Sáng kiến dạy học chủ đề tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau theo định hướng phát triển năng lực, phẩm chất người học môn toán lớp 7

CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BÁO CÁO SÁNG KIẾN DẠY HỌC CHỦ ĐỀ TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC, PHẨM CHẤT NGƯỜI HỌC MƠN TỐN LỚP Mơ tả chất sáng kiến: Mơn Tốn mơn học chiếm vị trí quan trọng then chốt nội dung chương trình mơn học bậc THCS Các kiến thức kĩ môn tốn THCS có nhiều ứng dụng đời sống, chúng cần thiết để học môn học khác THCS lớp Hiểu biết toán học giúp cho người ta tính tốn, ước lượng…và có được cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ, suy luận logic…trong giải vấn đề nảy sinh học tập cũng sống hàng ngày Ở trường THCS, học toán bản hoạt động giải toán Giải toán liên quan đến việc lựa chọn áp dụng xác kiến thức, kĩ bản, khám phá số, xây dựng mơ hình, giải thích số liệu, trao đởi ý tưởng liên quan Vì vậy, xem sở cho phát minh khoa học Kiến thức toán còn được ứng dụng, phục vụ cho việc học môn học khác, như: Vật lí, Hố học, Sinh học… Do học tốt mơn Tốn bậc THCS giống việc đặt viên gạch móng vững cho "căn nhà tri thức" Trong q trình học Tốn THCS học sinh cần phải biết tở chức cơng việc cách sáng tạo, người giáo viên cần rèn luyện, hướng dẫn cho học sinh kĩ độc lập tư duy, sáng tạo sâu sắc Từ học sinh phát triển tư kiến thức mơn học Mơn tốn góp phần quan trọng việc rèn luyện phương pháp suy luận, phương pháp giải vấn đề góp phần phát triển trí thơng minh, tư logic, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo học sinh Do trường THCS mơn Tốn có nhiều hội giúp học sinh hình thành phát triển lực chung, như: lực tính tốn, lực tư duy, lực giải vấn đề, lực tự học, lực giao tiếp, lực hợp tác, lực làm chủ bản thân, lực sử dụng công nghệ thông tin Như biết, việc dạy học theo chủ đề có tác dụng lớn việc tiếp thu kiến thức học sinh, từ hình thành thao tác tư duy, phương pháp suy luận cho học sinh Giáo dục định hướng lực nhằm đảm bảo chất lượng đầu việc dạy học, thực hiện mục tiêu phát triển toàn diện phẩm chất nhân cách, trọng lực vận dụng tri thức tình thực tiễn nhằm chuẩn bị cho người lực giải tình sống nghề nghiệp Ở lớp hệ thống kiến thức tỉ lệ thức chiếm thời l ượng tương đối lớn, đóng vai trò quan trọng việc giải tập tốn lớp nói riêng chương trình Tốn THCS nói chung Từ tỉ lệ thức chuyển thành đẳng thức hai tích ngược lại Trong tỉ lệ thức biết ba số hạng ta tìm được số hạng thứ tư Khi học đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch ta thấy tỉ lệ thức phương tiện quan trọng giúp ta giải toán Trong Hình học, để giải tập định lí Ta-lét, tam giác đồng dạng (ở lớp 8) khơng thể thiếu kiến thức tỉ lệ thức Xuất phát từ thực tế trên, nhận thấy muốn cho học sinh nắm vững kiến thức tỉ lệ thức để học khá, giỏi mơn Tốn để thuận tiện cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi, qua kinh nghiệm bản thân tham khảo ý kiến đồng nghiệp thấy: chuyên đề cần thiết cho học sinh lớp tỉ lệ thức, dãy tỉ số Vì tơi chọn đề tài “Dạy học chủ đề tỉ lệ thức, dãy tỉ số theo định hướng phát triển lực, phẩm chất người học mơn Tốn lớp 7.”