2 x x 1 x x 1 x x x x x 1 x x 2 x x x 1 Ví dụ 45 Giải phương trình: x2 x x2 x 2 1 x 3x x x Giải: Chia tử mẫu phân thức cho x 0 2 x 2 x 4 x x 2 1 2 x 3 x 5 x x y y 2 2 Đặt x y , ta có y y x Với y 3, y 5 thì: y y 5 y 3 y 2 y 3 y y 0 y 4 , thỏa mãn 4 , ta x x 0 x 2 x Đáp số: Hai nghiệm: Từ x Ví dụ 46 Giải phương trình: 1 2 x x Giải: ĐKXĐ: x 0 x 4 Đặt: x y Ta có hệ phương trình: x y 4 x y 4 1 x y2 1 x2 y 2 x2 y Đặt xy a 0 , ta có: nên 32 4a a a 4a 32 0 a 4 a a2 Với xy = x, y nghiệm pương trình X X 0 X 2 2 x y 2a Đáp số: Ba nghiệm: 2; 2 Ví dụ 47 Giải phương trình: 1 2 x x 1 1 Giải: ĐKXĐ: x 0 x 1 1 1 1 x x x x 1 x x 1 1 0 x x 1 x x 1 0 x x 1 x x 1 y y ta có y y 0 y y 0 Đặt x x 1 y x 1 Với y x x 1 2 x x 0 x 5 x x 1 x x 0 , vô ngiệm 2 Đáp số: Hai nghiệm: -2 BÀI TẬP Phương trình bậc ba 47 Giải phương trình: a) x 39 x 70 0; Với y b) x x 28 0; c) x x 0; d) x 3x 3x 0; e) x x 12 x 0; 48 Giải phương trình: x 3abx a b3 0 với a, b tham số, a b Phương trình bậc bốn 49 Giải phương trình: a) x x3 3x 14 x 0; b) x 1 x 1 3x 1 x 1 120; c) x x 14 x 3x 0; d) x x x x 18 168 x 50 Giải phương trình: a) x x 1 x 5 x x x 1 ; b) x x 1 x 2; c) x x 64 x 255 0; d) x x x x 0 51 Cho phuong trình x x 0 Khơng tìm ngiệm cụ thể, hãy: a) Chứng minh phương trình có bón nghiệm phân biệt b) Tính tổng bình phương nghiệm phương trình Phương trình dạng phân thức 52 Giải phương trình: x x2 2x 1 a) ; x 3x x x 9x2 x 16; b) x 3 c) x x 1 x x 2 ; x 1 x x 1 53 Giải phương trình: x2 3 x 16 x 8; a) x 1 d) 1 b) x 2 x 1 x 1 Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ Ta gọi phương trình chứa thức bậc hai phương trình chứa ẩn dấu bậc hai Đây dạng tốn thường gặp kì thi học sinh giỏi địi hỏi thành thạo sáng tạo học sinh Chuyên đề giới thiệu phương pháp thường dùng để giải phương trình chứa thức bậc hai như: - Bình phương hai vế phương trình - Đưa phương trình dạng 2 2 - Đưa phương trình dạng 2 2 0 - Đặt nhân tử chung - Dùng biểu thức liên hợp - Dùng bất đẳng thức Bài tốn cổ BÀI TỐN CỦA BÁT-XCA-RA Tìm cạnh góc vng tam giác vuông, biết số đo cạnh huyền số đo diện tích biểu thị số Giải xy Gọi x y độ dài cạnh góc vng độ dài cạnh huyền x y diện tích ta cs phương trình: xy x y xy 2 x y 2 y2 x y 4 x y x y 4 y x y 4 2y ; y với y tùy ý lớn Bài tốn có vơ số đáp số y2 Chẳng hạn với y = 6, ta có: x 2 I BÌNH PHƯƠNG HAI VẾ CỦA PHƯƠNG TRÌNH Bình phương hai vế phương trình giúp khử dấu bậc hai Phép bình phương hai vế phương trình tương đương có thêm điều kiện hai vế khơng âm (hoặc khơng dương) Ví dụ 48 Giải phương trình: x x 2 16 x 1 Giải ĐKXĐ: x Thêm điều kiện x x 0 (2) thì: 16 1 x x 4 16 x 1 x x x 60 x 0 x x x 3x 12 0 x = loại trái với (2) x = thỏa mãn (1) (2) x 3x 12 0 vơ nghiệm Đáp số: Phương trình có nghiệm x = Lưu ý: Cách giải khác, xem ví dụ 53 Ví dụ 49 Giải phương trình: x x 2 x 1 Giải Thêm điều kiện x x 0 (2) thì: ĐKXĐ: x 1 x x x 1 x 2 4 x x 20 0 x = -1 thỏa mãn (1) (2) x x 20 0 vô nghiệm Đáp số: Một nghiệm x = -1 Lưu ý: Các cách giải khác, xem ví dụ 55, 65, 74 II ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG 2 2 ( tức 2 2 0 ) Ví dụ 50 Giải phương trình: x2 8x 2x 1 Giải vào hai vế 1 1 x 10 x 2 x x 4 ĐKXĐ: x Cộng x 2 2 x x x 5 x x 2 Xét x x x x x 17 x , thỏa mãn ĐKXĐ 2 x x 0 Xét x