Thông tin tài liệu
Chuyên đề 15: PHƢƠNG TRÌNH HÀM KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Ánh xạ hàm số - Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y quy tắc đặt tương ứng phần tử x X với phần tử y Y Phần tử y tương ứng x gọi ảnh ánh xạ f, kí hiệu y = f(x) , x gọi nghịch ảnh y: f : X : x y f x - Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi đơn ánh hai phần tử khác X cho hai ảnh khác Y: a, b X : a b f a f b Hay a,b X : f a f b a b - Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi toàn ánh phần tử Y Y có nghịch ảnh x X: y Y, x X : y f x Hay Y f x y Y | X, y f x - Một ánh xạ f từ tập X đến tập Y gọi song ánh f vừa đơn ánh toàn ánh, tức phân tử y Y có nghịch ảnh x X Hai tập hữu hạn có số phần tử tồn song ánh chúng Cịn tập vơ hạn mà có song ánh chúng gọi lực lượng hay số - Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi hàm số chẵn nếu: x D x D f x f x - Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi hàm số lẻ nếu: x D x D f x f x a - Hàm số tuần hoàn : f x a f x , x,x a D Số dương bé có số a thỏa mãn điều kiện gọi chu kỳ T hàm số f a - Hàm phản tuần hoàn : f x b f x , x,x b D - Hàm cộng tính: f x + y f x f y Trang - Hàm nhân tính: f xy f x f y - Điểm bất đồng hàm f(x) x = a cho f(x) = a - Nếu hàm số f(x) có f '(x) D f(x) hàm D Đặc trƣng hàm sơ cấp: x y f x f y - Hàm bậc f x ax b, a : f - Hàm tuyến tính f x ax, a : f x y f x f y - Hàm mũ f x a x ,a 0,a 1: f x y f x f y - Hàm lôgarit f x loga x ,a 0,a 1: f xy f x f y - Hàm sin f x sin : f 3x 3f x 4f x - Hàm cosin f x cos x : f 2x 2f x f x y f x y 2f x f y - Hàm tang f x tanx : f x y f x f y 1 f x f y - Hàm cotang f x cot x : f x y - Hàm f x shx f x f y 1 f x f y e x e x : f 3x 3f x 4f x - Hàm f x chx e x e x : f x y f x y 2f x f y Phƣơng trình hàm - Tính giá trị đặc biệt f(0), f(1), - Dùng phép thế, đổi biến, chuyển đổi số học, đại lượng trung bình, biến đổi tịnh tiến đồng dạng, biến đổi phân tuyến tính, - Dùng tính chất đơn ánh, toàn ánh, song án, tuần hoàn, - Đánh giá, dự đốn hàm số, quy nạp, Phương trình hàm Cauchy: Hàm f(x) xác định liên tục R thỏa mãn: f x y f x f y , x,y f x ax với a số tùy ý Trang 2 CÁC BÀI TỐN Bài tốn 18 1: Cho hàm số f: thỏa: f x 2xy f x 2f xy , x,y Biết f(201) = a, tính f(202) Hƣớng dẫn giải Thay x ta được: f f 2f f Thay y 1 ta : f x f x 2f x f x f x Thay y x x ta f f x 2f f x 2f 2 2 x Suy f x 2f 2 Xét x , t Thay y t ta được: 2x t f x t f x 2f f x f t 2 Với x ta có f t f f t Ta chứng minh quy nạp theo k: f kx kf x , x , k Từ rút ra: a f 201 201.f 1 f 1 Do f 202 202.f 1 a 201 202 a 201 Bài toán 18 2: Cho hàm f(x, y) thỏa mãn điều kiện: f 0, y y 1; f x 1,0 f x,1 f x 1, y 1 f x, f x 1, y Với số ngun khơng âm x, y Tìm f(4, 1981) Hƣớng dẫn giải Ta có: f 1, n f 0, f 1, n 1 f 1, n 1 Do đó: f 1, n n f 1,0 n f 0,1 n Ta lại có: f 2, n f 1, f 2, n 1 f 2, n 1 Trang Do đó: f 2, n 2n f 2,0 2n f 1,1 2n Bây giờ: f 3, n f 2, f 3, n 1 f 3, n 1 Đặt u n 2u n 1 u f 3,0 f 2,1 Do vậy: u n 2n+3f 3,n 2n+3 Ta có: f 4,n f 3,f 4, n 1 2f 4,n 13 f 4,0 = f 3,1 24 13 f 4,2 2224 Bằng qui nạp ta chứng minh f 4,n 222 24 Trong số mũ chứa (n + 2) chữ số Từ đó: f 4, 1981 222 24 với số mũ chứa 1983 chữ số Bài toán 18 3: Cho hàm f: thỏa mãn điều kiện sau: (i) f n 1 f n ; n (ii) f f n 3n, n Z Hãy tính f(2003) Hƣớng dẫn giải Từ (i) (ii) f (1) f f 1 f 1 Ta có: f f f 1 3.1 f 3 f f 3 3.2 f 2.3 f f 3 3.3 32 Suy f 2.3n 3n1 , n ; f 3n 2.3n ; n Z Nên có f 3n1 f f 2.3n 2.3n1 f 2.3n1 f f 3n1 3.3n1 3n Do khẳng định với n Ta có 3n 1 số nguyên m nằm 3n 3n giả thiết (i) f n 1 f n Trang nên có 3n 1 số nguyên m nằm f( 3n ) f(2 3n ) suy m 3n f 3n m 2.3n 3n Do giả thiết (ii) suy f 2.3n m f f 3n m 3n m Vậy f 2.3n m 3n m với m 3n Suy ra: n 2003 2.36 545 f (2003) 36 545 3822 Bài toán 18 4: Cho f(n) hàm số xác định với n * lấy giá tị không âm thỏa mãn tính chất: n, m * : f m n f m f n lấy giá trị f f 3 f 9999 3333 Tính f 2000 Hƣớng dẫn giải Vì f m n f m f n lấy giá trị nên ta suy ra: f m n f m f n f 2 f 1 f 1 f 3 Ta có: f f 3 f 3 f f f 3 f 9999 f 9996 f 3 3333 Vì giả thiết cho f 9999 3333 nên ta có dấu “=” bất đẳng thức xảy ra, tức f 3n n, n 1, 2, ,3333 f 1998 666, f 2001 667 Mặt khác a a, b * a b f a f b f a b f b 666 f 2000 667 f 2000 666 hoắc 667 Giả sử f 2000 667 Trang f 4000 1334 f 6000 1334 667 2001 mà f 6000 2000 (mâu thuẫn) Vậy: f 2000 666 Bài toán 18 5: Cho f g hàm xác định R thỏa: f x y f x y f x g y , x, y Chứng minh rằng: Nếu f x f x 1, x g y0 a Hƣớng dẫn giải Ta dùng phương pháp phản chứng Giả sử lại điểm y0 : g y0 a Ta lấy x0 : f x0 xây dựng dãy xk k 0,1, sau: xk y0 , f xk y0 f xk y0 xk 1 x y0 , f xk y0 f xk y0 k Theo giả thiết ta có: f xk 1 f xk y0 f xk y0 f xk y0 f xk y0 f xk g y0 2a f xk Nên f xk 1 a f xk với a 1; k 1, 2,3 Do ta có: f xk a k f x0 Nhưng f x0 a nên chọn k cho a k f x0 dó f xk Mâu thuẫn với giả thiết Vậy g y 1, y R Bài toán 18 6: Cho hàm số f: thỏa điều kiện: i) f x x; x ii) f x y f x f y ; x, y Chứng minh tồn hai số a; b mà f a f b Hƣớng dẫn giải Trang Ta chứng minh: f x 0, x Thật vậy: với x theo điều kiện (i) ta có f x Với x , trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: x x , n f x f n 2n (1) Với n = 0: công thức (1) x Giả sử công thức (1) với n k tức f x f k 2 Ta có: f n k 1 x k 2k x x x f k 1 k 1 f ( k 1 ) 2 2k 2k x f k 1 (2) 2k 1 tức (1) với Theo nguyên