Dạy thêm toán 9 bài 7 hinh chương 3

DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com BÀI TỨ GIÁC NỘI TIẾP I.Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Tứ giác nội tiếp đường tròn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Trong Hình 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD Định lí Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180° Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện 180° tứ giác nội tiếp đường trịn Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Tứ giác có tổng hai góc đổi 180° Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Tứ giác có đỉnh cách điểm cố định (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác Tứ giác có hai đinh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α Chú ý: 1.Trong hình học hình chữ nhật, hình vng, hình thang cân nội tiếp đường trịn 2.Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính có số đo 900 3.Đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây 4.Nếu hai tiếp tuyến cắt điểm thì: + Điểm cách hai tiếp điểm + Đường thẳng nối từ điểm đến tâm phân giác góc tạo hai tiếp tuyến + Đường thẳng nối từ tâm đến điểm phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm II Các dạng tập Dạng Chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta sử dụng cách sau: Phương pháp 1: Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối 1800 Minh họa: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Phương pháp 2: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối đỉnh nội tiếp đường trịn Minh họa: Phương pháp 3: Chứng minh từ hai đỉnh kề cạnh nhìn cạnh hai góc Minh họa: Phương pháp 4: Chứng minh cho bốn đỉnh tứ giác cách điểm Minh họa: Bài 1: Cho tam giác ABC, đường cao BB’, CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Cách 1: Phương pháp 2:Chứng minh đỉnh cách điểm OB’ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ⇒ OB’ = OB = OC = r (1) · Xét ∆BC’C có : BC'C = 900 (GT) Tương tự ⇒ OC’ = OB = OC = r (2) Từ (1) (2) ⇒ B, C’, B’, C ∈ (O; r)⇒ Tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn Cách 2: Phương pháp 3:Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lạ góc tứ giác nội tiếp · Ta có: BB’ ⊥ AC (giả thiết) ⇒BB'C = 900 · CC’ ⊥ AB (giả thiết)⇒BC'C = 900 ⇒ B’, C’ nhìn cạnh BC góc vng ⇒ B’, C’ nằm đường trịn đường kính BC Hay tứ giác BC ' B ' C nội tiếp đường trịn đường kính BC Cách 3: Phương pháp phương pháp 4: Tứ giác có tổng góc đối 1800 Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện · Ta có: BB’ ⊥ AC (giả thiết) ⇒BB'A = 900 · CC’ ⊥ AB (giả thiết)⇒CC'A = 900 · Xét ∆AB′B ∆AC ′C có ·AB′B = ·AC ′C = 900 BAC chung AB ' AB AB ' AC ' = ⇒ = AC ' AC AB AC AB ' AC ' · = Xét ∆AB′C ′ ∆ABC ta có BAC chung Vậy ∆AB′C ′ : ∆ABC (c-g-c) AB AC · Tứ giác BC ' B ' C có góc ngồi đỉnh B ' góc đỉnh B Vậy ⇒ ·AB 'C' = ABC Vậy ∆AB′B : ∆AC ′C (g-g) ⇒ tứ giác BC ' B ' C nội tiếp (Phương pháp 2) · ' BC + C · ' B ' C = 1800 Để sử dụng theo phương pháp tứ giác BC ' B ' C có C nên tứ giác BC ' B ' C tứ giác nội tiếp Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM CN cắt H Chứng minh tứ giác AMHN BNMC tứ giác nội tiêp Hướng Dẫn: Xét tứ giác AMHN có: ·AMH + ·ANH = 900 + 900 + 1800 ⇒ ĐPCM Xét tứ giác BNMC có: · · BNC = BMC = 900 ⇒ ĐPCM Bài 3: Cho điểm A nằm ngồi đường trịn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn ( B, C tiếp điểm) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp Hướng Dẫn: Học sinh tự chứng minh Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E P Chứng minh PEDC tứ giác nội tiếp Hướng Dẫn: » ) Ta có: ·AED = (sđ »AD + sđ MB = ¼ = MCD · · · sđ DM ⇒ DEP + PCD = 1800 ⇒ PEDC nội tiếp Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc đường trịn Vẽ MH vng góc với BC H, vẽ MI vng góc với AC Chứng minh MIHC tứ giác nội tiếp Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com · · Ta có: MIC = CHM = 900 ⇒ MIHC nội tiếp (hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc vng) Dạng Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh góc nhau, đoạn thẳng nhau, đường thẳng song song đồng quy, tam giác đồng dạng Phương pháp: Sử dụng tính chât tứ giác nội tiếp Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm O B Kẻ dây CD vng góc với AB H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK ⊥ AE K Đường thẳng DE cắt CK F Chứng minh: a) Tứ giác AHCK tứ giác nội tiếp; b) AH.AB = AD2; c) Tam giác ACE tam giác cân Hướng Dẫn: a) Học sinh tự chứng minh b) ∆ ADB vng D, có đường cao DH ⇒AD2 = AH.AB · · · · = EDC = sđ EC, EAC c) EAC = KHC (Tứ giác AKCH nội tiếp) · · ⇒ EDC ⇒ DF//HK (H trung điểm DC nên K trung điểm FC) = KHC ⇒ ĐPCM Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 2: Cho nửa (O) đường kính AB Lấy M ∈ OA (M không trùng o A) Qua M vẽ đường thẳng d vng góc với AB Trên d lấy N cho ON > R Nôi NB cắt (O) c Kẻ tiếp tuyến NE với (O) (£ tiếp điểm, E A thuộc nửa mặt phẳng bờ d) Chứng minh: a) Bốn điểm O, E, M, N thuộc đường tròn; b) NE2 = NC.NB; · · c) NEH (H giao điểm AC d); = NME d) NF tiếp tuyến (O) với F giao điểm HE (O) Hướng Dẫn: a) Học sinh tự chứng minh · · » = CBE = sđ CE b) NEC ⇒ ∆NEC ∼ ∆NBE (g.g) ⇒ ĐPCM c) ∆NCH ∼ ∆NMB (g.g) ⇒ NC.NB = NH.NM = NE2 ∆NEH ∼ ∆NME (c.g.c) · · ⇒ NEH = EMN · · d) EMN (Tứ giác NEMO nội tiếp) = EON · · ⇒ NEH ⇒ EH ⊥ NO = NOE · · ⇒ ∆OEF cân O có ON phân giác ⇒ EON = NOF · · ⇒ ∆NEO = ∆NFO NFO = NEO = 900 ⇒ ĐPCM Bài 3: Cho đường trịn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung BC nhỏ, AK cắt CD H a) Chứng minh tứ giác BIHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vị ữí điểm K c) Kẻ DN ⊥ CB, DM ⊥ AC Chứng minh đường thẳng MN, AB, CD đồng quy Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com · · a) HIB = HKB = 1800 ⇒ Tứ giác BIHK nội tiếp b) Chứng minh được: ∆AHI ∼ ∆ABK (g.g) ⇒ AH.AK = AI.AB = R2 (khơng đổi) c) Chứng minh MCND hình chữ nhật từ ⇒ ĐPCM Bài 4: Cho đường trịn (O; R) điểm A cố định ngồi đường trịn Qua A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tói đường tròn (M, N hai tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O; R) B C (AB < AC) Gọi trung điểm BC a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh AM2 = AB.AC c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN E Chúng minh IE song song MC d) Chứng minh d thay đổi quanh quanh điểm A trọng tâm G tam giác MBC ln nằm đường trịn cơ' định Hướng Dẫn: a) Chú ý: ·AMO = ·AIO = ·ANO = 900 · » = sđ MB b) ·AMB = MCB ⇒ ∆AMB ∼ ∆ACM (g.g) ⇒ ĐPCM c) AMIN nội tiếp ⇒ ·AMN = ·AIN · BE//AM ⇒ ·AMN = BEN · · · ⇒ BEN = ·AIN ⇒ Tứ giác BEIN nội tiếp ⇒ BIE = BNM · · Chứng minh được: BIE ⇒ IE//CM = BCM d) G trọng tâm ∆MBC ⇒ G ∈ MI Gọi K trung điểm AO ⇒ MK = IK = AO Từ G kẻ GG'//IK (G' ∈ MK) GG ' MG MG ' = = = IK = AO không đổi (1) IK MI MK 3 MG ' = MK ⇒ G ' cố định (2) Từ (1) (2) có G thuộc ( G '; AO ) 3 ⇒ Dạng 3: Chứng minh điểm thuộc đường tròn Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Phương pháp: Chỉ khoảng cách từ điểm tới tất điểm Lợi dụng tam giác vng có cạnh huyền chung Chứng minh đỉnh đa giác nằm đường trịn Sử dụng cung chứa góc Chứng minh tứ giác nội tiếp Bài 1:Cho hình thoi ABCD có góc A 600 , AB = a Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, F, G, H, B, D nằm đường trịn Xác