46 52 toán chuyên đề đại số

30 đề tốn giải phương trình bậc ba, làm hai Và kết thật khó tin: Tac-ta-li-a thắng với tỉ số 30  , tức ông làm hết 30 toán mà đối phương đưa ra, cịn đối phương khơng giải tốn ơng Sở dĩ Tac-ta-li-a giành chiến thắng tuyệt đối vì, may cho ơng, ngày trước diễn trận so tài, ông tìm cách giải phương trình bậc ba dạng x3  ax  b 0 với a b bất kì, học trị Fe-rơ biết giải phương trình x3  ax b với a b số dương Lưu ý Phương trình bậc ba dễ dàng đưa y  my  ny  c 0 , sau cách đặt m đưa dạng x3  ax  b 0 Chẳng hạn, với phương trình y  y  y  315 0 , cách đặt y x  ta đưa phương y x  I trình x3  x  315 0 Bạn đọc muốn tìm hiểu thêm vấn đề này, xem Nâng cao phát triển Toán tập hai đọc thêm Phương trình đại số bậc cao PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA MỘT ẨN Để giải phương trình bậc ba ẩn, ta thường phân tích đa thức bậc ba thành tích nhân tử bậc nhân tử bậc hai (nếu có thể) Cần nhớ cách phát nghiệm đa thức: 1) Nếu tổng hệ số đa thức nghiệm đa thức 2) Nếu tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ  nghiệm đa thức 3) Nếu đa thức có hệ số ngun thì: - Nghiệm nguyên đa thức (nếu có) ước hệ số tự p - Nghiệm hữu tỉ đa thức (nếu có) có dạng p ước hệ số tự do, q ước dương q hệ số bậc cao (chẳng hạn đa thức 3x3  x  x  có nghiệm hữu tỉ Ví dụ 36 Giải phương trình: a) x3  12 x  16 0 2 ) b) x3  12 x  Giải a) x3  12 x  16 0  x3   12 x  24 0   x   x  x   12  x   0    x   x  x  0   x       x 2  x   x   0   b) x3  12 x  0  x3  27  12 x  36 0   x  3 x  x   12  x  3 0    x 3  x  0   x  3 x  x  0      21  x  x  x  0  Ví dụ 37 Tìm giá trị a b để phương trình sau có nghiệm nhất:    x  a    x  b  b3  a3 (1) Giải  1  x3  x 2a  3ax  a3  x3  3x 2b  3xb2  b3 b3  a3   3b  3a  x  3a  3b2 x 0  x  b  a   x  b  a  0   Nghiệm phương trình x 0 với điều kiện a b a  b 0 3 3 Ví dụ 38 Giải phương trình với a , b tham số  a  b  x   a  b  x 12abx (1)   Hướng dẫn: Đặt a  b m , a  b n Giải 2 Ta có 4ab  a  b    a  b  m2  n  m2  n  m  3n m3  3mn 2 a  b3  a  b    a  b   ab  m  n  m       4   1   m  x    a3  b3   x3  12abx 0  m3  3m2 x  3mx  x3  m3  3mn2  x3  3m2 x  3n x 0  x  x  m   n  x  m  0   x  m   x  n   x  n  0 II  x m  x a  b    x  n   x b  a  x n  x a  b PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN MỘT ẨN Ngồi cách giải đưa phương trình trùng phương, cách phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình tích, cần ý đến phương pháp sau: Phương pháp Đặt ẩn phụ để đưa phương trình trùng phương Dạng 1a a b 4 Với phương trình  x  a    x  b  c đặt ẩn phụ y x  Dạng 1b Với phương trình x  x3  ax  bx  c 0 b 2a  đặt ẩn