B µA µ µ B C + + = 900 2 µA µ B · Do đó: IMC = + (1) 2 · Mặt khác: IMC = µA1 + Iµ1 (t/c góc ngồi ∆) ⇒ IM BI ⇓ AM BI = AI IM µA · hay IMC = + Iµ1 (2) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Từ (1) (2) ⇒ µ B µ = Iµ = Iµ1 hay B 1 µ ) ∆AMI ∽ ∆AIB ( µA1 = ¶A2 ; Iµ1 = B ⇒ AM IM = ⇒AM BI = AI IM AI BI b) Tương tự ý a Chứng minh ∆BNI P ∆BIA (gg) ⇒ BN BI = NI IA ⇒ BN IA = BI IN c) (Câu a) ⇓ (Câu b) ⇓ AI  AI  Nhận xét  ÷ = BI  IA  ∆AMI P ∆AIB ∆BNI P ∆BIA ⇓ Tính AI2 ; BI2 ⇒ AM IM = AI BI AI BI (Tính AI ; BI nhờ ∆P) ⇓ 2 AI BI BN = AB BI ⇓ = AM AB ⇓ BI = BN AB AM AI = BN BI ⇓ AM  AI   ÷ = BN  BI  Học sinh tự trình bày lại theo sơ đồ lên Bài 4: Cho ∆ ABC có góc nhọn, kẻ BE, CF hai đường cao Kẻ EM, FN hai đường cao ∆AEF Chứng minh MN // BC Hướng Dẫn: Sơ đồ phân tích ∆AMF P ∆AFC (g.g); ⇓ AM AE = AF AC AM AF AF AB AF AB ⇓ = ⇓ ∆AFN P ∆ABE ⇓ = AE AE AC AC A M AN AE F B Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! N E C Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com AM AB = AN AC ⇓ MN // BC (định lý Ta – lét đảo) Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Chứng minh: a) AB2 = BH.BC; b) AH2 = BH.HC Hướng Dẫn: a) Chứng minh ∆ AHB : ∆ CAB ( g g ) ⇒ AB = BH BC b) Chứng minh ∆ ABC : ∆ AQE ( g.g ) ⇒ AB AE = AQ.AC Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A, Q điểm AC Gọi D hình chiếu Q BC E giao điểm AB QD Chứng minh: a) QA.QC = QD.QE; b) AB.AE = AQ.AC Hướng Dẫn: Bài 7: Cho tam giác ABC ( AB < AC ) , đường phân giác AD Gọi M N theo thứ tự hình chiếu B C đường thẳng AD Chứng minh: BM AB = ; a) b) AM.DN = AN.DM CN AC Hướng Dẫn: a) Chứng minh ∆ABM : ∆ACN ( g.g ) suy AB BM = (1) AC CN b) Chứng minh ∆BDM : ∆CDN ( g g ) , suy Từ (1) (2) ⇒ BM DM = (2) CN DN AM DM = ⇒ ĐPCM AN DN Bài 8: Cho tam giác ABC ( AB < AC ) , đường phân giác AD Trên tia đối tia DA lấy · · điểm I cho ACI Chứng minh: = BDA a) ∆ABD ∽ ∆AIC; b) ∆ABD ∽ ∆CID; c) AD = AB.AC − DB.DC Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) Từ a, suy AB.AC = AD.AI (1) Từ b, suy BD.CD = AD.ID (2) Từ (1) (2), ta chứng minh AD2 = AB.AC- DB.DC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC =9cm.