định tâm tính bán kính đường trịn theo a Hướng Dẫn: Gọi O giao điểm AC BD ta có OB = OD Do ABCD hình thoi nên ta có AC ⊥ BD · · Ta có BAD = 600 nên BAO = 300 (tính chất đường chéo hình thoi) · ⇒ OB = a.sin 300 = Tam giác ABO vng O có OB = ABsinBAO a · · Xét tam giác vng ABO có ·ABO + BAO = 900 ( hai góc phụ nhau) mà BAO = 300 suy ·ABO = 600 hay EBO · = 600 OE = AB = EB = EA ( tính chất đường trung tuyến tam giác vng E trung điểm AB · Tam giác EOB tam giác cân E có EBO = 600 nên tam giác EBO tam giác ⇒ OE = OB Chứng minh tương tự với tam giác vng BOC, COD DOA ta có : OE = OB = OF = OC = OG = OD = OH Vậy điểm E, F, G, H, B, D nằm đường tròn tâm O Bán kính OB = a Bài 2:Cho tam giác ABC vng A Trên AC lấy điểm D Hình chiếu D lên BC E, điểm đối xứng E qua BD F Chứng minh điểm A, B, E, D, F nằm đường trịn Xác định tâm O đường trịn Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com · Do DE ⊥ BC ⇒ DBE = 900 Vì E F đối xứng với qua BD nên BD đường trung trực đoạn thẳng EF ⇒ BF = BE; DF = DE · · ∆BFD = ∆BED (c-c-c) ⇒ BFD = BED = 900 Cách Gọi O trung điểm BD Xét tam giác vng ABD vng A có AO trung tuyến nên AO = BD = OB = OD (1) 2 Tam giác vuông BFDvng F có OF trung tuyến nên FO = BD = OB = OD (3) Tam giác vng BDE vng E có OE trung tuyến nên EO = BD = OB = OD (2) Từ (1) (2) (3) ⇒ OA = OB = OD = OE = OF Vậy điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn tâm O với O trung điểm BC Cách 2: · · + Tứ giác BADE có BAD + DEB = 1800 nên tứ giác BADE tứ giác nội tiếp Tâm đường tròn trung điểm BD · · +Tứ giác BFDE có BFD + DEB = 1800 nên tứ giác BFDE tứ giác nội tiếp Tâm đường tròn trung điểm BD Từ   suy điểm A, B, E, D, F nằm đường tròn tâm O với O trung điểm BC Bài 3:Từ điểm A ngồi đường trịn (O) vẽ tiếp tuyến AB, AC Cát tuyến ADE không qua tâm O (D nằm A E) Gọi I trung điểm DE Chứng minh điểm O,B,A,C,I thuộc đường tròn Hướng Dẫn: · · Do AC AB tiếp tuyến nên OCA = OBA = 900 Do I trung điểm ED nên OI ⊥ ED Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com (đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây cung) · · hay OID = OIA = 900 Gọi P trung điểm OA AO = OP = PA Xét tam giác vng OBA có BP đường trung tuyến nên BP = AO = OP = PA Xét tam giác vng OIA có IP đường trung tuyến nên IP = AO = OP = PA Vậy OP = PA = PC = PI = PB nên điểm O,B,A,C,I thuộc đường trịn Xét tamgiác vng OCA có CP đường trung tuyến nên CP = III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho ΔABC nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng: a) Tứ giác BCEF nội tiếp b) HA.HD = HB.HE = HC.HF Hướng Dẫn: a) Ta có ∠BEC = ∠BFC = 90o => điểm E, F thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BCEF nội tiếp b) Vẽ đường trịn đường kính BC Xét ΔBHF ΔCHE có: +) ∠EBF = ∠ECF (hai góc nội tiếp chắn ) +) ∠FHB = ∠EHC(đối đỉnh) Suy ΔBHF ∼ ΔCHE (g.g) BH/CH = HF/HE hay HB.HE = HC.HF (1) Chứng minh tương tự ta có: HA.HD = HB.HE (2) Từ (1) (2) suy ra: HA.HD = HB.HE = HC.HF Bài 2: Cho ΔABC nhọn, đường cao AH Các điểm M N hình chiếu vng góc H AB, AC Chứng minh rằng: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com d) Gọi E trung điểm IH F trung điểm AB Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp từ suy ME vng góc vói EF Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh b) HS tự chứng minh c) HS tự chứng minh d) ∆MIH : ∆MAB MH IH EH EH = = = MB AB FB FB ⇒ ∆MHE : ∆MBF · · (cùng bù với hai góc nhau) ⇒ MFA = MEK ⇒ · ⇒ KMEF nội tiếp ⇒ MEF = 900 Bài 22: Cho đường tròn tâm O điểm A nằm ngồi đường trịn Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C) tiếp điểm Trên cung nhỏ BC lấy điểm M kẻ đường vng góc MI, MH, MK xuống cạnh BC, CA, AB Gọi giao điểm BM IK P; giao điểm CM, IH Q a) Chứng minh tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được; b) Chứng minh MI2 = MH.MK; c) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp suy PQ ⊥ MI ; Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 25 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com · · a) BIM (phương pháp 1) = BKM = 900 suy tứ giác BIMK nội tiếp · · CIM = CHM = 90 suy tứ giác CIMH nội tiếp.