PHỊNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HSG MƠN TOÁN LỚP NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm :120 phút Bài (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a ) m x 1 x m 1 b) x x 3 x x 24 A 33 555 55 444 44 n n Cho A số phương n ( n số tự nhiên lớn 1) Chứng minh Bài (4,0 điểm) x 1009 x x 2017 6 a) Giải phương trình 1010 1011 1012 1 1 b) Cho abc 1 Chứng minh a ab b bc c ca Bài (4,0 điểm) N x2 x x2 a) Tìm giá trị nhỏ b) Cho x, y, z số không âm thỏa mãn Chứng minh : P x 1 2 y 1 y 1 2 z 1 z 1 2 x 1 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH , trung tuyến AM Gọi D E hình chiếu H AB AC a) Chứng minh AD AB AE AC b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện để diện tích tứ giác AEHD diện tích tam giác ABC c) Vẽ phân giác góc ACB cắt AM F cắt AB G Chứng minh CF CB 1 FG CA Bài (2,0 điểm) Sáu điểm phân biệt thuộc hình chữ nhật có độ dài cạnh 3cm, 4cm (các điểm nằm cạnh hình chữ nhật) Chứng minh ln tồn hai điểm sáu điểm mà bình phương khoảng cách chúng nhỏ ĐÁP ÁN Bài (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a ) m x 1 x m 1 mx xm m x mx m x m x m x mx b) x x 3 x x 24 x x x x 24 x x 10 x x 12 24 x x 10 x x 10 x x x x 16 x 1 x x x 16 A 33 555 55 444 44 n n n Cho A số phương ( n số tự nhiên lớn 1) Chứng minh 10n a a 111 111 Ta có 10n 9a 10 , suy n n Đặt A 3a 2 9a 9a a 9a 1 4a 9a 10 9a Vì A lẻ nên nguyên Suy A số phương Bài (4,0 điểm) x 1009 x x 2017 6 c) Giải phương trình 1010 1011 1012 x 1009 x x 2017 x 1009 x 3 x 2017 6 1 2 0 1010 1011 1012 1010 1011 1012 x 1009 1010 x 2.1011 x 2017 3.1012 0 1010 1011 1012 1 x 2019 0 x 2019 1010 1011 1012 1 1 d) Cho abc 1 Chứng minh a ab b bc c ca x y z a ;b ; c y z x với x, y, z 0 Ta có : Vì abc 1 nên đặt 1 1 1 x x y y z z a ab b bc c ca 1 1 y z z x x y yz zx xy 1 xy yz zx xy yz zx xy yz zx Bài (4,0 điểm) c) Tìm giá trị nhỏ N x2 x x2 2 x x x x x x 1 N 3 x2 x2 x 2 Dấu xảy x 1 Vậy Min N 3 x 1 d) Cho x, y, z số không âm thỏa mãn Chứng minh : P x 1 x 1 2 y 1 y 1 2 Tương tự : y 1 z Hay: z 1 z 1 2 x 1 y x x y 2 xy x Ta có : P x 1 2 y 1 xy x 1 ; 2 yz y z 1 x zx z 1 1 1 1 xy x 2 yz y 2 zx z 2 xy x yz y zx z Dấu xảy x y z 1 Bài (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH , trung tuyến AM Gọi D E hình chiếu H AB AC A E G F D B H K M C d) Chứng minh AD AB AE AC Ta có AEHD hình chữ nhật nên ADE AHE Mà AHE C (vì phụ EHC ) ADE ∽ ACB AD AB AE AC e) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện để diện tích tứ giác AEHD diện tích tam giác ABC S AEHD 1 DE DE S ABC S ADE S ABC DE AM 4 BC BC Ta có Khi AH AM , nghĩa ABC vuông cân A f) Vẽ phân giác góc ACB cắt AM F cắt AB G Chứng minh CF CB 1 FG CA CM CF BG BK 1 2 GK / / AM , Kẻ ta có MK FG (Theo Talet) GA KM (Talet) BG CB 3 Mặt khác lại có GA CA BK CB 4 Từ (2) (3) ta có KM CA Từ (1) (4) lấy vế trừ vế ta có : CF CB CM BK CM BK 1 FG CA MK KM KM Bài (2,0 điểm) Sáu điểm phân biệt thuộc hình chữ nhật có độ dài cạnh 3cm, 4cm (các điểm nằm cạnh hình chữ nhật) Chứng minh ln tồn hai điểm sáu điểm mà bình phương khoảng cách chúng nhỏ Chia hình chữ nhật cho thành phần hình vẽ Khi tồn hai điểm điểm nằm hình Ta có khoảng cách lớn diểm hình theo định lý Pytago : Bình phương khoảng cách hai điểm lớn 2 25 Vậy tồn hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