PHỊNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ OLYMPIC TỐN LỚP NĂM HỌC: 2022-2023 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 28/4/2022 Bài 1: (5,0 điểm) Cho đa thức A n 9n 23n 15 a) Phân tích đa thức thành nhân tử b) Chứng minh A chia hết cho 48 với n số tự nhiên lẻ x 2020 2021 x Tìm x, biết: Bài 2: (4,0 điểm) xy 2 Chứng minh biểu thức Cho x, y số tự nhiên khác 0, x y, thoả mãn x y A x xy y x xy y có giá trị nguyên f x 2 x x ax b Xác định số a, b cho đa thức chia hết cho đa thức g x x Bài 3: (4,0 điểm) 2 Tìm nghiệm nguyên x, y phương trình: x y x y 2 2 Cho số thực x, y thoả mãn x y xy 9 Tìm giá trị lớn nhỏ P x2 y Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH chiếu H AB, AC H BC Gọi D E hình 2 Chứng minh: BH BD AB CH CE AC Chứng minh: AC AB AH BC AH BD CE BC Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích tứ giác ADHE , chứng tỏ tam giác ABC vuông cân Lấy điểm O nằm tam giác ABC Gọi N , P, Q hình chiếu O BC , AB, AC Hãy tìm vị trí điểm O cho tổng ON OP OQ đạt giá trị nhỏ x, y Bài 5: (1,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên x 1 thoả mãn 4 x 1 y = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (5,0 điểm) Cho đa thức A n 9n 23n 15 a) Phân tích đa thức thành nhân tử b) Chứng minh A chia hết cho 48 với n số tự nhiên lẻ x 2020 2021 x Tìm x, biết: Lời giải Cho đa thức A n 9n 23n 15 a) Phân tích đa thức thành nhân tử: A n3 9n 23n 15 n n 4n 3 n n 1 n 3 b) Chứng minh A chia hết cho 48 với n số tự nhiên lẻ n 2k k N Vì n số tự nhiên lẻ nên A 2k 2k 2k 8 k 1 k k Vì k N nên k 1, k 2, k số tự nhiên liên tiếp k 1 k k 3 2 k 1 k k 3 6 k 1 k k 3 3 (vì 2;3 số nguyên tố nhau) A 8 k 1 k k 3 48 x 2020 2021 x Ta có: x 2021 2021 x 0 4041 x 2020 2021 x x 4041 x TM x 2020 x 2021 2020 2021 VL 4041 S Vậy phương trình có tập nghiệm Bài 2: (4,0 điểm) xy Chứng minh biểu thức Cho x, y số tự nhiên khác 0, x y , thoả mãn x y A x xy y x xy y có giá trị nguyên f x 2 x x ax b Xác định số a, b cho đa thức chia hết cho đa thức g x x Lời giải xy x y 8 xy Vì x y 2 x xy y x y 10 xy xy 10 xy 18 xy A x xy y x y 10 xy xy 10 xy xy Vậy A có giá trị nguyên Trang f x x2 q x f x g x q x Để tồn cho với x f x x 1 x 1 q x 1 với x 1 , Vì với x nên thay x 1, x vào ta có: 2.1 a.1 b 0 2 a b 0 2 1 1 a 1 b 0 a b 0 f x g x Vậy a 2, b 1 chia hết cho Bài 3: (4,0 điểm) 2 Tìm nghiệm nguyên x, y phương trình: x y x y 2 f 1 0 f 1 0 a b a b a b 1 2 Cho số thực x, y thoả mãn x y xy 9 Tìm giá trị lớn nhỏ P x2 y Lời giải x y x y 2 x y x y 8 2 2 x x 1 y y 1 10 2 x 1 y 1 10 12 32 10 2 1 3 10 2 3 10 2 3 1 10 Vì x, y x 1; y Mà 2x 1 1 1 y –1 3 3 x 0 1 y 1 1 x, y Vậy cặp số nguyên thoả mãn là: nên ta có trường hợp: 3 3 1 1 1 1 0 1; ; 1; 1 ; 0; ; 0; 1 ; 2; 1 ; 2; ; 1; 1 ; 1; x