PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP NĂM HỌC 2022-2023 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể giao đề) Đề thi gồm có: 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử x 3x 6x 4 Chứng minh với số tự nhiên n > số n hợp số Bài 2: (4,0 điểm) 2 Cho 3a 3b 10ab b a Tính giá trị biểu thức 3 P a b a b 2 Cho a, b Q thỏa mãn a b ab 2a b 2a 2b 0 Chứng minh ab bình phương số hữu tỉ Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên 2xy x y 83 9x 18x 17 y(y 4) 2 Tìm x, y biết x 2x 3 Bài 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, I điểm cạnh AB, kẻ HI vng góc với HK (K AC) a) Chứng minh ∆BIH ∆AKH b) Chứng minh HI.BC = IK.AB c) Tìm vị trí điểm I cạnh AB để diện tích tam giác HIK đạt giá trị nhỏ x 1y z Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z số nguyên dương thỏa mãn x 1 Chứng minh z = = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP Năm học:2022-2023 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử x 3x 6x Lời giải Ta có x 3x 6x 2 x x 2x 2x 4x x (x 1) x x 1 x 1 (x 1) x 2x 4 Chứng minh với số tự nhiên n > số n hợp số Lời giải 4 Ta có n n n 4n n n 2 2 2n 2n n 2n 2 2 Vì số tự nhiên n > nên n 2n ; n 2n số tự nhiên n 2n n 1 nên số n hợp số Bài 2: (4,0 điểm) 2 Cho 3a 3b 10ab b a Tính giá trị biểu thức 2 Vì 3a 3b 10ab P Ta có P a b a b a b a b P a b P a b a b 10 ab 10 3 ab 2ab ab a b2 2ab 3 2 10 16 a b 2ab ab 2ab ab Mà a b nên a – b < a + b > P < P Lời giải 3 2 Cho a, b Q thỏa mãn a b ab 2a b 2a 2b 0 Chứng minh ab bình phương số hữu tỉ Lời giải 3 2 Ta có a b ab 2a b 2a 2b 0 a b ab 3 2 2a b 2a 2b 0 ab a b a b 0 ab a b 2ab a b ab 0 2 ab a b 2ab a b ab 0 ab a b 1 1 ab ab a b 1 Vì a, b Q nên nên bình phương số hữu tỉ 3 2 Vậy a, b Q thỏa mãn a b ab 2a b 2a 2b 0 – ab bình phương số hữu tỉ Bài 3: (4,0 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên 2xy x y 83 Lời giải Ta có 2xy x y 83 4xy 2x 2y 167 2x 2y 1 2y 1 167 2y 1 2x 1 167 Vì x, y Z nên 2x + 1, 2y + Z ước 167 Ta có bảng 2x + 1 -1 167 -167 2y + 167 -167 -1 x -1 83 -84 y 83 -84 -1 Vậy phương trình cho có nghiệm (0 ; 83) ; (-1 ; -84) ; (83 ; 0) ; (-84 ; -1) 9x 18x 17 y(y 4) 2x 3 x Tìm x, y biết Lời giải 9x 18x 17 y(y 4) Ta có x 2x 3 9 x 1 1810 x 1 2 y 4y Vì x 1 2 nên 9 x 1 9 17 x 1 2 10 x 1 2 10 10 5 x 1 2 2 y 4y y 4y y y 2 5 với y Dấu “=” xảy x 10 y 0 x 1 y 9x 18x 17 y(y 4) Vậy với x = y = -2 x 2x 3 Bài 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, I điểm cạnh AB, kẻ HI vng góc với HK (K AC) a) Chứng minh ∆BIH ∆AKH b) Chứng minh HI.BC = IK.AB c) Tìm vị trí điểm I cạnh AB để diện tích tam giác HIK đạt giá trị nhỏ Lời giải B H I A K C a) Xét ∆BIH ∆AKH có HBI HAK (cùng phụ với C ) BHI AHK IHA (cùng phụ với ∆BIH ∆AKH (g.g) b) Xét ∆BHA ∆IHK có ) AHB IHK 90 BH AH IH KH (Vì ∆BIH ∆AKH) ∆BHA ∆IHK (c.g.c) Lại có ∆BHA ∆BAC (g.g) ∆IHK ∆BAC HI IK AB BC HI.BC = IK.AB c) Ta có ∆IHK ∆BAC (c/m trên) Mà ∆BAC cố định nên H không đổi ∆IHK đồng dạng với I thay đổi Để SIHK nhỏ IH nhỏ IH AB Vậy I chân đường vng góc hạ từ H xuống AB SIHK nhỏ x 1y z Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z số nguyên dương thỏa mãn x 1 Chứng minh z = Lời giải x z x z z Ta có y y mà x > nên y số chẵn y lẻ Đặt y = 2k + (k Z) Giả sử z > có hai trường hợp + Trường hợp 1: z só chẵn, đặt z = 2m ta có y z 2k 1 2m 2q 1 4q 4q 4q q 1 x Vì x > x nguyên dương nên x nên 4 y z 4q q không chia hết cho Mà z số chẵn sai + Trường hợp 1: z só lẻ, đặt z = 2m + ta có y z 1 y 1 y 2m y 2m y 2m y 1 y 2m y 2m y 2m y 1 số lẻ tổng lẻ số lẻ z y có ước lẻ lớn x Mà khơng có ước lẻ lớn (vơ lí) Vậy giả sử z > sai Mà z nguyên dương z =1 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =