CHƯƠNG HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN - HÌNH CẦU BÀI HÌNH CẦU, DIỆN TÍCH MẶT CẦU VÀ THỂ TÍCH HÌNH CẦU Mục tiêu Kiến thức + Nêu khái niệm hình cầu + Nhận biết tâm, bán kính, đường kính mặt cầu + Nắm vững cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích hình cầu Kĩ + Tính diện tích mặt cầu thể tích hình cầu + Giải tốn liên quan I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hình cầu Khi quay nửa hình trịn tâm O, bán kính R vịng quanh đường kính AB cố định hình cầu Cắt hình cầu mặt phẳng - Khi cắt hình cầu mặt phẳng phần mặt phẳng nằm hình (mặt cắt) hình trịn - Khi cắt mặt cầu bán kính R mặt phẳng ta đường trịn: +) Đường trịn có bán kính R mặt phẳng qua tâm +) Đường trịn có bán kính bé R mặt phẳng khơng qua tâm. Diện tích mặt cầu S 4 R hay S d (R bán kính; d đường kính mặt cầu) Thể tích hình cầu V R3 Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu Bài tốn 1: Tính diện tích mặt cầu thể tích hình cầu Phương pháp giải Để tính diện tích mặt cầu ta dùng cơng thức Cho hình cầu có bán kính 5cm Tính diện tích S 4 R mặt cầu thể tích hình cầu Để tính thể tích hình cầu ta dùng cơng thức Áp dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu, V R3 2 ta có: S 4 R S 4 100 cm Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu ta có: 4 500 V R 53 cm3 3 Ví dụ mẫu Ví dụ Một hình cầu có đường kính 8cm Tính diện tích mặt cầu thể tích hình cầu Hướng dẫn giải 2 Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu, ta có: S d S 64 cm Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu, ta có: 4 8 256 V R3 V cm3 3 2 Ví dụ Cho đường trịn có chu vi 10 cm , quay nửa đường trịn quanh đường kính ta hình cầu Tính thể tích hình cầu Hướng dẫn giải 10 5 cm Bán kính hình cầu là: R 2 Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu, ta có: Trang 4 500 V R V 53 cm3 3 Bài tốn 2: Tính đại lượng liên quan thơng qua cơng thức tính diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu Phương pháp giải Bước 1: Sử dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu Ví dụ: Cho hình cầu tích 36 m3 Tính cơng thức tính thể tích hình cầu bán kính hình cầu Bước 2: Kiểm tra đại lượng biết cần tìm Hướng dẫn giải Bước 3: Tính đại lượng cần tìm Cơng thức tính tích hình cầu V R Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu ta có: R 36 R 27 R 3 cm Ví dụ mẫu Ví dụ Cho mặt cầu có diện tích S 36 cm2 Tính đường kính mặt cầu thứ hai có diện tích gấp lần diện tích mặt cầu Hướng dẫn giải Diện tích mặt cầu thứ hai 36 108 cm 2 Do S d 108 d 108 d 6 cm Ví dụ Quả ten-nít tích 143,72 cm3 Tính đường kính ten-nít Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu, ta có: 143, 72.3 R 143, 72 R 34,31 R 3, 25 cm 4. Đường kính ten-nít d 2.3, 25 6,5 cm Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Một hình cầu có bán kính 6cm Tính diện tích mặt cầu Câu 2: Một hình cầu tích 972 cm3 Tính đường kính hình cầu Câu 3: Một mặt cầu có diện tích 16 cm Tính thể tích hình cầu Câu 4: Một mặt cầu có diện tích 36 cm2 Tính bán kính mặt cầu Câu 5: Một mặt cầu có số đo diện tích S1 9 cm hình cầu có số đo thể tích gấp lần số đo diện tích Tính độ dài bán kính hình cầu. Câu 6: Một hình cầu có số đo thể tích 288 cm3 Tính đường kính hình cầu Bài tập nâng cao Trang Câu 7: Cho ABC có cạnh AB 10cm , đường cao AH Tính diện tích mặt cầu tạo thành quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vòng quanh đường thẳng AH Câu 8: Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu S (tính cm 2) số đo thể tích V (tính cm3) Tính bán kính hình cầu ĐÁP ÁN Bài tập Câu 1: Áp dụng cơng thức tính diện tích mặt cầu, ta có: S 4 R S 4. 