y Ta có: 0 x, y x y 2 x y 2 nên x y 2 xy x, y 2 x y 2 x y 18 x y xy 9 x y 18 hay P 18 Vậy giá trị lớn P 18 2 2 x y xy 18 Có: x y xy 9 x y xy 18 x y x y 18 x y Mà 18 2 2 2 0 x, y x y x y 3 x y 18 3 x y P 18 Vậy giá trị nhỏ P x y 0 2 x y xy 9 x y 2 x x x 9 Trang x y x y x 3 x y Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH chiếu H AB, AC H BC Gọi D E hình 2 Chứng minh: BH BD AB CH CE AC Chứng minh: AC AB AH BC AH BD CE BC Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích tứ giác ADHE , chứng tỏ tam giác ABC vuông cân Lấy điểm O nằm tam giác ABC Gọi N , P, Q hình chiếu O BC , AB, AC Hãy tìm vị trí điểm O cho tổng ON OP OQ đạt giá trị nhỏ Lời giải 2 Chứng minh: BH BD AB CH CE AC *) Xét BHD BAH có: BDH AHB 90o ABH chung BH BD BHD BAH g.g BA BH (tính chất tam giác đồng dạng) BH BA BD *) Xét CHE CAH có: CEH AHC 90o ACH chung CH CE CHE CAH g.g CA CH (tính chất tam giác đồng dạng) CH CA CE Chứng minh: AC AB AH BC AH BD CE BC *) ABC vng A có AH BC Trang S ABC AB AC AB AC AH BC S ABC AH BC *) Xét AHC AHB có: AHC AHB 90o CAH ABH (cùng phụ với BAH ) AH HC AH BH CH AHC BHA g.g HB AH 2 Mà BH BA BD; CH CA CE Nên AH BA BD CE CA BA CA AH BC cmt nên AH AH BC BD CE AH BC BD CE Giả sử diện tích tam giác ABC gấp đơi diện tích tứ giác ADHE , chứng tỏ tam giác ABC vuông cân Xét tứ giác ADHE có: ADH 90o HD AB Lại có: DAE 90o gt AEH 90o HE AC ADHE hình chữ nhật (dhnb) S ADHE AD AE Gọi O’ giao điểm AH DE O ' A O ' E O ' H O ' D (t/c hình chữ nhật) 1 O ' AE cân O’ A2 E (t/c tam giác cân) Mà A2 B nên B E Xét AED ABC có: BAC chung E cmt B Mà AED ABC g.g S ABC 2 S ADHE Lại có: AE AD AE AC AB AD AB AC AB AC 2 AD AE AB AC 4 AD AE AE AC AD AB AE AB AD AC AB AD AC 4 AD AC 2 AD AC HE AC Mà AD HE (t/c hình chữ nhật) HE AC Xét AHC vng H có AB AC 4 AD HE đường trung tuyến ứng với cạnh AC Mà HE AC gt AHC vuông cân H ACH 45o hay ACB 45o ABC vuông A Trang Lấy điểm O nằm tam giác ABC Gọi N , P, Q hình chiếu O BC , AB, AC Hãy tìm vị trí điểm O cho tổng ON OP OQ đạt giá trị nhỏ o Ta có: Tứ giác APOQ có: PAQ APO AQO 90 APOQ hình chữ nhật AO PQ 2 2 2 AP OQ; AQ PO ON OP OQ ON AQ AP ON PQ (vì AQP vuông A ) AQ AP PQ 2 2 2 Mà PQ AO ON OP OQ ON OA 2 ON OA Dấu “ ” xảy ON OA hay O trung điểm AN Mà ON BC nên AN trùng với AH hay O trung điểm AH 2 Vậy O trung điểm AH ON OP OQ nhỏ 1 AH 2 ON OA 2 O ' H O ' A 2 AH AH 2 x 1 thoả mãn x, y Bài 5: (1,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên 4 x 1 y Lời giải x 1 2 2 x 1 y x 1 x 1 x 1 x 1 y x x y x3 x y *) Nếu x 1 x3 x3 x x 1 x y x 1 3 vơ lý y ngun x x, y x; y *) Nếu nghiệm nguyên phương trình nghiệm phương trình Ta có: x 1 vô lý *) Nếu x 0 y 0 x; y 0; Vậy cặp số nguyên thoả mãn đẳng thức = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Trang