để đưa số phương pháp dạy học chủ đề tỉ lệ thức nhằm phát huy lực người học 1.1 Các giải pháp thực hiện, bước cách thực hiện: Nhìn chung, dạy học tốn theo định hướng hình thành phát triển lực người học đến còn vấn đề mới, thảo luận chưa có nghiên cứu sâu Với kinh nghiệm cơng tác chun mơn sự nhiệt tình chất lượng học tập học sinh thân yêu, viết cách làm, hướng suy nghĩ bản thân Cụ thể sau: A Các kiến thức trọng tâm cần nắm vững: a c  ( a, b, c, d  Q; b, d ≠ Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số b d 0) Các số hạng a, d gọi ngoại tỉ, số hạng b, c gọi trung tỉ Tính chất * Tính chất (Tính chất tỉ lệ thức) Nếu a c a c  a.d = b.c (Từ tỉ lệ thức  em cần nhân chéo số b d b d hạng kết quả) * Tính chất 2: Nếu ad = bc a, b, c, d ≠ ta có tỉ lệ thức: a c a b d c d b  ;  ;  ;  b d c d b a c a a c  , sau ta làm sau: b d a b + Đổi chỗ trung tỉ, giữ nguyên ngoại tỉ ta được  ; c d d c + Đổi chỗ ngoại tỉ, giữ nguyên trung tỉ ta được  ; b a d b + Cuối ta đổi chỗ cả trung tỉ ngoại tỉ ta được  c a Từ đẳng thức ad = bc ta lập được tỉ lệ thức ban đầu Như vậy, với a, b, c, d ≠ từ năm đẳng thức sau ta suy đẳng thức còn lại: ad = bc = = = = Tính chất dãy tỉ số * Từ tỉ lệ thức = suy = = = (b ≠ d, b ≠ - d) * Từ dãy tỉ số = = , ta suy ra: = = = = = =…… ( giả thiết tỉ số có nghĩa ) * Chú ý - Khi có dãy tỉ số a b c   ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2; 3; ta cũng viết a : b : c = : : - Vì tỉ lệ thức đẳng thức nên có tính chất đẳng thức, từ tỉ lệ thức a c  b d suy ra: 2 a c a c k1a k 2c a  c   (k1 , k2 0)      ;k k ; b d b d k1b k 2d b d a c e Từ   suy b d f 3 a c e a c e a  c  e         ;    d f b d   f  b d f b Sau học xong tính chất tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số cho học sinh củng cố để nắm vững hiểu thật sâu tính chất bản, tính chất mở rộng tỉ lệ thức, dãy tỉ số Sau cho học sinh làm loạt tốn loại để tìm định hướng, quy luật để làm sở cho việc chọn lời giải, đồng thời cũng định hướng số lực cần phát triển cho học sinh Có thể minh hoạ điều dạng tốn, toán từ đơn giản đến phức tạp sau đây: Dạng 1: Lập tỉ lệ thức * Phương pháp + Nếu có đẳng thức vận dụng tính chất để lập tỉ lệ thức + Nếu có tỉ số cho trước tìm xem tỉ số tỉ số cho + Nếu có tỉ lệ thức lập thêm ba tỉ lệ thức nữa, cách: - Giữ nguyên ngoại tỉ đổi chỗ trung tỉ - Giữ nguyên trung tỉ đổi chỗ ngoại tỉ - Đổi chỗ ngoại tỉ với nhau, trung tỉ với + Nếu có số hạng xem bốn số thỏa mãn đẳng thức dạng a.d=b.c từ lập tỉ lệ thức Bài toán 1: Lập tất cả tỉ lệ thức từ đẳng thức sau: 6.63=9.42 Với kiến thức bản từ tính chất tỉ lệ thức giáo viên hướng dẫn học sinh lập tỉ lệ thức ban đầu Cụ thể từ đẳng thức 6.63=9.42 lập được tỉ lệ thức ban đầu 42  , sau ta làm sau: 63  ; 42 63 63 42  ; + Đổi chỗ ngoại tỉ, giữ nguyên trung tỉ ta được + Đổi chỗ trung tỉ, giữ nguyên ngoại tỉ ta được + Cuối ta đổi chỗ cả trung tỉ ngoại tỉ ta được 63  42 Bài toán 2: Các tỉ số sau có lập thành tỉ lệ thức hay không? a) 0,5 : 15 0,15 : 50 b) 0,3 : 2,7 1,71 : 15,39 Từ định nghĩa tỉ lệ thức giáo viên hướng dẫn học sinh so sánh tỉ số cho để xét xem tỉ số có lập thành tỉ lệ thức khơng ? a) Ta có: 0,5 : 15 = 0,  15 30 0,15 : 50 = 0,15  50 1000  nên tỉ số 0,5 : 15 0,15 : 50 không lập thành tỉ lệ thức 1000 30 0,3 1, 71   b) Ta cã : 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39 = 2, 15,39 Vì Suy ra: 0,3 : 2,7 = 1,71 : 15,39 Vậy 0,3 : 2,7 1,71 : 15,39 lập thành tỉ lệ thức Bài toán 3: Hãy lập tất cả tỉ lệ thức lập được từ số sau: a) 0,16; 0,32; 0,4; 0,8 b) 1; 2; 4; (Hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất 2) a) Ta có: 0,16 0,8 = 0,32 0,4 ( = 0,128) Suy ta lập được tỉ lệ thức sau: 0,32 0,8 0,16 0, 0,16 0,32  ;  ;  0,32 0,8 0, 0,8 0,16 0, ; 0, 0,8  0,16 0,32 b) Tương tự ta có: = (= 8) Suy ta lập được tỉ lệ thức sau:  ;  ; 8  ; 4  Bài toán 4: Cho tập hợp số A = {4; 8; 16; 32; 64} Hãy liệt kê tất cả tỉ lệ thức có số hạng khác phần