1 2 dãy số cho bởi công thức truy hồi

1.2 DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI u1  2 Cho dãy số (un ) biết  Xác định số hạng tổng quát dãy un  3un 1  1, n  Bài Hướng dẫn giải un  3un1   un  1  3un1   un   3(un1  )(1) 2 2 (1)   3vn 1 , n  5 Đặt v n  un   v1  u1   Dãy (vn ) cấp số nhân với công bội q  Nên  v1.q n 1  Do un   5 n 1 5 n1   , n  1, 2, 2 a) Tính giới hạn A  lim Bài   n3  n   n u1  11 b) Cho dãy số (un) xác định :  Tìm cơng thức tính un theo n un 1  10un   9n, n   Hướng dẫn giải a) Tính giới hạn A  lim Ta có: A  lim  lim    n3  n   n  n2  n  n   n  lim 1  n3  n2  1  n n3  n2   n2 n2 1    1 1    1       n n   n n  Vậy A  b) Ta có: u1  11  10  u2  10.11    102  100  u3  10.102   9.2  1003  1000  Dự đoán: un  10n  n 1 Chứng minh: Ta có: u1  11  101  , công thức (1) với n  Giả sử công thức (1) với n  k ta có: uk  10k  k Ta có: uk 1  10 10k  k    9k  10k 1   k  1 Công thức (1) với n  k  Vậy un  10n  n, n  N Bài u1   Cho dãy số (un ) xác định bởi:  Tìm công thức số hạng * u  ( u    u ), n   n  n n   tổng quát (un ) ? Hướng dẫn giải xn2  Đặt xn   2un  x   2un , xn   un  2 n Thay vào giả thiết: xn21  1 xn2   (   xn )  (3xn1 )2  ( xn  4)2  3xn1  xn  4, n  N * , xn  Ta có 3xn1  xn   3n1 xn1  3n xn  4.3n Đặt yn  3n.xn  yn1  yn  4.3n , n  N *  yn1  y1  4(3n  3n1   3)  yn1  y1   2.3n1 Ta có x1   y1   yn   2.3n Suy xn   Bài 1 , n  N *  un  (3  n 1  n 2 ), n  N * n 1 3 Cho dãy số  un  xác định bởi: u1  1; un 1  un , n  * Tìm cơng thức số hạng tổng qt 2un  un theo n Hướng dẫn giải Ta có un  0, n  * Khi un1  Với n  * , đặt  un 1   2 2un  un 1 un  v1  1; vn1   2, n  * un Suy ra, dãy số   cấp số cộng có v1  cơng sai d  Do đó,  v1   n  1 d  2n  1, n  * Vậy un  1  2n  Bài Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  1; un1  2un  3n , n  * Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n Hướng dẫn giải Với n  * , ta có un1  2un  3n  un1  3n1  2(un  3n ) Xét dãy số (vn ), với  un  3n , n * Ta có: vn1  2vn Do đó, dãy số (vn ) cấp số nhân có cơng bội q  số hạng đầu 2 Suy  v1.q n1  2n Vậy un   3n  3n  2n Bài 3 n4  * Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  1; un1   un   , n   Tìm cơng thức số 2 n  3n   hạng tổng quát un theo n Hướng dẫn giải Với n  * , ta có 2un1  3(un  n4 )  2un 1  3(un   ) (n  1)(n  2) n  n 1 3 3 )  3(un  )  un1   (un  ) n2 n 1 n2 n 1  2(un1  dãy số (vn ),  un  3    2 Bài n 1 3 cấp số nhân có cơng bội q  v1   n 1 2 13  1    , n  *  un     n 1    2 n 1 , n  * u1   Cho dãy số (un) xác định bởi:  5un  * un 1  3u  , n   n  Xét dãy số   với  un  , n  * Chứng minh dãy số   cấp số cộng Tìm số hạng un  tổng quát dãy số  un  Hướng dẫn giải Ta có  un  v 1  un  n thay vào hệ thức truy hồi ta có un    3 1   v  2vn  v  2vn    n 1   n 1  1    1  2vn  4  hay vn1   v1  Suy dãy số   cấp số cộng có v1  công sai d  Ta có  v1   n  1 d    n  1  3n  Do un  3n   3n Thử lại thấy dãy số thỏa mãn  3n   3n  Vậy số hạng tổng quát dãy số  un  un  Bài 3n n  * 3n  Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1    * u  ( u    u ), n   n  n n   Tìm cơng thức số hạng tổng quát (un ) ? Hướng dẫn giải Đặt xn   2un  xn2   2un , xn   un  xn2  Thay vào giả thiết: xn21  1 xn2   (   xn )  (3xn 1 )  ( xn  4)  3xn 1  xn  4, n  N * , xn  Ta có 3xn1  xn   3n1 xn1  3n xn  4.3n Đặt yn  3n.xn  yn1  yn  4.3n , n  N *  yn 1  y1  4(3n  3n 1   3)  yn 1  y1   2.3n 1 Ta có x1   y1   yn   2.3n Suy , n  N * 3n 1 *  un  (3  n 1  n 2 ), n  N 3 xn  