lý quy nạp toán học bất đẳng thức (1) Bây chọn n đủ lớn để x 2n , x tùy ý, x x 1 f n n 2 2n x Do f n tức f x 0, x Như tồn a, b mà f a f b Bài toán 18 7: Đặt f x với x số thực dương, với số nguyên dương n, ta 1 x đặt: gn x x f x f f x f f f x , f lấy n lần số hạng cuối Chứng minh rằng: a) gn x gn y x y b) g n 1 F F1 F2 n 1 F2 F3 Fn với F1 F2 Fn Fn1 Fn với n Hƣớng dẫn giải a) Kí hiệu f n x f f f x (n lần) Kí hiệu g0 x hàm đồng Chú ý f x hàm tăng thực x Trang Ta chứng minh qui nạp theo n g n x hàm tăng thực x Dễ dàng kiểm tra điều với g1 x Giả sử n 2, g1 x , , gn1 x hàm tăng thực với x Cho x y Ta có: gn x gn y x y f x f y f x f y f n x f n y g1 x g1 y g n2 f x g n2 f y Vậy g n x hàm tăng thực x b) Để y F F F1 f i i 1 Suy ra: F2 Fi 1 Fi F F1 F2 n 1 g n 1 F2 F3 Fn Bài toán 18 8: Cho f x, y 2003 cos x y a cos x y với a, Chứng minh f x, y max f x, y 2003 2 Hƣớng dẫn giải 2003 Ta có: f 0, f ; 2 2 2 2003 Nên max f x, y max f 0, , f , x, y 2 max f x, y 2003 2003 a.sin , Ta lại có: f ; 4 4 Nên f ; 4 4 2003 f ; a.sin 4 2003 f ; Suy ra: 4 2003 f x, y f ; , f ; x, y 4 4 Trang f x, y 2003 Do : f x, y max f x, y 2003 2 Bài toán 18 9: Cho hàm số f : * * Giả sử f 1 1, f 2n f n f 2n 1 f 2n với số tự nhiên n a) Tìm giá trị lớn M f n với n * thỏa mãn điều kiện n 1994 b) Tìm tất số n , với n 1994 , cho f n M Hƣớng dẫn giải Có thể dùng quy nạp để chứng minh f(n) số tất chữ số biểu diễn nhị phân số n a) Tồn nhiều 10 chữ số biểu diễn nhị phân số số bé 1994 111111001010 2 Suy M = 10 b) Với số tự nhiên n 1994, ta có f n 10 n số: 1023 1111111111 2 , 1535 1011111111 2 ,1791 1101111111 2 , 1919 1110111111 2 ,1983 1110111111 2 x2 Bài toán 18 10: Cho f x , x Giả sử f x x 2x f n x f f n1 x n * , x Chứng minh n , x 1, 0,1 fn x 1 f n 1 x x 1 f x 1 Hƣớng dẫn giải Đặt pn x qn x Trang 1 2n 2n x 1 x 1 1 2n 2n x 1 x 1 x, y 2n Ta có: pn1 x pn2 x qn2 x qn1 x pn x qn x f0 x x x, y x p0 x , x q0 x Giả sử: f k x pk x qk x pk x 1 qk x pk2 x qk2 x pk 1 x f k 1 x pk x pk x qk x qk 1 x qk x Do đó: f n x pn x qn x n , x Ta có: n , x 1,0,1 có: 2 2 1 f n x x 1 x 1 x 1 x 1 n n n1 n f n 1 x x 12 x 12 x 12 x 12 1 n n n1 n x 12 x 12 2n 2n x 1 x 1 1 1 2n1 2n 1 2n1 2n 1 x 2n x 1 x 1 x 1 x 1 f( ) x 1 n n Bài 18 11: Cho hàm số f : thỏa mãn phương trình: f x 2005 f x 2006 f x x Chứng minh tồn số thực k để: f x f kx Hƣớng dẫn giải Đặt f 2n x un n N * Từ f x 2500 f x 2006 f x x quy nạp ta có: f 2n x 2005 f 2n1 x 2006 f 2n x x Hay un 2005un1 2006un un Hướng dẫn giải phương trình đặc trưng: Trang 10 Hàm f xác định thoả mãn giả thiết toán, vậy, f nghiệm cùa toán Bài tốn 18 36: Hãy tìm tất hàm số f xác định tập số thực R, lấy giá trị R thoả mãn hệ thức: f ( f ( x y)) f ( x) f ( y) f ( x) f ( y) xy, với số thực x,y Hƣớng dẫn giải Giả sử R R hàm số thoả mãn hệ thức đề bài, nghĩa là: f ( f ( x y)) f ( x) f ( y) f ( x) f ( y) xy (1) với X, y thuộc R Đặt f a Thế x y vào (1), ta f (a) a (2) Thế x y vào (1), với lưu ý tới (2), ta được: ( f ( x))2 x a , x R (3) Suy ( f ( x))2 ( f ( x))2 , x R , hay ( f ( x) f ( x)) f ( x) f ( x) 0, x R (4) Giả sử tồn x0 cho f x0 f x0 Thế y vào (1), được: f ( f ( x)) a f ( x) f ( x) a, x R (5) Thế x 0, y x vào (1), ta được: f ( f ( x)) a f ( x) f x) a, x R (6) Từ (5) (6) suy ra: a.( f (- x) - f ( x)) f ( x) f (- x) 2a, x R (7) Thế x x0 vào (7), ta được: f x0 a (*) Mặt khác, từ (3) suy f x1 f x2 x12 x2 Vì thế, từ (*) suy x0 trái với giả thiết x0 Mâu thuẫn chứng tỏ f ( x) f ( x), x Do đó, từ (4) suy ra: f ( x) f ( x), x Thế (8) vào (7), ta được: a.( f ( x) 1) , x Suy a , ngược lại, a f ( x) 1, x Do đó, từ (3) có: f x x , x R (9) Giả sử tồn x0 cho f x0 x0 Khi theo (5) ta phải có: x0 f x0 f f x0 f x0 x0 Trang 28 Mâu thuẫn chứng tỏ f ( x) x, x Vì vậy, từ (9) ta được: f ( x) - x, x E R Thử lại Vậy, hàm số f ( x) x, x R hàm số cần tìm Bài toán 18 37: Hãy xác định hàm số f : R R cho bất đẳng thức sau với sô 1 thực x, y, z bât kỳ f xy f xz f x f yz (1) 2 Hƣớng dẫn giải Cho x y z , thì: 1 1 (1) : f f hay f nên: f 2 Cho y z (1): 1 f 0 f 0 f x f 0 2 1 1 Hay f (0) f ( x) f (0) f x nên: f x 2 Cho x y z 1, thì: (1): f 1 f 1 1 1 hay f 1 , suy f 1 2 Cho y z x tuỳ ý, ý f 1 , ta có: 1 1 1 f x f x f x f 1 f x f x 2 4 Do đó: f x với x thực Thử lại Cách 2: Chứng minh f xy f x , y Bài toán 18 38: Tìm tất hàm số liên tục f : 0,1 R thỏa mãn: f ( x) xf ( x ) x 0,1 Hƣớng dẫn giải Từ giả thiết f (0) 0, f (1) Trang 29 Với x băng phương pháp quy nạp, suy ra: f x xf ( x ) 2x n x2 x2 n n 1 f ( x n ) n n n Vì x nên: lim 2n x nn1 f x n Vì x nên : lim x x n n 1 n f x2 1 Do vậy: f ( x) 0x 0, 2 Với x thì: f f x 2n f x x x f x f x 1 1 x 2n x n f x 2n 1 Vì lim f x 0x 0,1 f x 0x 0, ; 1 2 2n x n n 1 Với x ,1 tồn n N để x ( chọn n log log nên : 2 f x 2n.x n 1 0; f x 0x 12 ,1 f x2 n 1 Do f x 0, x ,1 2 Vậy f ( x) 0, x [0, 1) Vì f(x) liên tục [0, 1] nên f ( x) x [0, 1] Bài toán 18 39: Xác định f(x) liên tục R thoả mãn: f ( x) f ( y) f ( x y) với x, y R f 1 Hƣớng dẫn giải Ta có f (2 x) f ( x x) [ f ( x)]2 Dùng quy nạp, ta có f (nx) [ f ( x)]n với n N *, x R Chọn x f 1 f n Trang 30 n 1 n f f n n 1 1 Từ đó: f n f m f n n n m n Với m, n N * n Nhận xét rằng: f (n) f (-n) f (0) m 1 m f n f 2n f n 2n n m Nên f n với m Z n N * n m Với x0 R có dãy hữu tỉ tiến x0 Vì f(x) liên tục x0 nên f x0 x0 Vậy f ( x) x, x R Bài toán 18 40: Xác định f(x) liên tục R