Dạy thêm toán 9 bài 1 hinh chương 3

BÀI GĨC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG I Tóm tắt lý thuyết Góc tâm Góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm Ví dụ AOB góc tâm (Hình 1) Nếu 00 < a < 1800 cung nằm bên góc gọi cung nhỏ, cung nằm bên ngồi góc gọi cung lớn Nếu a = 1800 cung nửa đường trịn Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn Góc bẹt chắn nửa đường trịn Kí hiệu cung AB AB Số đo cung Số đo cung AB kí hiệu sđ AB Số cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung Ví dụ: AOB = sđ AB (góc tâm chắn AB ) (Hình 1) Số đo cung lớn bắng hiệu 3600 số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn) Số đo nửa đường tròn 1800 Cung đường trịn có số đo 3600 So sánh hai cung Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: + Hai cung gọi chúng có số đo + Trong hai cung, cung có số đo lớn gọi cung lớn Định lí  Nếu C làm điểm nằm cung AB : Sđ AB = sđ AC + sđ CB II Các dạng tập Phương pháp giải: Để tính số đo góc tâm, số đo cung bị chắn, ta sử dụng kiến thức sau: Số đo cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung Số đo cung lớn hiệu 3600 số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn) Số đo nửa đường tròn 1800 Cung đường trịn có số đo 3600 Sử dụng tỉ số lượng giác góc nhọn để tính góc Sử dụng quan hệ đường kính dây cung Bài 1: Cho hai tiếp tuyến A B đường tròn (O) cắt M, biết AMB 400 a) Tính AMO AOM b) Tính số đo cung AB nhỏ AB lớn Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang a)Chứng minh OM tia phân giác góc AMB Từ ta tìm AMO 200 , AOM 700 b) sđ AmB AOB 1400 sđ AnB 2200 Bài 2: Trên cung nhỏ AB (O), cho hai điểm C D cho cung AB chia thành ba cung  = DB  ) Bán kính OC OD cắt dây AB E F ( AC = CD a) Hãy so sánh đoạn thẳng AE FB b) Chứng minh đường thẳng AB CD song song Hướng Dẫn: a) Chứng minh OEA OFB  AE FB   b) Chứng minh OEF OCD  AB / / CD Bài 3: Cho đường trịn (O; R), lấy điểm M nằm ngồi (O) cho OM = 2R Từ M kẻ tiếp tuyến MA MB với (O) (A, B tiếp điểm) a) Tính AOM b) Tính AOB số đo cung AB nhỏ c) Biết đoạn thẳng OM cắt (O) C Chứng minh C điểm cung nhỏ AB Hướng Dẫn: a) Sử dụng tỉ số lượng giác tam giác vng AMO ta tính AOM 600 b) Tính AOB 1200 , sđ ABC 1200 Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang   c) Ta có AOC BOC  AC BC Bài 4: Cho (O; 5cm) điểm M cho OM = 10 cm Vẽ hai tiếp tuyến MA MB (A, B tiếp điểm) Tính góc tâm hai tia OA OB tạo Hướng Dẫn: Tương tự 2A Chứng minh AOB 1200 III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho đường trịn (O, R) điểm M nằm ngồi đường trịn Gọi MA, MB hai tiếp tuyến với đường trịn A B Tính số đo góc tâm tạo hai bán kính OA OB nếu: a) AMB 700 b) MA = R c) MO = 2R Hướng dẫn Vì MA MB tiếp tuyến đường tròn (O) A B nên: MA ⊥ OA, MB ⊥ O B   => MAO = 90o MBO a) Xét tứ giác MAOB có: AMB  AOB  MAO    MBO 3600   ⇔ AOB = 360o - ( AMB  MAO = 360o - (70o+ 90o + 90o) = 110o  MBO Vậy số đo góc tâm tạo hai bán kính OA, OB 110o b) Nếu MA = R   Xét ΔMAO có: MA = AO = R MAO có: MA = AO = R MAO = 90o => ΔMAO có: MA = AO = R MAO vuông cân A => MOA = 45o  Vậy AOB 2 MOA = = 90o c) Nếu MO = 2R Xét ΔMAO có: MA = AO = R MAO vng A có: MO = 2.AO => ∠AMO = 30o => ∠AOM = 60o Vậy: ∠AOB = 2.