Dạy thêm toán 9 bài 3 hinh chương 3

BÀI GĨC NỘI TIẾP I Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa Góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh chứa hai dây cung đường tròn gọi góc nội tiếp   ) ( BAC góc nội tiếp chắn cung nhỏ BC Lưu ý: Cung nằm bên góc nội tiếp gọi cung bị chắn  gọi cung bị chắn) ( BC Định lý Trong đường tròn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn Hệ Trong đường tròn: a) Các góc nội tiếp chắn cung b) Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung c) Góc nội tiếp (nhỏ 90°) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung d) Góc nội tiếp chắn nửa đường trịn góc vng Minh họa: * Các góc nội tiếp chắn cung · · ằ ị AD = CD ẳ = CD Nu ABD = CBD Þ AD * Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung · · ¼ = sđACD = sđAD Trên hình vẽ: sđABD » Û sđABD · · ¼ = sđCD Trên hình vẽ: AD = CD Û sđAD = sđCAD Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang II Các dạng tập Dạng Chứng minh hai góc nhau, đoạn thẳng nhau, tam giác đồng dạng Phương pháp giải: Dùng Hệ phần Tóm tắt lý thuyết để chứng minh hai góc nhau, hai đoạn thẳng Bài 1: Cho đường trịn (O) điểm I khơng nằm (O) Qua điểm I kẻ hai dây cung AB CD (A nằm I B, C nằm I D)   DB a) So sánh cặp góc ACI ABD ; CAI C b) Chứng minh tam giác IAC IDB đồng dạng c) Chứng minh IA.IB = IC.ID Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh b) IAC IDB (g.g) c) Sử dụng kết câu b) Bài 2: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Lấy M điểm tuỳ ý nửa đường tròn (M khác A B) Kẻ MH vng góc với AB (H  AB) Trên nửa mặt phang bờ AB chứa nửa đường tròn (O) vẽ hai nửa đường tròn tâm O1, đường kính AH tâm O2, đường kính BH Đoạn MA MB cắt hai nửa đường tròn (O1) (O2) P Q Chứng minh: a) MH = PQ; b) Các tam giác MPQ MBA đồng dạng; c) PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn (O1) (O2) Hướng Dẫn: a) MPHQ hình chữ nhật  MH = PQ b) Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông chứng minh MP.MA MQ.MB  MPQ MBA     QB  PQ tiếp tuyến (O2) MBH  PQH O c) PMH Tương tự PQ tiếp tuyến Bài 3: Cho đường trịn (O) có dây cung AB, BC, CA Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ dây MN song song với BC gọi s giao điểm MN AC Chứng minh SM = SC SN = SA Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang   = sđ MA  Do sđ MB = sđ NC   NAS  ANS  SA SN  SM SC Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH nội tiếp đường trịn tâm O, đường kính AM a) Tính ACM   A b) Chứng minh BAH OC c) Gọi N giao điểm AH với (O) Tứ giác BCMN hình gì? Vì sao? Hướng Dẫn: a) Ta có ACM 900 (góc nội tiếp) b) ta có ABH AMC ( g g )      BAH OAC , OCA OAC    BAH OCA c) ANM 900  MNBC hình thang    BC / / MN  sđ BN = sđ CM   nên BCMN hình thang cân  CBN BCM Dạng Chứng minh hai đường thẳng vng góc, ba điểm thẳng hàng Bài 1: Cho đường trịn (O) hai dây MA, MB vng góc với Gọi I, K điểm cung nhỏ MA MB a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng b) Gọi P giao điểm