Điểm D thuộc cạnh AC cho ABˆ D = Cˆ Tính độ dài AD Hướng Dẫn: A D B C Xét ∆ABDvà∆ACB ˆ chung A ABˆ D = Cˆ =>∆ABD∼∆ ACB AD AB AD = ⇒ = ⇒ AD = 4cm AB AC Bài :Cho tam giác ABC có AC ≥ AB, đường phân giác AD Lấy điểm E thuộc cạnh AC cho ˆC ˆ E = BA CD a)Tìm tam giác đồng dạng với tam giác ABC b)Chứng minh : ED = DB Hướng Dẫn: A E B D C Xét ∆DEC ∆ABC ˆB CEˆ D = CA ˆ chung C  ∆DEC∼∆ ABC  DC DC DE DB = ⇒ = DE=DB AB AC AB AB Bài :Cho tam giác ABC đường cao BD, CE Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a)Chứng minh :∆ABD∼∆ ACE b)Tính AEˆ D biết ACˆ B = 50 Hướng Dẫn: A D E C B a) Xét∆ABD ∆ACE ˆB CEˆ B = CD ˆ chung A :∆ABD∼∆ ACE b) AEˆ D = 400 Bài 4: Tứ giác ABCD có hai góc vng đỉnh A C, hai đường chéo AC BD cắt O , ∠BAO = ∠BDC.Chứng minh; a)∆ABO đồng dạng với ∆DCO b)∆BCO đồng dạng với ∆ADO Hướng Dẫn: C B O A D a/ Xét ∆ABO ∆DCO có: BÂC = BDC (GT) AÔB = DÔC (đối đỉnh) Nên ∆ABO ∆DCO (g.g) ⇒∠B = ∠C (góc t/ứng) b/ Ta có: ∠C = 90 – ∠C (GT) ∠B = 900 – ∠D (Â = 900) ⇒∠C = ∠D Mà ∠B = ∠C (ch/m trên) Xét ∆BCO ∆ADO có: ∠C = ∠D(Ch/m trên) BÔC = AÔD (đối đỉnh) Nên ∆BCO ∆ADO (g.g) µ = 2B $ Đặt AB = c,AC = b, BC = a Chứng minh a2 = b2 + bc Bai 5: Cho tam giác ABC có A Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Gợi ý: Kẻ AD đường phân giác góc A Theo tính chất đường phân giác, CD AC CD AC AC.BC = ⇒ = ⇒ CD = (1) DB AB DB + CD AB + AC AB + AC Chứng minh ∆ABC : ∆DAC ( g.g ) ⇒ AC = BC.DC (2) Thay (1) vào (2) AC = BC AC.BC ⇒ ĐPCM AB + AC Bai 6: Cho tam giác ABC d đường thẳng tùy ý qua B Qua E điểm AC, vẽ đường thẳng song song với AB BC, cắt d M N Gọi D giao điểm ME BC Đường thẳng NE cắt AB MC F K Chứng minh: a) ∆AFN ∽ ∆MDC; b) AN PMK Hướng Dẫn: a) Chứng minh BFED hình bình hành ⇒ BF = ED, EF = BD ⇒ BF BD = EF ED (1) Chứng minh ∆BFN : ∆MDB( g.g ) ⇒ NF DM = BD.BF (2) Chứng minh ∆AEF : ∆ECD( g.g ) ⇒ AF CD = EF ED (3) Từ (1), (2) (3) ⇒ NF CD = AF DM Từ chứng minh ∆AFN : ∆MDC (c.g.c) · · b) Ta FNA , từ suy AN//MK = EKC Bai 7: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE CF đồng quy H Chứng minh: a) ∆AEF ∽ ∆ABC ; b) H giao điểm đường phân giác ∆DEF ; c) BH.BE + CH.CF = BC2 Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a) Chứng minh AE AB = AF AC Từ chứng minh ∆AEF : ∆ABC (c.g.c) b) Tương tự câu a, ta có · · ∆CED : ∆CBA ( g g ) ⇒ CED = CBA · · · · Từ a, suy ·AEF = CBA nên CED , suy EH = ·AEF Từ chứng minh FEH = DEH · phân giác FED Chứng minh tương tự ta H giao điểm đường phân giác ∆DEF c) Chứng minh BD.BC = BH.BE (1) Chứng minh CD.BC = CH.CF (2) Từ (1) (2), ta có BH.BE + CH.CF = BC2 Bài 8: Cho tam giác ABC có phân giác AD Chứng minh AD = AB AC − BD.DC Hướng Dẫn: ∧ ∧ Trên tia AD lấy điểm E cho AEB = ACB ∧ ∧ Xét ∆ABE ∆ADC có A1 = A2 (vì AD phân giác) ∧ ∧ AEB = ACB ∆ABE ∆ADC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com AB AE = AD AC ⇒ AB AC = AD + AD.DE (1) ⇒ AB AC = AE AD ⇒ AB AC = ( AD + DE ) AD ⇒ Xét ∆BDE ∆ADC có ∧ ∧ AEB = ACB ∧ ∧ D1 = D2 (đối đỉnh) suy ∆BDE ⇒ ∆ADC BD DE = ⇒ AD AC = BD.DC AD DC (2) Từ (1) (2) suy ra: AD = AB AC − BD.DC Bài 9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi M trung điểm cạnh BC, N trung điểm cạnh AC Các đường trung trực cạnh BC AC cắt điểm O H trực tâm G trọng tâm a) Hai tam giác ABH MNO đồng dạng? b) Hai tam giác AHG MOG đồng dạng? c) Ba điểm H, G, O thẳng hàng Hướng Dẫn: a) Ta có AH//OM; AB//MN; BH//ON nên ∧ ∧ ∧ ∧ BAH = OMN ; BAH = ONM Do ∆OMN ∆HAB b) Xét hai tam giác OMG HAG ta có Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com HAG = OMG; OM MG = = AH AG Nên ∆OMG ∆HAG ∧ ∧ ∧ ∧ c) Từ câu b) suy MGO = AGH ∧ ∧ ∧ ∧ Ta có MGO + MGH = AGH + MGH = 1800 suy H, G, O thẳng hàng Bài 10: Cho tam giác, đường phân giác AI Gọi D E hình chiếu B C lên AI AD ID = Chứng minh: AE IE Hướng Dẫn: Ta có AI phân giác góc A BI AB = (1) IC AC ID BI = Ta lại có BD//EC (vì vng góc với AI) ⇒ IE IC ID BA = Từ (1) (2) suy ⇒ (3) IE AC Mặt khác, xét ∆ADB ∆AEC có Nên theo tính chất đường phân giác ta có ∧ (2) ∧ A1 = A2 (AI phân giác góc A) ∧ ∧ D = E = 900 Suy ∆ADB ∆AEC (g-g) BD AB AD ⇒ = = (4) EC AC AE AD ID = Từ (3) (4) suy AE IE B Bài 11: Tam giác ABC có hai trung tuyến AK CL cắt O Từ điểm P cạnh AC, vẽ đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL ( E thuộc BC, F thuộc AB) trung tuyến Ak, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự M, N Chứng minh đoạn thẳng FM, MN, NE L M Hướng Dẫn: Từ giả thiết cho song song ta suy A Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! O K N E P Trang 16C DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com tỷ lệ thức tam giác đồng dạng Ta có : FM FQ = (1) FE FP FQ FP AF = (cùng ) LO CL AL FQ LO LO = (2) ( ta có trung tuyến = ) ⇒ = FP CL CL FM 1 Từ (1) (2) suy : = ⇒ FM = FE FE 3 1 Tương tự ta có EN = EF suy MN = EF 3 Vậy FM = MN = NE Bài 12:Cho hình thang ABCD (AB // CD) đường thẳng song song với đáy Ab cắt cạnh bên đường chéo AD, BD, AC BC theo thứ tự điểm M, N, P, Q CMR: MN = PQ Hướng Dẫn : Từ hệ định lý Talet cho ta tam giác đồng dạng ta chứng minh được: MN DM = AB DA PQ CQ = AB CB DM CQ = (kéo dài AD cắt BC E DA CB E B A O M chứng minh ) N P MN CQ ⇒ = ⇒ MN = PQ DA CB Q C D ¶ ≠ 1800), đặt đoạn thẳng OA = 5cm, OB = 16cm Trên Bài 13: Trên cạnh góc xoy ( xoy cạnh thứ góc đó, đặt đoạn thẳng OC = 8cm, OD = 10cm a) Chứng minh hai tam giác OCB OAD đồng dạng b) Gọi giao điểm cạnh AB BC I, CMR: Hai