Nếu a b 1 trở thành x 2 , vô nghiệm Kết luận: Với a b 1 a b 0 , phương trình có nghiệm x a b 1 a b Cịn lại vơ nghiệm Phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Ở dạng này, ta thường khử dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa A A A A 0 A0 Ví dụ 14: Một học sinh giải phương trình x 3x x x (1) x x x 3 x x x 4 (1) sau: x x Cách giải có khơng? Giải: Giá trị x không thỏa mãn (1) nên loại Cách giải sau: Cách Với điều kiện 3x 0 (2) x 3x x x x 3 x Giải trên, loại x trái với (2), chọn x thỏa mãn (2) Cách Xét x (1) x x x , không thỏa mãn x Xét x (1) x x x , thỏa mãn x Kết luận: x f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) g ( x ) 0 Lưu ý: Ví dụ 15 Tìm giá trị tham số a để phương trình x a x (1) có nghiệm Giải a x 2 (I ) 2 x a x (1) x a ( II ) a x x x a a (I ) a , a a 2 x a x a a ( II ) , a a x a a 1 a a Để (1) có nghiệm II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Cần ý đến kiến thức sau: 1) Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm 0 2) Hệ thức Vi –ét: Nếu phương trình b c x1 x2 x1 x2 a a ax bx c 0 a 0 có nghiệm x1 x2 3) Cho phương trình ax bx c 0 có a 0 c x2 x a - Nếu a b c 0 phương trình có hai nghiệm - Nếu a b c 0 phương trình có hai nghiệm x1 x2 c a 2 Ví dụ 16 Cho phương trình x 2(m 1) x (m 2m) 0 x x23 8 Tìm giá trị m để nghiệm x1 , x2 phương trình thỏa mãn Giải Phương trình cho có nghiệm với m ' (m 1) (m 2m) 1 Theo hệ thức Vi-ét, x1 x2 2m 2, x1 x2 m 2m 2 2 x x 2 Ta có ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 (2m 2) 4(m 2m) 4 nên 2 2 2 Ta lại có x1 x1 x2 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 (2m 2) (m 2m) 3m 6m Do x13 x23 2(3m2 6m 4) 2 Giải phương trình 2(3m 6m 4) 8 m 2m 0 m(m 2) 0 m 0 m Đáp số: m 0; 2 Ví dụ 17 Cho phương trình x mx 0 Tìm giá trị m để nghiệm x1 , x2 phương 4 trình thỏa mãn x1 x2 2 Giải 2 Điều kiện để phương trình x mx 0 có nghiệm 0 m 0 m 4 Theo hệ thức Vi – ét: x1 x2 m x1 x2 1 2 2 Ta có x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 ( m) nên x14 x24 ( x12 x22 ) x12 x22 (m 2)2 m 4m 4 2 Giải phương trình x1 x2 2 m 4m 2 m ( m 4) 0 2 Loại m 0 trái với (1), ta m 4 m 2 Đáp số: m 2 Ví dụ 18 Cho phương trình Và x mx 0 (1) x mx 0 (2) a) Chứng minh phương trình có nghiệm b) Gọi x1 nghiệm dương (1), x2 nghiệm dương (2) Chứng minh x1 x2 2 Giải a) Các phương trình (1) (2) có ac nên có hai nghiệm trái dấu b) Do x1 nghiệm (1) nên x12 mx1 0 m 0 x1 x12 1 1 m 0 x1 x1 x1 nghiệm dương (2) x2 x1 x2 1 x1 x x 2 x1 x2 2 Do x1 , x2 dương nên Ví dụ 19 Cho phương trình Và x x a 0 (1) x x b 0 (2) Tìm giá trị a b cho nghiệm x1 , x2 phương trình (1) nghiệm x3 , x4 phương trình (2) thỏa mãn: x4 x3 x2 x3 x2 x1 Giải Điều kiện để (1) (2) có nghiệm 1 4a 0 a ABC b 0 b 4 x4 x3 x2 k x x2 x1 Đặt x2 kx1 , x3 kx2 k x1 , x4 kx3 k x1 Theo hệ thức Vi – ét: x1 x2 x1 kx1 x1 (1 k ) (3) x3 x4 k x1 k x1 k x1 (1 k ) (4) Từ (3) (4) suy k 4 nên k 2 - Xét k 2 , thay vào (3) x1 , x2 , x3 , x4 3 3 32 a x1 x2 , b x3 x4 a 9 , thỏa mãn b 4 Suy 32 a ,b 9 a 2, b 32 Đáp số: III QUAN HỆ GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG Cho parabol y ax (a 0) đường thẳng y mx n Hoành độ giao điểm parabol 2 đường thẳng nghiệm phương trình ax mx n hay ax mx n 0 (1) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đường thẳng cắt parabol Nếu phương trình (1) có nghiệm kép đường thẳng tiếp xúc với parabol Nếu phương trình (1) vơ nghiệm đường thẳng khơng giao với parabol Ví dụ 20 Cho parabol y x Gọi A B hai điểm thuộc parabol có hồnh độ theo thứ tự a b Gọi C điểm thuộc parabol có hồnh độ a b Chứng minh OC song song với AB Giải (h.2) Kẻ AE, BF, CK vng góc với Ox, kẻ AH vng góc với BF 2 Ta có A(a; a ), B (b; b ), C (a b, (a b) ) Đường thẳng AB có hệ số góc m BH b a b a AH b a CK (a b) n a b OK a b Đường thẳng OC có hệ số góc Do m n nên AB / /OC x2 đường thẳng d có phương trình y x Tìm tọa độ Ví dụ 21 Cho parabol điểm A B cho A thuộc parabol, B thuộc đường thẳng d độ dài AB nhỏ y Giải (h.3) Gọi d ' đường thẳng có phương trình y x k d '/ / d x2 x k Điều kiện để d ' tiếp xúc parabol phương trình , tức x x 4k 0 (1) có nghiệm kép ' 0 4k 0 k 1 Đường thẳng d ' song song với d tiếp xúc với parabol có phương trình y x Tiếp điểm d ' parabol A( 2; 1) Ta lập phương trình đường thẳng d1 qua A vng góc với d Gọi phương trình d1 y mx n Do d1 d nên m.1 , m Do đường thẳng y x n qua A( 2; 1) nên ( 2) n n Đường thẳng d1 có phương trình y x Giải phương tình x x x 3,5 ; y x 3,5 0, Tọa độ giao điểm B d d1 ( 3,5;0,5) Điểm A( 2; 1) thuộc parabol, điểm B( 3,5;0, 5) thuộc đường thẳng d độ dài AB nhỏ BÀI TẬP Phương trình bậc ẩn 19 Giải phương trình sau: x b c x c a x a b 3; a b c a) x a x b x c 1 1 2 ; ac ab a b c b) bc x a x b 2 c) x b x a 20 Giải phương trình sau: a) b) x x x x 4; x x x x x 12 21 Tìm giá trị a để phương trình sau có nghiệm nhất: x a x 1