PHỊNG GD&ĐT HẢI LĂNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỐN CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI VÒNG II (Thời gian làm 120 phút) Bài 1: (2 điểm) Cho a, b, c Q; a, b, c đôi khác 1 Chứng minh a b b c c a bình phương số hữu tỷ Bài 2: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 5x + 2.5y + 5z = 4500 với x < y < z Bài 3: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: A = x 4x 1 x2 Bài 4: (2 điểm) Tìm số có hai chữ số; biết số chia hết cho thêm số vào chữ số rối cộng vào số tạo thành số hai lần chữ số hàng trăm số lớn gấp lần số phải tìm Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC cân A, có góc BAC = 20 Trên AC lấy điểm E cho góc EBC = 200 cho AB = AC = b, BC = a a) Tính CE b) Chứng minh a3 + b3 = 3ab2 Hướng dẫn thang điểm chấm Tốn vịng Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2008-2009 Bài 1: (2 điểm) a b = b c c a = 1 1 1 2 a b b c c a a b b c b c c a c a a b (1đ) 1 c a b c a b a b b c c a ( a b)(b c )(c a ) = 1 a b b c c a (0.5đ) (0.5đ) Bài 2: (2 điểm) 5x + 2.5y + 5z = 4500 (*) 5x ( 1+ 2.5y-x + 5z-x ) = 4500 = 22 33 53 (0.5đ) 5x = 53 ; 1+ 2.5y-x + 5z-x = 36 = + 35 (0.5đ) x = ; 5y - x ( + z-y ) = (0.25đ) x = ; y – = ; + z-y = = + (0.25đ) x = 3; y = ; z – y = (0.25đ) x = ; y = ; z = thoả (*) (0.25đ) Bài 3: (2 điểm) A= x 4x 1 x2 = 1 x x2 = 3 4 (0.5đ) x x2 (0.5đ) = 1 x 2 1 0 x x Ta có: ab 3 Dấu ‘=’ xảy Bài 4: (2 điểm) Gọi số cần tìm _ (0.5đ) _ a 0b 2a 9 ab (0.25đ) (0.5đ) Từ 3a 2b 2b 3 mà (2,3) 1 b 3 (a b) 3 a 3 mà 3a 2 a 2 (0.5đ) Ta có a 3, a 2, (2,3) 1 a 6,1 a 9 a 6 b 9 Vậy ab 69 (0.5đ) (a b) 3 (a b) 3 100a b 2a 9(10a b) 3a 2b Bài 5: (2 điểm) ab (0.5đ) a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác BCE (hai tam giác cân có góc đỉnh 200 góc đáy 800) nên Và BE = BC = a, suy CE = CE BC BC AB (0.5đ) a b b) Dựng AD BE, suy BD = A (0.5đ) AB = b ta có: AE2 = ED2 + AD2, AB2 = BD2 + AD2 AB2 = BD2 + EA2 - DE2 (0.5đ) Thay vào ta được: b2 = b2 a2 b a b b 2 b2 a4 b2 2 b 2a a ab 4 b b b a 3a b ab a b 3ab D E (0.5đ) B C