AK BI Chứng minh P tâm đ/tròn nội tiếp tam giác MAS Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang a) Chú ý: M , A, B  (O) AMB 900  ĐPCM b) Gợi ý: Chứng minh AK BI phân giác góc A, B tam giác MAB Bài 2: Cho (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường trịn Gọi E điểm đối xứng với A qua D a) Tam giác ABE tam giác gì? b) Gọi K giao điểm EB với (O) Chứng minh OD  AK Hướng Dẫn: a) Chứng minh BAE cân B b) Chứng minh DO//BE (tính chất đường trung bình) Mà AK  BE ( AKB 900 )  AK  DO Bài 3: Cho đường tròn (O), đường kính AB S điểm nằm bên ngồi đường trịn SA SB cắt đường tròn M, N Gọi P giao điểm BM AN Chứng minh SP  AB Hướng Dẫn: Chứng minh P trực tâm tam giác SAB Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đưòng tròn (O), hai đường cao BD CE cắt H Vẽ đường kính AF a) Tứ giác BFCH hình gì? b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, M, F thẳng hàng c) Chứng minh OM = AH Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang a) Chứng minh BFCH hình bình hành b) Sử dụng kết câu a), suy HF qua M c) Chú ý: OM đường trung bình AHF  ĐPCM III Bài tập tự luyện Bài 1: Trên cạnh huyền BC tam giác vuông ABC phía ngồi ta dựng hình vng với tâm · điểm O Chứng minh AO tia phân giác góc BAC Hướng Dẫn: A B C O N M · Vì O tâm hình vng nên BOC = 900 · Lại có BAC = 900 suy bốn điểm A, B,O,C nằm đường trịn đường kính BC · · ¼ ) Đối với đường tròn ta thấy BAO (cùng chắn BO = BCO · · · · · · Mà BCO = 450 Þ BAO = 450 Do BAC = 900 , nên CAO = BAC - BAO = 450 · · · Vậy BAO , nghĩa AO tia phân giác góc vng BAC (đpcm) = CAO Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) Từ đỉnh A ta kẻ đường cao AH ( H · · thuộc BC ) Chứng minh BAH = OAC Hướng Dẫn: A O B H D C E · Kẻ đường kính AE đường trịn (O ) Ta thấy ACE = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường · · trịn) Từ OAC + AEC = 900 (1) · · · · ¼ ) (3) Theo gt ra, ta có: BAH (cùng chắn AC + ABC = 900 (2) Lại AEC = ABC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang · · Từ (1),(2) (3) suy BAH (đpcm) = OAC Lưu ý: Cũng giải tốn theo hướng sau: Gọi D giao điểm tia AH với đường tròn (O ) , » = sđCE » , dẫn đến chứng tỏ tứ giác BDEC hình thang cân Từ suy sđBD · · · · , hay BAH BAD = CAE = OAC ¼ không chứa A ta lấy điểm Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ) Trên cung BC P ( P khác B P khác C ) Các đoạn PA BC cắt Q a) Giả sử D điểm đoạn PA cho PD = PB Chứng minh D PDB b) Chứng minh PA = PB + PC c) Chứng minh hệ thức 1 = + PQ PB PC Hướng Dẫn: A D B O Q C P a)Trước tiên ta nhận thấy tam giác PBD cân P · · · » đường tròn ( O ) ) Mặt khác, BPD = BPA = BCA = 600 (hai góc nội tiếp chắn AB Vậy nên tam giác PDB b)Ta có PB = PD , để chứng minh PA = PB + PC ta chứng minh DA = PC Thật vậy, xét hai tam giác BPC BDA có: BA = BC (giả thiết), BD = BP (do tam giác BPD đều) · · · · Lại ABD + DBC = 600 , PBC + DBC = 600 · · Nên ABD Từ D BPC = D BDA (c.g.c), = PBC Dẫn đến DA = PC (đpcm) c) Xét hai