(phương pháp 1) · · · · b) Tứ giác BIMK nội tiếp nên IKM = IBM ; (nội tiếp chắn cung MI); KIM = KBM (nội tiếp chắn cung KM) (1) · · · · Tứ giác CIMK nội tiếp nên ICM (cùng chắn = IHM ; (cùng chắn cung MI); MIH = MCH cung MH) (2) · · Xét đường trịn tâm (O) có : KBM = BCM ; (góc tạo tiếp tuyến dây cung(; · · (góc tạo tiếp tuyến dây cung) MBI = MCH (3) · · · · Từ (1) (2) (3) suy KIM = IHM ; MKI = MIH Do ∆IMK : ∆MHI ( g.g ) ⇒ MK MI = ⇒ MI = MK MH MI MH · · · · · · · · c) Ta có PMQ + PIQ = BMC + PIM + QIM = BMC + MCI + MBC = 1800 · · Hay PMQ + PIQ = 1800 Suy tứ giác MPIQ nội tiếp.(phương pháp 1) · · · · Từ ta có MPQ = MIQ ⇒ MPQ = MBC ⇒ PQ / / BC mà MI ⊥ BC nên MI ⊥ PQ Bài 23: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn ( C tiếp điểm) AC cắt OM E ; MB cắt nửa đường tròn ( O ) D ( D khác B ) a) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh MBCD tứ giác nội tiếp Hướng Dẫn: x N C M D E A I H O B · · · · Vì MA, MC tiếp tuyến nên: MAO + MCO = 1800 = MCO = 900 Tứ giác AMCO có MAO ⇒ AMCO tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MO Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 26 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com · · ADB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ ADM = 900 (1) Lại có: OA = OC = R ; MA = MC (tính chất tiếp tuyến) Suy OM đường trung trực AC · ⇒ AEM = 900 (2) Từ (1) (2) suy ·ADM = ·AEM = 900 Tứ giác AMDE có hai đỉnh A, E kề nhìn cạnh MA góc khơng đổi Vậy tứ giác AMDE nội tiếp đường tròn đường kính MA Bài 24:Cho đường trịn tâm O đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E , F ( F B E ) · a) Chứng minh: ·ABD = DFB b) Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Hướng Dẫn: · a) ∆ADB có ·ADB = 90o ( nội tiếp chắn nửa đường tròn ) ⇒ ·ABD + BAD = 90o (vì tổng ba góc tam giác 180o )(1) · ∆ABF có ·ABF = 90o ( BF tiếp tuyến ) ⇒ ·AFB + BAF = 90o (vì tổng ba góc tam giác 180o ) (2) · Từ (1) (2) ⇒ ·ABD = DFB b) Tứ giác ACDB nội tiếp ( O ) ⇒ ·ABD + ·ACD = 180o · · · mà ECD + ·ACD = 180o ( Vì hai góc kề bù) ⇒ ECD = DBA · · · · · · · Theo ·ABD = DFB , ECD Mà EFD = DBA ⇒ ECD = DFB + DFB = 180o ( Vì hai góc kề bù) nên · ⇒ ECD + ·AEFD = 180o , tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp Bài 25:Cho nửa đường trịn đường kính BC = R Từ điểm A nửa đường tròn vẽ AH ⊥ BC Nửa đường trịn đường kính BH , CH có tâm O1 ; O2 cắt AB CA thứ tự D E a) Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật, từ tính DE biết R = 25 BH = 10 b) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 27 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com · a)Ta có BAC = 90o (vì góc nội tiếpchắn nửa đường trịn) · · Tương tự có BDH = CEH = 90o µ = ADH · · Xét tứ giác ADHE có A = AEH = 90o hay ADHE hình chữ nhật Từ DE = AH mà AH =BH CH (Hệ thức lượng tam giác vuông) 2 hay AH = 10.40 = 20 ( BH = 10; CH = 2.25 − 10 = 40 ) ⇒ DE = 20 µ (góc có cạnh tương ứng vng góc) mà DAH · · · b) Ta có: BAH =C (1) = ADE µ = ADE · µ + BDE · (Vì ADHE hình chữ nhật) => C C = 180o nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn Lưu ý: Có thể hướng dẫn học sinh cách sử dụng hệ thức lượng