phụ y x  Dạng 1c Với phương trình x  x3  ax  bx  c 0 b 8  2a đặt ẩn phụ y x  Ví dụ 39 Giải phương trình x  x3  x  x  12 0 Giải y  x  x  y  Đặt Ta có (1)  1   y  1   y  1   y  1   y  1  12 0  y 5  y  Rút gọn y  y  10 0    y  Đáp số: x   Phương pháp Đặt ẩn phụ đa thức bậc hai Dạng 2a 2 2 Với phương trình ax  bx  c ax  bx  d m ta đặt y ax  bx (hoặc y ax  bx    Dạng 2b (trường hợp đặc biệt dạng 2a)  cd ) Với phương trình  x  a   x  b   x  c   x  d  m a  d b  c , ta tính  x  a   x  d   x  b  x  c đưa dạng 2a Ví dụ 40 Giải phương trình:  x    x  3  x  1 7 Giải Nhân hai vế phương trình với ta  x    x    x   56  y 8  y 2 Đặt x   y ta có y  y  1  y  1 56  y  y  56 0    y   2 Phương pháp Đặt ẩn phụ sau chia hai vế phương trình cho x Dạng 3a Do x  Với phương trình đối xứng ax  bx3  cx  bx  a 0 ta chia hai vế cho x đặt y x  x Dạng 3b Với phương trình ax  bx3  cx  bx  a 0 ta chia hai vế cho x đặt y x  x Dạng 3c Với phương trình đối xứng x  ax3  bx  akx  k 0 ta chia hai vế cho x đặt y x  k x Dạng 3d 2 Với phương trình ax  bx  c ax  dx  c mx ta chia hai vế cho x , từ xuất cách đặt ẩn    phụ Dạng 3e (trường hợp đặc biệt dạng 3d) Với phương trình  x  a   x  b   x  c   x  d  mx , ad bc , ta tính  x  a   x  d   x  b  x  c đưa dạng 3d Ví dụ 41 Giải phương trình x  x  x  x  0 (1) Giải 2    Do x 0 nên (1)  x  x    0   x     x    0 x x x x    2 Đặt x   y x   y  Ta có x x  y 1    y   y  0  y  y  0    y     x  1  x  x  0   x  x 2 2 Với y  , ta có x    x  x  0  x   x Đáp số: Bốn nghiệm  ; ;   Với y 1 ta có x  2 Ví dụ 42 Giải phương trình x  x  x  x  9  x  1    (1) (2) Giải 2 Đặt x   y x  y  Thay vào (1) rút gọn y  y  y  y  9 y    Chia hai vế cho y 0  y  y 1 y  y 1  1 9   y     y    9 y y y  y  Đặt y   a ta có  a    a   9  a 5 y Với a 5 y  Do x  2  5  y  y  0  y  y 4 Với a  y  Do x     y  y  0  y    y  1   1 ; 2 Phương pháp Thêm biểu thức vào hai vế để đưa phương trình dạng A2 B Ví dụ 43 Giải phương trình x 2 x  x  Giải Đáp số: Phương trình có bốn nghiệm Cộng x  vào hai vế x  x  4 x  x   x    x  x  0  1   x  x  0   (1) Vơ nghiệm; (2) có nghiệm   Đáp số: Hai nghiệm   III PHƯƠNG TRÌNH DẠNG PHÂN THỨC Một số cách thường dùng giải phương trình dạng phân thức: - Nhân hai vế với mẫu thức chung đưa phương trình tích - Chia tử mẫu phân thức cho x đặt ẩn phụ - Đưa phương trình dạng A2 B - Đặt hai ẩn phụ giải hệ phương trình x2 3  x Ví dụ 44 Giải phương trình (1)  x  1  x  2 x     x  2  x Giải Cách ĐKXĐ: x 1 Với điều kiện  1  x  x  1   x   x3  x2  x  0  x  x  3   x  3 0   x  3 x  0     x     x   thỏa mãn ĐKXĐ   x  Đáp số: Ba nghiệm:  ;  2 Cách  1  x2  x 1  x  x2  x 1 x2  x 