∠AOM = 120o Bài 2: Cho đường trịn (O; R) dây AB khơng qua O Trên dây AB lấy điểm M, N cho AM = MN = NB Tia OM, ON cắt (O) C D So sánh cung AC, CD, DB Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Xét ΔMAO có: MA = AO = R AOM ΔMAO có: MA = AO = R BON có: OA = OB = R ∠OAM = ∠OBN (do ΔMAO có: MA = AO = R OAB cân O) AM = BN (gt) => ΔMAO có: MA = AO = R AOM = ΔMAO có: MA = AO = R BON (c – g - c) => ∠AOM = ∠BON (hai góc tương ứng)  BD  => AC Gọi I trung điểm OB Suy NI đường trung bình ΔMAO có: MA = AO = R OBM => NI // OM => ∠MON = ∠ONI (so le trong) (1) Mặt khác ta có: OB = OC = R, mà M ∈ OC => OM < OB hay NI < OI Xét ΔMAO có: MA = AO = R ONI có NI < OI nên: ∠NOI < ∠ONI (2)   BD  Từ (1) (2) suy ∠NOI < ∠MON => CD Bài 3: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Kẻ dây AM đường tròn   (O) dây BN đường tròn (O’) cho AM // BN Chứng minh AM BN Hướng Dẫn: Vì AM // BN (gt) => ∠MAB = ∠ABN (so le trong) (1) Mặt khác: OA = OB = O'A = O'B => Tứ giác OAO’B hình thoi => ∠OAB = ∠ABO' (2) Từ (1) (2) suy ra: ∠MAO = ∠NBO' Ta có: ΔMAO có: MA = AO = R MOA cân O ΔMAO có: MA = AO = R NO'B cân O' có góc đáy => ∠MOA = ∠NO'B Do đó: ΔMAO có: MA = AO = R MOA = ΔMAO có: MA = AO = R NO'B (c.g.c) => AM = BN Mặt khác hai đường tròn (O) (O’) nên   => AM BN Bài 4: Cho hai đường tròn (O; R) (O’; R’) cắt hai điểm A B (R < R') Kẻ đường kính BOC BO’D a) Chứng minh rằng: Ba điểm C, A, D thẳng hàng Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang b) So sánh số đo hai cung nhỏ AC AD Hướng Dẫn: a)Vì ΔMAO có: MA = AO = R ABC nội tiếp đường trịn đường kính BC nên ΔMAO có: MA = AO = R ABC vng A hay ∠BAC = 90o Tương tự ta có: ∠BAD = 90o => ∠CAD = ∠BAD + ∠BAC = 180o => điểm C, A, D thẳng hàng  180o  sđAB  b) Xét đường tròn (O) có: sđAC  180o  sđAB  Xét đường trịn (O’) có: sđAD  sđAD  => sđAC Bài 5: Cho đường trịn (O) đường kính AB Điểm C thuộc đường tròn (O) cho SđBC = 30o, điểm M thuộc cung AC nhỏ Gọi D E điểm đối xứng với M qua AB OC Chứng minh rằng: ΔMAO có: MA = AO = R DOE Hướng Dẫn:  = 30o => ∠BOC = 30o Vì sđ BC Gọi I giao điểm MD AB, J giao điểm ME OC Theo giả thiết: M D đối xứng với qua AB, mà M thuộc đường tròn (O) nên D thuộc đường tròn (O) Tương tự E thuộc đường trịn (O) Tứ giác MIOJ có ∠I = ∠J = 90o => ∠IMJ + ∠IOJ = 180o => ∠IMJ = 180o - ∠IOJ = ∠BOC = 30o Ta có ΔMAO có: MA = AO = R MOD ΔMAO có: MA = AO = R MOE cân O nên: ∠MOD = 180o - 2∠DMO ∠MOE = 180o - 2∠EMO => ∠MOD + ∠MOE = 360o - 2(∠DMO + ∠EMO) ⇔ 360o - ∠DOE = 360o - ∠IMJ ⇔ ∠DOE = 2∠IMJ = 60o Vậy ΔMAO có: MA = AO = R DOE Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Bài 6: Cho điểm M chuyển động nửa đường tròn (O) đường kính AB Vẽ hai tiếp tuyến Ax By với đường tròn (O) Tiếp tuyến M với (O) cắt Ax C cắt By D; đường thẳng CO OD cắt (O) E F  a) Tính sđ EF b) Tìm tập