thoả mãn: xy) f ( x) f ( y), x , y e R \{0 } Hƣớng dẫn giải Thay y f ( x)[1 - f (1)] 0, x R f x từ (3) suy f ( x) 0, x R 1 1 f (1) Khi f 1 f x f x f , x R \ 0 x x f ( x) 0, x R \{0} f x f x 0, x R \ 0 Nếu x, y R * Đặt x eu , y ev f et g t Khi g (u v) g (u) g (v) , u, v R g (t ) at , t R, a Do đó: f ( x) f (eu ) g (u) au aln x (eln a ) ln x x Với Ina, x R * Nếu x, y R * x, y R * theo ta có: [ f ( x)]2 f ( x ) ( x ) ( ( x ) ) , x R , R x x R * Do f(x) liên tục R nên f x x x R Vậy f ( x) 0, x R Trang 31 f x x x R \ 0 , R tùy ý x x R* f x B x x R , R tùy ý Bài tốn 18 41: Tìm tất hàm số f liên tục R thoả : ( f ( x))3 ( x2 3)( f ( x))2 ( x2 3) f ( x) x 0, x R Hƣớng dẫn giải Đặt y f ( x), t x2 ta có: t - ( y y)t y3 y y Hướng dẫn giải t theo y: 1 = ( y y 2)2 t y y ( y )2; t y Viết lại phương trình hàm: [ x2 ( f ( x) 1)2 ] [ x2 ( f ( x) 1)] ( f ( x) x)( f ( x) x)( f ( x) x2 ) f ( x) {1 x ; x; x 1} Để ý: Đồ thị hàm số f1 ( x) x f ( x) x có điểm chung A(0, 1) Đồ thị hàm số f1 ( x) x f3 ( x) x có điểm chung A(0, 1) B (1 ,2) Đồ thị hàm số f ( x) x f3 ( x) x2 có điểm chung A(0, 1) C (-1 ,2) Do điều kiện f liên tục R nên: fi x f j x f x fk x f x l x , 1 x 1, 0 x 0,1 x 1, Với: i, j, k , chọn [1,2, 3] cho f liên tục Vậy có tất 25 hàm số liên tục thoả phương trình hàm xác định Bài tốn 18 42: Tìm f(x) liên tục thoả: Cn0 f x Cn1 f x Cnn f x 0, x n Hƣớng dẫn giải Trang 32 n Đặt g n x Cnk x k 0 k n 1 Ta có: g n ( x) 0, x R; g n-1 ( x) Cnk1 f x k 0 n 1 g n1 f x Cnk1 f x k 0 k 1 k n Cnk11 f x k 1 k n 1 g n1 x g n1 f x f x Cnk1 Cnk11 f x f x n k k 1 n 1 Cn0 f x Cnk x Cnn f x k 1 n n g x Cnk f x k 0 k k n Vì f liên tục R nên gn(x) xác định liên tục R Nếu x gn1 x g n1 Nếu x ta có: gn-1 ( x) gn-1 ( x ) gn-1 ( x 2m ) gn1 Nếu x từ gn-1 ( x) gn-1 ( x ) ta suy 1 g n 1 (t ) g n 1 t (1) m g n 1 , (t m ) g n1 (1) Do đó: Nếu x gn1 x 0n N * Nếu x gn1 x gn1 x gn1 x 0, x R, n R * Vậy gn x g x 0, x R , n N * Mà g0 x f x f ( x) 0, x R Thử lại Vậy: f x Bài tốn 18 43: Tìm tất hàm liên tục f : R R thỏa mãn: x 1 f x f , với x R x2 Trang 33 Hƣớng dẫn giải Ta chứng minh f(x) hàm Lấy a b tuỳ ý Xét dãy xn sau: xn 1 xn ,n 1 xn x 1 Khi f n f xn f xn1 f x0 f a xn Vậy hàm f(x) không đỗi dãy xn - Nếu a 1 a 1 ta chứng minh (1) a2 Thật vậy, (1) tương đương với 2a a a 3 a a 52 5 1 , hiển nhiên 3 Từ suy dãy xn bị chặn 1 xn xn xn xn x n xn xn Mặt khác, xét xn 1 xn xn xn xn Do xn 1 nên x2n xn x 2n xn xn1 xn , nghĩa dãy xn giảm -Nếu a a 1 1 xn bị chặn Khi dễ thấy a2 2 1 xn xn xn xn xn xn xn Mặt khác, xét xn 1 xn xn xn xn Do xn 1 nên xn xn xn xn xn1 xn ,ghĩa dãy xn tăng Trong hai trường hợp, dãy (xn) hội tụ b lim xn Trang 34 Chuyển qua giới hạn (*) ta có: b b 1 1 b2 b b b2 Do b nên b 1 1 Như f a lim f xn f lim xn f C Vậy f x C Thử lại Bài tốn 18 44: Tìm hàm f x Xác định khả vi R thoả mãn điều kiện: xn y n f f x f ( y) , x, y R, n N * Hƣớng dẫn giải Đạo hàm hai vế đẳng thức đề cho theo X y ta được: xn y n f ' nx n 1 xn y n 4 xn y n f ' ny n 1 xn y n 4 f x f ' x f x f y f y f ' y f x f y f x f ' x f y f ' y , x, y R x n1 y n1 f x f ' x a , (hằng số dương) f x f ' x a.x n1 x n 1 f x n ax Thử lại ta thấy hàm f(x) thoả yêu cầu đề n Vậy: f x n ax n Bài toán 18 451: Cho hàm số f : R R xác định bởi: y = f(x) = (1999) x + (1999) x2 Trang 35 Với giá trị a hàm y f ( x a) hàm số chẵn Hƣớng dẫn giải Ta có: f ( x) (1999) x (1999)2 x , x f ( x a) (1999) (1999)2a x , x Do đó: y f ( x a) hàm số chẵn R f ( x a) f ( x a) x (1999) x (1999)a (1999)2a (1999) x x [(1999) x (1999) x ][ 1999 1999 a 2 a ] 0x [(1999)a (1999)2a ]=0 a=2 a a=1 Vậy a y f x a hàm chẵn R Bài toán 18 46: Cho b số thực dương Hãy xác định tất hàm số f xác định tập số thực R, lấy giá trị R thoả mãn: b y f y 1 f ( x y) f ( x).3 b x (3b y f ( y )1 b y ) , x, y R Hướng dẫn giải Phương trình cho tương đương với f ( x y) b x y ( f ( x) b x ) 3b y f y 1, x, y R Đặt g ( x) f ( x) b x Khi (1) có dạng g ( x y) g ( x)3g y 1 , x, y R (2) Thay y vào PT (2) ta g x 0, x R g x g x 3g y 1 x R g Với g ( x) 0, x R f x b x Với g x vào PT (2) ta được: g ( y) g (0)3g ( y )- g ( y) 3g y 1 3g y 1 g y 0, y R Xét hàm số h(t ) 3t - t có h ' t 3t 1 In3 Trang 36 (1) h '(t ) t log3 log3 e Ta có bảng biến thiên sau, với a = log3e log3 (log3e) < Từ bảng biến thiên ta thấy PT h(t ) có hai nghiệm t1 t2 c , với c 1 g y 1 ( h0 ) Tức g y g y y R g ( y ) c , c (4) Giả sử tồn y0 R cho g y0 c Khi đó: g (0) g ( y0 y0 ) g ( y0 ).39( y ) c.g ( y0 ) Suy y0 c c mâu thuẫn với (4) Nên g y 1, y R suy f ( x) b x Thử lại Vậy có hai hàm số thoả mãn đề là: f x b x f ( x) b x Bài toán 18 47: Cho số thực a thỏa mãn a Hãy xác định tất hàm số f : R R thỏa mãn phương trình sau: b y f y 1 ( x y) f ( x) b x ( 3b y f y 1 - by ) Hƣớng dẫn giải a) Xét x>0, đặt x t x f 2 Trang 37 2 43 f f t f 2 t 1 t f f t 1 Đặt t u phương trình trở thành f (( 1)u 1 ) f (( 1)u 1 ) f (( 1)u ) Tiếp tục đặt Đặt f 1 hì phương trình trở thành u g (u 1) g (u 1) g (u) g (u 1) g(u) g(u) g(u 1 ) h u 1 h u , u Bằng quy nạp, g u n nh u g u với n số nguyên dương Do đó: k (u ), u g u nh u n k u n , n u n 1, n Z đổ h(u), k(u) hàm số tùy ý, h(u) tuần hồn với chu kì Suy f ( x) g (log 1 x).x Xét x đặt (2 + )x = t = ( 1)u ta f ( x) g (log 1 ( x)), x a, x Vậy f x với g(x) xác định g log 1 x , x b b) Với số thực x, y f ( x y ) f ( x).