tử A Một tỉ lệ thức = có số hạng khác a ≠ b, a ≠ c, d ≠ a, b ≠ c , b ≠ d, c ≠ d a.d = b.c Do xét nhóm phần tử A cho từ phần tử lập được đẳng thức hai tích (Để lập nhóm gồm phần tử cách nhanh chóng, xác, giáo vên gợi ý cho học sinh: = 22; = 23; 16 = 24; 32 = 25; 64 = 26) Giải: * Xét nhóm {4; 8; 16; 32} ta có: 4.32 = 8.16 Từ ta lập được tỉ lệ thức sau: 16  ; 32 32  ; 16  ; 16 32 16 32  * Xét nhóm {4; 8; 32; 64} ta có: 4.64 = 8.32 Từ ta lập được tỉ lệ thức sau: 32  ; 64 64  ; 32 16  ; 32 64 32 64  * Xét nhóm {8; 16; 32; 64} ta có: 8.64 = 32.16 Từ ta lập được tỉ lệ thức sau: 32  ; 16 64 16 64  ; 32 16  ; 32 64 32 64  16 Như ta lập được 12 tỉ lệ thức có số hạng khác thuộc tập hợp A Giáo viên hướng dẫn thêm: Nếu tốn khơng đòi hỏi số hạng khác ngồi 12 tỉ lệ thức ta còn lập được số tỉ lệ thức khác Ví dụ: 8 16 16 16 64 16 16 32 16 32 32 64  ;  ;       ; ; ; ; ; 16 16 64 16 16 32 16 32 64 16 32 Qua dạng toán này, em củng cố được lực tính tốn, lực sáng tạo (viết = ; 32 = ; 128 = ; 512 = để dễ dàng lập được đẳng thức dạng ad = bc) Bài tập tự luyện dạng Bài 1: Lập tất cả tỉ lệ thức có được từ bốn năm số sau: a) 9; 81; 729; 6561; 59049 b) 5; 25; 125; 625; 3125 Bài 2: Tìm tỉ số tỉ số sau lập tỉ lệ thức: (-5) : 10 ; : ; (-3,11) : 12,5 ; : ; (-1,5) : ; : 25 Bài 3: Cho ba số: 6; 8; 24 a) Tìm số x cho x với ba số lập thành tỉ lệ thức b) Có thể lập được tất cả tỉ lệ thức? Bài 4: Cho bốn số: 2; 4; 8; 16 a) Tìm số x cho x với ba bốn số lập thành tỉ lệ thức b) Có thể lập được tất cả tỉ lệ thức? Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức * Phương pháp Việc hệ thống hóa, khái quát hóa kiến thức tỉ lệ thức còn có vai trò quan trọng việc chứng minh tỉ lệ thức, với hệ thống tập đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể bản đến trừu tượng, mở rộng cho em nhiều hướng để giải tốt yêu cầu toán Để chứng minh tỉ lệ thức a c  ta có phương pháp sau: b d Phương pháp 1: Chứng tỏ a.d = b.c Phương pháp : Chứng tỏ tỉ số a c  có giá trị đề cho b d trước tỉ lệ thức, ta đặt giá trị chung tỉ số tỉ lệ thức cho k từ tính giá trị tỉ số tỉ lệ thức phải chứng minh theo k Phương pháp 3: Dùng tính chất hốn vị, tính chất dãy tỉ số nhau, tính chất đẳng thức biến đổi tỉ số vế trái (của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải Phương pháp 4: Dùng tính chất hốn vị, tính chất dãy tỉ số nhau, tính chất đẳng thức để từ tỉ lệ thức cho biến đổi thành tỉ lệ thức phải chứng minh Bài toán 1: Cho tỉ lệ thức Chứng minh : a c  1 Với a, b, c, d b d a b c d  a c 0 Giải Cách 1: a c   a.d b.c b d Xét tích (a  b).c a.c  b.c Thay b.c a.d  ( a  b).c a.c  a.d (c  d ).a a b c d  a c a b c d  Như để chứng minh: a c Ta phải có đẳng thức (a  b).c (c  d ).a Vậy (a  b).c (c  d ).a  a c  k  a b.k ; c d k b d a  b b.k  b b(k  1) k     Xét (1) a b.k b.k k c  d d k  d d ( k  1) k     Và (2) c d k d k k a b c d  Từ (1) (2)  a c a b c d  Trong cách ta chứng minh tỉ số nhờ tỉ số thứ ba Để có tỉ số thứ ba ta đặt giá a c Cách 2: Đặt trị số cho giá trị k Từ tính giá trị số hạng theo k Cách 3: Từ tỉ số a c a b    b d c d Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b a b a a b c d a b       c d c d c c d c a hay a b c d  a c Trong cách sử dụng hốn vị trung tỉ áp dụng tính chat dãy tỉ số hoán vị ngoại tỉ mtj lần a c b d    b d a c a b b b d c d XÐt 1    1   a a a c d a b c d VËy  a c a c b d Cách 5: Từ    b d a c Cách 4: Từ Lấy trừ vế tỉ lệ thức: 1 b d a b c d 1    a c a c Trong cách này, biến đổi đồng thời ngoại tỉ cho trung tỉ Rồi lấy số trừ vế tỉ lệ thức sau biến