SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HỐ MƠN THI: TỐN; LỚP: PHỔ THƠNG Thời gian làm 150 phút, khơng kể thời gian giao đề ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang Câu (4,5 điểm) 2 1) Phân tích biểu thức sau thành nhân tử: P 2a 7a b 7ab 2b 2 2) Cho x x 1 Tính giá trị biểu thức Q x x x x x x 1 Câu (4,5 điểm) x 1 4026 x R : x x x x x x x Tìm x để biểu thức xác 1) Cho biểu thức: định, rút gọn biểu thức 2) Giải phương trình sau: x x 1 x 1 x 4 Câu (4,0 điểm) 1) Cho n số tự nhiên lẻ Chứng minh n n chia hết cho 24 2) Tìm số tự nhiên n để n 4n 2013 số phương Câu (6,0 điểm) 1) Cho hình thang ABCD vng A D Biết CD=2AB=2AD BC a a Tính diện tích hình thang ABCD theo a b Gọi I trung điểm BC, H chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC Chứng minh HDI 45 2) Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c Độ dài đường phân giác tam giác kẻ từ đỉnh A, B, C la , lb , lc Chứng minh rằng: 1 1 1 la lb lc a b c Câu (1,0 điểm) 2 Cho hai số không âm a b thoả mãn a b a b Tìm giá trị lớn biểu thức: S a b a 1 b 1 -Hết -Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HỐ MƠN THI: TỐN; LỚP: PHỔ THƠNG Bản hướng dẫn chấm có 04 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Hướng dẫn giải P 2 a b ab a b Ta có 2 a b a ab b ab a b a b 2a 2b 5ab a b 2a 4ab 2b ab (2.5 điểm) a b 2a a 2b b b 2a a b 2a b a 2b Kết luận Ta có P a b 2a b a 2b Q x x x3 x x x3 x x x x 2 (2.0 điểm) (4.5 điểm) 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 x2 x x x x x 0.5 x x 4 0.5 Vậy Q 4 Câu 0.5 (4.5 điểm) x x x 1 R x x x x x x 4026 Ta có x x 0 0.5 ĐK: x 0 x 2 (2.5 điểm) 0.5 Khi đó: x x 1 4026 x x x x 1 x x 1 x 4026 x2 2 x 4 4026 x 2013 x 0 R 2013 Vậy R xác định x 2 R + Nếu x 2 , phương trình cho trở thành 0.5 0.5 0.5 0.5 x x 1 x 1 x 4 x 1 x 4 x x 0 x x 0 (2 điểm) x 0 l x tm x l Nếu x 2 , phương trình cho trở thành x x 1 x 1 x 4 0.5 0.5 x x 1 x 1 x x 1 x x x 0 5 x 0 2 vô nghiệm 0.25 KL: Phương trình có nghiệm x 0.25 Câu (4 điểm) Ta có n n n n 1 n 1 0.5 Vì n 1; n; n ba số tự nhiên liên tiếp nên có ba số (1) chia hết cho Do Vì n số tự nhiên lẻ nên n n hai số tự nhiên chẵn liên n3 n 3 (2 điểm) (2) tiếp Do Vì hai số nguyên tố nên kết hợp với (1), (2) n 1 n 1 8 suy n + Giả sử n 24 n3 n 8 (đpcm) 0.5 0.5 0.5 n 4n 2013 m , m 2 n 2009 m m n 2009 + Suy 0.5 m n m n 2009 + Mặt khác 2009 2009.1 287.7 49.41 m n m n nên có trường hợp sau xảy ra: (2 điểm) m n 2009 m 1005 n 1002 TH1: m n 1 m n 287 m 147 n 138 TH1: m n 7 m n 49 m 45 TH3: m n 41 n 2 Vậy số cần tìm là: 1002; 138; Câu 0.5 0.5 0.5 (6 điểm) (4 điểm) a) + Gọi E trung điểm CD, ABED hình vng BEC tam giác vng cân 0.5 + Từ suy AB AD a; BC 2a 0.5 + Diện tích hình thang ABCD S AB CD AD a 2a a 3a 2 0.5 b) + ADH ACD (1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vng góc) + Xét hai tam giác ADC IBD vng D B có AD IB DC BD , hai tam giác ADC IBD đồng dạng ACD BDI Suy 0.5 0.5 0.5 (2) + Từ (1) (2), suy ADH BDI 0 + Mà ADH BDH 45 BDI BDH 45 hay HDI 45 (2 điểm) 0.5 0.5 M A B D C + Gọi AD đường phân giác góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB M 0.5 Ta có BAD AMC (hai góc vị trí đồng vị) DAC ACM (hai góc vị trí so le trong) Mà BAD DAC nên AMC ACM hay tam giác ACM cân A, suy AM AC b AD BA c + Do AD//CM nên CM BM b c CM AM AC 2b + Mà + Tương tự ta có c AD 1 1 b c 2b la b c (1) 11 1 1 1 lb c a (2); la b c (3) 0.5 0.5 0.5 Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có đpcm Câu 2 2 + Ta có a 2a; b 2b a b 2a 2b a b 2 điểm 1điểm 0.25 1 + Chứng minh với hai số dương x, y x y x y 0.25 S 2 1 2 a 1 b 1 a 1 b 1 + Do 0.25 + Kết luận: GTLN S 1, đạt a b 1 0.25 Điểm toàn (20điểm) Lưu ý chấm bài: - Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng Với 4, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng chấm