PHỊNG GD&ĐT HUYỆN THANH TRÌ TRƯỜNG THCS ĐỀ THI HSG SỐ 45 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH NĂNG KHIẾU MÔN TOÁN NĂM HỌC: 2022-2023 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày kiểm tra 04/7/2022 Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x Phân tích đa thức thành nhân từ: xy ( x y ) yz ( y z ) zx( z x) Bài 2: (3,0 điểm) Giải phương trình: (12 x 1)(6 x 1)(4 x 1)(3x 1) 330 x a x 2 * Cho phương trình: x x a * a a) Giải phương trình * b) Tìm giá trị a để x 1 nghiệm phương trình Bài 3: (3,0 điểm) a b c 0 Giả sử a, b, c ba số đôi khác b c c a a b a b c 0 2 ( b c ) ( c a ) ( a b ) Chứng minh rằng: Cho số thực dương x; y; z thỏa mãn x y z 3 Chứng minh rằng: 1 x x y y z z Bài 4: (3,0 điểm) Chứng minh n số tự nhiên thỏa mãn: n 2n số phương n chia hết cho 24 3 2 Chứng minh x x 5ax 4bx c chia hết cho x 3x x a b c 0 Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD, BE , CF cắt H a) Chứng minh: Các tam giác ABC , AEF đồng dạng HD HE HF 1 b) Chứng minh: AD BE CF c) Chứng minh: BF BA CE CA BC d) Gọi M trung điểm BC Đường thằng qua H vng góc MH cắt AB, AC N , K Chứng minh: Tam giác MNK cân Bài 6: (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên x, y , z cho: x y z xyz = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH NĂNG KHIẾU MƠN TỐN TRƯỜNG THCS THANH TRÌ Năm học: 2019-2020 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x x Phân tích đa thức thành nhân từ: xy ( x y ) yz ( y z ) zx( z x) Lời giải x2 1 x2 x2 x 1 x2 x x x x x x xy ( x y ) yz ( y z ) zx( z x) xy ( x y ) yz ( x y ) yz ( z x) zx ( z x) 4 2 y ( x y )( x z ) z ( z x )( x y ) ( x y )( x z )( y z ) Bài 2: (3,0 điểm) Giải phương trình: (12 x 1)(6 x 1)(4 x 1)(3x 1) 330 x a x 2 * Cho phương trình: x x a * a a) Giải phương trình * b) Tìm giá trị a để x 1 nghiệm phương trình Lời giải (12 x 1)(6 x 1)(4 x 1)(3 x 1) 330 (12 x 1)(12 x 2)(12 x 3)(12 x 4) 7920 (Nhân hai với 24 ) 144 x 60 x 144 x 60 x 7920 Đặt: 144 x 60 x y Ta có phương trình: ( y 1)( y 1) 7920 y 7921 y 89 y 89 Với y 89, ta có: 144 x 60 x 89 Giải ra: x 1 x 7 12 Với y 89, ta có: 144 x 60 x 89 Giải thích phương trình vơ nghiệm Kết luận: Phương trình cho có hai nghiệm x 1 x 7 12 x x 2 a) Với a 1, ta có phương trình: x x (ĐK: x 2; ) Giải phương trình tìm ra: x 3 (TMĐK) 1 a 2 * b) Thay x 1 vào phương trình ta có: a (ĐK: a 1 ) Giải phương trình tìm ra: a 2 (thỏa mãn điều kiện) a 4 (thỏa mãn điều kiện) kết luận Bài 3: (3,0 điểm) a b c 0 Giả sử a, b, c ba số đôi khác b c c a a b a b c 0 2 ( b c ) ( c a ) ( a b ) Chứng minh rằng: Cho số thực dương x; y; z thỏa mãn x y z 