62 144 cm Câu 2: Hình cầu tích 972 cm3 , nên ta có: R 972 R 729 R 27 cm Độ dài đường kính hình cầu d 2.R 54 cm Câu 3: Mặt cầu có diện tích 16 cm , nên ta có: 4 R 16 R 4 R 2 cm Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu ta có: 4 32 V R V 23 cm3 3 Câu 4: Mặt cầu có diện tích 36 cm2 , nên ta có: 4 R 36 R 9 R 3 cm Câu 5: Hình cầu có số đo thể tích gấp lần số đo diện tích mặt cầu, nên ta có diện tích mặt cầu là: S 4.9 36 cm 3V 3.36 3 27 R 3 cm Ta lại có: V R R 4 4 Câu 6: Hình cầu có số đo thể tích 288 cm3 , nên ta có: 3.288 R 288 R 216 R 6 cm 4 Đường kính hình cầu là: d 2.R 12 cm Bài tập nâng cao Câu 7: Trang Ta có AH AB BH AH 102 52 5 cm Khi quay nửa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC quanh đường thẳng AH ta hình cầu có bán 2 10 kính R AH R cm 3 Diện tích mặt cầu tạo thành là: 10 400 S 4 R S 4 cm2 3 Câu 8: Một hình cầu có số đo diện tích mặt cầu số đo thể tích nó, nên ta có: 4 R R R 3 (đvđd) Dạng 2: Tính diện tích, thể tích hình hỗn hợp bao gồm nhiều hình Phương pháp giải Ta tính diện tích thể tích phận Ví dụ: Một khối gỗ hình trụ, bán kính đường trịn cộng lại đáy r, chiều cao 3r (đơn vị: cm) Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu hình vẽ Hãy tính diện tích bề mặt khối gỗ cịn lại Hướng dẫn giải Diện tích xung quanh hình trụ là: S xq 2 r.h S xq 2 r.3r 6 r cm Diện tích hai mặt bán cầu diện tích mặt cầu: S mc 4 r Vậy diện tích bề mặt khối gỗ cịn lại là: S mc S xq 6 r 4 r 10 r cm2 Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Cần phải có lít nước để thay nước liễn ni cá cảnh (hình vẽ)? Liễn xem phần mặt cầu Lượng nước đổ vào liễn chiếm thể tích hình cầu Hướng dẫn giải 3 Thể tích hình cầu tính theo cơng thức: V R hay V d (đường kính d 22cm 2, 2dm ) Lượng nước cần phải có là: V 2, 3, 71 dm3 3, 71 (lít) Ví dụ Một bồn chứa xăng gồm hai nửa hình cầu hình trụ Hãy tính thể tích bồn chứa theo kích thước cho hình vẽ Hướng dẫn giải Thể tích bồn chứa xăng tổng thể tích hình trụ (có bán kính đáy 1m chiều cao 4m) thể tích hình cầu bán kính 1m 16 Thể tích bồn chứa V m 3 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Một chi tiết máy gồm hình trụ hai nửa hình cầu với kích thước cho hình vẽ bên: a) Tính diện tích bề mặt chi tiết máy b) Tính thể tích chi tiết máy Câu 2: Cho chi tiết máy hình vẽ bên: a) Tính thể tích chi tiết máy Trang b) Tính diện tích bề mặt chi tiết máy Câu 3: Cho hình vẽ bên với kích thước hình: a) Tính diện tích xung quanh hình b) Tính thể tích hình Bài tập nâng cao Câu 4: Một hình cầu đặt khít vào hình trụ, bán kính hình trịn đáy hình trụ cm a) Tính thể tích hình cầu b) Tính thể tích hình trụ Câu 5: Một hình trụ có chiều cao 8cm nội tiếp hình cầu Cho biết diện tích mặt cầu 100 cm Hãy tính: a) Diện tích tồn phần hình trụ b) Thể tích hình trụ 30 Quay tam giác vng vịng quanh Câu 6: Cho ABC vng A có BC 2a B cạnh AB ta hình nón đỉnh B Chứng minh diện tích tồn phần hình nón diện tích mặt cầu có đường kính AB ĐÁP ÁN Bài tập Câu 1: a) Diện tích xung quanh chi tiết máy diện tích xung quanh hai nửa hình cầu với diện tích xung quanh hình trụ nên ta có: S xq 4. R R.h S xq 4. 32 2. 3.5 66 cm b) Thể tích chi tiết máy thể tích hình trụ với thể tích hai nửa hình cầu, nên ta có: 4 V R h R V 32.5 33 81 cm3 3 Câu 2: a) Thể tích chi tiết máy thể tích hai hình trụ, nên ta có: V R h1 r h2 V 62.2 12.8 80 cm3 Trang b) Diện tích bề mặt chi tiết máy diện tích xung quanh hình trụ có chiều cao 8cm diện tích tồn phần hình trụ có chiều cao 2cm, nên ta có: S 2 1.8 2 6.2 2 112 cm Câu 3: a) Hình nón có chiều cao 8cm, bán kính hình trịn đáy 6cm, nên độ dài đường sinh l 82 62 10 cm Diện tích xung quanh hình diện tích xung quanh hình nón hình trụ, nên ta có: S xq 6.10 2 6.6 132 cm b) Thể tích hình tổng thể tích hình nón với thể tích hình trụ, nên ta có: V 62.8 62.6 312 cm3 Bài tập nâng cao Câu 4: Hình cầu đặt khít vào hình trụ nên có bán kính R 3 (cm) a) Áp dụng cơng thức tính thể tích hình cầu ta có: 4 V R3 V 33 36 cm3 3 b) Chiều cao hình trụ đường kính hình cầu 2.3 6 cm Áp dụng cơng thức tính thể tích hình trụ ta có: V R h V 32.6 54 cm3 Câu 5: Ta có diện tích mặt cầu 100 cm , nên ta có: 4 R 100 R 5 cm Hình trụ nội tiếp hình cầu nên có bán kính 8 r 52 3 cm 2 a) Diện tích tồn phần hình trụ là: Stp 2 rh 2 r Stp 2 3.8 2 32 66 cm b) Thể tích hình trụ là: V r h V 32.8 72 cm3 Câu 6: Tam giác vng ABC có: Trang A 90 ; BC 2a; B 30 suy AC a; AB a Diện tích tồn phần hình nón là: Stp R.l R Stp a.2a a 3 a (1) Diện tích mặt cầu có đường kính AB là: a 3 S 4 R S 4. 3 a (2) Từ (1) (2), suy Stp S Trang