BÀI LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY I Tóm tắt lý thuyết Định lí Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Hai cung căng hai dây b) Hai dây căng hai cung Định lí Với hai cung nhỏ đường tròn hay hai đường tròn nhau: a) Cung lớn căng dây lớn b) Dây lớn căng cung lớn Bổ sung a) Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song b) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây (khơng qua tâm) qua điểm cung bị căng dây c) Trong đường trịn, đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại II Các dạng toán Phương pháp giải: Để giải toán liên quan đến cung dây, cần nắm định nghĩa góc tâm kết hợp với liên hệ cung dây Bài 1: Chứng minh hai cung bị chắn hai dây song song Hướng Dẫn: Trường hợp 1: Tâm O hai dây Kẻ OM AB suy OM CD N Ta chứng minh AOM BOM (1) Tương tự CON (2) DON Từ (1), (2) AOC BOC AC BD Trường hợp 2: Tâm O nằm khoảng hai dây Kẻ OM AB suy OM CD N Tương tự AOC BOC AC BD Bài 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB cung AC có số đo nhỏ 90° Vẽ dây CD vng góc với AB dây DE song song với AB Chứng minh AC = BE Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang , mà CD AB nên Từ suy Ta chứng minh AD BE Cách khác:Chứng minh AOC BOE ĐPCM Bài 3: Giả sử AB dây cung đường tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm C D D Chứng minh AB CD song song cho AC B Hướng Dẫn: Ta lấy K điểm cung nhỏ AB KD Từ ta có OK CD, OK AB CD//AB Ta chứng minh CK Bài 4: Giả sử ABC tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường tròn (O) D Kẻ đường kính AE đường trịn (O) Chứng minh: a) BC song song với DE; b) Tứ giác BCED hình thang cân Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh CD từ suy BE = CD tứ giác BDEC hình thang cân b) Ta chứng minh BE Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB đường trịn (O') đường kính AO Các điểm C, D D BC < BD Các dây AC AD cắt đường tròn (O') theo thuộc đường tròn (O) cho B C thứ tự E F Hãy so sánh: a) Độ dài đoạn thẳng OE OF; b) Số đo cung AE AF đường tròn (O') Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2 a) Ta chứng minh E trung điểm AC nên OE BC Tương tự ta có OF DB Mà BC < BD ta suy OE < OF b) Chứng minh AE2 = AO2 - OE2 AF2 = AO2 - OF2 Từ ta có AE2 > AF2 AE > AF sđ AE sđ AF Bài 6: Cho đường trịn tâm o đường kính AB Vẽ hai dây AM BN song song với cho sđ BM < 90° Vẽ dây MD song song với AB Dây DN cắt AB £ Từ R vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM C Chứng minh: a) AB DN; b) BC tiếp tuyến đường tròn (O) Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh b) Ta chứng minh tứ giác BCEN hình bình hành BC = EN Do BCDE hình bình hành BC = ED; DE = EN BA EN BA BC BC tiếp tuyến III Bài tập tự luyện Bài 1: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Từ A Bvẽ hai dây AC BD song song với D So sánh hai cung nhỏ AC B Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Ta chứng minh ABC BDA từ suy AC BD Bài 2: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB C điểm nửa đường tròn Trên Chứng minh: cung CA CB lấy điểm M N cho CM BN a) AM = CN; b) MN = CA = CB Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh CB ĐPCM b) Chứng minh MN CA Bài 3: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Hãy so sánh cung nhỏ AB, AC BC biết A = 50° Hướng Dẫn: Đưa so sánh góc tâm để kết luận Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa đường trịn lấy hai điểm C, D Kẻ CH vng góc với AB H, CH cắt (O) điểm thứ hai E Kẻ AK vng góc với CD K, AK cắt (O) điểm thứ hai F Chứng minh: DB nhau; a) Hai cung nhỏ CF DE b) Hai cung nhỏ BF nhau; c) DE = BF Hướng Dẫn: a) HS tự chứng minh BE b) Từ giả thiết ta có AB đường trung trực CE BC c) Sử dụng mối liên hệ cung dây Bài 5:Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Biết cung nhỏ AB, AC BC Hướng Dẫn: B C A AC AB BC DE BF A 500 , so sánh Bài 6:Cho hai đường tròn (O) (O) cắt hai điểm A, B Vẽ đường kính AOE, AOF BOC Đường thẳng AF cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D Chứng minh cung nhỏ AB, CD, CE Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang Hướng Dẫn: Chứng minh E, B, F thẳng hàng; BC // AD Bài 7:Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ hai dây AM BN song song với cho sđ BM 900 Vẽ dây MD song song với AB Dây DN cắt AB E Từ E vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng DM C Chứng minh rằng: a) AB DN b) BC tiếp tuyến đường tròn (O) Hướng Dẫn: Bài 8: Cho đường trịn tâm O đường kính AB Từ A B vẽ hai dây cung AC BD song song với Qua O vẽ đường thẳng vuông góc AC M BD N So sánh hai cung AC BD Hướng Dẫn: 1 AnB Bài 9:Cho đường tròn (O) dây AB chia đường tròn thành hai cung thỏa: AmB a) Tính số đo hai cung AmB, AnB b) Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến dây AB AB Hướng Dẫn: 2CD Chứng minh: AB < 2.CD Bài 10: Trên đường tròn (O) vẽ hai cung AB CD thỏa: AB Hướng Dẫn: Chúc em chăm ngoan – học giỏi !! Trang