(3 f x y b x y f x bx 3b y y f y 1 b xb b y f ( y ) 1 by ) f y 1 Đặt g ( x) f ( x) b x , x phương trình g ( x y) g ( x).3g y 1 g ( x) 0, x R Chọn y = g x g x 3g 01 g 0 Nếu g ( x) 0, x f ( x) b x , x Nếu g(0) = 1, thay x = 0, ta có g y g y 1 Xét hàm số h(t ) 3t 1 t , t R Ta có h(t ) 3t 1 In3 1, h''(t ) 3t 1 ( In3)2 >0 t nên phương trình h(t) = có khơng q hai nghiệm Trang 38 , nê n theo tính chất liên tục hàm số, 10 phương trình h(t) = có hai nghiệm t1 1, t2 c,0 c Ta lại thấy h t 0, h 0, h g ( y) Do g y 3g ( y )1 , y R 9( y) c, c Giả sử tồn y0 R cho g y0 c g (0) g ( y0 y0 ) g ( y0 ) g y0 g y0 1 cg y0 1 c c Điều mâu thuẫn cho thấy hàm số có dạng g y c, c khơng thỏa mãn đề Do g y 1, y R hay f ( x) b x , x Thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy hàm số thỏa mãn đề f x b x f x b x , x Bài tốn 18 48: Tìm tất hàm f : R R thỏa mãn: f (0) 0, f (1) 2013 ( x y)( f ( f ( x)) f ( f ( y)) ( f ( x) f ( y))( f ( x) f ( y)) với x, y R Hƣớng dẫn giải Ta chứng minh f ( x) 2013x Cho y x xf(f (x)) = f (x) f x , x Suy f ( f ( x) = x Thay vào PT cho f x f y x y ( f ( x ) - f ( y ))( f ( x ) f y x ( y)), x, y Thay x1 thì: f(n) = 1998, n 2k 2, n 2k 1, n 2k Nếu f(3) > f(1) f(n) = n 1 a 1997, n 2k Bài tập 18 3: Tìm tất hàm số f : Q Q cho f thoả mãn điều kiện Trang 40 f (1) f ( xy) f ( x) f ( y) f ( x y) 1, x, y Q Hƣớng dẫn 1 Chứng minh f Kết f ( x) x n n Bài tập 18 4: Tìm tất hàm số f : R R thoả mãn f ( x f ( y) xf ( y)) x xy y, x, y R Hƣớng dẫn Chứng minh f đơn ánh Kết f x x Bài tập 18 5: Xác định f liên tục R thoả mãn hai điều kiện: f 2019 = 2018 (Ký hiệu f n ( x) f f f , n lần) f x f x 1x R Hƣớng dẫn Chứng minh f đơn điệu giảm Kết f x x Bài tập 18 6: Tìm hàm số f xác định với số nguyên nhận giá trị thực, thoả mãn: i) Với số nguyên x y thì: f ( x ) f ( y) f ( x y) f ( x - y); ii) f 0; f 1 Hƣớng dẫn Dự đoán f (1) 21 , f (2) 22 Kết f n 2n 2 n Bài tập 18 7: Hãy xác định tất hàm f: R+_> R+ thoả mãn điều kiện sau: f (2) 0; f ( x) 0, với x 2; f ( xf ( y)) f ( y) f ( x y), x, y R * Hƣớng dẫn Chứng minh f y 2 y 0, x Kết f x x , x Trang 41 Bài tập 18 8: Có tịn hàm f : Z * Z* thoả mãn f mf n n f 2013m với m, n nguyên dương Hƣớng dẫn Chứng minh f đơn ánh suy f (n) 2013a n Kết không tồn Bài tập 18 9: Cho f : R R thoả: f ( x3 y3 ) ( x y)[( f ( x)) f ( x) f ( y) ( f ( y)) ], x, y R Chứng minh x R ta có f (2017 x) 2017 f ( x) Hƣớng dẫn Chứng minh qui nạp f kx kf x Bài tập 18 10: Giả sử hàm f , g; R R số thoả mãn hai đồng thức f ( x y) f ( x).g ( y) g ( x) f ( y); g ( x y) g ( x) f ( y) f ( x) f ( y) Tìm tất giá trị f(0) g(0) Hƣớng dẫn Kết f 0, g Trang 42
Ngày đăng: 26/10/2023, 09:29
Xem thêm: Chuyên đề 15 phương trình hàm lê hoành phò file word