đởi đẳng thức cần chứng minh Tãm l¹i tõ mét tØ lƯ thøc ta cã thĨ suy tØ lƯ thøc kh¸c b»ng c¸ch chøng minh theo nhiỊu cách khác sử dụng tập Bài toán 2: Cho tỉ lệ thức a c  Hãy chứng minh: b d a  b c d  ab cd 2a  5b 2c  5d b)  3a  4b 3c  4d a) Cách Sử dụng phương pháp đặt giá trị dãy tỉ số để chứng minh a c  =k  b d Đặt a = b.k; c = d.k Ta có: a b bk  b b(k  1) k     a b bk  b b(k  1) k 1 c  d dk  d d ( k  1) k     c  d dk  d d ( k  1) k 1  a  b c  d  a  b c  d Cách 2: Sử dụng phương pháp hoán vị số hạng tỉ lệ thức tính chất bản dãy tỉ số ta có lời giải sau: Từ : a c a b    (Hoán vị trung tỉ) b d c d Theo tính chất dãy tỉ số ta có:  a b a  b a b    c d c d cd a b c d  (Hốn vị trung tỉ) ab cd Cách 3: Ngồi hai hướng trên, em cũng tìm hướng giải khác nhờ tính chất bản tỉ lệ thức: a c   ad  bc b d Xét tích: ( a  b)(c  d ) ac  ad  bc  bd Từ ac  bd (vì ad = bc  ad - bc = 0) (a  b)(c  d ) ac  ad  bc  bd ac  bd (vì ad = bc  - ad + bc = 0) Do ( a  b)(c  d ) (a  b)(c  d ) (cùng ac – bd)  a  b c  d  a  b c  d (Đpcm) Với việc hệ thống hóa kiến thức tỉ lệ thức đưa số hướng giải Yêu cầu học sinh chọn lựa hướng giải thích hợp, ngắn gọn, dễ hiểu để trình bày lời giải cho bài, qua học sinh tự giải phần b toán Bài toán 3: Cho tỉ lệ thức a c  Hãy chứng minh: b d a)  a  b c  d c) a  b2 ab  ; 2 c  d cd  ab ; cd b) a  b ab  ; c  d cd Hướng giải toán tương tự toán 2, song mức độ tính tốn dễ nhầm lẫn Do phải phân tích, cho học sinh ơn lại luỹ thừa kiến thức tính chất mở rộng tỉ lệ thức để em dễ nhận biết, dễ trình bày Cần nhấn mạnh lại cơng thức: 2 a c ac  a c        hướng cho em trình bày lời giải b d bd b d toán phần a sau: Cách 1: Sử dụng phương pháp hoán vị số hạng tỉ lệ thức tính chất bản dãy tỉ số ta có lời giải sau: a c a b Từ :    (Hoán vị trung tỉ) b d c d a b a b Theo tính chất dãy tỉ số ta có:   c d c d Nếu : a b =     c d   = Cách 2: Sử dụng phương pháp đặt giá trị dãy tỉ số để chứng minh Đặt a c  =k b d  a = b.k ; c = d.k Ta có : = = = = = Từ suy : = Tương tự toán phần a học sinh dễ dàng hiểu trình bày được lời giải phần b, c hướng cho em tự tìm hiểu phương pháp khác để chứng minh tỉ lệ thức a2  b2 a a b  Bài toán 4: Cho Hãy chứng minh : b  c  c b c Để giải được toán yêu cầu học sinh phải có bước suy luận cao hơn, khơng rập khn máy móc mà phải chọn lọc tính chất tỉ lệ thức để có hướng giải phù hợp Cách 1: Sử dụng tính chất bản tỉ lệ thức thay vào vế trái biến đổi ta có lời giải sau: Từ a b  b c  b2 = ac Thay vào vế trái ta có: a  b a  ac a (a  c) a    2 b  c ac  c c(a  c) c (Đpcm) Cách 2: Sử dụng tính chất đơn điệu phép nhân đẳng thức Vì cần có a2 ; b2 ; c2 nên ta nhân vế a b  với bản thân (hay bình b c phương vế tỉ lệ thức này) ta có lời giải sau : a b a a b b a2 b2 a  b2         (1) b c b b c c b c b  c2 mà a b a2 a2 a   b  ac    (2) b c b ac c Từ (1) (2)  a  b2 a  (Đpcm) b2  c2 c Cách 3: Sử dụng phương pháp đặt giá trị dãy tỉ số để chứng minh Đặt = = k  a = b.k b = c.k Do a = c k2 Ta có: = = = k2 (1) = = k2 (2) a2  b2 a  (Đpcm) Từ (1) (2)  b  c2 c Qua dạng tốn học sinh được hình thành phát triển lực sử dụng phép tính, lực tư logic, lực tự học, tự giải vấn đề đặc biệt lực sáng tạo Bài tập tự luyện dạng a c Bài 1: Cho tØ lÖ thøc:  Chøng minh r»ng ta cã c¸c tØ lƯ thøc sau: (víi giả thiết b d tỉ số có nghĩa) 1) 3a  5b 3c  5d  3a  5b 3c  5d Bài 2: Cho 2) a b c d  a b c d a b c a b c  a   Chøng minh r»ng:    b c d d bcd  a b c d a c  CMR:  a b c d b d 2a  13b 2c  13d a c   Bài 4: Cho tØ lÖ thøc CMR: 3a  7b 3c  d b d Bài 3: Cho Dạng 3: Tìm số hạng tỉ lệ thức * Phương pháp Để giải tốn dạng tìm số hạng tỉ lệ thức, học sinh có hướng làm sau: Phương pháp 1: Dùng phương pháp đặt giá trị dãy số Phương pháp 2: Dùng tính chất tỉ lệ thức Phương pháp 3: Dùng tính chất dãy tỉ số Tuỳ tập, học sinh chọn cho hướng giải phù hợp Bài tốn 1: Tìm x biết a) -0,52:x = -9,36:16,38 x  5 x c) b) x  60   15 x x x4  d) x  x 7 Ở câu a em sử dụng kiến thức tìm số hạng biết số số hạng tỉ lệ thức a  b.c b.c a.d a.d ;d  ;b  ;c  d a c b Giải a) -0,52:x = -9,36:16,38 Suy ra: x   9,36   0,52.16,38  x  0,52.16,38 0,91  9,36 Ở câu b ta thấy có số hạng chưa biết số hạng tỉ lệ thức có điểm đặc biệt hai số hạng chưa biết giống vị trí ngoại tỉ nên ta đưa dạng luỹ thừa bậc hai Giải Ta có: x  60  suy x.x  15.( 60)  x 900  x 302  15 x Suy x = 30 x = -30 Ở câu c ta có nhiều cách để giải tốn Cách 1: Lấy tích trung tỉ tích ngoại tỉ tính Giải x  suy 5 x ( x  3).7 (5  x).5  x  21 25  x  12 x 46  x 3 Từ Cách 2: Biến đởi áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau: Giải Từ x x  5 x  suy  5 x 7 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x  5 x x  35 x     57 12 x 5    6( x  3) 5  x    x 3 6 (Hai cách giáo viên cho học sinh làm cách cũng được nên cung cấp cả hai cách cho học sinh) 10 Ở câu d x nằm cả số hạng tỉ lệ thức hệ số biến đởi x2 bị triệt tiêu làm tập dạng giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh hệ số biến tỉ lệ thức Có thể giải tốn cách sau Giải Cách 1: Biến đổi x x4  x  x 7  (x  2).( x  7) ( x  1).( x  4)      x  x  x  14  x  x  x  x  14 3 x  x  x   14 x 10 x 5 Cách 2: Áp dụng tính chất dãy tỉ số x x4  x  x 7 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x x4 x 2 x      x  x  x  1 x   x   x  x  3 x   x 5 Bài tốn 2: Tìm x, y biết: x y  x  y 20 x y  b) x.y = 90 x y  c) x.y = 252 x y  d) x2 – y2 = (x, y > 0) a) Phân tích câu a: Khởi điểm tốn từ đâu? Có áp dụng được tính chất dãy tỉ số khơng? Có áp dụng được tính chất c bản tỉ lệ thức khơng? Nếu áp dụng tính chất bản tỉ lệ thức nên theo tính chất nào? Tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức bản có liên quan hướng cho em hướng giải sau: Cách 1: Giáo viên hướng dẫn em sử dụng phương pháp đặt giá trị dãy tỉ số Đặt x y  k, suy ra: x = 2.k, y = 3.k Theo giả thiết: x  y 20  2k  3k 20  Do đó: x = 2.4 = 8, y 3.4 12 Vậy x 8, y 12 5k 20  k 4 11 Cách 2: Giáo viên hướng dẫn em sử dụng tính chất dãy tỉ số Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y x  y 20 x y    4 Do đó: 4  x 8 , 4  y 12 23 Vậy x 8, y 12 Cách 3: Giáo viên hướng dẫn em sử dụng phương pháp x y 2y   x 3 2y 2.12  y 20  y 60  y 12 Do đó: x  8 mà x  y 20  3 Từ giả thiết Vậy x 8, y 12 Đối với câu b toán em sử dụng phương pháp tương tự câu a lưu ý phương pháp sử dụng tính chất dãy tỉ số học sinh thường mắc sai lầm sau: x y x y 90    9 2.5 10  x = 2.9 = 18 y = 5.9 = 45 Trong trình giảng dạy cần lưu ý dạng tập học sinh khơng sử dụng tính chất dãy tỉ số Cách 1: Dùng phương pháp đặt giá trị dãy số để tính Đó hình thức hệ thống hố, khái qt hố kiến thức học sinh chọn lời giải thích hợp Đặt x y  k , suy x = 2.k, y 5k Theo giả thiết: x y 90  2k 5k 90  10k 90  k 49  k 3 + Với k 3 ta có: x 2.3 6 y 5.3 15 + Với k  ta có: x 2.( 3)  y 5.