tam giác PBQ PAC · · · ¼ ) Ta thấy BPQ = 600 , APC = ABC = 600 (hai góc nội tiếp chắn cung AC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang · · · · · ¼ ) Suy BPQ (hai góc nội tiếp chắn PC = APC , PBQ = PBC = PAC PQ PC = Từ D PBQ : D PAC (g.g) Þ , PB PA Hay PQ.PA = PB PC Theo kết câu b , ta có PA = PB + PC nên PQ ( PB + PC ) = PB PC 1 = + (đpcm) PQ PB PC Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Đường phân giác góc A cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác D Gọi I tâm vòng tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh DB = DC = DI Hệ thức tương đương với Hướng Dẫn: A I O C B D Ta ln có DB = DC AD phân giác góc A Ta chứng minh tam giác DIB cân D · · · Thật ta có: IBD = IBC + CBD · · Mặt khác CBD (Góc nội tiếp chắn cung CD ) = CAD · · · · Mà BAD , IBC (Tính chất phân giác) = CAD = IBA · · · Suy IBD = ABI + BAI · · · Nhưng BID (Tính chất góc ngồi) = ABI + BAI Như tam giác BDI cân D Þ DB = DI = DC Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) AB < AC Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A Vẽ MH , MK , MI vuông góc với BC AC AB = + MH MK MI Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Trong tốn có tỷ số độ dài ta nghỉ đến tam giác đồng dạng định lý Thales Cách 1: Dựng đường thẳng qua A song song với BC cắt (O) N Gọi E giao điểm BC MN Ta có: AB = NC ỉ · · » Ã ẳ ử= 1s ổ ẳ ẳ ử= AMC ỗ Ta cú BME BMN = s ỗ , ữ ữ ỗAB + AN ữ ỗNC + AN ữ è ø è ø · · MBC = MAC Þ D BME : D AMC Và MH , MK hai đường cao tương ứng Nên: AC BE = , MK MH Chứng minh tương tự ta có: Cộng hai đẳng thức ta có: AB CE = MI MH BC AC AB = + MH MK MI Cách 2: Ta thấy MH , MI đường cao tam giác MBC , MAB Nhưng hai tam giác không đồng dạng với · · Điều giúp ta nghỉ đến việc lấy điểm E cạnh BC cho BMA để = DMC tạo tam giác đồng dạng giữ hai đường cao tương ứng (Phần lời giải xin dành cho bạn đọc) Bài 6:Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt A B Vẽ cát tuyến CAD vng góc với AB Tia CB cắt (O’) E, tia BD cắt (O) F Chứng minh rằng: a) ∠CAF = ∠DAE b) AB tia phân giác ∠EAF c) CA.CD = CB.CE d) CD2 = CB.CE + BD.CF Hướng dẫn Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang  => sđ BC  = 180o Vì CD ⊥ AB => ∠CAB = 90o Mà ∠CAB = 1/2 sđ BC Vậy ba điểm B, O, C thằng hàng Chứng minh tương tự ta có B, O’, D thẳng hàng a) Chứng minh ∠CAF = ∠DAE Trong (O) ta có: ∠CAF = ∠CBF (góc nội tiếp chắn cung CF ) Trong (O’) ta có: ∠DAE = ∠DBE (góc nội tiếp chắn cung DE ) Mà ∠CBF = ∠DBE (đối đỉnh) => ∠CAF = ∠DAE b) AB tia phân giác ∠EAF Nối CF DE ta có: ∠CFB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O)) ∠BED = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O’)) Xét ΔCFB ΔDEB có: CFB ΔCFB ΔDEB có: DEB có: ∠CFB = ∠BED = 90o ∠CBF = ∠DBE (đối đỉnh) => ∠FCB = ∠EDB Mặt khác: ∠FAB = ∠FCB (góc nội tiếp (O) chắn cung FB ) ∠EAB = ∠EDB (góc nội tiếp (O’) chắn cung EB ) => ∠FAB = ∠EAB hay AB phân giác góc ∠EAF c) Chứng minh CA.CD = CB.CE Xét ΔCFB ΔDEB có: