TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX – HỊA BÌNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ IX NĂM 2013 MƠN THI: TỐN LỚP 10 ĐỀ ĐỀ NGHỊ Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) Trường THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ Câu ( điểm): Giải hệ phương trình sau: x y y x 4 xy 3 x x y y 2 x y Câu (5 điểm): Cho đường trịn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đường thẳng qua H vng góc với AB cắt đường trịn(O) C Đường trịn đường kính CH cắt AC, BC (O) D, E F a)Chứng minh AB, DE CF đồng quy b)Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) P Q Chứng minh P, D, E, Q thẳng hàng Câu (4 điểm): Cho a,b,c ba số thực dương a b c 1 Chứng minh a3 b3 c3 a 2b 3c b 2c 3a c 2a 3b Câu (4 điểm): Cho a,b,c số nguyên thỏa mãn a (c b) b (a c) c (a b) a b c Chứng minh a b c chia hết cho 27 Câu (2 điểm): Cho tập M gồm 2013 số dương a1; a2 , , a2013 Xét tất tập Ti khác rỗng M, gọi si tổng số thuộc tập Ti nói Chứng minh chia tập hợp tất số si thành lập thành 2013 tập hợp khác rỗng không giao cho tỷ số hai số thuộc tập hợp vừa phân chia không ……………………… HẾT …………………… Câu Giải hệ phương trình sau: x 3 x x 3 x HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung y y x 4 xy Điểm (1) x y y 2 x y (2) 2,0 y y x 4 xy x y y 2 x y Nhận xét Với x 0 ; y 0 khơng phải nghiệm phương trình chia hai vế phương trình (1) cho xy ta x2 1 y 1 x y y x 4 xy 4 y x 3x x y y 2 3x y 2 3x( x x) y ( y 1) 2 x2 1 y2 1 4 y x 3 2 2 x y 1 1 x y Đặt 1,0 1,0 x2 1 u x y2 1 v y Thay vào hệ phương trình ta u v 4 u v u 2 v 2 x2 1 2 x Suy y 2 y x y 1,0 3 2 Bài 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đường thẳng qua H vng góc với AB cắt đường trịn(O) C Đường trịn đường kính CH cắt AC, BC (O) D, E F a)Chứng minh AB, DE CF đồng quy b)Đường trịn tâm C bán kính CH cắt (O) P Q Chứng minh P, D, E, Q thẳng hàng Vẽ hình C P D E Q A O H B M a) Ta có CA.CD CH CB.CE , suy ADEB nội tiếp Xét đường trịn 3,0 (ADEB), (O) đường trịn đường kính CH, DE, AB CF trục đẳng phương cặp đường tròn nên chúng đồng quy b) Gọi M giao điểm AB, DE CF 2,0 Ta có PQ trục đẳng phương ( C) (O) nên OC PQ Ta dễ thấy OC DE Hơn M tâm đẳng phương ba đường trịn (O), ( C) đường trịn đường kính CH Suy PQ qua M Vậy DE, PQ qua M vng góc với OC nên trùng Hay D, E, P, Q thẳng Cho a,b,c ba số thực dương a b c 1 Chứng minh a3 b3 c3 a 2b 3c b 2c 3a c 2a 3b Ta có 4đ 3 a b c a 2b 3c b 2c 3a c 2a 3b a4 b4 c4 a 2ba 3ca b 2cb 3ab c 2ac 3bc a b4 c4 Đặt P= a 2ba 3ca b 2cb 3ab c 2ac 3bc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy P(a b c 5(ab bc ca)) (a b c )2 P 5(ab bc ca ) 1 5(ab bc ca ) Đẳng thức xảy a b c Mà a b c ab bc ca suy P Cho a,b,c số nguyên thỏa mãn a (c b) b (a c ) c (b a ) a b c Chứng minh a b c chia hết cho 27 Ta có 1đ a (c b) b2 ( a c) c (b a) ( a b)(b c)(c a) a (c b) b (a c) c (b a ) a b c Theo giả thiết (a b)(b c)(c a ) a b c Suy TH1: Nếu a, b, c có số dư chia cho a b3 b c 3 c a 3 suy (a b)(b c)(c a ) a b c 27 ( đpcm) TH2: Nếu a,b,c có số dư khác phép chia cho a b c3 Suy (a b)(b c)(c a)3 ( vơ lí ) Suy có hai số có số dư chia cho suy a b c chia hết cho Khơng tính tổng quát giả sử a, b có số dư chia cho Nếu a,b chia hết cho (a b)(b c)(c a )3 suy a b c chia hết chia hết cho suy a,b,c có số dư chia cho ( chứng minh TH1) 3đ Nếu a, b chia dư (a b)3 (a b)(b c)(c a )3 a b c 3 suy c chia cho dư suy a,b,c có số dư chia cho (( chứng minh TH1) Nếu a,b chia cho dư (a b)3 (a b)(b c)(c a )3 a b c 3 Suy c chia cho dư suy a,b,c có số dư chia cho ( chứng minh TH1) Kết luận: Cho tập M gồm 2013 số dương a1; a2 , , a2013 Xét tất tập Ti khác rỗng M, gọi si tổng số thuộc tập Ti nói Chứng minh chia tập hợp tất số si thành lập thành 2013 tập hợp khác rỗng không giao cho tỷ số hai số thuộc tập hợp vừa phân chia khơng q Đặt n 2013 , Kí hiệu phần tử M a1 a2 an Đặt Sm a1 a2 am , S0 0 (0 m n) Gọi P si , Ti M Kí hiệu Pm s P, Sm s S m với m 1; 2; ; n Ta chứng minh cách chia P thành tập Pm thỏa mãn yêu cầu toán Ta chứng minh b Pm 2b Sm h Thật b Sm a1 a2 am b nên phải tồn k 1 k ik (k 1, , h) mà ik m Vậy b aik am S m S m S m b 2b S m Vậy cách chia P thành tập Pm thỏa mãn yêu cầu toán 2đ Mọi cách giải khác kết lập luận chặt chẽ cho điểm tương đương