( 3)  15 Vậy x 6, y 15 x  6, y  15 Cách 2: Từ tính chất tỉ lệ thức xem có tính chất liên quan đến tích tử số với học sinh chọn lời giải theo hướng thứ hai 2 x y  x  y  x y  Ta có:           (tính chất mở rộng tỉ lệ thức)  2 5  2.5  x2 y2 xy 90    9 25 10 10 x2    x  36  x  y2   y  32.52  y 15 25  12 Mà = nên x y dấu Vậy (x; y) = (6; 15); (-6; -15) Cách 3: Làm để xuất hiện tỉ lệ thức mà có trung tỉ tích xy? (Gợi ý: Nhớ lại tính chất a = b  ac = bc (với c ≠ 0)) Học sinh chọn lời giải theo hướng thứ ba sau: Hiển nhiên ta thấy x ≠ Ta có =  x = x  = = = 18  x2 = 2.18 = 36  x =  =  y= Với x = ta có : y = = 15 Với x = -6 ta có : y = = -15 Vậy (x; y) = (6;15); (-6; -15) Tương tự, học sinh biến đởi =  y = y  = = = 45 ………………………… Cách 4: Nếu từ tính chất bản tỉ lệ thức làm nào? Từ tỉ lệ thức cho có tính được ẩn theo ẩn thay vào biểu thức còn lại không? Học sinh chọn lời giải theo hướng thứ tư sau: Có =  y = Thay y = vào biểu thức xy = 90 ta có : x = 90  5x2 = 180  x2 = 36  x =  Với x = ta có : y = = 15 Với x = -6 ta có : y = = -15 Vậy (x; y) = (6;15); (-6; -15) Qua việc hệ thống hố, khái qt hố tơi định hướng cho em để có lời giải thích hợp, em vận dụng để làm tốt phần còn lại Qua dạng tốn tơi hình thành củng cố cho học sinh số lực cần thiết: lực tính tốn, lực tư logic, lực sáng tạo, lực tự tìm tịi nghiên cứu Bài tập tự luyện dạng III Bài 1: Tìm số x, y, z biết rằng: a) x y z   x + 2y – 3z = - 20 b) = = x - 2y + 3z = 14 c) x = = 4x - 3y + 2z = 36 d) x : y : z = : : (-2) 5x - y + 3z = 124 13 x y z    1 2x + 3y –z = 50 2x y 4z     x + y +z = 49 g) e) h) 2x = 3y = 5z x + y –z = 95 i) x y z   xyz = 810 Bài 2: Tìm số x, y, z biết rằng: a) x y z   x2 – y + 2z2 = 108 b) x y  x  y 4 (x, y > 0) c) = = xy + yz + zx = 104 d) x : y : z = : : 2x2 + 2y2 - 3z2 = - 100 Bài Tìm x, y, z biết x y y z  ;  x + y + z = 98 x y y z  x  y  z 372 b,  ; a, c, 3x = 2y ; 7y = 5z x - y + z = 32 d, 2x = 3y ; 5y = 7z 3x - 7y + 5z = -30 Dạng 4: Tính giá trị biểu thức * Phương pháp Phương pháp 1: Đặt x y z   k suy x = ak; y = bk; z = ck thay vào biểu thức thực hiện a b c biến đởi tính tốn - Phương pháp 2: +) Dùng tính chất dãy tỉ số x y z xyz    (tùy vào để a b c a b c biến đởi phù hợp) +) Dùng tính chất tỉ lệ thức: x y   x.b y.a, a b Bài toán 1: Cho tỉ lệ thức 3x  y x  Tính giá trị tỉ số x y y Bài giải : Cách 1: Giáo viên hướng dẫn học sinh nhân chéo tỉ lệ thức đởi tính x/y 14 3x  y  sau biến x y Từ 3x  y   4(3x – y) = 3(x+y)  12x – 4y = 3x + 3y  9x = 7y x y Vậy x = y Cách : Giáo viên hướng dẫn ta chia vế trái 3x  y  với y sau đặt x/y x y số a 3x 1 3x  y x y 3a     , Đặt = a  Từ = x x y y a 1 1 y 3a  =  4(3a - 1) = 3(a +1) a 1 x 7 Vậy a  hay  y 9 Từ Bài 2: Cho yz x x y z   Tính giá trị biểu thức P = x yz Cách 1: Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp đặt giá trị dãy số x y z   = k  x = 2k ; y = 3k ; z = 4k ( k  0) 3k  4k  2k 5k   P= 2k  3k  4k 3k Vậy P = Đặt Cách : Giáo viên hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất dãy tỉ số x y z yz x yz x x yz x yz   =    34 2 34 yz x x yz yz x     x yz Có Vậy P = Qua dạng tốn tơi hình thành củng cố cho học sinh số lực cần thiết: lực tính tốn, lực tư logic, lực sáng tạo, lực tự tìm tịi nghiên cứu Bài tập tự luyện dạng Bài 1: Cho 2x  y  z x y z   Tính B  x  y  5z x y 5x2  y  C  Bài 2: Cho Tính 10 x  y Bài 3: Cho x  4y  y  Tính 2x  y x 15 Dạng 5: Chứng minh bất đẳng thức Để dạy dạng toán chứng minh bất đẳng thức trước hết phải cung cấp thêm cho học sinh số tính chất bất đẳng thức mà SGK lớp chưa đưa ra: + Khi cộng số vào hai vế bất đẳng thức ta được bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho + Khi nhân cả hai vế bất đẳng thức với số dương ta được bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho + Khi nhân cả hai vế bất đẳng thức với số âm ta được bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho Bài tốn ( Tính chất 1): Cho số hữu tỷ Chứng minh : a c với b> 0; d >0 b d a c   ad  bc b d Giải:  Có < , chứng minh ad < bc Ta có <  < (1) Vì b > 0; d > nên bd > Nhân cả vế (1) với bd > ta có: ad < bc (đpcm)  Có ad < bc, chứng minh < Vì b > 0; d > nên bd > Chia cả vế bất đẳng thức ad < bc cho bd > ta có:  < (đpcm) < Vậy <  ad < bc ( với b > 0; d > ) Bài toán ( Tính chất 2): Cho < (b > 0; d > 0) Chứng minh < < Giải: Ta có < ; b > 0; d >  ad < bc (1) ( theo tính chất ) + Cộng cả vế (1) với ab ta có: ad + ab < bc + ab  a.(b + d ) < b.( a + c )  < (2) ( theo tính chất ) + Cộng cả hai vế (1) với dc ta có: ad + dc < bc + dc  d.(a + c ) < c ( b + d )  < (3) ( theo tính chất ) + Từ (2) (3) ta có: < < ( đpcm ) Tính chất 3: Cho a; b; c số dương: a a a c   b b bc a a a c  b) Nếu  b b b c a) Nếu Bài toán Cho a; b; c; d > 16 Chứng minh :  a b c d    2 a b c b c d c d a d a b Giải: * Ta có: d >  < (1) Mặt khác : a , b, c >  < Mà d > nên theo tính chất ta có: < (2) Từ (1) (2) ta có: a a a d    3 a b c d a b c a b c d * Tương tự ta có: b b ba    4 a b c  d b c  d a b c  d c c c b    5 a b c d c d a c d a b d d d c    6 d+a+b+c d  a  b a  b  c  d Cộng vế bất đẳng thức kép (3); (4); (5); (6) ta được: 1 a b c d     (đpcm) a b c b c  d c  d  a d a b Qua dạng tốn học sinh được hình thành phát triển số lực như: lực tư logic, lực sáng tạo, lực giải vấn đề Bài tập tự luyện dạng Bài Cho < ( b > 0; d > ) Chứng minh : a ab  cd c   b b2  d d Bài Cho a; b; c số dương Chứng minh < + + < Bài 3: Cho số dương a1; a2; a3; b1; b2; b3 thoả mãn: ≤ ≤ Chứng minh : ≤ ≤ Dạng 6: Các toán đại lượng tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch Phương pháp Bước 1: Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số Bước 2: Xác định tương quan tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch hai đại lượng áp dụng tính chất hai đại lượng tỉ lệ thuận tỉ lệ nghịch đẻ lập tỉ lệ thức Bước 3: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức tính chất dãy tỉ số để tìm ẩn Bước 4: Đối chiếu với điều kiện để kết luận đáp số toán Bài tốn 1: Người ta phân tích số M thành tổng số cho số thứ số thứ hai tỉ lệ với 3; số thứ hai số thứ ba tỉ lệ với 5; số thứ ba số thứ tư tỉ lệ với và số thứ tư số thứ hai 22 đơn vị Tìm số M Để giải tốn tơi u cầu học sinh đọc kĩ đề bài, tóm tắt, phân tích kĩ mối tương quan số liệu, từ có lời giải sau: Giải: 17 Gọi số thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư lần lượt a; b; c; d Theo đề ta có: = ; = ; = d - b = 22 Từ = => = Từ = => = Từ = => = Do ta có : = = = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = = = = = =2 Do đó: a = 2.16 = 32 b = 2.24 = 48 c = 2.30 = 60 d = 2.35 = 70 M = a + b + c + d = 32 + 48 + 60 + 70 = 210 Vậy số M 210 Sau hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho tốn trên, tơi hướng dẫn học sinh khai thác tốn cách thay đởi số liệu, kiện gắn với thực tế để được tốn thực tế có phương pháp giải tương tự Thơng qua việc giải tốn thực tế hình thành phát triển cho học sinh lực giải vấn đề thực tế Bài toán 2: Ba kho thóc có tất cả 710 thóc, chuyển kho II 1 số thóc kho I, số thóc số thóc kho III số thóc còn lại kho Hỏi lúc đầu 11 kho có thóc? Giải: Gọi số thóc ba kho I, II, III lần lựợt a, b, c (tấn, a, b, c >0) Số thóc kho I sau chuyển là: a a a 5 Số thóc kho II sau chuyển là: b b b 6 Số thóc kho III sau chuyển là: c 10 c c 11 11 Theo rat a có: 10 a  b  c a  b  c 710 11 10 a b c a b c   11 Từ 11 10 18 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c a b