CHƯƠNG HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN - HÌNH CẦU BÀI HÌNH TRỤ DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH TRỤ Mục tiêu Kiến thức + Biết khái niệm hình trụ + Chỉ yếu tố hình trụ như: đáy, mặt xung quanh, đường sinh, chiều cao, mặt cắt song song với trục song song với đáy + Nắm cơng thức tính diện tích xung quanh, thể tích hình trụ Kĩ + Vẽ hình trụ + Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Hình trụ Khi quay hình chữ nhật ABCD vòng quanh cạnh CD cố định, ta hình trụ Khi đó: - DA CB qt nên hai đáy hình trụ, hai hình trịn nằm hai mặt phẳng song song, có tâm D C - Cạnh AB quét nên mặt xung quanh hình trụ, vị trí AB gọi đường sinh Chẳng hạn EF đường sinh - Các đường sinh hình trụ vng góc với hai mặt phẳng đáy Độ dài đường sinh chiều cao hình trụ - DC gọi trục hình trụ Cắt hình trụ mặt phẳng Khi cắt hình trụ mặt phẳng song song với đáy, phần mặt phẳng nằm hình trụ (mặt cắt) hình trịn hình trịn đáy Khi cắt hình trụ mặt phẳng song song với trục DC mặt cắt hình chữ nhật Diện tích xung quanh hình trụ Tổng qt, với hình trụ bán kính R chiều cao h, ta có: Diện tích xung quanh S xq 2 Rh Trang Diện tích tồn phần Stp 2 Rh 2 R Nhận xét: Diện tích tồn phần diện tích xung quanh cộng hai lần diện tích đáy Thể tích hình trụ V Sh R h (S diện tích đáy, h chiều cao hình trụ) SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình trụ Phương pháp giải Bước 1: Tìm bán kính đường trịn đáy, đường cao Ví dụ: Cho hình trụ có bán kính đường trịn đáy hình trụ cm, đường cao 5cm Tính diện tích xung Bước 2: Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ quanh diện tích tồn phần hình trụ Hướng dẫn giải r 2; h 5 Trang Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình trụ ta có: S xq 2 2.5 20 cm Áp dụng cơng thức tính diện tích tồn phần hình trụ ta có: Stp 2 2.5 2 22 28 cm Ví dụ mẫu Ví dụ Hãy tính diện tích xung quanh hình trụ có chu vi hình trịn đáy 20 cm chiều cao cm Hướng dẫn giải Chu vi hình trịn đáy 20cm, nên ta có: 2 R 20 cm Diện tích xung quanh hình trụ là: S xq 2 R.h 20.5 100 cm Ví dụ Tính diện tích tồn phần hình trụ có bán kính đường trịn đáy cm chiều cao cm Hướng dẫn giải Diện tích xung quanh hình trụ là: S xq 2 R.h 2 4.8 64 cm 2 Diện tích hình trịn đáy là: Sđáy R 16 cm 2 Diện tích tồn phần hình trụ là: Stp 2 Rh 2 R 64 2.16 96 cm Bài tốn 2: Tính độ dài bán kính đường trịn đáy chiều cao hình trụ Phương pháp giải Bước 1: Sử dụng cơng thức tính diện tích xung Ví dụ: Một hình trụ có diện tích hình trịn đáy quanh, diện tích tồn phần hình trụ 4 cm diện tích xung quanh 20 cm Tính Bước 2: Tính độ dài bán kính hình trịn đáy, chiều độ dài bán kính hình trịn đáy chiều cao hình cao trụ Hướng dẫn giải Diện tích hình trịn đáy 4 cm , nên ta có: R 4 R 4 R 2 cm Diện tích xung quanh hình trụ 20 cm , nên ta có: 2 Rh 20 h 20 20 h 5 cm 2 R 2 Ví dụ mẫu Trang Ví dụ Một hình trụ có bán kính hình trịn đáy 5cm, diện tích xung quanh 30 cm Tính chiều cao hình trụ Hướng dẫn giải Để tính chiều cao biết bán kính đáy diện tích xung quanh ta dùng công thức: h S xq 2 R 30 3 cm 2 Ví dụ Một hình trụ có bán kính đáy 4cm Biết diện tích tồn phần gấp ba diện tích xung quanh Tính chiều cao hình trụ Hướng dẫn giải Áp dụng cơng thức tính diện tích tồn phần ta có: Stp Sxq 2.Sđáy 3Sxq Sxq 2.Sđáy 2.Sxq 2.Sđáy Sxq Sđáy 2 Rh R h R 2 cm 2 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho hình trụ có bán kính hình trịn đáy cm, chiều cao hình trụ cm Tính diện tích xung quanh hình trụ Câu 2: Cho hình trụ có chu vi hình trịn đáy 8 cm chiều cao cm Tính diện tích tồn phần hình trụ Câu 3: Một hình chữ nhật có chiều dài cm, chiều rộng cm Quay hình chữ nhật vịng quanh chiều dài hình trụ Tính diện tích xung quanh hình trụ Câu 4: Một hình trụ có chiều cao cm, diện tích xung quanh 32 cm Tính độ dài bán kính hình trịn đáy Câu 5: Một hình trụ có chiều cao bán kính hình trịn đáy, diện tích xung quanh 8 cm Tính độ dài đường cao hình trụ Câu 6: Một hình trụ có diện tích xung quanh 36 cm diện tích tồn phần 54 cm Tính bán kính hình trịn đáy Bài tập nâng cao Câu 7: Một hình trụ có bán kính 5cm, có diện tích xung quanh 50 cm Tính chiều cao hình trụ Câu 8: Chiều cao hình trụ gấp đơi bán kính đường trịn đáy Diện tích xung quanh hình trụ 64 cm Tính bán kính đường trịn đáy Câu 9: Diện tích xung quanh hình trụ 16 cm , diện tích tồn phần 48 cm Tính bán kính đường trịn đáy chiều cao hình trụ Câu 10: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6cm, BC = 8cm Cho hình chữ nhật quay quanh AB Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ tạo thành ĐÁP ÁN Trang Bài tập Câu 1: Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình trụ, ta có: S xq 2 6.8 96 cm Vậy diện tích xung quanh hình trụ 96 cm2 Câu 2: Chu vi hình trịn đáy 8 cm , nên ta có: 2 R 8 R 4 cm Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình trụ, ta có: Stp 2 R.h 2 R 2 4.6 2 80 cm Câu 3: Khi quay hình chữ nhật vịng quanh chiều dài ta hình trụ có chiều cao 5cm, bán kính hình trịn đáy 3cm Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ, ta có: S xq 2 R.h 2 3.5 30 cm Câu 4: Diện tích xung quanh hình trụ 32 cm2 , nên ta có: 2 R.h 32 R 32 2 R 2 cm 2 Câu 5: Hình trụ có chiều cao bán kính hình trịn đáy, diện tích xung quanh 8 cm2 , nên ta có: 2 R.h 8 h 4 h 2 cm Câu 6: Hình trụ có diện tích xung quanh 36 cm2 diện tích tồn phần 54 cm2 , nên ta có: Trang Sđáy Stp Sxq Sđáy 54 36 9 cm Ta lại có: R 9 R 3 cm Bài tập nâng cao Câu 7: Hình trụ có diện tích xung quanh 50 cm2 , nên ta có: 2 Rh 50 h 50 5 cm 2 Vậy chiều cao hình trụ cm Câu 8: Hình trụ có diện tích xung quanh 64 cm2 , nên ta có: 2 Rh 50 hay 2 R.2 R 64 R 64 16 R 4 cm 4 Vậy bán kính đường trịn đáy hình trụ cm Câu 9: Diện tích xung quanh hình trụ 16 cm , diện tích tồn phần 48 cm2 nên ta có: Sđ Stp Sxq Sñ 48 16 16 cm 2 R 16 R 4 cm Diện tích xung quanh hình trụ 16 cm , nên ta có: 2 Rh 16 h 16 2 cm 2 Câu 10: Cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh AB vịng ta hình trụ với chiều cao h AB 6cm , độ dài bán kính hình trịn đáy R BC 8cm Diện tích xung quanh hình trụ là: S xq 2 8.6 96 cm 2 Diện tích tồn phần hình trụ là: Stp Sxq 2Sñ Stp 96 2. 224 cm Dạng 2: Tính thể tích cùa hình trụ Bài tốn 1: Tính thể tích hình trụ Phương pháp giải Bước 1: Kiểm tra yếu tố: Bán kính hình trịn Ví dụ: Cho hình trụ có bán kính hình trịn đáy đáy đường cao hình trụ 4cm, chiều cao 6cm Tính thể tích hình Bước 2: Sử dụng cơng thức tính thể tích: trụ V R h Hướng dẫn giải Trang Ta có R 4cm, h 6cm Áp dụng cơng thức tính thể tích hình trụ, ta được: V R h 42.6 96 cm3 Ví dụ mẫu Ví dụ Chiều cao hình trụ gấp ba lần bán kính hình trịn đáy Diện tích xung quanh hình trụ 24 cm Tính thể tích hình trụ Hướng dẫn giải Diện tích xung quanh hình trụ 24 cm , nên ta có: 2 Rh 24 2 R.3R 24 R 4 R 2 cm h 3.2 6 cm Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ, ta có: V R h 22.6 24 cm3 Ví dụ Cho hình trụ có chu vi hình trịn đáy 10 cm , chiều cao hình trụ 8cm Tính thể tích hình trụ Hướng dẫn giải Chu vi hình trịn đáy 10 cm , nên ta có: 2 R 10 R 5 cm Áp dụng cơng thức tính thể tích hình trụ, ta có: V R h 52.8 200 cm3 Bài tốn 2: Tính yếu tố thơng qua thể tích hình trụ Phương pháp giải Bước 1: Sử dụng cơng