3 Chứng minh rằng: 1 x x y y z z Lời giải a b c a b c b ab ac c 0 b c a c b a (a b )(c a ) b c c a a b a b ab ac c (1) (b c ) (a b)(c a )(b c) (Nhân hai vế với b c ) b c bc ba a 2 ( c a ) ( a b )( c a )( b c ) Tương tự ta có: c a ac cb b 3 (a b) (a b)(c a )(b c) 1, , Công vế với vế ta đpcm Đặt P 1 1 1 x x y y z z x ( x 1) y ( y 1) z ( z 1) 1 1 1 1 1 1 x x 1 y y 1 z z 1 x y z x 1 y 1 z 1 1 1 1 Áp dụng BĐT a b c a b c a b a b với a, b, c dương dấu xảy a b c 1 1 1 1 1 ; 1 ; 1 Ta có x x y 1 y a x Do dó : 1 1 1 1 1 1 P 1 y x x y z x 1 y 1 x 1 x y z x 3 1 1 3 9 3 x y z 4 x y z 4 (đpcm) Bài 4: (3,0 điểm) Chứng minh n số tự nhiên thỏa mãn: n 2n số phương n chia hết cho 24 3 2 Chứng minh x x 5ax 4bx c chia hết cho x 3x x a b c 0 Lời giải Vì n 2n số phương nên ta có: n k ; 2n m2 ( k , m số tự nhiên) Ta thấy m số lẻ (vì 2n số lẻ) m 2t ( t số tự nhiên) m 4t (t 1) 2n 4t (t 1) n 2t (t 1) n chẵn k lẻ 2 Ta có: k , m chia cho có số dư 2 Mà: k m 3n chia dư 2 2 Nên k , m chia cho có số dư n m k chia hết cho Ta có k lẻ k 2 p ( p số tự nhiên) k 4 p( p 1) 1 n n 4 p( p 1) chia hết cho Từ suy ra: n chia hết cho 24 Ta có: x x3 5ax 4bx c x 3x x x m x ( m 3) x (3m 9) x (9m 3) x 3m Suy ra: m m 3m 5a a 9m 4b b 15 c 3m c 21 Vậy a b c 0 Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD, BE , CF cắt H a) Chứng minh: Các tam giác ABC , AEF đồng dạng HD HE HF 1 b) Chứng minh: AD BE CF c) Chứng minh: BF BA CE CA BC d) Gọi M trung điểm BC Đường thằng qua H vng góc MH cắt AB, AC N , K Chứng minh: Tam giác MNK cân Lời giải A E F K H N B D M a) Vẽ hình đên câu a AE AF Chứng minh đúng: AEB ∽ AFC Suy ra: AB AC Chứng minh đúng: ABC ∽ AEF HD S BHC b) Chỉ được: AD S ABC đủ HE S AHC HF S AHB ; BE S CF S ABC ABC Tương tự: HD HE HF S BHC S AHC S AHB 1 AD BE CF S ABC Suy ra: c) CMTT câu a, BDF đồng dạng BAC BF BD BF.BA BD.BC Suy BC BA Tương tự CE CA CD BC Cộng vế với vế hai đẳng thức ta được: BF.BA+ CE CA CD BC BD.BC = CD DB BC BC d) Chứng minh BAH BCH (Cùng phụ ABC ) Chứng minh ANH CHM (Cùng phụ NHF ) Suy ra: ANH đồng dạng CHM (g - g) NH AH NH HM , 1 Suy ra: HM CM hay AH CM C KH HM (2) chứng minh tương tự: AH BM 1; Từ CM BM suy ra: HK NH Vậy MNK cân (Vì MH vừa đường cao vừa trung tuyến) Bài 6: (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên x, y , z cho: x y z xyz Lời giải 1 1 a) Chia hai vế của: x y z xyz cho xyz ta có: xy yz xz Do vai trò x, y, z nên giả sử: x y z ta có: 1 1 1 1 x 1 xy yz xz x x x x (vì x ngun dương) Thay x 1 ta có: yz y z ( y 1)( z 1) 2 y 2, z 3 (vì y z ) Vậy ba số cần tìm là: 1; 2;3 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =