Bài 2 hình nón hình nón cụt diện tích xung quanh và thể tích hình nón, hình nón cụt

CHƯƠNG HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN - HÌNH CẦU BÀI HÌNH NĨN - HÌNH NĨN CỤT DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH NĨN, HÌNH NĨN CỤT Mục tiêu  Kiến thức + Nêu khái niệm hình nón, hình nón cụt + Chỉ yếu tố hình nón, hình nón cụt như: mặt đáy, mặt xung quanh, đường sinh, chiều cao + Nắm cơng thức tính diện tích xung quanh thể tích hình nón, hình nón cụt  Kĩ + Vẽ hình nón, hình nón cụt + Tính diện tích xung quanh, thể tích hình nón yếu tố đường cao, đường sinh, bán kính hình trịn đáy hình nón, hình nón cụt I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hình nón Khi quay tam giác vng AOC vịng quanh cạnh góc vng OA cố định hình nón Khi đó: Cạnh OC qt nên đáy hình nón, hình trịn tâm O Cạnh AC qt nên mặt xung quanh hình nón, vị trí AC gọi đường sinh Chẳng hạn AD đường sinh A gọi đỉnh AO gọi đường cao hình nón Dỉện tích xung quanh hình nón Cắt mặt xung quanh hình nón dọc theo đường sinh trải phẳng ra, ta hình khai triển hình quạt trịn có tâm đỉnh nón, bán kính độ dài đường sinh độ dài cung Diện tích tồn phần tổng diện tích xung quanh độ dài đường trịn đáy hình nón diện tích đáy Diện tích xung quanh hình nón diện tích hình quạt trịn khai triển Diện tích xung quanh hình nón: S xq  rl Diện tích tồn phần hình nón: S xq  rl   r Thể tích hình nón Trang 1 Qua thực nghiệm, ta thấy: Vnón  Vtrụ Ta tích hình nón là: V   r h Diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt: S xq   r1  r2  l Cơng thức tính diện tích tồn phần hình nón 2 cụt: Stp   r1  r2       r2 Cơng thức tính thể tích hình nón cụt: V   h  r12  r22  r1r2  SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình nón Trang Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phàn hình nón, hình nón cụt Phương pháp giải Bước 1: Áp dụng cơng thức tính diện tích xung Ví dụ: Tính diện tích xung quanh diện tích tồn quanh, tính diện tích tồn phần hình nón, hình phần hình nón, biết độ dài đường sinh hình nón cụt nón 20cm bán kính hình trịn đáy 5cm Bước 2: Kiểm tra yếu tố có cơng thức Hướng dẫn giải tính diện tích xung quanh, tính diện tích tồn phần Bước 3: Tính tốn kết luận Áp dụng cơng thức tính diện tích tồn phần 2 hình nón ta có: Stp  5.20   125  cm  Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón ta có: S xq  5.20 100  cm  2 Vậy Stp 125 cm , S xq 100 cm Ví dụ mẫu Ví dụ Một hình nón có đường sinh dài 12 cm diện tích hình trịn đáy 9 cm2 Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón Hướng dẫn giải Diện tích hình trịn đáy 9 cm2 nên ta có:  R 9  R 3  cm  Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón, ta có: S xq  3.12 36  cm  Áp dụng cơng thức tính diện tích tồn phần hình nón, ta có: Stp  3.12   32 45  cm  Ví dụ Một hình nón có đường sinh dài 15 cm chu vi hình trịn đáy 6 cm Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón Hướng dẫn giải Chu vi hình trịn đáy 6 cm nên ta có: 2 R 6  R 3  cm  Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón, ta có: S xq  3.15 45  cm  Áp dụng cơng thức tính diện tích tồn phần hình nón, ta có: Stp  3.15   32 54  cm  Bài tốn 2: Tính độ dài bán kính đường trịn đáy chiều cao hình nón, hình nón cụt Phương pháp giải Trang Bước 1: Viết cơng thức tính S