tam giác đồng dạng sau: Tam giác AHB vuông H, đường cao AH Ta có AH = AD AB Tam giác AHC vng H, đường cao AE Ta có AH = AE AC Ta có AD.AB = AE AC ⇒ AD AE = AC AB Xét tam giác ADE tam giác ACB có AD AE · · = , BAC = DAE = 900 (góc chung) AC AB · · ⇒ ∆ADE ” ∆ACB ⇒ ·ADE = ·ACB mà ·ADE + EDB = 1800 nên ·ADE + ECB = 1800 · Tứ giác BDEC có ·ADE + ECB = 1800 nên tứ giác BDEC nội tiếp đường tròn Bài 26: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA , điểm N thuộc nửa đường tròn ( O ) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với NM cắt Ax, By thứ tự C D a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD từ suy IMKN tứ giác nội tiếp Hướng Dẫn: y x D N C K I A M O B · · a)Ta có tứ giác ACNM có: MNC = 900 (gt) MAC = 900 (tínhchất tiếp tuyến) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 28 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com · · ⇒ MNC + MAC = 1800 ACNM tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường trịn đường kính MD b) ∆ANB ∆CMD có: · · ABN = CDM (do tứ giác BDNM nội tiếp) · · BAN = DCM (do tứ giác ACNM nội tiếp ) nên ∆ANB : ∆CMD (g.g) · · · góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ( O ) ) ∆ANB : ∆CMD ⇒ CMD = ANB = 90o (do ANB · · · · Suy IMK + IMK = 1800 Vậy IMKN tứ giác nội tiếp đường tròn = INK = 900 ⇒ INK đường kính IK Bài 27: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm cung AB Nối M với D, M với C cắt AB E P Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp đường tròn Hướng Dẫn: Ta có : · MEP = ( » sd »AD + MB ¼ sd DM · Mà DCP = · Hay ⇒ DCP = ) (góc có đỉnh nằm bên (O)) (góc nội tiếp) ( » sd »AD + MA ) ¼ = MB ¼ Lại có : AM · · Nên : MEP = DCP Nghĩa là: Tứ giác PEDC có góc ngồi đỉnh E góc đỉnh C Vậy tứ giác PEDC nội tiếp đường tròn Bài 28: Cho nửa đường trịn ( O ) đường kính AB = R Điểm C (khác A ) nằm nửa · đường trịn cho AC < CB Điểm D thuộc cung nhỏ BC cho COD = 90° Gọi E giao điểm AD BC , F giao điểm AC BD a) Chứng minh CEDF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh FC.FA = FD.FB Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 29 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com c) Gọi I trung điểm EF Chứng minh IC tiếp tuyến ( O ) d) Hỏi C thay đổi thỏa mãn điều kiện tốn, E thuộc đường trịn cố định nào? Hướng Dẫn: a) Ta có ·ACB = ·ADB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) · · ⇒ FCE = FDE = 90° · · Tứ giác CEDF có FCE + FDE = 180° ⇒ CEDF tứ giác nội tiếp · · b) Xét ∆FCB ∆FDA có: FCB = FDA = 90° ; · chung CFD ⇒ ∆FCB : ∆FDA ( g.g ) ⇒ FC FB = (hai cạnh tương ứng) FD FA ⇒ FC.FA = FB.FD c) Gọi H giao điểm EF AB Vì E trực tâm ∆ABF nên FH ⊥ AB · · ∆OCA cân O nên OCA (hai góc đáy) = OAC Ta có CI đường trung tuyến tam giác vng CEF nên CI = CF Do ∆ICF cân · · I nên ICF (hai góc đáy) = IFC · · · · ⇒ ICF + OCA = IFC + OAC = 90° (vì ∆HAF vuông H ) · ⇒ ICO = 90° ⇒ IC ⊥ OC Vậy IC tiếp tuyến đường tròn ( O ) d) Gọi T điểm cung AB khơng chứa điểm C ( T cố định) Khi OT ⊥ AB nên OT //IE Chứng minh tương tự câu c, ta có ID tiếp tuyến đường trịn ( O ) Do tứ giác ICOD hình chữ nhật Lại có OC = OD nên tứ giác hình vng cạnh R Tam giác ECF vng C có CI trung tuyến nên IE = CI = R Ta có: OT //IE OT = IE = R nên IETO hình bình hành Do TE = OI = R Vậy E thuộc đường trịn tâm T bán kính R Bài 29: Cho tam giác ABC đường cao AH Gọi M , N trung điểm AB, AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác CNH E Chứng minh AMEN tứ giác nội tiếp HE qua trung điểm MN Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 30 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com ( ) = 360° − ( 180° − ·ABC + 