tam giác IAB IBC có góc đôi x B A O I 10 D C y a)⇒ OC OA ⇒ ∆OBC = OB OD Góc O chung ∆ ODA Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com b)∆IAB ∆ICD ta dễ nhìn thấy khơng Do để chứng minh chúng có góc đôi ta chứng minh đồng dạng · · Vì ∆OBC P ∆ODA nên OBC = ODA (1) · Mặt khác ta có ·AIB = CID (đối đỉnh) ⇒ ∆BAI P ∆DCI (g.g) · · ⇒ BAI = DCI Bài 14 : Cho tam giác ABC , trực tâm H Gọi M , N thứ tự trung điểm BC , AC Các đường trung trực BC  AC cắt O a) Tìm tam giác đồng dạng với tam giác AHB b) Chứng minh AH = 2OM c) Gọi C trọng tâm tam giác ABC Chứng minh tam giác HAC OMC đồng dạng d) Chứng minh H , G, O thẳng hàng GH = 2GO Hướng Dẫn : a) Xét ∆MON ∆AHB : · · (góc có cạnh tương ứng song song: OM / / HA, MN / / AB ); OMN = HAB · · (góc có cạnh tương ứng song song: ON / / HB, NM / / BA ) ONM = HBA Vậy ∆MON ∆AHB đồng dạng (g.g) b) ∆MON ∆AHB đồng dạng OM MN = = (vì MN đường trung bình ∆ABC ) Do AH = 2OM AH AB AH AG AH AG = 2, mà = (tính chất G trọng tâm ∆ABC ) nên = c)Ta có OM GM OM GM suy ra: · · Ta lại có HAG (so le trong, AH / / OM ) = OMG Do ∆HAG ∆OMG đồng dạng (c.g.c) · d) ∆HAG ∆OMG đồng dạng ⇒ ·AGH = OGM (1) · Ta lại có ·AGH + HGM = 180o Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! (2) Trang 18 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com · · Từ (1) (2) suy OGM + HGM = 180o Do H , G, O thẳng hàng, GH AH = = ⇒ GH = 2GO GO OM · Bài 15 : Tam giác ABC có AC = 12cm , BC = 16cm Điểm D thuộc cạnh BC cho ·ADC = BAC Tính độ dài DC Hướng Dẫn : ∆ ABC ∆ DAC đồng dạng (g.g) AC DC 12 DC = ⇒ = ⇒ DC = cm BC AC 16 12 · Bài 16 : Hình thang ABCD có AB / /CD , µA = CBD Biết AB = a, CD = b Chứng minh BD = ab ⇒ Hướng Dẫn : ∆ ABD ∆ BDC đồng dạng (g.g) AB BD a BD ⇒ = ⇒ = ⇒ BD = a.b BD CD BD b Bài 17 : Trên tia gốc A ,ta đặt AB = a, AC = b, ( a < b ) Trên tia BA , ta đặt BD = b Các đường tròn ( C ; b ) ( D; b ) cắt E Chứng minh AE = ab Hướng Dẫn : Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Do CE = DB nên ∆CED cân; ∆ ADE = ∆ BCE ( c.g.c ) nên AE = BE Các tam giác cân AEB, ACE có góc đáy A góc chung nên đồng dạng (g.g) suy AE AB = AC AE AE = AB.AC = ab Chú ý: toán cho ta cách dựng đoạn trung bình nhân hai đoạn thẳng a b Bài 18 : Cho điểm B thuộc tia Am Đường tròn ( B; BA ) cắt Am C Các đường tròn ( A; AB ) ( C; CA) cắt D Đường tròn ( D; DA ) cắt AB M Chứng minh M trung điểm AB Hướng Dẫn : Đặt AB = R DM = R , CA = CD = 2R Các tam giác cân DAM ,CAD có DAM = CAD nên đồng dạng (g.g) ⇒ AM DM R = = = AD CD 2R Vậy