TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Các toán chuyên đề bao gồm nội dung: Các phép tính đa thức Phân tích đa thức thành nhân tử Rút gọn phân thức đại số Các phép tính phân thức Giá trị phân thức Các phép tính bậc hai, bậc ba Trong biến đổi đồng biểu thức đại số, đẳng thức có vai trị quan trọng Ngoài đẳng đáng nhớ Sách giáo khoa, cần biết thêm đẳng thức sau: 1) Bình phương đa thức: a b c a b c 2ab 2ac 2bc 2) Lập phương tổng ba số, tổng lập phương ba số: a b c a b3 c3 a b b c c a a b3 c3 3abc a b c a b c ab bc ca 3) Lũy thừa bậc bốn, bậc năm nhị thức: a b a 4a 3b 6a 2b2 4ab3 b4 a b a 5a 4b 10a 3b2 10a 2b3 5ab4 b5 4) Với số nguyên dương n, ta có: a n b n a b a n a n 2b a n 3b ab n b n 5) Với só lẻ n, ta có: a n b n a b a n a n 2b a n 3b ab n b n Bài toán thực tế TỈ LỆ KHI PHA TRỘN Tú giao nhiệm vụ sau: Pha lượng dung dịch có nồng độ 5% muối với lượng dung dịch có nồng độ 30% muối để hỗn hợp có nồng độ 20% muối Tú cần pha hai dung dịch với tỉ lệ nào? Bạn giúp Túc giải tốn Giải: Gọi lượng dung dịch có nồng độ muối 5% 30% theo thứ tự x y (gam) (x, y > 0) x 10 30 20 x y Ta có: x y 5x 30y 20 x y 30 20 y 20 x y 15 100 100 100 Tỉ lệ khối lượng dung dịch có nồng độ a% b% cần pha với Trong thực hành, ta thường viết theo sơ đồ sau: Tổng quát, tỉ lệ khối lượng dung dịch có nồng độ a% b% cần pha với để hỗn hợp có nồng độ c c b c a, c b % c a I ĐA THỨC Ví dụ Cho x y a b 3 x y a b (1) (2) Chứng minh x y a b Giải: 2 Từ (1) suy x y a b x y 2xy a b 2ab (3) Ta có đẳng thức x y x y3 3xy x y a b a b3 3ab a b Kết hợp (1) với (2) suy 3xy = 3ab hay xy = ab Từ (3) (4) suy x y a b Ví dụ Phân tích thành nhân tử: a) x 4x 16 b) (4) a b c a b c3 Giải a) x 4x 16 x 8x 16 4x x 2 2x x 2x x 2x b) Cách Áp dụng nhiều lần công thức x y x y3 3xy x y ta có: a b c a b3 c3 a b c a b3 c3 a b c3 3c a b a b c a b3 c3 a b3 3ab a b c3 3c a b a b c a b3 c3 3 a b ab ac bc c 3 a b a b c c b c 3 a b b c c a Cách Phương pháp xét giá trị riêng 3 3 Đặt A a b c a b c Với a b 0 a b3 0 nên A c3 c3 0 , suy A chứa nhân tử a + b Do vai trị bình đẳng a, b, c nên A chứa nhân tử a b b c c a Do hạng tử A có bậc nên A k a b b c c a với k số 3 3 Ta có với a, b, c: a b c a b c k a b b c c a Thay a = b = c = vào (1) 23 k.2.1.1 k 3 Vậy A 3 a b b c c a (1) Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng: 5 A a b b c c a Giải Thay a b A = nên A chứa nhân tử a – b Do A khơng đổi hốn vị vịng quanh a b c a nên A chứa nhân tử a b b c c a có dạng A B a b b c c a (1) Do hạng tử A có bậc nên hạng tử B có bậc 2, B có dạng: B m a b c n ab bc ca (2) Từ (1) (2) ta có với a, b, c : a b b c c a a b b c c a m a b c n ab bc ca (3) Thay a 0; b 1; c 2 vào (3) 32 1 1 2m n hay 15 2m n (4) Thay a 1; b 0; c 1 vào (3) 32 1 1 2m n hay 15 2m n (5) 5m 2n 15 m 5 Từ (4) (5) suy 2m n 15 n 2 Thay m 5, n vào (3) A 5 a b b c c a a b c ab bc ca II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Ví dụ Rút gọn phân thức A a bc b2 ac c2 ab a b a c b a b c c a c b Giải a bc a ac ac bc a a c c a b a c Xét a b a c a b a c a b a c a b a c b ac b c c ab c b , Tương tự, b a b c b a b c c a c b c a c b a c b c c b a b b c 1 0 a b a c b a b c c a c b a b b c 1 Ví dụ Chứng minh tổng bình phương ba số hữu tỉ , , bình phương số hữu tỉ x y x y Giải Do A x y2 x y x y2 1 x y2 Cách A x y x 2y2 x y x y x y2 x y Ta chứng minh tử bình phương số hữu tỉ 2 2 Đặt tử B ta có: B x y x y 2xy x y 2 x y 2xy x y x y x y xy x y xy Vậy A xy x y 2 Cách Trước hết ta chứng minh bổ đề: Nếu a + b + c = 1 1 1 a b c a b c 2 1 2 c b a 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 Thật vậy, ta có abc ab ac bc a b c a b c a b c a b c 1 1 1 2 Trở lại toán, ta viết A dạng A 2 x y x y x y y x 2 1 1 1 Áp dụng bổ đề với a x, b y,c y x a + b + c = nên A x y y x x y x y 1 Ví dụ Cho số a, b, c khác khác đôi thỏa mãn a b c k Chứng minh k b c a = k Giải 1 bk Từ a k suy a k b b b 1 Từ b k suy c c k b 1 b k Kết hợp với c k a k b bk bk bk b k k b bk 1 bk bk b bk k b 2k bk bk b k bk b k bk b 0 Nếu bk b 0 k b2 1 b b b Kết hợp với k b suy b = c, trái với giả thiết b c c Vậy k 0 , tức k 1 Lưu ý k = khi, chẳng hạn, a 2, b 1, c k khi, chẳng hạn, a 2, b 1, c Ví dụ Có số nguyên dương n 1000 phân số n 4 phân số tối giản? n2 Giải n 4 23 n2 n 16 23 tối giản tối giản tối giản tối giản n 4 n 7 n 4 n 4 23 Trước hết ta tìm xem có giá trị n n 1000 để phân số không tối giản n 4 23 989 23 43 (số) không tối giản n 23; 46; 69; ; 989 , tập hợp gồm n 4 23 III