180° − ·ACB ) · · · = 360° − MEH + NEH Ta có: MEN · = ·ABC + ·ACB = 180° − BAC · · Suy MEN + MAN = 180° hay tứ giác AMEN tứ giác nội tiếp Kẻ MK ⊥ BC , giả sử HE cắt MN I IH cát tuyến hai đường tròn ( BMH ) , ( CNH ) Lại có MB = MH = MA (tính chất trung tuyến tam giác vng) Suy tam giác MBH cân M ⇒ KB = KH ⇒ MK qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBH Hay MN tiếp tuyến ( MBH ) suy IM = IE.IH (1) Tương tự ta có MN tiếp tuyến ( HNC ) suy IN = IE.IH (2) Từ (1) (2) suy IM = IN Vậy HE qua trung điểm MN · Bài 30: Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH phân giác AD góc HAC Phân giác góc ·ABC cắt AH , AD M , N · Chứng minh BND = 90° Hướng Dẫn: 1· · · · · · · = ·ABC , HAD = HAC Ta có ·AMN = BMH mà MBH = 90° − MBH , NDH = 90° − HAD 2 · · ·ABC = HAC phụ với góc BCA , từ suy ·AMN = ·ADH hay tứ giác MHDN nội tiếp · · ⇒ MND = MHD = 90° Bài 31: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O , đường kính AI Gọi E trung điểm AB , K trung điểm OI , H trung điểm EB a) Chứng minh HK ⊥ EB b) Chứng minh tứ giác AEKC nội tiếp đường tròn Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 31 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com a) Tam giác ABI nội tiếp đường trịn đường kính AI nên tam giác ABI vuông B ⇒ IB ⊥ AB Lại có OE ⊥ AB (quan hệ đường kính dây cung) Do OE //IB Suy OEBI hình thang Mà HK đường trung bình hình thang OEBI ⇒ HK //OE //IB ⇒ HK ⊥ EB · · b) ∆EB cân K có KH vừa trung tuyến đồng thời đường cao ⇒ BEK (1) = KBE ∆ABC cân có AI đường kính đường tròn ( O ) nên AK đường trung trực đoạn BC ⇒ ·ABK = ·ACK (2) · · Từ (1) (2) suy BEK góc ngồi đỉnh E tứ giác AEKC nên = ·ACK Mà BEK tứ giác AEKC nội tiếp Bài 32: Cho nửa đường tròn tâm I , đường kính MN Kẻ tiếp tuyến Nx lấy điểm P nửa đường trịn Trên cung PN , lấy điểm Q (không trùng với P, N ) Các tia MP MQ cắt tiếp tuyến Nx theo thứ tự S T a) Chứng minh NS = MN b) Chứng minh tam giác MNT đồng dạng với tam giác NQT c) Chứng minh tứ giác PQTS nội tiếp đường tròn Hướng Dẫn: a) Tam giác MPI có: PI ⊥ MN (vì P điểm đường trịn ( O ) ); IP = IM (bán kính đường trịn ( O ) ) · · Suy ∆MPI vuông cân I nên MPI = IMP = 45° · Tam giác vng SMN có SMN = 45° nên ∆SMN vng cân N Do MN = SN Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 32 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com b) Xét ∆MNT ∆NQT có: · · MNT = NQT = 90° (giả thiết); · chung MTN Suy ∆MNT : ∆NQT ( g.g ) ¶ (góc ngồi ∆TMS ) c) Ta có Tµ1 = Sµ1 + M (1) Kẻ tiếp tuyến PH ( P ∈ Nx ) Ta có PH //MN (vì vng góc với PI ), µ suy ∆PHS vng cân H ⇒ Sµ1 = P ả =P (gúc ni tip v gúc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn PQ » ) Mặt khác M 1 ¶ + Sµ = P µ +P µ = SPQ · ⇒M 1 (2) · Từ (1) (2) suy Tµ1 = SPQ Mà Tµ1 góc ngồi đỉnh đối diện với đỉnh P nên tứ giác PQTS nội tiếp µ =D µ = 60°, CD = AB Chứng minh bốn Bài 33: Cho hình thang ABCD ( AB / / CD, AB < CD ) có C điểm A, B, C , D thuộc đường tròn Hướng Dẫn:  IC = AB ⇒ ICBA hình bình hành  IC / / AB Gọi I trung điểm CD , ta có:  ⇒ BC = AI (1) Tương tự ABID hình bình hành nên AD = BI (2) µ =D µ = 60° nên ABCD hình thang cân ABCD hình thang có C (3) Từ (1), (2) (3) ta có hai tam giác ∆IAD = ∆IBC ⇒ IBC , IAD hay IA = IB = IC = ID hay bốn điểm A, B, C , D thuộc đường tròn Bài 34: Cho đường trịn tâm O Kẻ đường kính AB CD vng góc với Gọi E điểm cung nhỏ CB EA cắt CD F , ED cắt AB M a) Các tam giác CEF EMB tam giác gì? b) Chứng minh bốn điểm C , F , M , B thuộc đường tròn tâm E Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 33 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com · a) Vì CFE góc có đỉnh F nằm bên