hợp tâm I đường trịn ngoại tiếp Hướng Dẫn: a)Vì CA BM hai tiếp tuyến với (O) nên OC tia phân giác ∠AOM Tương tự ta có OD tia phân giác ∠BOM Mà ∠AOM ∠BOM hai góc kề bù => OC ⊥ OD  = 90o Vậy ta có ∠COD = 90o hay sđ EF b) Vì ΔMAO có: MA = AO = R COD vng O nên tâm I đường trịn ngoại tiếp tam giác ΔMAO có: MA = AO = R COD trung điểm CD Dễ thấy tứ giác ABCD hình thang có OI đường trung bình nên OI//AC => OI ⊥ AB Vậy I chuyển động đường thẳng d vng góc với AB O Bài 7: Cho AB dây cung đường tròn (O), I trung điểm AB Trên cung nhỏ AB lấy   điểm M tùy ý Gọi giao điểm OI MI với (O) C N So sánh MCN ACB Hướng dẫn Kẻ OH ⊥ MN Ta có: ΔMAO có: MA = AO = R OHI vuông H nên OH < OI Mà OH, OI khoảng cách từ O đến hai dây MN AB => AB < MN   Do sđ MCN > sđ ACB Bài 8: Cho đường tròn (O) đường kính AB, vẽ góc tâm AOC = 50° với C nằm (O) Vẽ dây CD vng góc với AB dây DE song song với AB a) Tính số đo cung nhỏ BE b) Tính số đo cung CBE Từ suy ba điểm C, O, E thẳng hàng Hướng Dẫn:  500 a) Tính sđ BC  b) Chứng minh sđ CBE 1800  C , O, E thẳng hàng (ĐPCM) Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang  Cách khác: sử dụng CDE 900  ĐPCM Bài 9: Cho đường tròn (O; R) Gọi H trung điểm bán kính OB Dây CD vng góc với OB  H Tính số đo cung nhỏ cung lớn CD Hướng Dẫn:  nhỏ = 1200 Chứng minh BOC BOD tam giác nên suy sđ CD  lớn = 2400 sđ CD Bài 10: Cho tam giác ABC cân A Vẽ đường trịn tâm o, đường kính BC Đường tròn (O) cắt AB AC M N   a) Chứng minh cung nhỏ BM CN có số đo   b) Tính MON , biết BAC = 40° Hướng Dẫn:   a)Chứng minh BOM CON (c.g.c), từ suy BM CN  b) Tính MON 1000 Bài 11: Cho đường tròn (O; R) Vẽ dây AB = R Tính số đo cung nhỏ cung lớn AB Hướng Dẫn: Tính sđ AB nhỏ = AOB 900 Suy đ AB lớn = 2700 Bài 12: Cho (O; R) dây cung MN = R Kẻ OK vng góc với MN K Hãy tính: a) Độ dài OK theo R   b) Số góc MOK MON  c) Số đo cung nhỏ cung lớn MN Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Hướng Dẫn: a) Tính OK  R   b) Tính MOK 600 , MON 1200 c) HS tự làm Bài 13: Cho đường tròn (O; R) Vẽ dây AB R Tính số đo hai cung AB Hướng Dẫn: 900 ;2700 Bài 14: Cho đường tròn (O; R) Vẽ dây AB cho số đo cung nhỏ AB số đo cung lớn AB Tính diện tích tam giác AOB Hướng Dẫn: S  R2  Bài 15: Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R)  O;  R 3  Trên đường tròn nhỏ lấy điểm M  Tiếp tuyến M đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn A B Tia OM cắt đ/tròn lớn C a) Chứng minh CA CB b) Tính số đo hai cung AB Hướng Dẫn: b) 600 ;3000 Bài 16: Cho (O; 5cm) điểm M cho OM = 10cm Vẽ hai tiếp tuyến MA MB Tính góc tâm hai tia OA OB tạo Hướng Dẫn: 1200 Bài 17: Cho tam giác ABC, vẽ nửa đường trịn đường kính BC cắt AB D AC E So sánh cung BD, DE EC Hướng Dẫn:BD DE EC Bài 18: Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; R) với R > R Qua điểm M (O; R), vẽ hai tiếp tuyến với (O; R) Một tiếp tuyến cắt (O; R) A B (A nằm M B); tiếp tuyến cắt (O; R) C D (C nằm D M) Chứng minh hai cung AB CD Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang