32 38 toán chuyên đề đại số

Chuyên đề DIỆN TÍCH ĐA GIÁC TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ 12 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax  by c , a , b , c số biết ( a 0 b 0 ), x y ẩn Ví dụ 66 Cho đường thẳng: a) Chứng minh rằng… b) Tìm giá trị… Giải: a) Bài tập 198 Xét đường thẳng… 199 (*) [dành cho đánh dấu *] 200 Cho đường thẳng… a) Tìm điểm… b) 201 A Lưu ý : Các thầy cô copy địn dạng xuống gõ Mình gõ font chuẩn time new Roman mathype size 12 Thầy cô không cần phải vẽ hình Mình phân cơng người vẽ hình riêng để hình thống từ đầu đến cuối  x  y m  1 Ví dụ 23 Cho hệ phương trình  Tìm giá trị để hệ phương trình có  2  mx   m  1 y 2m  nghiệm  x, y  thỏa mãn tích xy nhỏ Giải: Rút từ  1 ta y m  x Thay vào   ta mx   m  1  m  x  2m   mx  3m  m  1   2m   x 2m    3m   x 2m   3m  3m   3m   x 5m   3m   3m   x  3m    m  1 Nếu m   x m  hệ phương trình có nghiệm   y m  2 1 9  Khi xy  m  1  m   m  m   m     2 4  m  (thỏa mãn m  ) II Hệ phương trình bậc cao hai ẩn Hệ phương trình bậc cao hai ẩn khơng học thức chương trình đại số 9, kiến thức hệ phương trình (bậc hai ẩn) phương trình bậc hai ẩn ta giải phương trình bậc cao hai ẩn Các phương pháp thường dung để giải hệ phương trình bậc cao hai ẩn phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp dung bất đẳng thức Phương pháp Trong phương pháp thế, từ phương trình ta biểu thị ẩn theo ẩn (hoặc tìm giá trị ẩn) thay vào phương trình cịn lại  xy  x  y 1  1 Ví dụ 24 Cho hệ phương trình  3 2  2  x - y  x y - x y 0 Giải:  x y     x  y   x  y  0    x  y 0  xy   Loại x  y 0 khơng thỏa mãn  1 Thay vào  1 ta x  x  0  x 2    Đáp số: Nghiệm hệ  5,  ,  5,    1  x  y 1 Ví dụ 25 Giải hệ phương trình   2  x  y 7 x  y Giải: 2 Thay x  y 1 vào ta    x  y   x  y  7 x  y    xy   x  y  7 x  y  x 0  x  y  xy  3 0    y  xy  0 Với x 0 y 1  3  x 2 y Với x 0 thay  x vào  3 ta x  x  0    x    3 Đáp số: Nghiệm  x, y  hệ  0,1 ,  2,  1 ,   ,   2 2.Phương pháp cộng Trong phương pháp cộng, ta cộng trừ vế hai phương trình để khử ẩn để tìm quan hệ hai ẩn  1  x  2 y Ví dụ 26 Giải hệ phương trình   2  y  2 x Giải: 3 2 Lấy  1 trừ   ta x  y 2  y  x    x  y   x  xy  y   0 y  3y2  Do x  xy  y   x      nên y  x 2  Thay y  x vào  1 ta x  2 x  x3   x 2   x  1  x  x  1 0  x 1   x 1    1 1   1 1  , , Đáp số: Nghiệm  x, y  hệ   1,  1 ,   ,   2 2     Lưu ý: Trong hệ phương trình trên, thay y x thay x y phương trình  1 trở thành phương trình   , phương trình   trở thành  1 Ta gọi phương trình hệ đối xứng loại II Để giải hệ phương trình đối xứng loại II, ta trừ vế theo vế hai phương trình nhận phương trình tích 3.Phương pháp đặt ẩn phụ  x  y  xy   1 Ví dụ 27 Giải hệ phương trình   2  x  y 20 Giải: Đặt x  y a, xy b ta có  x  y   xy 2   x  y  xy  