017 đề hsg toán 8 nam sơn 2017 2018

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HUYỆN NAM SƠN-Năm học 2017-2018 Câu (4,0 điểm) Chứng minh rằng: 11 a) A 1      chia hết cho 40 1 1 B      1 2 100 b) Câu (4,0 điểm) 3 a) Cho a  b  c 0, chứng minh : a  b  c 3abc b) So sánh hai số sau: Câu (4,0 điểm) C   1  22  1  24  1  28  1  216  1 32 D 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x  2019 x  2018 x  2019 b) Tìm giá trị nhỏ E 2 x  x  Câu (3,0 điểm) Chứng minh tứ giác, tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A  AB  AC  Gọi I trung điểm cạnh BC Qua I vẽ IM vng góc với AB M IN vng góc với AC N a) Chứng minh tứ giác AMIN hình chữ nhật b) Gọi D điểm đối xứng I qua N Chứng minh tứ giác ADCI hình thoi DK  DC c) Đường thẳng BN cắt DC K Chứng minh Câu (1,0 điểm) 2 2 Chứng minh rằng: a  b  c  d  e a  b  c  d  e  ĐÁP ÁN Câu a) A 1   32  33   311    32  33    34  35  36  37    38  39  310  311     32  33   34.   32  33   38    32  33  40  34.40  38.40 40.  34  38  40 Vậy A40 b) 1 1 B      1002 1 1      2.2 3.3 4.4 100.100 1 1 1 1 1      1       1  1 1.2 2.3 3.4 99.100 2 99 100 100 Vậy B  Câu a) Ta có: a  b  c 0  a  b  c Mặt khác  a  b  a3  b3  3ab  a  b     c  a  b3  3ab   c  a  b3  c 3abc (dfcm) b) C   1  22  1  24  1  28  1  216  1   1 C   1   1  2  1  24  1  28  1  216  1 C  22  1  22  1  24  1  28  1  216  1 C  24  1  24  1  28  1  216  1 C  28  1  28  1  216  1 C  216  1  216  1 232  32 32 Vì   nên C  D Câu a) x  2019 x  2018 x  2019 x   x  2018 x   2018 x   2018  1  x  x  x  x3  x    2018 x  2018 x  2018    x  1 x  x  x  1  2018  x  x  1   x  1  x  x  1  x  x  1  x  2018  x  1  x  x  1  x  x  2019  b) E 2 x  x  2 x  x   2  x      x  Vậy giá trị nhỏ E   x 2 Câu B a A d O b c C D Gọi O giao điểm hai đường chéo AC , BD tứ giác ABCD Đặt AB a, BC b, CD c, DA d Xét AOB, ta có: OA  OB  AB (quan hệ ba cạnh tam giác) Xét COD, ta có: OC  OD  CD ( quan hệ ba cạnh tam giác) Suy : OA  OB  OC  OD  AB  CD  AC  BD  AB  CD  AC  BD  a  c (1) Chứng minh tương tự : AC  BD  AD  BC  AC  BD  d  b (2) Từ (1) (2) suy  AC  BD   a  b  c  d  AC  BD  a b c d (*) Xét ABC , ta có: AC  a  b Xét ADC , ta có: AC  d  c a cd b (3) Suy : a c d b BD  (**) (4) Chứng minh tương tự: Từ  3 ;   suy AC  BD  a  b  c  d AC  a  b  c  d  AC  Từ  * (**) suy Câu a c d b  AC  BD  a  b  c  d (dfcm) D A N M B K H C I a) Xét tứ giác AMNI có:  MAN 900 (vì ABC vng A) AMI 900 (Vì IM vng góc với AB) ANI 900 (Vì IN vng góc với AC ) Vậy tứ giác AMIN hình chữ nhật (vì có góc vng) AI IC  BC b) ABC vng A, có AI trung tuyến nên Do AIC cân I, có đường cao IN đồng thời trung tuyến  NA NC Mặt khác : NI ND (tính chất đối xứng) nên ADCI hình bình hành (1) (2) Mà AC  ID Từ (1) (2) suy tứ giác ADCI hình thoi c) Kẻ qua I đường thẳng IH song song với BK cắt CD H  IH đường trung bình BKC  H trung điểm CK hay KH HC (3) Xét DIH có N trung điểm DI, NK / / IH  IH / / BK  Do K trung điểm DH hay DK KH  3 ,    DK KH HC  DK  DC Từ (4) Câu Ta có: 1  a 2  b  0  a  b ab (1)  1  a 2  c  0  a  c ac (2)  2 1   a  d  0  a  d ad (3) 2  1  a 2  e  0  a  e ae (4)  Ta cộng  1 ,   ,  3 ,   vế theo vế ta được: a  b  c  d  e ab  ac  ad  ae  a  b  c  d  e2 a  b  c  d  e 