CAE ΔCFB ΔDEB có: CBD có: ∠C chung ∠CEA = ∠BDA (góc nội tiếp (O’) chắn cung AB) => ΔCFB ΔDEB có: CAE ∼ ΔCFB ΔDEB có: CBD (g.g) => CA/CB = CE/CD hay CA.CD = CB.CE (1) d) Chứng minh CD2 = CB.CE + BD.CF Chứng minh tương tự câu c) ta có: DA.DC = DB.DF (2) Từ (1) (2) suy ra: CA.CD + DA.DC = CB.CE + DB.DF Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang ⇔ (CA + DA)CD = CB.CE + DB.DF ⇔ CD2 = CB.CE + DB.DF Bài 7: Cho đường tròn (O; R) điểm M bên đường trịn Qua M kẻ hai dây cung AB CD vng góc với (C thuộc cung nhỏ AB) Vẽ đường kính DE Chứng minh rằng: a) MA.MB = MC.MD b) Tứ giác ABEC hình thang cân c) Tổng có giá trị khơng đổi M thay đổi vị trí đường trịn (O) Hướng Dẫn: a) Chứng minh MA.MB = MC.MD Xét ΔCFB ΔDEB có: AMC ΔCFB ΔDEB có: DMB có: ∠ACD = ∠ABD (góc nội tiếp chắn cung AD) ∠AMC = ∠BMD = 90o (gt) => ΔCFB ΔDEB có: AMC ∼ ΔCFB ΔDEB có: DMB (g.g) => MA/MD = MC/MB => MA.MB = MC.MD b) Chứng minh tứ giác ABEC hình thang cân Vì ∠DCE = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) => CD ⊥ CE CD ⊥ AB (gt) => AB // CE => Tứ giác ABEC hình thang (1) Mặt khác: CE AB hai dây song song đường tròn (O) chắn hai cung AC BE  BE   AE  BC   ABE   => AC BAC (2) Từ (1) (2) suy tứ giác ABEC hình thang cân c) Tổng có giá trị khơng đổi M thay đổi vị trí đường trịn (O)  BC  (cmt) => EA = BC Ta có AE Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10 Mặt khác: ∠DAE = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Do đó: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = (MA2+ MD2) + (MB2 + MC2) = AD2 + BC2 = DE2 = 4R2 không đổi Bài 8: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB C điểm cung AB Lấy điểm M thuộc cung BC điểm N thuộc tia AM cho AN = BM Kẻ dây CD song song với AM a) Chứng minh ΔCFB ΔDEB có: ACN = ΔCFB ΔDEB có: BCM b) Chứng minh ΔCFB ΔDEB có: CMN vng cân c) Tứ giác ANCD hình gì? Vì sao? Hướng Dẫn: a) Chứng minh ΔCFB ΔDEB có: ACN = ΔCFB ΔDEB có: BCM Xét ΔCFB ΔDEB có: ACN ΔCFB ΔDEB có: BCM có: AC = BC (vì C điểm cung AB) ∠CAN = ∠CBN (góc nội tiếp chắn cung CM) AN = BM (gt) => ΔCFB ΔDEB có: ACN = ΔCFB ΔDEB có: BCM (c.g.c) b) Chứng minh ΔCFB ΔDEB có: CMN vng cân Vì ΔCFB ΔDEB có: ACN = ΔCFB ΔDEB có: BCM (chứng minh a) => CN = CM => ΔCFB ΔDEB có: CMN cân C  = 1/2 90o = 45o Lại có ∠CMA = 1/2 sđ AC (1) (2) Từ (1) (2) => ΔCFB ΔDEB có: CMN vng cân C Vì CD // AM nên tứ giác ADCM hình thang cân c) Tứ giác ANCD hình gì? Vì sao? Ta có: ∠DAM = ∠CMN = ∠CNM = 45o => AD // CN Vậy tứ giác ADCN hình bình hành Bài 9: Cho ΔCFB ΔDEB có: ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc cung nhỏ AC Tia AM cắt BC N Chứng minh rằng: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11 a) AB2 = AM.AN b) ∠ACM = ∠ANC Hướng Dẫn: a) Chứng minh AB2 = AM.AN Vì ΔCFB ΔDEB có: ABC cân A =>∠ABC = ∠ACB Lại có ∠ACB = ∠AMB (góc nội tiếp chắn cung AB ) => ∠ABN = ∠AMB Do đó: ΔCFB ΔDEB có: ABM ∼ ΔCFB ΔDEB có: ANB (g.g) => AB/AN = AM/MB => AB2 = AN AM b) Chứng minh ∠ACM = ∠ANC Vì ΔCFB ΔDEB có: ABM ∼ ΔCFB ΔDEB có: ANB => ∠ABM = ∠ANB Mà ∠ABM = ∠ACM (góc nội tiếp chắn cung AM) Do đó: ∠ACM = ∠ANC Bài 10: Cho ΔCFB ΔDEB có: ABC có AD tia phân giác góc A Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC E đường thẳng song song với AC cắt AB F a) Tứ giác AEDF hình gì? Vì sao? b) Đường trịn đường kính AD cắt AB AC điểm M N Chứng minh: MN // EF Hướng dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12 a) Chứng minh Tứ giác AEDF hình thoi b) Chứng minh: MN // EF ΔCFB ΔDEB có: ABC có AD tia phân giác góc A => ∠BAD = ∠CAD   => MD => ∠DAC = ∠MND (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) ND Lại có: ∠AND = 90o (nội tiếp chắn nửa đường tròn) => ∠DAN + ∠ADN = 90o => ∠MND + ∠ADN = 90o => MN // AD Vì tứ giác AEDF hình thoi nên EF ⊥ AD => MN // EF Bài 11: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) tiếp xúc với A, (R > R') Qua điểm B (O’) vẽ tiếp tuyến với (O’) cắt (O) hai điểm M N, AB cắt (O) C Chứng minh rằng: a) MN ⊥ OC b) AC tia phân giác ∠MAN Hướng Dẫn: a) Chứng minh MN ⊥ OC Vì ΔCFB ΔDEB có: O'AB cân O’ nên ∠O'AB = ∠O'BA => ΔCFB ΔDEB có: OAC cân O nên ∠OAC = ∠OCA => ∠O'BA = ∠OCA mà hai góc vị trí đồng vị => O’B // OC Mặt khác MN tiếp tuyến (O’) B => O'B ⊥ MN Do OC ⊥ MN b) Chứng minh AC tia phân giác ∠MAN Trong đường tròn (O): => OC đường trung trực MN => CM = CN  CN  => ∠MAC = ∠NAC Hay AC tia phân giác ∠MAN => CM Bài 12: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB C điểm cung AB M điểm cung BC, kẻ CH ⊥ AM a) Chứng minh ΔCFB ΔDEB có: HCM vng cân OH tia phân giác ∠COM Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13 b) Gọi I giao điểm OH với BC D giao điểm MI với nửa đường tròn (O) Chứng minh MC // BD Hướng Dẫn: a) Chứng minh ΔCFB ΔDEB có: HCM vng cân OH tia phân giác ∠COM Vì C điểm cung AB => ∠CMA =  sđAC 45o => ΔCFB ΔDEB có: HCM vng cân H => CH = HM Dễ thấy ΔCFB ΔDEB có: COH = ΔCFB ΔDEB có: MOH (c.c.c) => ∠COH = ∠MOH Vậy OH tia phân giác ∠COM b) Chứng minh MC // BD Dễ thấy ΔCFB ΔDEB có: COI = ΔCFB ΔDEB có: MOI (c.g.c) nên CI = MI => ΔCFB ΔDEB có: CMI cân M Do ∠CMI = ∠MCI Lại có ∠CMD = ∠CBD (góc nội tiếp chắn cung CD) Suy ∠MCB = ∠CBD, mà hai góc vị trí so le => MC // BD Bài 13: Qua điểm M nằm đường tròn (O) kẻ hai dây AB CD vng góc với Chứng minh rằng: a) Đường cao MH tam giác AMD qua trung điểm I BC b) Đường trung tuyến MI ΔCFB ΔDEB có: BMC vng góc với AD Hướng Dẫn: a) Chứng minh Đường cao MH tam giác AMD qua trung điểm I BC Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14 Ta có ∠ADC = ∠ABC (góc nội tiếp chắn cung AC) (1) Lại có ∠AMH = ∠ADM (cùng phụ với góc ∠MAD) Mà ∠AMH = ∠IMB (đối đỉnh) => ∠ADM = ∠IMB (2) Do IM = IB Chứng minh tương tự ta có: IM = IC Suy IB = IC = IM => I trung điểm BC b) Học sinh tự chứng minh Bài 14: Cho AB CD hai đường kính vng góc với đường trịn (O; R) Qua điểm M thuộc cung nhỏ AC (M ≠ A, M ≠ E)kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AB, CD E, F a) Chứng minh: ∠MFO = 2.