đường trịn nên: ( ) · » + sđ »AD CFE = sđ CE (1) ( ) » ⇒ FCE · » + sđ BD » (2) · = sđ EB Góc FCE góc nội tiếp chắn cung ED » E điểm Vì hai đường kính AB CD vng góc với nên »AD = BD » = EB » (3) cung nhỏ CB nên CE · · Từ (1), (2) (3) suy FCE = CFE ⇒ ∆CFE cân E Tương tự ta có ∆BME cân E b) Theo câu a), ∆ECF ∆EBM hai tam giác cân nên CE = EF ; EM = EB » = EB » ⇒ CE = EB Do CE = EF = EM = EB Lại có CE Vậy bốn điểm F , C , M , B thuộc đường tròn tâm E Bài 35: Trên cạnh BC , BD hình vng ABCD ta lấy điểm M , N cho · MAN = 45° Đường thẳng BD cắt đường thẳng AM , AN tương ứng điểm P, Q a) Chứng minh tứ giác ABMQ ADNP nội tiếp b) Chứng minh điểm M , N , Q, P, C nằm đường tròn Hướng Dẫn: a) Các đỉnh A B nhìn đoạn thẳng MQ góc 45° Vì tứ giác ABMQ nội tiếp Tương tự ta suy tứ giác ADNP nội tiếp b) Do ABMQ tứ giác nội tiếp nên ·AQM + ·ABM = 180° ⇒ ·AQM = 90° Tương tự tứ giác ADNP nội tiếp suy ·APN = 90° Tứ giác MNQP tứ giác nội tiếp có hai đỉnh Q P nhìn cạnh MN góc 90° Suy bốn điểm M , N , Q, P thuộc đường tròn (1) · · Tứ giác MCNP tứ giác nội tiếp MCN + MPN = 90° + 90° = 180° Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 34 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Suy bốn điểm M , C , N , P thuộc đường tròn (2) Từ (1) (2) suy điểm M , N , Q, P, C nằm đường tròn Bài 36: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB , M · thuộc cạnh BC cho IEM = 90° ( I M khơng trùng với đỉnh hình vuông) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp · b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC ; K giao điểm BN tia EM Chứng minh BKCE tứ giác nội tiếp Hướng Dẫn: a) Theo giả thiết có: · · · · IBM = IEM = 90° ⇒ IBM + IEM = 180° Vậy tứ giác BIEM nội tiếp đường trịn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy ra: · · IME = IBE = 45° (hai đỉnh nhìn cạnh IE ABCD hình vng) · · c) Xét ∆EBI ∆ECM có: IBE = MCE = 45° (do ABCD hình vng); BE = CE (do ABCD hình vng); · · · (do phụ với BEM ) BEI = CEM ⇒ ∆EBI = ∆ECM ( g.c.g ) ⇒ MC = IB (hai cạnh tương ứng) ⇒ MB = IA Vì CN //BA nên theo định lí Ta-lét, ta có: MA MB IA = = Suy IM //BN (định lí Ta-lét MN MC IB đảo) · · · ⇒ BKE = IME = 45° Lại có BCE = 45° (do ABCD hình vng) · · Suy BKE Tứ giác BKCE có hai đỉnh K C kề nhìn cạnh BE = BCE góc nên BKCE tứ giác nội tiếp Bài 37: Cho đường trịn đường kính AB , điểm C , D nằm đường trịn cho C , D nằm khác phía đường thẳng AB , đồng thời AD > AC Gọi điểm cung nhỏ AC , AD M , N ; giao điểm MN với AC , AD H , I ; giao điểm MD CN K · a) Chứng minh ·ACN = DMN Từ suy tứ giác MCKH b) Chứng minh KH song song với AD c) Tìm hệ thức liên hệ sđ »AC sđ »AD để AK song song với ND Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 35 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com ¼ a) Vì N điểm cung »AD ⇒ »AN = DN ¼ ) · (hai góc nội tiếp chắn hai cung »AN , DN ⇒ ·ACN = DMN Khi tứ giác CMHK có hai đỉnh M C nhìn cạnh HK góc nên CMHK tứ giác nội tiếp b) Theo câu a) có CMHK tứ giác nội tiếp nên · · » ) (cùng chắn cung CK (1) CHK = CMK Xét đường trịn đường kính AB có · · » ) (cùng chắn CD (2) CMK = CAD · · Từ (1) (2) suy CHK Mà hai góc vị trí đồng vị, suy HK //AD (đpcm) = CAD · · c) AK //ND ⇔ KAD = ·ADN = KMI ⇔ MAIK tứ giác nội tiếp ·ADN = ·ACN = ·AMI = ·AKI ⇒ KAI · = ·AKI ⇒ ∆AKI cân I Mà IM phân giác góc ·AIK ⇒ MI ⊥ AK · Lại có AK //ND ⇒ MI ⊥ ND hay MN ⊥ ND ⇒ MND = 90° ⇒ MD đường kính đường trịn đường kính AB » · » + sđ »AD = 180° ⇔ sđ AC + sđ »AD = 180° ⇒ MAD = 180° ⇔ sđ MA Bài 38: Cho đường tròn ( O; R ) dây BC cố định, A điểm di động cung lớn BC ( A khác B, C ) cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BD