PHỊNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI KĐCL MŨI NHỌN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn thi: TỐN Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x xy y x y b) Chứng minh n * n n hợp số c) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ Câu x x x x 2012 2012 a) Giải phương trình: 2012 2011 2010 2 3 2012 2013 b) Cho a b c a b c 1 Tính S a b c Câu 2 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A 2 x y xy x y 18 b) Cho a, b, c ba cạnh tam giác ab bc ac a b c Chứng minh : a b c a b c a b c Câu Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi E , F , G, H trung điểm cạnh AB, BC , CD, DA M giao điểm CE DF a) Chứng minh: Tứ giác EFGH hình vng b) Chứng minh DF CE MAD cân c) Tính diện tích MDC theo a ĐÁP ÁN Câu a) x y x y x y x y x y 32 x y x y 1 b) Ta có: n3 n n3 n n 1 n n 1 n 1 n 1 n n n n * Do nên n n .Vậy n n hợp số c) Gọi hại số a a 1 Theo ta có: 2 a a 1 a a 1 a 2a 3a 2a a 2a3 a a a a a a 1 a a 1 2 số phương lẻ a a a a 1 số chẵn nên a a số lẻ Câu a) Phương trình cho tương đương với : x x 2012 x x 2012 1 1 2012 2012 2012 2011 2010 x 2013 x 2013 x 2013 x 2013 0 2012 2011 2010 1 1 x 2013 0 x 2013 1 2012 2011 2010 b) a b2 c a3 b3 c3 1 a; b; c 1;1 a b3 c3 a b c a a 1 b b 1 c c 1 0 a b3 c 1 a; b; c nhận hai giá trị b 2012 b ; c 2013 c S a b 2012 c 2013 1 Câu A 2 x xy y y x y 18 a) Ta có: A 2 x y x y y y 2 A 2 x y y 3 1 b) x 5 MinA 1 y Vậy Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên: a b c 0; a b c 0; a b c Đặt x a b c 0; y a b c 0; z a b c yz xz xy x y z a b c; a ;b ;c 2 Ta có: ab bc ac y z x z x z x y x y y z a b c a b c a b c 4z 4x 4y 1 xy yz xz xy yz xz x y 3z x y z 4 z x y 2 z x y 4 y x z x y z z x y x y z z x z y y x x y z x y z x y z Mà x y z a b c nên suy điều phải chứng minh Câu E A B H M F N D C G a) Chứng minh EFGH hình thoi Chứng minh có góc vng nên EFGH hình vng b) BEC CFD ECB FDC mà CDF vuông C nên: CDF DFC 900 DFC ECB 900 CMF vuông M hay CE DF Gọi N giao điểm AG DF Chứng minh tương tự: AG DF GN / / CM mà G trung điểm DC nên N trung điểm DM Trong MAD có AN vừa đường cao, vừa đường trung tuyến MAD cân A CD CM CMD FCD ( g g ) FD FC c) 2 SCMD CD CD SCMD S FCD S FD FD Do : FCD 1 S FCD CF CD CD 2 Mà CD CD 2 FD Vậy Trong DCF theo định lý Pytago ta có: 1 DF CD CF CD BC CD CD CD 4 2 SCMD S MCD Do đó: CD 1 CD a 5 CD 4