∠MBO b) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ AC cho ∠FEO = 30o Khi tính độ dài đoạn thẳng OE, ME, EF theo R Hướng Dẫn: a) Chứng minh: ∠MFO = 2.∠MBO Ta có: ∠MOA = 2∠MBO (cùng chắn cung MA) Vì EF tiếp tuyến với (O) M nên OM ⊥ EF Ta có ∠MOA = ∠EFO (cùng phụ với góc ∠FEO ) Suy ∠EFO = 2∠MBO b) Tính độ dài đoạn thẳng OE, ME, EF theo R Ta có: ∠FEO = 30o ⇔ ∠MOA = 60o ⇔ ΔCFB ΔDEB có: AOM nên AM = OA = R Vậy M ∈ (O) AM = R ∠FEO = 30o Khi ΔCFB ΔDEB có: OME vng M nên ME = MO tan∠MOA = R ; OE = 2MO = 2R Vì ΔCFB ΔDEB có: EOF vng O nên cos ∠FEO = EO/EF => EF = EO/cos ∠FEO = 2R / cos30o = 4R /3 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15 Bài 15: Cho đường tròn (O) hai dây song song AB, CD Trên cung nhỏ AB lấy điểm M tùy ý  D Chứng minh AMC BM Hướng Dẫn:   ĐPCM Do AB//CD  sđ AC = sđ BD Bài 16: Cho đường tròn (O) hai dây cung AB, AC Qua A vẽ cát tuyến cắt dây BC D cắt (O) E Chứng minh AB2 = AD.AE Hướng Dẫn: Chứng minh được: ABD đồng dạng AEB (g-g)  ĐPCM Bài 17: Cho tam giác ABC có đường cao AH nội tiếp đường tròn (O), đường kính AD Chứng minh: AB.AC = AH.AD Hướng Dẫn: Xét tam giác đồng dạng để chứng minh Bài 18: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AH, biết AB = 8cm, AC = 15 cm, AH = 5cm Tính bán kính đưịng trịn (O) Hướng Dẫn: Sử dụng kết Bài  AO = 12cm Bài 19: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường trịn (O) Vẽ đường kính MN  BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A) Chứng minh tia AM, AN tia phân giác góc góc đỉnh A tam giác ABC Hướng Dẫn:    AM phân giác Chứng minh BM MC  Mặt khác: MAN 900  AN phân giác Bài 20: Cho nửa (O) đường kính AB = 2R điểm C nằm ngồi nửa đường trịn phía với nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB chứa nửa đường tròn CA cắt nửa đường tròn M, CB cắt nửa đường tròn N Gọi H giao điểm AN BM a) Chứng minh CH  AB b) Gọi I trung điểm CH Chứng minh MI tiếp tuyến nửa đường tròn (O) Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16 a) HS tự chứng minh b) Gọi CH  AB K Chứng minh MIC cân I    ICM IMC   Tương tự OMA OAM  Chứng minh IMO 900  ĐPCM Bài 21: Cho hai đường tròn (O) (O') cắt A B Vẽ đường kính AC AD hai đường tròn Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng Hướng Dẫn: ABD  ABC 1800  C, B, D thẳng hàng Bài 22: Cho đường tròn tâm O đường kính AB điểm C chạy nửa đường tròn Vẽ đường tròn (7) tiếp xúc với (O) C tiếp xúc với đường kính AB D a) Nêu cách vẽ đường trịn (I) nói b) Đường trịn (I) cắt cắt CA, CB điểm thứ hai M, N Chứng minh M, I, N thẳng hàng c) Chứng minh đường thẳng CD qua điểm nửa đường trịn (O) khơng chứa C Hướng Dẫn:  a) Vẽ tiếp tuyến C cắt đường AB P Phân giác CPB cắt OC I Vẽ đường tròn tâm I bán kính IC, đường trịn cần tìm  b) Do ACB 900 nên MCN 900  MN đường kính (I)  ĐPCM c) Chứng minh MN//AB nên ID  MN   ND   MD hay CD tia phân giác ACB  ĐPCM Bài 23: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB dây AC căng cung AC có số đo 600 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17 