CE tam giác ABC cắt điểm H Kẻ đường kính AF đường tròn ( O ) , AF cắt BC điểm N a) Chứng minh tứ giác BEDC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AE AB = AD AC c) Chứng minh tứ giác BHCF hình bình hành d) Đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai K ( K khác O ) Chứng minh ba điểm K , H , F thẳng hàng Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 36 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com · · a) Tứ giác BEDC có BEC = BDC = 90° (giả thiết) Suy tứ giác BEDC tứ giác nội tiếp (hai góc kề nhìn cạnh BC góc nhau) b) Tứ giác BEDC nội tiếp suy ·AED = ·ACB (góc ngồi tứ giác nội tiếp) Xét ∆AED ∆ACB có: ·AED = ·ACB (chứng minh trên); · BAC chung ⇒ ∆AED : ∆ACB ( g.g ) ⇒ AE AC = (hai cạnh tương ứng) AD AB ⇒ AE AB = AD AC c) Ta có: BD //CF (vì vng góc với AC ) BF //EC (vì vng góc với AB ) Do BHCF hình bình hành d) Ta thấy tứ giác ADHE nội tiếp đường trịn đường kính AH ⇒ ·AKH = 90° (1) Mà ∆AKF nội tiếp đường tròn đường kính AF ⇒ ·AKF = 90 (2) Từ (1) (2) suy ba điểm K , H , F thẳng hàng Bài 39: Cho điểm C nằm nửa đường trịn (O) vói đường kính AB cho cung »AC lớn » (C ≠ B) Đường thăng vuông góc vói AB O cắt dây AC D Chứng minh tứ giác cung BC BCDO nội tiếp Hướng Dẫn: Học sinh tự chứng minh Bài 40: Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H (H khơng trùng O, B) Trên đường thẳng vng góc với OB H, lấy điểm M ngồi đường trịn; MA MB thứ tự cắt đường tròn (O) c D Gọi I giao điểm AD BC Chứng minh MCID MCHB tứ giác nội tiếp Hướng Dẫn: Học sinh tự chứng minh Bài 41: Cho tam giác ABC cân A Đường thẳng xy song song với BC cắt AB E cắt AC F Chúng minh tứ giác EFCB nội tiếp Hướng Dẫn: Chứng minh BEFC hình thang cân Bài 42: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ HE vng góc với AB E, Kẻ HF vng góc với AC F Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp Hướng Dẫn: ·AFE = ·AHE (tính chất hình chữ nhật ·AHE = ·ABH (cùng phụ BHE · ) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 37 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 43: Cho đường tròn (O;R) từ điểm M nằm ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến A, B a Chứng minh bốn điểm O, A, M, B nằm đường tròn b Kẻ cát tuyến MNP, gọi K trung điểm NP Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B thuộc đường Hướng Dẫn: a) Chứng minh bốn điểm O, A, M, B nằm đường tròn · Ta có: OAM = 900 ⇒ A thuộc đường trịn đường kính OM · Và: OBM = 900 ⇒ B thuộc đường trịn đường kính OM Vậy bốn điểm O, A, M, B nằm đường trịn đường kính OM b Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B thuộc đường Ta có: Bốn điểm O, A, M, B nằm đường trịn đường kính OM Mà: OK ⊥ NP (K trung điểm dây NP) ⇒ K thuộc đường trịn đường kính OM Vậy năm điểm O, K, A, M, B nằm đường trịn đường kính OM Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 38 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan9999@gmail.com Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 39 ... giỏi !! Trang 20 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan 999 9@gmail.com · · Ta lại có: BIK + KIC =90 · · ⇒BIK + MIB =90 · ⇒MIK =90 Vậy MI tiếp tuyến đường tròn (K) Bài 13: Cho hình vng... 15 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan 999 9@gmail.com Xét tứ giác MNOB · Ta có: NOB = 90 0 (giả thuyết) · NMB = 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · · ⇒ NOB + NMB = 90 0 + 90 0... học giỏi !! Trang 14 DẠY THÊM - HÌNH HỌC – CHƯƠNG III facebook: tailieutoan 999 9@gmail.com · Ta có: CNH = 90 0 (BN đường cao) · CMH = 90 0 (AM đường cao) · · ⇒ CNH + CMH = 90 0 + 90 0 = 1800 Vậy tứ giác