xq , Stp Ví dụ: Cho hình nón có bán kính đường trịn đáy Từ suy cơng thức tính R , l 5cm, diện tích xung quanh hình nón Bước 2: Kiểm tra đại lượng cần để tính R , l 25 cm2 Tính độ dài đường sinh hình nón Bước 3: Thay đầy đủ giá trị đại lượng Hướng dẫn giải vào cơng thức thực phép tính S Ta có S xq  R    xq  R Mà S xq 25 ; R 5 nên   25 5  cm   Vậy độ dài đường sinh hình nón 5cm Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình nón có đường kính hình trịn đáy 12cm, chiều cao hình nón 8cm Tính độ dài đường sinh hình nón Hướng dẫn giải Đường kính hình trịn đáy 12 cm, suy bán kính hình trịn đáy 12 R  6  cm  Ta có đường sinh, chiều cao bán kính đáy tạo thành tam giác vuông với cạnh huyền đường sinh, nên áp dụng định lý Py-ta-go ta có: l 82  62 100  l 10  cm  Ví dụ Một hình nón có đường sinh dài 12 cm diện tích xung quanh 48 cm Tính chiều cao hình nón Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón, ta có:  R.12 48  R 4  cm  Đường sinh, chiều cao bán kính đáy tạo thành tam giác vng với cạnh huyền đường sinh, nên áp dụng định lý Py-ta-go ta có: l 122  42 160  l 4 10  cm  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A biết AB 3cm, BC 5cm người ta quay tam giác ABC quanh cạnh AC hình nón Tính diện tích xung quanh hình nón Câu 2: Cho tam giác ABC vuông A biết AB 6cm, AC 8cm Người ta quay tam giác ABC quanh cạnh AC hình nón Tính diện tích tồn phần hình nón Câu 3: Một hình nón có diện tích xung quanh 36 cm2 , bán kính đáy 3cm Tính độ dài đường sinh Trang Câu 4: Một hình nón có diện tích xung quanh 48 cm2 , chu vi hình trịn đáy 16 cm Tính độ dài đường sinh Câu 5: Một hình nón cụt có diện tích xung quanh 56 cm2 , độ dài đường sinh 8cm Tính tổng bán kính hai đáy hình nón cụt Câu 6: Một hình nón cụt có tổng độ dài hai đường kính hai đáy 12cm, độ dài đường sinh 7cm Tính diện tích xung quanh hình nón cụt Bài tập nâng cao Câu 7: Một hình nón có đường sinh dài 9cm diện tích xung quanh 72 cm2 a) Tính bán kính hình nón b) Tính diện tích tồn phần hình nón Câu 8: Một xơ hình nón cụt làm tơn để đựng nước Các bán kính đáy 13cm 9cm, chiều cao xơ 24cm Tính diện tích tơn để làm xơ (khơng kể diện tích miếng ghép) Câu 9: Cho ABC vuông C Biết BC a, AC b Quay tam giác vng vịng quanh cạnh AC BC hình nón đỉnh A hình nón đỉnh B Hãy so sánh tỉ số diện tích xung quanh hai hình nón ĐÁP ÁN Bài tập Câu 1: Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta hình nón có độ dài đường sinh 5cm, bán kính hình trịn đáy 3cm Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón, ta có: S xq  R.l  S xq  3.5 15  cm  Câu 2: Khi quay tam giác ABC quay xung quanh AC ta hình nón có độ dài đường sinh BC  62  82 10  cm  , bán kính hình trịn đáy 6cm Áp dụng cơng thức tính diện tích tồn phần hình nón ta có: Stp  R.l   R  Stp  6.10   96  cm  Câu 3: Hình nón có diện tích xung quanh 36 m , bán kính đáy 3cm, nên ta có:  Rl 36  l  36 12  cm   Câu 4: Chu vi hình trịn đáy hình nón 16 , nên ta có: 2 R 16  R 8  cm  Hình nón có diện tích xung quanh 48 cm2 , ta có:  R.l 48  l  48 6  cm   Trang Câu 5: Hình nón cụt có diện tích xung quanh 56 cm2 , độ dài đường sinh 8cm, nên ta có:  l  R  r  56  R  r  56 7  cm  8 Câu 6: 12 Hình nón cụt có tổng độ dài hai đường kính hai đáy 12cm, nên ta có: R  r  6  cm  Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt, ta