c 710     200 11 11 71   10 10 20 Suy ra: a 200  a 200 250 4 b 200  b 200 240 5 c 11 200  c 200 220 11 10 10 Vậy số thóc lúc đầu kho I, II, III lần lượt là: 250 tấn, 240 tấn, 220 Qua việc giải tập học sinh được hình thành phát triển số lực như: lực tính tốn, lực tư logic, đặc biệt lực giải vấn đề thực tế Bài tập tự luyện dạng Bài 1: Người ta chia 210m vải thành vải cho độ dài thứ thứ hai tỉ lệ với 3; độ dài thứ hai thứ ba tỉ lệ với 5; độ dài thứ ba thứ tư tỉ lệ với Hãy tính độ dài vải Bài : Trường có lớp 7, biết có số học sinh lớp 7A số học sinh 7B 4 số học sinh 7C Lớp 7C có số học sinh tổng số học sinh lớp 57 bạn Tính số học sinh lớp? Bài 3: Một ô tô từ A đến B với vận tốc 40 km/h dự định đến B lúc 11h45phút Sau được qng đường tơ giảm vận tốc còn 30 km/h quãng đường còn lại nên đến B lúc 12 Hỏi xe khởi hành lúc quãng đường AB dài kilơmét? 1.2 Phân tích tình trạng giải pháp: 1.2.1 Thuận lợi: Sáng kiến kinh nghiệm giúp cho học sinh: - Khơng còn sợ dạng tốn chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước, dạng tốn có tham số em cũng nắm được vận dụng tốt vào giải toán tương tự - Khi đưa toán em nhận dạng nhanh được tốn dạng - Các em có kỹ tính tốn nhanh nhẹn, em biết cách biến đởi từ dạng tốn phức tạp dạng biết cách giải - Các em khơng còn sợ dạng tốn 19 - Qua tập rèn luyện tư sáng tạo, linh hoạt tập phù hợp kiến thức chương trình 1.2.2 Khó khăn: - Do thời gian còn hạn chế nên muốn thực hiện được giải pháp phải đưa vào dạy tự chọn bồi dưỡng học sinh giỏi không thời gian để luyện tập cho học sinh - Nhiều học sinh rỗng nhiều kiến thức, không nắm được kiến thức, kĩ bản, còn lười học - Nhiều gia đình chưa thực sự quan tâm tạo điều kiện cho em học tập - Toán chứng minh đẳng thức từ tỉ lệ thức cho trước, ta nghiên cứu sâu đẳng thức phức tạp còn nhiều dạng toán phức tạp mà chưa đưa sáng kiến kinh nghiệm được Do đó, giáo viên còn phải tiếp tục nghiên cứu, phần hạn chế mà đề tài chưa đề cập đến 1.3 Nội dung cải tiến: Sáng kiến “Dạy học chủ đề tỉ lệ thức, dãy tỉ số theo định hướng phát triển lực, phẩm chất người học mơn Tốn lớp 7.” được áp dụng triển khai có hiệu quả khối lớp 7, tại trường nơi công tác Khả áp dụng nhân rộng: Người dạy vận dụng linh hoạt tiết dạy Áp dụng chương trình bồi dưỡng HSG Với cách làm phương pháp giảng dạy mơn Tốn góp phần phát triển tư cho học sinh, rèn luyện được ý thức tự tìm tòi, độc lập suy nghĩ để nhớ kĩ, nhớ lâu sáng tạo giải Tốn Tuy khơng tránh khỏi hạn chế nhìn chung giải pháp “Dạy học chủ đề tỉ lệ thức, dãy tỉ số theo định hướng phát triển lực, phẩm chất người học mơn Tốn lớp 7.” trang bị cho học sinh kiến thức bản chuyên sâu nhằm vận dụng để giải tập toán nâng cao tỉ lệ thức toán dãy tỉ số cách có hiệu quả Đó cơng cụ giải toán học sinh Sau thực hiện đề tài tơi thấy em làm tập tốn với tinh thần tích cực, hứng thú học tập có nhiều sáng tạo cách giải Rất nhiều học sinh chủ động tìm tòi định hướng phương pháp làm chưa có sự gợi ý giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo kết quả tốt từ việc vận dụng tỉ lệ thức dãy tỉ số vào giải toán Các em học sinh yếu có hứng thú học tốn hơn, em học sinh giỏi say sưa giải tốn, u thích học toán Các em tiếp cận từ dễ đến khó, tự tìm tòi phát hiện cách giải khác cũng cách giải hay, rèn tính tự giác học tốn, giúp em có kỹ phát hiện cách giải tốn nhanh Các em có kỹ tính tốn nhanh nhẹn, em biết cách biến đổi từ dạng toán phức tạp dạng biết cách giải Kỹ trình bày em tốt hẳn: Do hiểu được bản chất dạng toán nên em khơng còn mắc lỗi kỹ trình bày 20