M trung điểm AB Chú ý: Bài toán cho ta tốn dựng hình: Cho điểm B thuộc tia Am Chỉ dùng compa, dựng trung điểm AB Bài 19 : Tam giác ABC có đường trung tuyến BD, CE cho ABD = ACE a) Chứng minh tam ABC cân b)* Chứng minh cho thêm điều kiện ·ACE = 300 tam giác ABC Hướng Dẫn : Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a) ∆ABD ∆ ACE đồng dạng ( g.g ) ⇒ AB AD AC 1 = = (vì AD = AC , AE = AB ) AC AE AB 2 ⇒ AB = AC ⇒ AB = AC b)chú ý ∆ AEC có AE = AC ·ACE = 30 o nên chứng minh ·AEC = 90 o (kẻ AE' ⊥ CE chứng tỏ E’ trùng E ) Do µA = 60 o Vậy ∆ ABC µ = 2C µ Chứng minh AC = AB.( AB + BC ) Bài 20 : a) Cho tam giác ABC có B b) Cho tam giác ABC có AC = AB.( AB + BC ) Chứng minh c) Cho tam giác ABC có , AB = 8cm , AC = 12cm Tính độ dài BC Hướng Dẫn : a)Trên tia đối tia BA lấy điểm D cho BD = BC Cách vẽ vừa làm xuất AD = AB + BC, vừa làm xuất ·ACD = 2· ACB (Vì ∆BDC · · µ = ABC ) ·ACD = ABC · cân nên BCD =D Ta có ∆ACD ∆ABC đồng dạng (g.g) nên AC AD = ⇒ AC = AB AD = AB ( AB + BC ) AB AC b) Cũng vẽ điểm D câu a Ta có AC = AB ( AB + BC ) = AB.AD nên AC AD = AB AC µ = ·ACB Do ∆ACD ∆ABC đồng dạng (c.g.c) ⇒ D (1) µ + BCD · µ Ta lại có ·ABC = D = 2D (2) Từ (1) (2) suy ·ABC = ·ACB c) Áp dụng câu a Đáp số: BC = 10 cm Bài 21 : Điểm M trung điểm cạnh đáy BC tam giác cân ABC Các điểm D E thứ tự · · thuộc cạnh AB, AC cho CME Chứng minh : = BDM a) BC.CE = BM b) Các tam giác MDE BDM đồng dạng Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com c) DM tia phân giác góc BDE Hướng Dẫn : a) ∆BDM ∆CME đồng dạng (g.g) ⇒ BD BM = CM CE Ta có BM = CM nên BD.CE = BM b) Từ ∆BDM ∆CME đồng dạng suy ( DM BD DM BD = ⇒ = (Vì CM = BM ) ME CM ME BM ) Ã Ã ả = B +D ả M ả =B Do ú MDE v BDM đồng dạng (c.g.c) = DMC −M Ta lại có DME 1 · · c) Từ câu b suy MDE DM tia phân giác góc BDE = BDM Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22 ... 19,5 - 4.6 = 7, 5(cm2) S∆ABM = Vậy S∆AMH = 7, 5(cm2) Bài 6:Cho ∆ABC hình bình hành AEDF có E ∈ AB; D ∈ BC, F ∈ AC Tính diện tích hình bình hành biết : SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2; ∆ABC hình bình hànhAEDF... ứng tỉ lệ Bài tập minh họa Bài 1: Cho hình thang ABCD(AB // CD) Gọi O giao điểm 2đường chéo AC BD a)Chứng minh rằng: OA OD = OB OC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC –... lại có ·AGH + HGM = 180 o Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! (2) Trang 18 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com · · Từ (1) (2) suy OGM + HGM = 180 o Do H , G, O thẳng