a) So sánh góc tam giác ABC b) Gọi M, N điểm cung AC BC Hai dây AN BM cắt I Chứng minh tia CI tia phân giác góc ACB Hướng Dẫn: a) B 300  A 600  C 900 b) Chứng minh tia AN, BM tia phân giác góc A B Bài 24: Cho tam giác ABC cân A ( A  900 ) Vẽ đường trịn đường kính AB cắt BC D, cắt AC E Chứng minh rằng: b) CBE  BAC a) Tam giác DBE cân Hướng Dẫn: a) DB DE  DB DE b) CBE DAE Bài 25: Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) Vẽ đường kính MN  BC (điểm M thuộc cung BC không chứa A) Chứng minh tia AM, AN tia phân giác đỉnh A tam giác ABC Hướng Dẫn: MN  BC  MB MC Bài 26: Cho đường trịn (O) hai dây MA, MB vng góc với Gọi I, K điểm cung nhỏ MA MB Gọi P giao điểm AK BI a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng b) Chứng minh P tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB c) Giả sử MA = 12 cm, MB = 16 cm, tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác MAB Hướng Dẫn: a) AOB 1800 b) AK, BI đường phân giác MAB c) AB = 20 cm Chứng minh r  p  a  r 4cm Bài 27: Cho đường tròn (O) đường kính AB điểm C di động nửa đường trịn Vẽ đường trịn tâm I tiếp xúc với đường tròn (O) C tiếp xúc với đường kính AB D, đường trịn cắt CA CB điểm thứ hai M N Chứng minh rằng: a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng b) ID  MN c) Đường thẳng CD qua điểm cố định, từ suy cách dựng đ/trịn (I) nói Hướng Dẫn: a) MCN 900  MN đường kính b) Chứng minh O, I, C thẳng hàng; INC OBC  MN // AB; ID  AB c) Gọi E giao điểm đường thẳng CD với (O)  EA EB  E cố định Bài 28: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BD CE cắt H Vẽ đường kính AF a) Tứ giác BFCH hình gì? b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, M, F thẳng hàng c) Chứng minh OM  AH Hướng Dẫn: a) Chứng minh ABF ACF 900  CE // BF, BD // CF  BFCH hình bình hành b) Dùng tính chất hai đường chéo hình bình hành c) Dùng tính chất đường trung bình tam giác AHF Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18 Bài 29: Cho đường trịn (O) đường kính AB, M điểm nửa đường trịn, C điểm nửa đường trịn kia, CM cắt AB D Vẽ dây AE vng góc với CM F a) Chứng minh tứ giác ACEM hình thang cân b) Vẽ CH  AB Chứng minh tia CM tia phân giác góc HCO c) Chứng minh CD  AE Hướng Dẫn: a) Chứng minh FAC FEM vuông cân F  AE = CM; CAE AEM 450  AC // ME  ACEM hình thang cân b) HCM OMC OCM 1 CD CH DH   1  CD ≤ MD  CD  CM  AE c) HDC  ODM  MD MO DO 2 Bài 30: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Biết A a  900 Tính độ dài BC Hướng Dẫn: Vẽ đường kính BD BDC BAC a BC BD.sin D 2 R sin a Bài 31: Cho đường tròn (O) có hai bán kính OA OB vng góc Lấy điểm C đường tròn (O) cho  sd AC  Tính góc tam giác ABC  sd BC Hướng Dẫn: Bài 32: Cho tam giác ABC cân A có góc A 500 Nửa đường trịn đường kính AC cắt AB D BC H Tính số đo cung AD, DH HC Hướng Dẫn: Bài 33: Cho đường trịn (O) có đường kính AB vng góc dây cung CD E Chứng minh rằng: CD 4 AE.BE Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19