có: S xq   R  r  l  S xq  6.7 42  cm  Bài tập nâng cao Câu 7: a) Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón, ta có:  R.l 72  R  72 8  cm   b) Áp dụng cơng thức tính diện tích tồn phần hình nón, ta có: Stp  R.l   R  Stp 72  64 136  cm  Câu 8: Để tính diện tích tơn làm xơ ta cần tính diện tích xung quanh diện tích đáy nhỏ +) Độ dài đường sinh: BC  AB  AC 2  BC  242   13   4 37  cm  Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt, ta có: S xq   R  r  l  S xq    13  37 88 37  cm  Diện tích hình trịn đáy nhỏ là: S  92 81  cm  Vậy diện tích tơn cần để làm xơ là: 88 37  81 1935  cm  Câu 9: +) Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh AC ta hình nón đỉnh A có chiều cao AC b , bán kính đáy BC a , đường sinh AB  a  b Diện tích xung quanh hình nón là: S1  a a  b +) Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh BC ta hình nón đỉnh B, có chiều cao BC a , bán kính đáy AC b , đường sinh AB  a  b Trang Diện tích xung quanh hình nón là: S  b a  b Tỉ số diện tích xung quanh hai hình nón là: S1  a a  b a   S2  b a  b b Dạng 2: Tính thể tích hình nón, hình nón cụt Bài tốn Tính thể tích hình nón, hình nón cụt Phương pháp giải Bước 1: Viết cơng thức tính thể tích hình nón Ví dụ: Cho hình nón biết bán kính hình trịn đáy Bước 2: Xem xét đại lượng biết, 5cm, chiều cao 9cm Tính thể tích hình đại lượng cần tính nón Bước 3: Thay đầy đủ giá trị đại lượng vào Hướng dẫn giải cơng thức thực phép tính Thể tích hình nón V   R h Ta có R 5cm; h 9cm Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón, ta có: 1 V   R h  V   52.9 75  cm3  3 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình nón có đường kính hình trịn đáy cm, độ dài đường sinh 5cm Tính thể tích hình nón Hướng dẫn giải Đường kính hình trịn đáy cm, suy bán kính hình trịn đáy R  4  cm  Ta có bán kính hình trịn đáy, đường sinh đường cao hình nón tạo với tam giác vuông với cạnh huyền đường sinh hình nón, nên theo định lý Py-ta-go ta có: l h  R  h 52  42 32  h 3  cm  Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón, ta có: 1 V   R h  V   42.3 16  cm3  3 Ví dụ Một xơ inox có dạng hình nón cụt đựng nước có bán kính hai đáy 8cm 20cm, độ dài đường sinh 36cm Khi xơ đựng đầy nước dung tích xơ bao nhiêu? Hướng dẫn giải Để tính dung tích xơ ta cần biết thêm chiều cao OO' xơ Trang Ta có: OO BH  AB  HA2  OO  362   20   24  cm  Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón cụt, ta có: V   h  R  r  Rr   V   24  82  202  8.20  4992 2  cm3  Vậy thể tích xơ 4992 2 cm3 Bài tốn Tính đại lượng liên quan thơng qua cơng thức tính thể tích hình nón, hình nón cụt Phương pháp giải Bước 1: Sử dụng cơng thức tính thể tích hình nón, Ví dụ: Cho hình nón tích 54 cm3 , chiều hình nón cụt cao hình nón 6cm Tính bán kính hình trịn Bước 2: Kiểm tra đại lượng biết đại đáy hình nón lượng cần tìm Hướng dẫn giải Bước 3: Từ cơng thức tính thể tích hình nón, hình Thể tích hình nón V   R h nón cụt Suy đại lượng cần tìm Hình nón tích 54 cm3 , nên ta có: 3.54  R h 54  R  27 6  R 3  cm  Vậy bán kính đường trịn đáy 3 cm Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ABC vng A, biết AB 5cm Quay ABC quanh cạnh AB ta hình nón tích 15cm3 Tính độ dài đường sinh hình nón Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón, ta