20     a  b 2   a  2b 20  1  2  a 6 2 Từ  1   suy a   a   20  a  2a  24 0    a  Với a 6 b 8 Ta có x y nghiệm phương trình X  X  0 nên X   2, 4 Khi  x, y   2,  ,  4,  Với a  b  Ta có x y nghiệm phương trình X  X  0 nên X 2  Khi  x, y    6,    ,  6,  Lưu ý: Trong hệ phương trình trên, x thay y , thay y x hệ phương trình hệ khơng đổi Ta gọi hệ phương trình hệ đối xứng loại I Để giải hệ phương trình đối xứng loại I, ta thường đặt ẩn phụ (giữa a b có mối quan hệ b  4a )  x  y 1 Ví dụ 28 Giải hệ phương trình   x  y 1 Giải: Cách 1: Đặt x  y a, xy b ta có a  2b 1  x  y   xy 1    x  y   3xy  x  y  1 a  3ab 1 a2  Từ  1 suy b  Thay vào   ta  x  y 1   3  x  y 1  1  2 a  3a a2  1  a  3a  0   a    a  1 0   a   a 1  Với a 1 b 0 Ta có x y nghiệm phương trình X  X 0 nên X   0,1 Khi  x, y   0,1 ,  1,  3 Với a  b  Ta có x y nghiệm phương trình X  X  0 vơ nghiệm (có thể loại 2 a  b  a  4b ) Đáp số: Nghiệm  x, y  hệ  1,  ,  0,1 Cách 2: Trừ vế theo vế hai phương trình, ta x  x  y  y 0  x  x  1  y  y  1 0  3 Do x  y 1 nên x 1 suy x 1 Tương tự y 1 2 Suy x  x  1 0 y  y  1 0 2 Kết hợp với  3 suy x  x  1  y  y  1 0 Vậy x 0, y 1 x 1, y 0 1    Ví dụ 29 Giải hệ phương trình  y x 12  x  y 1  Giải: 1  y  x 12   2  x  y 1  x y  xy 12   x  y   xy 1   1  2   Đặt a  xy từ  1 ta có x  y  a Thay vào   ta  a   2a 1 12  12  12  a   25a  288a  144 0  25   a  12 12 12 Với a  x  y   25 12 25 Ta có  x  y  1  2a 1  24 49      25 25      x  y   x  Từ  ta   x  y 1  y 3   5    x  y   x  Từ  ta   x  y 1  y    5 Với a  12  x  y  1  2a 1  24  (loại)  3  4 Đáp số: Nghiệm  x, y  hệ  ,  ,   ,    5  5  x  xy  y 3  1 Ví dụ 30 Giải hệ phương trình   2  x  xy  y 12 Giải: Nhân hai vế  1 với   trừ   vế theo vế ta  x  xy  y    x  xy  y  0  x  xy  y 0  k 1 x Đặt k  y  x ta 2k  3k  0    k 1 y  Với k 1 thay vào  1 ta x  x  x 3  x  Khi  x ; y     3; ;  3;  Với k  thay vào  1 ta x  x  x 3  x 1 Khi  x ; y   1;2  ;   1;   Đáp số: Nghiệm  x ; y     3; ,  3;  ;  1;2  ;   1;   Lưu ý: Trong hệ phương trình trên, phương trình có vế trái hạng tử bậc hai, vế phải số Ta gọi hệ phương trình trê hệ đẳng cấp bậc hai Để giải hệ phương trình đẳng cấp bậc hai, thường khử số chia hai vế phương trình cho x y 0 đặt ẩn phụ k biến đổi   thành  x  y   x  y  0 y Phương pháp dùng đẳng thức:  x  xy  x  y  3  1 Ví dụ 31 Giải hệ phương trình sau với x, y không âm   y  x  y  xy    Giải: 2 cộng (1) với (2) x  y  xy  x  y    x  y   xy 0   x  y    x  y   xy  1 8 xy   x  y   x  y  xy  1 8 xy   x  y   x  1  y  1 8 xy  3 Do x, y không âm nên x  y 2 xy , x  2 x , y  2 y Nên  x  y   x  1  y  1  x  y   x 1  y  1 8 xy  4 Do (3) nên (4) phải xảy dấu đẳng thức, tức x  y 1 Nghiệm  x; y   1;1 III HỆ PHƯƠNG TRÌNH BA ẨN  x 2 x  y  Ví dụ 32 Giải hệ phương trình  y 2 y  z  z 2 z  x 