thức tính thể tích hình trụ Ví dụ: Cho hình trụ có đường cao 7cm, thể Bước 2: Tính bán kính, đường cao tích hình trụ 28 cm3 Tính bán kính hình trịn đáy hình trụ Áp dụng cơng thức tính thể tích hình trụ, ta có: R h 28 R 28 4 R 2 cm Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD có AB 6cm Quay hình chữ nhật quanh BC ta hình trụ tích 54 cm3 Tính độ dài đường cao hình trụ tạo thành Hướng dẫn giải Thể tích hình trụ tạo thành 54 cm3 , nên ta có: Trang R h 54 h 54 cm (vì R AB 6 cm ) 36 Ví dụ Cho hình trụ có số đo thể tích (đơn vị cm 3) gấp ba lần số đo diện tích hình trịn đáy (đơn vị cm 2) Tính chiều cao hình trụ Hướng dẫn giải Thể tích hình trụ gấp ba lần diện tích hình trịn đáy nên ta có: R h 3. R h 3 (đvđd) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB 3cm, AD 5cm Khi quay hình chữ nhật cho vòng quanh cạnh AB ta hình trụ Tính thể tích hình trụ tạo thành Câu 2: Một hình trụ tích 64 cm3 , chiều cao 4cm Tính bán kính hình trịn đáy hình trụ Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD AB 2a; BC 3a Quay hình chữ nhật xung quanh BC hình trụ tích V1 , quay quanh AB hình trụ tích V2 Tính tỉ số V1 V2 Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD, AB 2a; AB 2 AD Quay hình chữ nhật quanh cạnh AB vịng ta hình trụ Tính thể tích hình trụ tạo thành Câu 5: Cho hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng 2cm Quay hình chữ nhật vịng quanh chiều dài ta hình trụ Tính diện tích xung quanh hình trụ Câu 6: Hình trụ có chiều cao h 8cm , bán kính đáy 3cm Tính diện tích xung quanh hình trụ Bài tập nâng cao Câu 7: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng diện tích hình chữ nhật 27cm Quay hình chữ nhật xung quanh chiều dài vịng Tính thể tích hình trụ tạo thành Câu 8: Một hình trụ có diện tích xung quanh 40 cm , diện tích tồn phần 48 cm2 Tính thể tích hình trụ Câu 9: Người ta nhấn chìm hồn tồn tượng đá nhỏ vào lọ thuỷ tinh có nước dạng hình trụ Diện tích đáy lọ thuỷ tinh cm2 Nước lọ dâng lên thêm cm Tính thể tích tượng đá ĐÁP ÁN Bài tập Câu 1: Hình trụ tạo thành có bán kính đáy cm, đường cao 3cm Áp dụng cơng thức tính thể tích hình trụ, ta có: V R h V 52.3 75 cm3 Trang Câu 2: Thể tích hình trụ 64 cm3 chiều cao cm, nên ta có: R h 64 R 64 16 R 4 cm Câu 3: Quay hình chữ nhật xung quanh BC ta hình trụ có chiều cao 3a, bán kính hình trịn đáy 2a Khi ta có: V1 2a 3a 12 a Quay hình chữ nhật xung quanh AB ta hình trụ có chiều cao 2a, bán kính hình trịn đáy 3a Khi ta có: V2 3a 2a 18 a V1 12 a V2 18 a 3 Câu 4: Quay hình chữ nhật xung quanh cạnh AB vịng ta hình trụ có chiều cao 2a, bán kính hình trịn đáy a Áp dụng cơng thức tính thể tích hình trụ, ta có: V R h V a 2a 2 a Câu 5: Khi quay hình chữ nhật vịng quanh chiều dài nó, ta hình trụ có chiều cao 3cm, bán kính hình trịn đáy 2cm Áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh hình trụ, ta có: S xq 2 R.h 2 2.3 12 cm Câu 6: Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình trụ, ta có: Trang S xq 2 R.h S xq 2 3.8 48 cm Bài tập nâng cao Câu 7: Gọi chiều rộng hình chữ nhật a (cm) Diện tích hình chữ nhật 27cm2, nên ta có: a.3a 27 a 3 cm Khi quay hình chữ nhật xung quanh chiều dài vịng ta hình trụ có chiều cao h 3a 9cm , bán kính đường trịn đáy R a 3cm 2 Khi thể tích hình trụ V R h V 81 cm Câu 8: Hình trụ có diện tích xung quanh 40 cm , diện tích tồn phần 48 cm2 , nên ta có: Sñ Stp Sxq 48 40 4 cm R 4 R 2 cm Diện tích xung quanh hình trụ 40 cm , nên ta có: 2 Rh 40 h 40 10 cm 2 2 Thể tích hình trụ là: V R h 10 40 cm Câu 9: Thể tích tượng đá thể tích lượng nước dâng lên, nên ta có: V Sđ h 9.4 36 cm3 Trang 10