có: 3.15  R h 15  R  9 5  R 3  cm  Áp dụng định lý Py-ta-go tam giác ABC, ta có: BC  AB  AC  BC  52  32  34  cm  Vậy độ dài đường sinh hình nón 34 cm Trang Ví dụ Cho hình nón cụt có độ dài đường cao cm, bán kính hình trịn đáy lớn 8cm, thể tích hình nón cụt 135 cm3 Tính độ dài bán kính hình trịn đáy bé Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón cụt, ta có: 1  h  R  r  Rr  135    82  r  8r  135 3  r   33  choïn   r  8r  64 81  r  8r  17 0    r   33  loaïi  Vậy độ dài bán kính hình trịn đáy bé hình nón r   33 cm Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho hình nón có chiều cao 10cm, bán kính hình trịn đáy 6cm Tính thể tích hình nón Câu 2: Cho ABC vuông A, biết AB 8cm, AC 6cm Quay quanh cạnh AB vịng ta hình nón Tính thể tích hình nón Câu 3: Cho hình nón tích 35 cm , độ dài đường cao 7cm Tính bán kính hình trịn đáy hình nón Câu 4: Cho hình nón tích 12 cm , bán kính hình trịn đáy 3cm Tính độ dài đường sinh hình nón Câu 5: Cho hình nón cụt tích 588 cm , độ dài bán kính hai hình trịn đáy cm cm Tính chiều cao hình nón cụt Câu 6: Cho hình nón cụt có bán kính hai hình trịn đáy cm cm, độ dài đường cao cm Tính thể tích hình nón cụt Bài tập nâng cao Câu 7: Cho ABC vuông C Biết BC a, AC b Quay tam giác vng vịng quanh cạnh AC BC, hình nón đỉnh A hình nón đỉnh B Hãy so sánh tỉ số thể tích hai hình nón Câu 8: Một hình nón có bán kính đáy 4cm diện tích xung quanh 20 cm Tính thể tích hình nón Câu 9: Một hình nón cụt có bán kính đáy 7cm 14cm, độ dài đường sinh 25cm Tính thể tích hình nón cụt ĐÁP ÁN Bài tập Câu 1: Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón, ta có: 1 V   R h  V   62.10 120  cm3  3 Câu 2: Trang Quay quanh cạnh AB vịng ta hình nón, có chiều cao 8cm, bán kính đáy 6cm Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón ta có: 1 V   R h  V   62.8 96  cm3  3 Câu 3: Hình nón tích 35 cm3 , độ dài đường cao 7cm, nên ta có: 3.35  R h 35  R  15  R  15  cm   Câu 4: Giả sử đường sinh, đường cao bán kính hình trịn đáy hình nón tạo thành tam giác vng ABC hình vẽ Theo đề ta có:  32.h 12  h 4  cm  Khi độ dài đường sinh hình nón là: l BC  32  42 5  cm  Câu 5: Hình nón cụt tích 588 cm3 , độ dài bán kính hai hình trịn đáy 3cm 5cm, nên ta có: 3.588   R  Rr  r  h 588  h  36  cm    52  5.3  32  Vậy chiều cao hình nón cụt 36 cm Câu 6: Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón cụt, ta có: 1 V    R  Rr  r  h  V    52  5.2  22  117  cm3  3 Bài tập nâng cao Câu 7: +) Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh AC ta hình nón đỉnh A, có chiều cao AC b , bán kính đáy BC a Thể tích hình nón là: V1   a b +) Khi quay tam giác vuông ABC quanh cạnh BC, ta hình nón đỉnh B, có chiều cao BC a , bán kính đáy AC b Trang 10 Thể tích hình nón là: V2   b a Tỉ số thể tích hai hình nón là:  a b V1 a   V2  b a b Câu 8: Giả sử hình nón cho hình vẽ Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón, ta có:  R.l 20  l  20 5  cm   Độ dài đường cao hình nón là: AB  AC  BC  AB  52  42 3  cm  Áp dụng cơng thức tính thể tích hình nón, ta có: 1 V   R h  V   2.3 16  cm3  3 Câu 9: Giả sử hình nón cụt cho hình vẽ Độ dài chiều cao hình nón cụt là: AB  BC  AC  AB  252   14   24  cm  Áp dụng công thức tính thể tích hình nón cụt, ta có: V   h  R  r  Rr   V   24  142  72  14.7  2744  cm3  Trang 11